江西省赣州市十八县（市、区）二十四校2025-2026学年高二年级上册期中联考数学试题（含解析）

江西省赣州市十八（市、区）二十四校2025-2026学年高二上学期第54次

期中联考数学试题

一、单选题

1.已知空间四点48,C,。，则厉+而一丽=（）

A.0B.ABC.BAO.~BD

2.直线/：x+y+4=0与圆M：（x-l）2+（y+［）2=7的位置关系是（）

A.相交B.相切C.相离D.无法确定

3.已知耳巴分别是双曲线C：2（=l的左、右焦点，P是C上一点，且阀|=6|明，则陷卜（）

A.5B.4C.3D.2

4.在空间直角坐标系0-》产中，点4到xQy平面的距离为1,到歹Oz平面的距离为2,至此d平面的距离

为3.则以。/为直径的球的表面积为（）

A.12nB.14兀C.16nD.567c

5.在正三棱锥尸-48。中，沟•方二［画］网,£/分别是尸4P3的中点，则〈而，所>=（）

57r7t2兀n

A.—B.-C.—D.一

6633

6.若抛物线G：/=4x与抛物线g关于直线y=x+l对称，则G的焦点坐标为（）

A.（-2,2）B.（―2,3）C.（-1,3）D.（-1,2）

7.已知48分别是椭圆C：W+g=l（a>b>0）的左、右顶点，点P（。+4c,4c）满足/力尸8=15',则C的离

a'b~

心率为（）

A百+1R>/2+1rV3+1n>/2+1

2244

8.已知圆,“•（-3）2+（y—4）2=4.点4（/0）.8（-。,0）（。>0）,在圆M上存在点P.使得N/PA为钝角.

则。的取值范围为（）

A.（2,+旬B.（3,+3）C.（4,+功D.（5,+3）

二、多选题

9.已知直线/1：ax+y-3=0,4：x—2y+3=0/：x+V—6=0,则下列判断正确的是（）

A.，2在X轴上的截距为3

B.若/1〃4，则。=-g

C.若…,则。=2

D.若/1,44相交于一点，则。=一1

10.在正四棱台48C。-44GA中，48=344=3,贝ij（）

A.而和3函是相等向量

B.ABA^=0

C.向量Nd在向量而上的投影向量为g方

ULMJ一-

D.向量力G在向量4瓦上的投影数量为2

11.如图，在等腰梯形/伙7）中..48〃CZ）,CZ）=248,4。=乎.48芭为线段力。上的一点.以九8为顶点

34F6

的双曲线”经过点E,且】V签则M的离心率可能为（）

4AC7

三、填空题

12.在空间直角坐标系O-.qz中，点4（-1.0.2）,8（2.1.加）.|48|为整数.则|力用的最小值为.

13.某理发店的镜子如图1所示，它的平面图是一个离心率为1的椭圆被一条横线截去一小部分后剩下的

图形，如图2所示.已知该镜子的宽度为6dm.底部的宽度为3.6dm.则该镜子的高度为dm.

14.在三棱柱48C-481G中，=企,彳。=2或,/4=3,/444力C=2,/C44]=巴,"4C的外心为

43

。，则4。的长为.

四、解答题

15.已知圆A/的圆心在直线歹=-；》上，且圆〃过(2,1)和(1,0)两点.

(1)求圆历的标准方程；

(2)求圆时与圆O:/+尸=5的公共弦长.

16.已知双曲线C：2〃Y+W+])y2=]

(1)求〃?的取值范围.

(2)已知C的渐近线方程为y=土瓜.

①求机的值；

②若过点61,3)的直线/与。交于48两点.且2为的中点，求/的斜率.

17.已知直线/：e+3)x+(q-l)y-4〃=0,圆M：/+(y-1了=1.

(1)证明：/过定点(1,3).

(2)若/与圆A/相切，求/的方程.

(3)若点(〃?,〃)在圆M上，求〃/+“2一2〃?-6〃+10的取值范围.

18.己知产是抛物线。：/=20，(〃>0)的焦点，P为C上一个动点，且|P「|的最小值为2.

⑴求P;

(2)若。为坐标原点，/尸尸。=多求|叫

TT

(3)已知直线4的倾斜角与直线4的倾斜角之差为14,均经过£4与。交于48两点，,2与。交于"，N两

点，且陷=2|加犯求4的方程.

19.以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫作椭圆的“辅助圆”.己知椭圆C:5+£=1(。＞力＞0)的焦距为

26，短轴长为2.

(1)求。及C的辅助圆的方程.

(2)已知与y轴平行，且不经过原点O的直线OE与C及C的辅助圆分别交于。,9两点(。,上均在同一个象

限)，过E作。的辅助圆的切线与X轴交于点尸，且直线的斜率为A,记△OE”的面积为S,证明：

S=4|M.

(3)已知斜率不为0,且不经过原点。的直线/与。交于48两点，判断在C的辅助圆上是否存在点P,使得

四边形。力P4是平行四边形.若存在，求△。力8面积的最大值：若不存在，说明理由.

参考答案

题号12345678910

答案CCDBCDCBBCBCD

题号11

答案BCD

1.C

【详解】依题意.75A+CD-CB=75A+HD=RA.

故选:C

2.C

【详解】由M:(x—l)2+(y+l)2=7,得〃(1,一1),/.=近，

圆心M1)到/的距离d="二"4=＞J7,即4＞厂，

VI-+1-

所以/与圆例的位置关系是相离.

故选：C

3.D

【详解】由题意得楣二除L10,得陶=2.

故选：D

4.B

【详解】在空间直角坐标系。-个z中，设点/(x,y,z),

因为点力到xOy平面的距离为1,到y。平面的距离为2,到zQr平面的距离为3：

所以忖=1,国=2,|引=3,

则以OA为直径的球的半径为正+工2=汇+32+12=近，

RJ2A=

2222

所以该球的表面积为5=4万&2=4%(半)=14乃.

故选：B

5.C

【详解】由西.而=|⑸||而gs＜而，而)=而||而

所以cosv玩方＞=；,由于伊，而闫()H，所以＜瓦而＞=]

在正三棱锥中，"=P8,则三角形尸月8是等边三角形，

E,F分别是P4,P8中点,所以EF//AB,

所以NP/花=三，所以＜而，而＞=兀一3=§.

333

6.D

【详解】由题意得G：V=4工的焦点为(1,0),

设(1,0)关于直线y=x+1的对称点为(。力)，

b。+1,

~2~2+，\a=T，

则』得入今

b.b=2.

----=-1,

〃一1

故G的焦点坐标为(-1,2).

故选：D

7.C

【详解】过。作也垂直于x轴，垂足为。.

由于P(a+2c,2c),所以忸0|=\PQ\=2%NBPQ=45°,

则/APQ=/BPQ+ZAPB=60’.

在RC/1P。中，由tan/Z〃Q=联，得券竺二百，

甲2|4c

—出一1=^~^=四

2c2ca2（6-1）4,

故选：C

8.B

【详解】如图，设圆当圆加上存在一点在圆。内时，/4P8为钝角,

所以点尸在圆。内，等价于圆。与圆M相交，内切或内含,

a+2>\OM\=y/32+42=5,得。>3.

【详解】选项A：令4中），=0,得x=-3,故4在x轴上的截距为-3,A错误.

4斜率为斜率为:，若川化，则-4=g,解得。=-；，B正确.

选项B：

若则-〃xg=T,解得。=2,C正确.

选项C：

x-2y+3=0

选项D：由，»；6=。解得、"=3,

所以，2与4的交点为（3,3）,代入4得%+3-3=0,解得［=0,D错误.

故选:BC

10.BCD

【详解】如图I,荏和3皿是相反向量，A错误.

根据正四楂台的性质可知而1丽;，则彳瓦彳万;=0,B正确.

设上.底面4与0。在下底面的射影为A2BZC2D2,

延长G4交于点上，连接GE,力C.

根据正四棱台的性质可知AB±CG，AB1EC2,

,/C£cEC2=G，GG，ECau平面EC©?，

AB1平面EC[C2;;EGu平面EGG,48J_EC],

・'•向量Nd在向量布上的投影向量为存.

VA2C2=0AC=372,AC?=2也,

则4方E=A泰C=32，.•・向量力uucu在向量而上的投影向量为力—£=§2—48,C正确.

向量游在向量丽上的投影数量为:祠=2,D正确.

故选:BCD

11.BCD

【详解】如图，以48的中点为原点，建立直角坐标系，如图所示，设

22

M:^7-Y7=l(a>O,/;>O),£(xo,yo),得4(一d0),8(d0),易得。(2〃,2〃)，

a'b~

则AC=(3a,2a\AE=(xQ+a,y()).

设儿=喋，贝lJ4E=(Xo+4，No)=，4C=(3〃/l,244),得/=3。义一。,为二2。义，

/iC

贝I]E(3a/l-a,2a2),将ZT(3a>l—a,2a/i),

代人”的方程，得⑶"[")’出生=1,得(32一1)2一丝二=1,

a~b“c2-a^

2o24/12,4,

.ie~=—r=—；----+1=----+1

则ma2922-62,、6.

因为函数/"）=广+1在上单调递减，

y—47

x

所以图二5,故GKB

故选：BCD.

12.4

【详解】\AB\=7(2+1)2+(1-0)2+(W-2)2=7(W-2)2+10>V10,

因为为整数，所以|4a的最小值为4.

故答案为：4

13.9

【详解】如图，以椭圆的中心为原点。，建立直角坐标系,

设椭圆的方程为，+/1（4>…），焦距为2c.

[2b=6,.

4=5,

4

由e=_r=£,得"=3,

a5

222

a=b+c…

所以椭圆的方程为匕+工=1.

259

当工=1.8时，^-+—=1,得歹=±4.

259

由图可知镜子的高度为4+5=9diii.

故答案为：9

设而=x而+yk,由题意知正万=g刘1正•正=；配：则

____________1_,_、______91

AOAB=-AB=xAB~+yAB-AC9x+6y=—x=-

2,得＜3

_____________[____2符।，

AO-AC=—AC=xAB-AC+yAC6x+8y=4尸w

因为市二常+彩=常+：而+；工,

所以丽|=+；而+；利

一行+!而」之+2而布+Rx+与左工

1916312162

故答案为：见.

2

15.(1)(X-3)2+(J，+1)2=5

⑵M

【详解】（1）设圆〃：（X-。）2+&-初2=产r>0）,

由题意得(2_a)2+(—)2=，,

(\-a)2+b2=r\

a=3,

得力=T

产=5,

所以圆M的标准方程为a-3）2+G+1）2=5.

（2）圆*-3）2+（y+l）2=5的圆心为M（3,-1）,半径为6,

圆产+尸=5的圆心为。（0,0）,半径为途,

圆心距|oM=Ww（0,2b），所以两圆相交.

由收-3）：+（y+l）2=5,两式相减得3》—尸5=0,

k+y2=5

则圆”与圆O的公共弦所在直线的方程为3x-y-5=0.

因为点。到直线3x-j，-5=0的距离d=4L=坐,

V32+l22

所以圆历与圆O的公共弦长为215-小=710.

16.⑴(TO)

12

(2)©^=--；©-

【详解】(1)由题意得2〃?(〃?+1)<0,

得-1<小<0,所以机的取值范围为(-1,0).

______£_

(2)①由一lvm<0,得+1>0,则1__1_

mI12m

所以。的渐近线方程为y=±岑Lr=±0x,得加=总

②由①得C：'—』=1.设/（司,）|）,8（0,歹2），则为+占=2又1=2,必+为=2乂3=6.

-^-x；=1,

2-

得%K-（x"¥）=（"一%?"+%）_（$_马）（而+/）=0,得3（必-必）-26-%）=0,

得九二&=[,所以/的斜率为

Xi-x233

因为P在C上支的上侧，/的斜率；＜0,所以/与C必定相交于两点.

笫（2）②问还可以这样解答：

由①得。：[一/=1易知/的斜率必定存在，设/：y=MX—1）+3,4（*,必）*（々，力）.

y=%（.1）+3,

由，V2得（r-2卜2+（6"-2公）》+公-6"+7=0,

『2=1,

得耳+工2==2x1,解得A=].

此时△=（6攵一242『一4（/一2）伊一6彳+7）＞0,所以/的斜率为|.

17.(1)证明见解析

(2)x=1或3x-4y+9=0

⑶(6-2百,6+2逐］

【详解】（1）由题意得/：（x+y—4"+3x-j，=0.

x+y-4=0,

由＜

3x-y=0,

得所以/过定点（1,3）.

J=3,

（2）法一：

由题意得圆M的圆心为（61）,半径为1.

,一]_4d得a=—或1.

由J(a+3)2+(q_])2

故/的方程为x=l或3x-4y+9=D.

法二：

由题意得圆M的网心为（0，1）,半径为1.

当/的斜率不存在时，直线x=l与圆M相切.

当,的斜率存在时，设/：y=A（x-l）+3,即/:h-y-"3=0.

|0-1一4+3|3

由।,1=1,得左==，则/：3x—4)，+9=0.

yJk2+124

故/的方程为x=l或3x-4y+9=0.

(.3)由题意得〃?2+〃2-2//Z-6,7+10=(ZW-1)2+(n-3)2,

(〃L1)2+(〃-3)2表示点4(〃[,〃)到点5(1,3)的距离的平方.

因为二J(0_1)2+(1-3)2=y/s,

所以|历8卜1=有-1引"同服用+1=有+1.

故6-2A|/18|2=(〃?-])2+(〃-3)2W6+2B

即阳2+〃2__6〃+10的取值范围为[6-26,6+2后].

x

18.（1）P=4

（2）M=8

（3）3x-y+2=0

【详解】（1）由抛物线的性质可知，当点?与点。重合时，|所|取得最小值，即;p=2,

解得〃=4；

（2）由（1）得尸（0,2）,抛物线。的准线方程为y=-2.

过点P作尸。，。尸，垂足为。.设。「|二%因/尸R9=与，则/尸产。=热得|尸3=2〃，

则点P的纵坐标为。+2,由抛物线定义得|P「|=2a=a+2+2,解得。=4,所以|尸尸|=8.

JTIT

⑶设4的倾斜角为易得亭，斜率.tana,则4的倾斜角为夕=%,

tana+1_k+\

其斜率k=tan/?=tana+—

2I-tana\-k

设点力（E,必）,6（七,必）,易得h：y=kx+2.

xy=-k8x+,2消元得-16=。,贝叫X]+x=*k,

由，2

xyx2=-16,

于是，|力用=必+必+P=上（玉+戈2）+8=8仰+1）.

以合代4,得|网=8（6+1）=8［（得j+1卜需》

由»8|=2|"N|,可得8（4+］）=2x：f；P，解得％=-1或左=3.

当斤=-1时，a=y,^=n,又/?e［0,兀），所以R=-l不符合题意，

故4的方程为V=3x+2,即3x—y+2=0.

1，八9.(八1)——+)厂2=1,X-2+>'2=4”

4

(2)证明见解析

(3)存在，最大值为1

【详解】(1)设C的焦距为设,叫助=2,得件1,

/=〃+/,。=2,

2

所以。的方程为二+/=],

4-

C的辅助圆的方程为/+/=4.

(2)方法一：证明：设。小,为)，直线OE与x轴交于点G,则£(,%，%)，左二%.

由忤+"，得%=2%.

,xo+£=4,

\OF\\OE\..\OE\24

易证AOFES.OEG,则局=局，得阳=西=鬲，

所以S=；|0曰EG|=；X向、2闻=鬻=4|札

方法二：证明：不妨假设。,E均在第一象限或第二象限，设直线QE的方程为工二〃(-2<〃<0或0<〃<2),

由—+j4=l,“2+y；=4,得%=「，〃£="一/'得、=江="-〃,曝="一〃.

4V4n2/1n

直线E7:j=_"，+,令勿=_〃,+=0,得x=3.

\J4-n~，4一犷n

故S=L±J4-〃2=M±E=4k.

2nn

同理可证DE在第三象限或第四象限时,S=-4h故S=4阳