2025年中考数学二轮培优重难点题型分类练习专题09 因动点产生的相似三角形问题（解析版）

专题09因动点产生的相似三角形问题（解析版）通用的解题思路：第一类：设点法，当三角形的边长能用距离公式、铅垂高、水平宽表示出来时，一般采用设点法，先设点，再表示出边长，然后再用对应线段成比例来列出比例方程求出设点法中所包含的参数值；第二类：求点法，当三角形的边长不好用距离公式、铅垂高、水平宽表示出来时，一般采用数形结合的方法，根据平行、垂直、对称等位置关系，求出动点所在的直线方程，再与二次函数解析式联立，求出符合条件的交点。第Ⅰ类：设点法1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为，已知点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点，交于点，交于点．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点在直线上方时，请用含的代数式表示的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）四边形是矩形，点坐标为，点的坐标是，点和点在抛物线上，，，该抛物线的解析式为：；（2），解得或0，抛物线与直线的交点为，，，点在直线上方时，的取值范围是：，，，轴交抛物线于点，交于点，，，，（3）抛物线的解析式为：；设点，，，，，，，，以、、为顶点的三角形与相似且，，，，，或（舍，即：。2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线的对称轴是直线且经过、两点，与轴的另一交点为点．（1）①直接写出点的坐标；②求抛物线解析式．（2）若点为直线上方的抛物线上的一点，连接，．求的面积的最大值，并求出此时点的坐标．（3）抛物线上是否存在点，过点作垂直轴于点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）①当时，，当时，，，，由抛物线的对称性可知：点与点关于对称，点的坐标为．②抛物线过，，可设抛物线解析式为，又抛物线过点，，．（2）设．过点作轴交于点，，，，，当时，的面积有最大值是4，此时．（3），，，，，轴，若以点、、为顶点的三角形与相似，则，，设，，①，，，，②，，，，综上所述：存在，，，，使得以点、、为顶点的三角形与相似．3．（雅礼）已知二次函数图象的顶点坐标为，且与轴交于点，点坐标为，点为抛物线上一动点，以为圆心，为半径的圆交轴于，两点在的左侧）．（1）求此二次函数的表达式；（2）当点在抛物线上运动时，弦的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不发生变化，求出弦的长；（3）当与相似时，求出点的坐标．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为．将代入得：，解得，抛物线的解析式为．（2）的长不发生变化．理由：如图1所示，过点作轴，垂足为，连接、．设点的坐标为，．，．，．．．不发生变化．（3）如图2所示：①当点与点重合时．经过点，为圆的直径．．点，．②如图3所示：，，即．设，则，解得：，（舍去），又点，．点的坐标为，．如图4所示：，．设，则，解得：，（舍去）．又点，．点的坐标为，．4．（2018•长沙中考）如图，在平面直角坐标系中，函数为常数，，的图象经过点和，直线与轴，轴分别交于，两点，点是该函数图象上的一个动点，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为，．（1）求的度数；（2）当，时，存在点使得，求此时点的坐标；（3）当时，矩形与的重叠部分的面积能否等于4.1？请说明你的理由．【解答】解：（1）设直线的解析式为，则有，解得，，令，得到，，令，得到，，，，．（2）设，，，，当时，，，，，，，，，，，，，或2，当时，，，，，（舍弃），当时，，，，，成立，．（3）不存在．理由如下：当时，，，设，的解析式为：，的解析式为，①当时，如图1中，，，，，化简得到：，△，没有实数根．②当时，如图2中，，不存在，③当时，如图3中，，不存在，综上所述，不存在．5．如图，已知抛物线与直线交于，两点，交轴于、两点，连接、，已知，．（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴上找一点，使的值最大，并求出这个最大值；（3）点为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将，代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式是；（2）由抛物线的对称性可知，点与点关于对称轴对称，对上任意一点有，联立方程组，解得（不符合题意，舍），，，当点，，共线时，取最大值，即为的长，过点作轴于点，在中，由勾股定理，得，取最大值为；（3）存在点使得以，，为顶点的三角形与相似，在中，，，在中，，，，过点作轴于点，，设点坐标为，①当时，，，，，，即，，解得，（舍去），点的纵坐标为，，②当时，，，，，，即，，解得（舍去），（舍去）此时无符合条件的点，综上所述，存在点．第Ⅱ类：求点法6．（雅礼）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为，点的坐标为．（1）求抛物线的解析式；（2）图1中，点为抛物线上的动点，且位于第二象限，过，两点作直线交轴于点，交直线于点．是否存在这样的直线：以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出这样的直线的解析式；若不存在，请说明理由．（3）图2中，点和点关于抛物线的对称轴对称，点在抛物线上，且，求点的横坐标．【解答】解：（1）抛物线过，，，解得：，函数解析式为：；（2）存在直线使得以，，为顶点的三角形与相似，当时，以，，为顶点的三角形与相似，，在和中，，△，，解，得：（不符合题意，舍去），，，，由，的坐标得，直线的解析式为：；（3）连接，，作交于，抛物线对称轴为直线：，，，，，，，，，，，，，，，或，当，如图：由点、的坐标得，直线解析式为：，解方程，解得：或3（舍去），的横坐标为；当，如图：同理可得，直线解析式为：，解方程，解得：（舍去）或，的横坐标为， 综上所述：的横坐标为或．7．（广益）如图，在平面直角坐标系中，一次函数为常数）与函数为常数，，交于，两点在右侧），与轴，轴分别交于，两点．（1）求的值；（2）如图1，若点的坐标为，在轴上是否存在点，使与相似，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图2，将直线平移到直线，其中点为，点在轴上，连接，若且，求的值．【解答】解：（1）对，令，则，令，则，，，由题意可得，，；（2）存在，在和上，，，解得，，，直线的解析式为，反比例函数的解析式为，解方程组得：，，，若与相似，由于为公共角，则有两种情况：①时，如图，满足与相似，此时，，即；②当时，如图，满足与相似，此时，，，，解得，，即点；综上所述，或，；（3）由题意可得平移后的直线解析式为，，，，过点作于，过点作轴于点，过点作于点，如图，则四边形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，由于，都在双曲线上，，解得，，．8．（郡维）如图，抛物线与轴交于，两点，点，分别位于原点的左、右两侧，，过点的直线与轴正半轴和抛物线的交点分别为，，．（1）求，的值；（2）求直线的函数解析式；（3）点在抛物线的对称轴上且在轴下方，点在射线上．当与相似时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．【解答】解：（1），点，点，抛物线解析式为：，，；（2）如图1，过点作于，，，，，，，点横坐标为，点坐标为，，设直线的函数解析式为：，由题意可得：，解得：，直线的函数解析式为；（3）点，点，点，，，，，对称轴为直线，直线与轴交于点，点，，，，如图2，过点作于，，，，，如图，设对称轴与轴的交点为，即点，若，，，，，当，，，点，；当，，，点，；若，，，当，，，点，；当，，，点，；综上所述：满足条件的点的坐标为，或，或，或，．9．如图，已知抛物线与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，，直线过、两点，点为线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线与轴正半轴交于点，设点的横坐标为，四边形的面积为，请写出与的函数关系式，并判断是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值；并写出此时点的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）连接，是否存在点，使得和相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）当时，有，解得：，，点的坐标为．当时，，点的坐标为．，，解得：，抛物线的解析式为．（2）点的坐标为，点的坐标为，直线的解析式为．点的横坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，（如图．点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，，，，．，当时，取最大值，最大值为18，此时点的坐标为，与的函数关系式为，存在最大值，最大值为18，此时点的坐标为．（3），，若要和相似，只需或（如图．设点的坐标为，则点的坐标为，，．①当时，，，，为等腰直角三角形．，即，解得：（舍去），，点的坐标为；②当时，点的纵坐标为4，，解得：，（舍去），点的坐标为．综上所述：存在点，使得和相似，此时点的坐标为或．10．如图，已知抛物线为常数，且与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为．（1）若点的横坐标为，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限的抛物线上有点，使得以，，为顶点的三角形与相似，求的值；（3）在（1）的条件下，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止．当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？【解答】解：（1）抛物线，令，解得或，，．直线经过点，，解得，直线解析式为：．当时，，，．点，在抛物线上，，．抛物线的函数表达式为：．即；（2）由抛物线解析式，令，得，，．因为点在第一象限内的抛物线上，所以为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是或．①若，则有，如答图所示．设，过点作轴于点，则，．，即：，．，代入抛物线解析式，得，整理得：，解得：或（与点重合，舍去），．，，即，解得：；②若，则有，如答图所示．设，过点作轴于点，则，．，即：，．，代入抛物线解析式，得，整理得：，解得：或（与点重合，舍去），．，，，解得，，，综上所述，或．（3）如答图3，由（1）知：，，如答图，过点作轴于点，则，，，，．过点作轴，则．过点作于点，则．由题意，动点运动的路径为折线，运动时间：，，即运动的时间值等于折线的长度值．由垂线段最短可知，折线的长度的最小值为与轴之间的垂线段．过点作于点，则，与直线的交点，即为所求之点．点横坐标为，直线解析式为：，，，．综上所述，当点坐标为，时，点在整个运动过程中用时最少．11．已知，如图（a），抛物线经过点，，，，，其顶点为．以为直径的交轴于点、，过点作的切线交轴于点．，．（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；（2）连接、，在（1）中的抛物线上是否存在一点，使得与相似（除去全等这一情况）？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图（b），点为上的动点不与、重合），连接交轴于点，问：是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）圆的半径．如答图1，连接，是切线，．在中，，，，，，，．点、的坐标分别为、．抛物线过、两