2026届湖南省永州市祁阳一中数学高一下期末学业水平测试模拟试题含解析

2026届湖南省永州市祁阳一中数学高一下期末学业水平测试模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在中，角，，所对的边分别为，，，且边上的高为，则的最大值是（）A．8 B．6 C． D．42．记为实数中的最大数.若实数满足则的最大值为（）A． B．1 C． D．3．已知等差数列的前项和为，，，则使取得最大值时的值为()A．5 B．6 C．7 D．84．已知则的最小值是()A． B．4 C． D．55．设点是棱长为的正方体的棱的中点，点在面所在的平面内，若平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等，则点到点的最短距离是()A． B． C． D．6．设为实数，且，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．7．若某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径是（）A． B． C． D．8．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2aA．145 B．114 C．89．记等差数列前项和，如果已知的值，我们可以求得（）A．的值 B．的值 C．的值 D．的值10．下列命题正确的是（）A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱．B．有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱．C．绕直角三角形的一边旋转所形成的几何体叫圆锥．D．用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为．12．若一个圆锥的高和底面直径相等且它的体积为，则此圆锥的侧面积为______.13．已知等差数列中，首项，公差，前项和，则使有最小值的_________.14．若数列的前4项分别是，则它的一个通项公式是______.15．等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则其公比为_________．16．函数的定义域为__________；三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．设为等差数列的前项和，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）令，且数列的前项和为，求证：.18．已知向量,的夹角为,且,.(1)求；(2)求.19．在平面直角坐标系中，以轴为始边，作两个角，它们终边分别经过点和，其中,，且.（1）求的值；（2）求的值.20．已知⊙C经过点、两点，且圆心C在直线上.（1）求⊙C的方程；（2）若直线与⊙C总有公共点，求实数的取值范围.21．在△ABC中，a=3，b−c=2，cosB=．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B–C）的值．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】，这个形式很容易联想到余弦定理：cosA，①而条件中的“高”容易联想到面积，bcsinA，即a2＝2bcsinA，②将②代入①得：b2＋c2＝2bc(cosA＋sinA)，∴＝2(cosA＋sinA)＝4sin(A＋)，当A＝时取得最大值4，故选D．点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值.在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.2、B【解析】

先利用判别式法求出|x|,|y|,|z|的取值范围，再判断得解.【详解】因为，所以，整理得：，解得，所以，同理，.故选B【点睛】本题主要考查新定义和判别式法求范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3、D【解析】

由题意求得数列的通项公式为，令，解得，即可得到答案.【详解】由题意，根据等差数列的性质，可得，即又由，即，所以等差数列的公差为，又由，解得，所以数列的通项公式为，令，解得，所以使得取得最大值时的值为8，故选D.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的通项公式，以及前n项和最值问题，其中解答中熟记等差数列的性质和通项公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4、C【解析】

由题意结合均值不等式的结论即可求得的最小值，注意等号成立的条件.【详解】由题意可得：，当且仅当时等号成立.即的最小值是.故选：C.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．5、B【解析】

以为原点，为轴为轴为轴，建立空间直角坐标系，计算三个平面的法向量，根据夹角相等得到关系式：，再利用点到直线的距离公式得到答案.【详解】`以为原点，为轴为轴为轴，建立空间直角坐标系.则易知：平面的法向量为平面的法向量为设平面的法向量为：则，取平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等或看作平面的两条平行直线，到的距离.根据点到直线的距离公式得，点到点的最短距离都是：故答案为B【点睛】本题考查了空间直角坐标系，二面角，最短距离，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.6、C【解析】

本题首先可根据判断出项错误，然后令可判断出项和项错误，即可得出结果。【详解】因为，所以，故错；当时，，故错；当时，，故错，故选C。【点睛】本题考查不等式的基本性质，主要考查通过不等式性质与比较法来比较实数的大小，可借助取特殊值的方法来进行判断，是简单题。7、D【解析】

由扇形的弧长公式列方程得解.【详解】设扇形的半径是，由扇形的弧长公式得：，解得：故选D【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，考查了方程思想，属于基础题．8、B【解析】

由Sn=2an-2，可得Sn-1=2an-1-2两式相减可得公比的值，由S1=2a1-2=【详解】因为Sn=2a两式相减化简可得an公比q=a由S1=2a∵a则4×2m+n-2=64∴1当且仅当nm=9mn时取等号，此时∵m,n取整数，∴均值不等式等号条件取不到，则1m验证可得，当m=2,n=4时，1m+9【点睛】本题主要考查等比数列的定义与通项公式的应用以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.9、C【解析】

设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由a5+a21=2a1+24d的值为已知，再利用等差数列的求和公式，即可得出结论．【详解】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，∵已知a5+a21的值，∴2a1+24d的值为已知，∴a1+12d的值为已知，∵∴我们可以求得S25的值．故选：C．【点睛】本题考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．10、B【解析】

根据课本中的相关概念依次判断选项即可.【详解】对于A选项，几何体可以是棱台，满足有两个面平行，其余各面都是四边形，故选项不正确；对于B，根据课本中棱柱的概念得到是正确的；对于C，当绕直角三角形的斜边旋转时构成的几何体不是圆锥，故不正确；对于D，用平行于底面的平面截圆锥得到的剩余的几何体是棱台，故不正确.故答案为B.【点睛】这个题目考查了几何体的基本概念，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

由题意可得：该三棱锥的三条侧棱两两垂直，长都为，所以三棱锥的体积.考点：三棱锥的体积公式.12、【解析】

先由圆锥的体积公式求出圆锥的底面半径，再结合圆锥的侧面积公式求解即可.【详解】解：设圆锥的底面半径为，则圆锥的高为，母线长为，由圆锥的体积为，则，即，则此圆锥的侧面积为.故答案为：.【点睛】本题考查了圆锥的体积公式，重点考查了圆锥的侧面积公式，属基础题.13、或【解析】

求出，然后利用，求出的取值范围，即可得出使得有最小值的的值.【详解】，令，解得.因此，当或时，取得最小值.故答案为：或.【点睛】本题考查等差数列前项和的最小值求解，可以利用二次函数性质求前项和的最小值，也可以转化为数列所有非正数项相加，考查计算能力，属于中等题.14、【解析】

根据等比数列的定义即可判断出该数列是以为首项，为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式即可写出该数列的一个通项公式．【详解】解：∵，该数列是以为首项，为公比的等比数列，该数列的通项公式是：，故答案为：．【点睛】本题主要考查等比数列的定义以及等比数列的通项公式，属于基础题．15、【解析】试题分析：、、成等差数列考点：1．等差数列性质；2．等比数列通项公式16、【解析】

根据偶次被开方数大于等于零，分母不为零，列出不等式组，解出即可．【详解】依题意可得，，解得即，故函数的定义域为．故答案为：．【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，涉及三角不等式的解法，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），（2）见解析【解析】

(1)根据等差数列的通项公式得到结果；（2）根据第一问得到，由裂项求和得到结果.【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意得，，解得，，则，.（2）由得∴.【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。18、（1）1；（2）【解析】

（1）利用向量数量积的定义求解；（2）先求模长的平方，再进行开方可得.【详解】（1）•=||||cos60°=2×1×=1；（2）|+|2=（+）2=+2•+=4+2×1+1=7.所以|+|=.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的定义及向量模长的求解，一般地，求解向量模长时，先把模长平方，化为数量积运算进行求解.19、（1）；（2）.【解析】

(1)根据正弦的定义求得，再运用余弦的二倍角公式求解，(2)由(1)问可得、两点的坐标，从而再运用正切的和角公式求解.【详解】（1）由得：所以：（2）由则故因此.【点睛】本题考查三角函数的定义和余弦的二倍角公式和正切的和角公式，属于基础题.20、（1）（2）【解析】试题分析：(1)解法1：由题意利用待定系数法可得⊙C方程为.解法2：由题意结合几何关系确定圆心坐标和半径的长度可得⊙C的方程为.(2)解法1：利用圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到关系k的不等式，求解不等式可得.解法2：联立直线与圆的方程，结合可得.试题解析：（1）解法1：设圆的方程为，则，所以⊙C方程为.解法2：由于AB的中点为，，则线段AB的垂直平分线方程为而圆心C必为直线与直线的交点，由解得，即圆心，又半径为，故⊙C的方程为.（2）解法1：因为直线与⊙C总有公共点，则圆心到直线的距离不超过圆的半径，即，将其变形得，解得.解法2：由，因为直线与⊙C总有公共点，则，解得.点睛：判断直线与圆的位置关系