概率论与数理统计 教案 4.2协方差矩阵

理论2课时1.知识与技能目标(1)理解协方差、相关系数的概念及其性质并会计算、应用；(2)理解矩和协方差矩阵的定义及其意义；(3）掌握矩（特别是方差和标准差）的计算方法；（4)掌握协方差矩阵的计算及其在多维随机变量中的应用；能够计算相关系数并分析变量之间的相关性。2.能力与思维目标（1）使学生理解协方差与相关系数的含义，知道两者如何应用．（2）提高学生对随机变量数字特征的抽象思维能力；（3)培养学生利用矩和协方差矩阵分析实际问题的能力；(4)提升学生对多维随机变量相关性分析的逻辑推理能力。3.情感态度与价值观目标（1）通过具体的例子，让学生体会到协方差与相关系数来源于实践又服务于实践；（2）培养学生运用协方差与相关系数解决实际问题的能力，从而增强其学习本课程的兴趣．激发学生对概率统计知识的兴趣，认识到其在实际问题中的重要性；（3）培养学生严谨的科学态度和团队合作精神；（4）引导学生关注概率统计在工程、经济、科学等领域的应用。（1）协方差与相关系数的概念；（2）协方差与相关系数的计算．（3）矩的概念与计算；（4）协方差矩阵的概念与计算．处理措施：讲解、举例、练习、讨论．协方差与相关系数的概念、协方差与相关系数的计算．高阶矩的理解、协方差矩阵的性质．处理措施：举例、练习．思政元素融入人导入（共10分钟）提出一个生活中的实际问题：

情境：学生成绩的“联动作弊”疑云数据

（虚构但贴近学生实际）5：学生数学成绩变化物理成绩变化小明+8+6小蓝-5+3小红+10-2提问：方差能否解释小明数学进步时物理也进步的现象？如何量化描述“两科成绩是否同升同降”？学生发现

：方差仅衡量单科波动，无法捕捉联动性思考回答新课(70分钟)1.协方差2.相关系数3.协方差4.维正态分布定义4.3.1设是一个二维随机变量，若存在，则称其为与的协方差，记为．即从协方差的定义可以看出，它是的偏差“”与的偏差“”乘积的数学期望．由于偏差可正可负，故协方差也可正可负，也可为零．其具体表现如下：(1)当时，称与正相关，这时两个偏差与同时增加或同时减少．因为与都是常数，故等价于与同时增加或同时减少，这就是正相关的含义．(2)当时，称与负相关，这时增加而减少，或增加而减少，这就是负相关的含义．(3)当时，称与不相关．定理4.3.1．例4.3.1设二维随机变量的联合分布列为：求协方差．定理4.3.2若与相互独立，则，反之不然．定理4.3.3对任意二维随机变量，有．性质1协方差的计算与，的次序无关，即．性质2任意随机变量与常数的协方差为零，即．性质3对任意常数，，有．性质4设，，是任意三个随机变量，则．协方差是有量纲的量，它的量纲等于随机变量与的量纲的乘积．为了消除量纲的影响，现对协方差除以相同的量纲，就得到一个新的概念——相关系数，其定义如下：定义4.3.2设是一个二维随机变量，且，，则称为与的(线性)相关系数．相关系数的另一个解释是：它是相应标准化变量的协方差．若记，，则有．为了研究相关系数的性质，需要如下引理．引理4.3.1(施瓦茨(Schwarz)不等式)对任意二维随机变量若与的方差都存在，则有．性质1．性质2的充要条件是与间几乎处处有线性关系，即存在与，使得．其中当时，有；当时，有．随机变量的相关系数实质上只是表示随机变量之间的线性相关性．随机变量之间的线性相关性就是：当一个变量增大时另一个变量按线性关系增大()或减小()的趋势．当相关系数越接近或时，这种趋势就越明显．性质3设随机变量与独立，则．与协方差一样，由随机变量的相关系数等于零，不能推断它们是独立的．仍以例4.3.1为例，因为，所以相关系数．但正如前面指出的，随机变量与并不独立．我们还可进一步指出，由与的边缘分布容易看出，与之间存在着函数关系(不过不是线性函数关系)：．由此可见，相关系数仅表明与之间不存在线性相关关系而已．例4.3.2设随机变量的概率密度函数为求，和．定义4.4.1设与是随机变量.若存在，则称它为的阶原点矩，简称阶矩.若存在，则称它为的阶中心矩若存在，则称它为和的阶混合矩.若存在，则称它为和的阶混合中心矩.当为离散型随机变量，其分布律为时，有当为连续型随机变量，其概率密度为时，有设维随机变量的阶混合中心矩都存在，则称矩阵为维随机变量的协方差矩阵.令，则的协方差矩阵为，二维随机变量的概率密度.设是维随机变量，令，定义维正态随机变量的概率密度为其中是的协方差矩阵.例4.4.1设随机变量的概率密度求随机变量的一阶至四阶原点矩和中心矩.例4.4.2随机变量服从二维正态分布，均值向量及协方差矩阵分别是求出密度函数的表达式性质1维随机变量服从n维正态分布的充要条件是的任意线性组合服从一维正态分布，其中不全为零.性质2设服从维正态分布，且是的线性函数，则服从维正态分布.性质3设服从维正态分布，则相互独立的充要条件是两两不相关.听讲思考为什么？思考听讲理解听讲思考为什么？听讲听讲听讲听讲思考为什么？思考听讲理解听讲听讲思考为什么？听讲思考听讲理解总结及课后拓展（共10分钟）总结：协方差与相关系数的概念与计算公式．协方差与相关系数的含义．协方差与相关系数的性质．矩、协方差矩阵的概念、计算公式、定义．维正态随机变量的性质课后拓展：综合作业听讲总结任务背景：大学生“日均学习时长”(X)与“就业起薪”(Y)的抽样结果：Cov(X,Y)=−0.7（单位：小时·千元）“学习越久工资越低？”分组讨论：设计控制变量方案（如专业类型、实习经历）；重新收集数据验证因果关系。人