江苏省徐州市2025-2026学年高二年级上册期中考试 数学试题（含解析）

江苏省徐州市2025-2026学年高二上学期11月期中考试

数学试题

一、单选题

1.抛物线的焦点是()

A.(-1,0)B.(1,0)C.D.(0,1)

2.直线x-6+3=0的倾斜角为()

n7C24n5不

A.-B.-C.D-T

63T

3.已知M(-2,3),N(6,2),点P在x轴上，且使得PM+PN取最小值，则点P的坐标为()

B.幽

A.(-2,0)c(刿D.(6,0)

4.若双曲线二-与二l(a〉b>0)双曲线两条渐近线的夹角为60。，则该双曲线的离心率e为()

a'b'

26

B.2Vr•-----D.出

3

5.已知直线/：，〃(x+y+l)+〃(2x-y-l)=0,wwR,〃eR,若直线/与连接力(1,-2),8(2,1)两点的线段总有公

共点，则/的倾斜角范围为()

itn3兀_n37t3兀

A.B.,7CC.D.——,71

454T4'T4

6.过三点4(1,2),8(3,2),C(l,-6)的圆交2轴于M,N两点,则|同=()

A.GB.2GC.y/13D.2y/l3

7.已知直线/|：/x+y-342-5=0与4：工一4》+3/-5=0相交于点尸，点。在圆/=2上，贝I」().

A.户。|有最大值B.|「。|有最大值5&

C.|P0|有最小值3拉D.|P0|有最小值2式

8.已知椭圆。5+；=1,直线/不经过点。(2,1),且斜率为，若，与C交于两个不同点48且直线P4P8

的倾斜角分别为出?，则sin^¥=()

4

A.1B.—C.ID.在

222

二、多选题

9.已知曲线C：工+1-=l（aeR）,下列说法正确的是（）

m-\3-m

A.若则曲线。为椭圆

B.若m<l,则曲线C为双曲线

C.若曲线C为椭圆，则其长轴长一定大于2

D.若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则其离心率小于正大于1

10.已知圆C：（x+2）2+y2=4,直线/：mx-y+m^\=0,则（）

A,直线/与圆。的轨迹一定相交

B.直线/与圆。交于48两点，则|48|的最大值为3夜

C.圆C上点到直线/距离的最大值为四+1

D.当〃?=1时，则圆C上存在四个点到直线/的距离为1.

11.已知点力（。,-逐"（0,逐），曲线C：力|=4中|+4,则下列说法正确的是（）

A.曲线C上存在点P,使得|尸理一归a=4

B.直线y=2x与曲线。没有交点

C.若过点（-2,0）的直线/与曲线C有三个不同的交点，则直线/的斜率的取值范围是（不，半'

D.点。是曲线C上在第三象限内的一点，过点。向直线y=2x与直线y=-2x作垂线，垂足分别为

Q

M、N,则@H|・|0N|二w

三、填空题

12.若直线2x+ay=2与at+2y=l垂直，则。=.

13.焦点在x轴上，焦距等于4,并且经过尸（3,-26）的椭圆的标准方程为.

14.已知椭圆和双曲线有共同的焦点片、K,M是它们的一个交点，且cosqME二，记椭圆和双曲线的

4

离心率分别为4、4,则」一的最大值为.

四、解答题

15.已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别为X+J-1=0,3x-y+4=0,且它的对角线的交点为

M[3,3),求这个平行四边形其他两边所在直线的方程.

16.(1)已知抛物线，2=2px(p〉O)上一点尸(1,凡)(.%>0)到其焦点的距离为5,求抛物线的方程;

(2)求与双曲线：-《=1有公共渐近线，且经过点(-3,26)[向双曲线的标准方程.

17.已知椭圆。：5+，=15〉人>0)的离心率6二等，且椭圆的长轴长为4.

(1)求椭圆。的方程：

(2)过点(1,0)的直线/与椭圆。交于4〃两点，且=求直线/的方程.

18.已知点外1,4),双曲线一一2T=1的左顶点为力，左、右焦点分别为斗入，旦双曲线的一条渐近线与直

线WP垂直.

(1)求双曲线的离心率;

(2)设点M在双曲线上，且点耳A近=0,求点M到x轴的距离;

(3)过八且斜率为1的直线与双曲线交于。,后两点，求线段OE的长度.

19.如图，圆£：。+1)2+/=]6/(1,0)是圆£内一个定点，历是圆后上任意一点.线段叱的垂直平分线

/和半径£”相交于点N,当点M在圆上运动时，记动点N的轨迹为曲线C.

(1)求曲线。的方程:

⑵设曲线C与x轴从左到右的交点为点44,点户为曲线C上异于4B的动点,设PA交宜线x=-4于点7,

连结37交曲线C于点。，直线BP,BQ的斜率分别为原夕,左坨.

(i)求证：攵"•须。为定值;

(ii)证明：直线经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标.

参考答案

1.D

【详解】白="的焦点是(0,1),

故选：D

2.A

【详解】解：直线x—向，+3=0的斜率4―3，设倾斜角为。则tan*巫，因为0。48<180。，所以

33

8=30。

故选：A

如图，A7关于x轴对称点是川’(-2,-3),“和N在x轴两侧，则当“N成一直线，此时，与x轴交于

P点,有PM+/W取最小值，此时，PM”N=M'N,而直线用W的方程为上三二三二，化简得，

-3-2-2-6

5x-8y-I4=0,则直线MW交x轴于尸点，所以，夕点坐标为(弓,。)

答案选：C

4.C

【详解】由双曲线方程可知，该双曲线的渐近线方程为y=±2.x,

a

因为双曲线两条渐近线的夹角为60。，a>b>0,

所以2=tan300=立，即。=麻，

a3

所以力二3/,即。2=3(。2-。2),即3c2=4/,

所以/===3，则e=az.

a233

故选：c.

5.D

【详解】令2x+:y-+11==00,解得|xy==0T,则直线/过定点尸(/。一)、，

有h"三甘=T,即1招印,如图所示:

则’的倾斜角范围为

L4」［4)

故选：D.

6.D

【详解】设圆的方程为、2+/+以+4+/=()(。2+£2—4/7>0),

1+4+。+2七+/=0

则<9+4+3Q+2E+E=0,

l+36+D-6F+F=0

/.r=-4,E=4,F=-9»

22

.,.x+y-4x+4y-9=0t

令、=0,可得/+4p-9=0,

...3年尸二苫而7士而

・•.|MN|=|乂-对=2折.

故选:D.

7.A

【详解】对于直线4：。、+p一3/-5=0,可变形为/(x-3)+(y-5)=O.

x-3=0Ix=3

令<八，解得<，所以直线4恒过定点43,5).

7-5=0[y=5

对于直线人入一。2y+3。2—5=0,可变形为(x—5)—/(y—3)=0.

x-5=0fx=5

令，八，解得力所以直线4恒过定点8(5,3).

因为/'1+(-/卜1=0,所以4_L*已知力(3,5),8(5,3),则中点坐标为(等，言)=(4,4).

|/1^|=7(5-3)2+(3-5)2=74+4=272,所以半径斗=g|/8|=五.

则点P的轨迹是以力〃为宜径的圆的一部分，故点尸的轨迹为(x-4)2+(y-4『=2(x>3jW5),

已知圆X2+产=2的圆心。(0,0),半径々=正，则圆心。(0,0)与点尸轨迹圆的圆心(4,4)的距离为

\OC1=7(4-0)2+(4-0)2=J16+16=4右.

I0。I的最大值为圆心加上两圆半径，即I尸01n1ax=4&+后+加=6&•

由于轨迹不包含点(3,3),故不存在最小值.

故选:A.

8.B

【详解】设直线/：y=；x+/〃(〃-0),4(再,乂)，8(工2，为)，

1

y=­x+m

2

由“得x?+2nix+2m'-4=0.

A=4/H2-8W2+16>0，…「

由，八，解得-2Vm<0或0</〃<2,

mH0.

2

则马+x2=-2m,x1x2=2m-4,

依题意，因为P恰好在椭圆上，所以21与心的斜率一定存在，所以呜,

设直线HI与配的斜率分别为心内，因为用二2・1,内=黑，

乂7।%T_(必-1)(0一2)+(8—1)(内一2)

所以4+&

&-2占-2(X)-2)(X2-2)

c11

又必=5$+加，必=^9+加，

所以（凶一1）（凡一2）+（必一1）（芭-2）=匕石+加一1-^x2+w-lj(xt-2)

2

=Xx2+(/M-2)(X1+X2)—4(m-l)=2/W-4+(w-2)(-2/w)-4(/n-l)=0,

又tana=A\,tan/?=k2=>tana+tan/?=0,BPtanc?=-tan^?=tan(n-/?),

则a+夕=兀，所以sin°+'=sin—=.

442

故选：B

9.BCD

〃?一1>0

【详解】对于A选项，若。为椭圆，则<3-m>（）n〃?£（l,2）52,3）,A不正确;

〃？一1二3—m

对干B选项，若C为双曲线，等价于（阳-。（3-〃?）<0,即〃>3或m<1,B正确;

对干C选项，当〃?w（l,2）时，椭圆长轴长2a=213>2,

当阳42,3）时，椭圆长轴长2a=2〃m>2,C正确；

对于D选项，若。为焦点在工轴上的双曲线，则%八，解得加>3,

双曲线C的离心率为6=互运=^^^^1=£二二<夜，

ayJm-1Vm-\

且双曲线的离心率e>l,故D正确.

故选：BCD.

10.AD

【详解】圆C：（X+2）2+/=4,圆心。（—2,0）,半径r=2,

直线mx-y+m+1=0过定点M（-1,1）,|CM|=V2,

对选项A：（7+2了+12=2<4,点〃在圆内，故直线与圆一定相交，正确;

对选项B：当力4过圆心时，MM最大为4,错误；

对选项C：圆。上点到直线/距离的最大值为|CM|+/•=拒+2,错误:

对选项D：直线/：x-y+2=0,圆心在直线上，1<广，

故圆。上存在四个点到直线/的距离为I,正确；

故选:AD

II.BC

【详解】当xNO,y>0时,曲线C：V=4』+4,gpc：^--x2*4=l；

4

当工20,歹<0时，曲线。:一_/=4./+4,即。：片+./=一1不存在；

4

当rWO,歹之。时，曲线C:/=-4/+4,即C：zi+%2=1；

4

当；<0,yRO时，曲线C:-y2=—4x?+4,即。：/_仁=],

2

对于A：满足1。8|-|。*=4条件的曲线是双曲线匕——=1的下支,

4

该双曲线的下支与曲线。是没有交点的，

所以不存在曲线C上的点人使得|P8|一|尸川二4成立，故A错误；

对于B：一三象限曲线的渐近线方程为J，=2x,

则直线），=2x与曲线C没有交点，故B正确；

对于C：设过点（一2,0）的直线/:汗=小一2,三个交点，显然m>0.

x=my-2rz

联立"，=>+1）>,2-16wv+12=0=>A）=0=>w=——=>,

x=my-2r-

联立+1-20=0=>A,=()=>〃？=——=>ky=—=—yf5；

广2।-2-m5

-----x=1

4

直线/与曲线c有三个不同的交点，则直线/斜率的取值范围是q，々一，c正确;

对干D：设。（%,为），由点到直线距离公式得：|°必|=2%小,31=2”"

“5y/5

所以10Ml•|0NJ?工儿1小阂.

因为点。是曲线C上在第三象限内的一点，则有片-9=1,

所以12Ml='，故D错误,

故选:BC.

12.0

【洋解】由题意可得2a+2a=0,解得。=0.

故答案为：0.

3立Q

【详解】解：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为£+4=1（〃〉/>>0）,

a'b'

2c=4

3?(-2后

由题意，有+—庐=］，解得。2=36,b2=32，

a2=b2+c2

所以椭圆的标准方程为1+4=1,

3632

故答案为：白+白=1.

3052.

14.叵土乐

1515

【详解】不妨设M为第一象限的点，片为左焦点,

设椭圆的长半轴长为q，双曲线的实半轴长为的，

则根据椭圆及双曲线的定义可得|必耳卜|河引一24,

\MF{\-\MF2\=2a2f所以|町|=%+电，网=4一出，

|^|=2c,在△，“［鸟中，cosZFW^=1,

22

由余弦定理得4c2=(«1+a2)+(a,-a,)-2(ax+a2)(^-a2)cos£FMF2,

化简得3a；+5a；=8c二，即之+乡=8.

e\e2

所以3+3=822序，从而_L«等，

e「e；ye\e\ee215

当且仅当2=3,且2+3=8,即《=立，e,=好时等号成立.

q62e、5।2-2

故答案为：勺叵

15

15.3%一y一16=0和x+y—11=0

__3

x+y-1=0X~4

【详解】解：联立方程组？/八，解得I.

3x-y+4=07

I,

所以平行四边形力8。的顶点.

k44；

设“/，%)，由题意知点”(3,3)是线段的中点，

3

工3

2

所以

7

―^=3

2

_27

%—4(2717A

解得3所以C彳彳

卜。=彳

由已知，得直线4。的斜率3。=3,因为3。与40平行，

17(27、

所以直线8C的方程为)，-二=3A--,即3x-y-16=0

44)

由已知，得直线力4的斜率因为CO与48平行，

所以直线CD的方程为y=—卜一?)，即x+V-11=0

故这个平行四边其它两边所在直线的方程是3x7-16=0和x+y-11=0

22

三一匕=1

16.(1)/=i6x；(2)94~

4

【详解】(1)因为尸到其焦点的距离为5,根据定义,到准线距离也为5,

抛物线的准线方程为x=-4,

故尸=8，则抛物线方程为贯=16〉.

(2)由题意设双曲线方程为工-±=

91617

因为双曲线经过点卜3,2回,所以人故入：,

所以双曲线标准方程为工-仁=二，

9164

厂尸-1

即24

4

17.⑴？+j?=l

⑵x=y+l或x=_y+i

【详解】(1)由题可知，267=4,。=2,

又e=£=且，且/=/+。2,解得c=JJ,b=l,

a2

则椭圆。的方程为E+/=l.

4

⑵法一：①当直线/斜率为0时:\AB\=2a=4,不符合题意.

②当直线/斜率不为0时，设直线/方程为1=)+1,

联立济；.4=0,得…八2i0,A>0,

—2/

必

设8（々,%）则

必必=后

由题意，M8|=JiT7J（M+%）2_4y跖=三五,

即占份内]技解得,="

故直线/的方程为：x=y+1或,1=）+1.

法二：①当直线/斜率不存在时，|力司=G,不符合题意.

②没直线/方程为y=£（x-l）,

联立,得（4〃2+1卜2-8公工+4户—4=0,△＞（）,

厂+4广-4=0、

8k?

1-4公+1

设，4（*，必）*（々,必），则，

U2-4

、用二诉7

由|/出|二一yfl,得J1+&-J（X[+占）—4工/2=—>/2

55

即舟5时=9'解得』L

故直线/的方程为y=x-i或y=-x+L

is.⑴冬

喑

⑶*

【详解】（1）双曲线x2-E=l的左顶点为彳（-1,0）,故心=丰4=2,

b'Hl

则由双曲线的一条渐近线与直线AP垂直可知-2=-〃=-?.则〃=!.

a24

故双曲线方程为/-4/=1,其离心率为c45;

e=-=------=—

a12

（2）由⑴得。=@^二§

vMF]MF2=0,MF、±MF2,设MFX=m,MF2=n,

则在RLM4鸟中，有〃/+=（2c）2=5,

2

又由双曲线的定义,可得仙-=m+〃2_2mn=4a2-4,

解得=；，则］%尸,=-〃?〃=7,

21224

乂工侬=小用口=争加=;,解得风1=*，

••.M点到x轴的距离为立；

10

（3）因人（岑