江苏省苏州市2025-2026学年高二年级上册期中阳光调研数学试卷（解析版）

江苏省苏州市2025-2026学年

高二上学期期中阳光调研数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.在等差数列｛q｝中，若。3+〃9=6,则4的值为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】在等差数列中，6+佝=2&=6=>4=3.

故选：C.

2.直线/过点A(l,0),B(0,V3),则/的倾斜角为()

7171八兀

A.一一B.-C.-D

363-5

【答案】D

【解析】因为直线/过点A(LO),网0,⑹,所以直线/的斜率攵=迫二9=一6,

0-1

设直线/的倾斜角氏则tan0=—又04，<兀，所以夕二『，

所以直线/的倾斜角为:2葭

故选：D.

3.已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290,所有偶数项的和为261.

则此数列的项数为()

A.10B.19C.21D.29

【答案】B

【解析】设项数为2〃-1,则4=S奇-S例=29,

$2,1=S奇+S偶=551=(2〃-1)〃"=2〃-1=^~=19・

此数列共有19项.

故选：B.

4.直线/与直线4：工-3)，=0及直线/2：工+>—4=0相交于同一点，且(1/)为/的一个方

向向量，则/在)'轴上的截距为()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】A

x-3y=0x=3

【解析】联立方程<，直线/过点(3,1),

x+y-4=())'=1

又(11)为直线的一个方向向量，则直线斜率为1,

直线/:y=x-2,当x=0,y=-2,即/在y轴上的截距为一2.

故选：A.

5.已知数列｛4｝满足4=2，。用=1一：，则生您的值为()

A.-2B.-1C.D.2

【答案】B

【解析】因为数列｛/｝满足4=2,可川=1-，，

可得〃2=1-4=',=1-2=-1,=14-1=2,

可得数列｛《,｝是周期为3的周期数列，所以“2025=《75x3=4=7•

故选：B.

6.已知点4(一1,9),8(5』)，点C在x轴上，VA3c是直角三角形，这样的三角形的个

数是()

A.IB.2C.3D.4

【答案】C

［解析】设。(乂0).显然直线AB,BC,AC斜率都存在.

1—90—91

若A为直角，则原屋&匕=一1，所以5—(―「《TT"，解得工=-13；

1—90—111

若B为直角,则的8勺。二一1，所以5_(_1)XQ=_1，解得X=1；

若C为直角，则软U心°二一1，所以二X—2-=-1,解得x=2.

x-5x+\

故有三个满足要求直角三角形.

故选：C.

方法二：若4为直角，则ABAC=(6,—84x+l,-9)=6x+78=(),解得上=一13；

若5为直角，则BA3C=(-6,8)，x-5,-l)=-6x+22=0,解得x=U；

若C为直角，则。。8=(-1一乂9>(5-戈,1)二工2-4<+4=(/-2)2=0,解得x=2.

故有三个满足要求的直角三角形.

故选：C.

方法三：当A8为直角顶点时，显然有两个这样的直角三角形；

若C直角顶点，•.A〃中点。(2,5),AB=^(-1-5)2+(9-1)2=1()>

则CO=g4B=5,而点。到工距离为5,•,.此时有唯一点。(2,0),符合要求.

故有三个满足要求的直角三角形.

故选：C.

7.已知等比数列｛q｝的首项为64,公比为记了”为数列｛q｝的前〃项积，则当

时正整数〃的最大值为()

A.12B.13C.14D.15

【答案】A

【解析】由题意〃“=641—=1—，：♦，%=1,%=5

12)12J2

工1=成>1,42=(4%)6=26>1，匕3=碍=1,

.•・当7；>1时正整数〃的最大值为12.

故选A.

8.已知点P是圆0:丁+〉，2=2上的动点，点人(1,0),则NOB4的最大值是()

7171-兀兀

A.—B.—C.—D.一

6432

【答案】B

所以NOLAvNOAP,则NOE4是锐角，可得R二-----------

2sinNO以

故NORA取最大，sinNO麻最大,

则OP=2穴时，R取得最小值立，此时sin/OE4=①,

22

而NOPA是锐角，WZOPA=-

4

法二：如图，结合圆的性质设=xe[四-1,后+11

2+T2—1%二11

则由余弦定理得cosZ.OPA=―—=-=-,

2xV2xx2j2x

r24-1X1厂

由基本不等式得t72=W=T—>9p

2夜X2夜2叵X

X1

当且仅当运"砺‘即A1时取等'

故NOPAE0,£,则N0P4的最大值是四；

,4」4

0AOP

法三：设NOAP=0£[O,句,由正弦定理得

sin/OPAsin。

即高丽T焉则sinNO*号“冬

因为OA<OP,所以NOQ4vNOAP,

故NOPA为锐角，得到NOPA的最大值为

4

故选：B.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得相应的分数，有选错的得0分.

9.正实数。，b,C不全相等（）

A.若〃，b,C是等差数列，则1,7,'也是等差数列

abC

B.若。，b,。是等比数列，则'也是等比数列

abC

C.若。，b,。是等差数列，则右，、历，八也是等差数列

D.若4,b,c是等比数列，则G，、/，五也是等比数列

【答案】BD

【解析】对于A,取〃力=2,c=3,则L=],，=_1,!=1，

ab2c3232

所以,，‘不成等差数列，故A错误；

abc

■Iii/1\2

对于B,若a,b,c•是等比数列，则〃2=〃c，所以,

acacb,ybJ

所以L,7,』是等比数列，故B正确；

abC

对于C,取。=l,/?=2,c=3,则6=1,6=&,正=6，

又行一—0，故G，瓜,〃不是等差数列，故C错误；

对于D,若。，b,c是等比数列，则〃=〃c，

又&X=（a）,所以，I，、/，。是等比数列，故D正确.

故选：BD.

10.已知直线/:（2"z+l）x+（/〃+l）y-l=0,圆0:/+），2=8（）

A.对任意实数m,直线/恒过定点（-1,2）

B.对任意实数〃?，直线/与圆。相交，且/被圆。截得弦的长度最小值是4

C.存在实数〃j使得直线/分圆。所得弧长之比为1:3

D.存在实数〃?，使得圆上有3个点到直线/距离为1

【答案】ACD

【解析】直线/:（26+1）工+（6+1）丁-1=0即"?（2x+y）+x+y—1=0,

2x+y=0[x=-l

令〈，八，解得IC，

y-1=0[y=2

所以直线/过定点（一1,2）,故A正确；

（-1）2+22<8,故定点（一1,2）在圆。内，直线/与圆。相交，

设C（—1,2）,由圆的几何性质，当直线/与OC垂直时，弦长最小，

。。=6，则最小弦长为2,8-（石『=26,故B错误

JT

对于C,若直线/分圆。所得弧长之比1:3,则劣弧所对圆心角为7,

2

此时弦长为=4，而2Gv4v4jL故这样的直线是存在的，

「•存在实数〃?满足条件，故C正确

对于D,圆。半径为20，若圆上有3个点到直线/的距离为1,

则圆心到直线/距离为20-1，圆心。到直线/的距离dKOC,

而20一1<0。=石，，存在实数加满足条件，故D正确

故选：ACD.

II.已知数列｛。〃｝满足为=%=1，q+2=a”+1+4,（〃eN）,其前〃项和为S”，则（）

A.&=8B.S”=%+2T

C.44+a2a3++ana^=D.a；+城+…+a；t=anan+l

【答案】ABD

【解析】4二%=1，/=2,q=3,6=5,4=8,故A正确；

对于B，由4+2=4+1+4=>4=an+2-凡…S”=q+/+%+…+%

=（4一％）+（4-4）+…+（4+2-4+J=4+2-4=4+2-1，故B正确

对于C当〃=2时，3%+a2a3=3,而a；=4,4%2a3H°；，故C错误.

因为=限一%，，=q+4+2-44+i，

即a；=a2a,-%%，a；=一，…，d=%4.L*%

累加得名+a；++片=anan+l-ata2=ana^-a；

=〃；+a；+・.+。；=anan+l,故D正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.过点尸（6,2）的直线/与圆。：/+）,2=4相交于A,B两点,且刖=2.请写出满

足要求的一条直线/的方程：.

【答案】x-4石y+7j5=O或x=（写出其中一个即可）

【解析】由题意知过点P（G,2）的直线/与圆O：/+y2=4相交于九8两点，

当直线/的斜率不存在时，直线方程为犬=6，代入Y+9=4中，

可得y=±l,即AB坐标为（G,1）,（6,-1）,此时1A卸=2,符合题意；

当直线/的斜率存在时，设方程为）」2=女［一6），即依一），一6攵+2=0,

|—x/3Z^+2

设圆心。到直线/的距离为d,则,"-LL一:

yJk23+\

由|明=2,圆的半径〃=2可得2=25/7彳，即2=2"^手，解得d=6.

\-43k+2

故=6解得"=志’

>]k2+1

故直线/的方程为1力x-y-6x^j+2=0,即/一4jjy+7追=0,

故答案为：工一4百y+7万=0或x=JL（写出其中一个即可）

13.已知数列｛〃〃｝满足q=1,%+%=4〃，则/的值为.

【答案】29

[解析]由%+/=4〃，可得%+*[=4〃+4,两式相减%.2一%=4,

•..｛。2,1｝是首项为1，公差为4的等差数列,

/=%xs-i=%i-i+（8—1）＜/=1+28=29.

故答案为：29.

14.如图，在一个大圆中放入两个半径之比为1：2的小圆，使得两小圆外切，且它们均内

切于大圆，且三个切点共线，记为一次操作.之后的每次操作，都在前一次放入的较大的圆

中进行上述操作，现有一个半径为1的大圆，则4次操作后图中最小的圆的半径为

___________,〃次操作后图中所有圆的面积点、和为.

I12122I

【解析】『次操作后，小圆的半径依次为不丁不；•；丁，…,；

3333333

22。222

大圆的半径依次为不；・三・二不

333333

所以小圆半径是首项为!，公比为|■等比数列,

33

22

大圆半径是首项为7,公比为不等比数列,

33

4次操作后图中最小的圆的半径为'8

381

〃次操作后，小圆面积和为:

n-12n

_K2_兀

71&)+()++=9©,

9

加一切

大圆面积和为:=71•

714兀’2丫"

所以大圆与小圆面积和为不十一1-=兀1--

5

则所有圆的面枳总和为兀1--+兀二兀2--

:3)IJ

8

故答案为：—；n2

O1

\

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知VABC的三个顶点分别是4(5,1),5(7,-3),C(2,-8).

(1)求A8边上的中线所在直线的方程;

(2)求aA3C的外接圆的方程.

_1.Q7

解：(1)线段A8中点为则A3边中线的斜率为k=——=-,

6-24

7

所以A8边上的中线所在直线方程为3+8=^(九一2)化简得7x-4y-46=0,

(2)设VA8C外接圆一股方程为―+丁+以+小，+尸=0,代入三点坐标得,

22

5+l+5D+E+F=0fD=_4

•72+(-3)2+7D-3£+F=0^^j£：=6,

22+(-8)2+2D-8E+F=0[F=-12

即VA3C的外接圆方程为f+V一以+6)，-12=0,

即(X-2『+()，+3)2=25.

16.已知圆G：(九一+)尸=1,圆G：(x-2『+J=3.

m判断并证明圆C，圆G的位置关系:

(2)若两圆。|与。2相交于A，B两点，满足。则称圆。|与圆。2正交.现有

动圆M与圆G，圆G均正交，自N(3,o)引动圆M的切线.求证：切线长是定值.

(1)证明：两圆内含.

因为圆G圆心(后，°)，半径4=1，圆G圆心(2,0),半径与二百，

圆心距。1。2=2—0〈、与一1,所以两圆内含.

(2)证明：设动圆用圆心MG。,%),半径为R,动圆历与圆&交于A，H两点，

由题意有G

所以MA'GA?=MC：，即R2+I=MC；,

动圆M与圆4交于C,。两点，同理可得加小+4^二例C，即R2+3=MC；,

故MC；-用C：=2,

则有(%—2『+yl——五了—4=2整理得与一0,即圆心”(O,y0),

所以半径R=Jy：+l,

自N(3,0)引动圆M的切线，切线长/=NMN-R?=+y；-R?=瓜=2日

所以切线长是定值2夜.

17.记数列｛q｝的前〃项和为S”，满足S“=2%-2.记数列也｝的前〃项和为7；,满足

4=1，a=2，7；=

(1)求数列｛4｝,｛2｝的通项公式;

(2)求数列｛。，仇｝的前〃项和R〃.

解：(1)an=Stl-Sfl_｝=2at)-2an_x=>an=2an_x(«>2),当〃=1时，q=2.

•・•数列｛q｝是首项为2,公比为2的等比数列，.•.〃“二2”.

.〃(1+“)…〃("")(〃-DU+HJ/、

由T.=S得='上-'~~.”"(〃之2)，

整理得(〃-2)2+1=(〃-1)，_](〃22)①，(〃-1)〃用+1=的②

②.①得(〃-1)%+(〃-1)%=2(九-1应(壮2),即%+%=吮(〃之2).

即数列｛，｝是等差数列，•//?,=1,与=2,."=1,.,•2=4+(〃-1”=〃.

⑵a也=〃・2"，

23

/./?,(=1-24-2-2+32++，八2〃，

234n+,

/.27?rt=b2+2-2+3-2+-+n-2,

两式相减此=一(2+22.23++2")+〃・2e=2-2用+分2"+|=(〃-1)-2向+2,

即数列｛a也｝的前〃项和4=(〃-1)•2e+2.

18.已知数列｛q｝的第〃项是由〃个I构成的〃位数，如：《=1,4=",%=m，…

数列｛〃｝的第〃项是由1或2构成的所有〃位数的和，如：

b、=1+2=3,

%=11+12+21+22=66,

么=111+112+121+122+211+212+221+222=1332,...

（1）求数歹iJ｛4｝的通项公式及其前〃项和S”；

（2）试求出打，并直接写出数列｛2｝的一个通项公式；（无需说明理由）

（3）求满足不等式仇＞100七的正整数〃的最小值.（参考数据：植2x0.30,1g3«0.48）

1_inn

解：(1)依题意。什向】一。n“=10"='——9—,

的“10'向]0"▽1°_1

=

所以4〃”+i1-----§----&----9----，又4-----9-=一不9，

10"10"1

所以数列弧,一二-｝为常数列，.•q—U-=—L

I9J"99

10"-1010'-1102-110n-l1/i.心."

a„=--------,S„=---------+---------+…+----------=-101A'-1+10--!+­-+10*-1

“99999、'

=1(10'+102+­•+10,,)-^n

110,(1-10")1_10用9〃10

91-1()981

（2）依题意勿是由2〃个〃位数相加，其个位上的数字和为（1+2）X2'I,

十位上的数字和为(l+2)x2〃“，L,第〃位上的数字和为(l+2)x2"l

又4=1+2=3,/?2=(14-2)x2'xlO'+2x3=66,

/?.=(1+2)X22X102+2x66=1332,

所以％=(1+2)x8x1。3+次=24000+2664=26664,

=(1+2)x2"x10"+2〃=2a+3x20"=2b“+\20,,+,--x20〃，

63

所以加一,x2(r=2心口x20〃],又4」X20：—2,

ok6)66

所以是