浙江省舟山市2025-2026学年高二第一学期期末检测数学试题

舟山市2025学年第一学期期末检测高二数学试题卷命题人：舟山绿城育华学校戴崇益、沈家门中学沃丰雷、白泉高中张晶审稿人：舟山教育学院张军朝注：请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．考试时间：120分钟．I卷选择题部分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.甲在一次考试中六门课程得分分别为：87，60，76，89，90，100．则此数据的极差为（）A.13 B.40 C.24 D.10【答案】B【解析】【分析】根据极差的定义即可求解.【详解】由题意，甲在一次考试中六门课程得分的最大值为100，最小值为60，所以极差为.故选：B2.已知直线，若，则的值为（）A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】根据两直线垂直的一般式的结论即可求解.【详解】由可知，解得.故选：A3.一个袋中有大小和质地都相同的4个球，其中有2个红色球，2个绿色球，现从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则“摸出的2个球颜色相同”的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用列举法结合古典概率公式即可求解.【详解】对2个红色球，2个绿色球依次编号为，从袋中不放回地依次随机摸两个球，共有共12种，两个球颜色相同的情况共有4种，则两个球颜色相同的概率.故选：D4.函数的导数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】方法1：利用复合函数的求导法则求导.方法2：转化为多项式函数的求导问题求解.【详解】方法1：.方法2：因为，所以.故选：A5.已知椭圆的左，右焦点分别为，且与抛物线的焦点重合，椭圆与抛物线准线的一个交点为，若，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.3【答案】C【解析】【分析】首先得出和的关系，然后求出点坐标，最后结合椭圆的定义列出关于的方程即可求解.【详解】对于抛物线，其焦点坐标为，准线方程为，由抛物线焦点与椭圆的右焦点重合可得，即，因为椭圆与抛物线准线的一个交点为，所以点的横坐标为，又，则点的横坐标为，所以，在中，，由可得，，由椭圆的定义可知，即，所以椭圆的离心率.故选：C6.已知数列为等差数列，且满足，数列满足，且数列的前项和，则数列的通项公式为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据数列的前项和，求数列的通项公式，再根据条件求，，结合数列为等差数列求数列的通项公式，即可得数列的通项公式.【详解】对数列，当时，，当时，，当时，上式也成立，所以.由，，所以，因为，令，可得.又因为数列为等差数列，所以，所以，所以.故选：D7.已知为抛物线上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则当最小时，四边形PACB的面积为（）A B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】先分析出，当最小时，最小.再求的最小值及对应四边形的面积即可.【详解】如图：因为，，当最大时，最大.即当最小，也就是最小时，最大，最小.设，因为.所以.所以当时，取得最小值，为.此时，四边形的面积为.故选：A8.双曲线的离心率，直线为该双曲线斜率为正的一条渐近线，已知为该双曲线右支上一动点，点为点关于直线的对称点，则到双曲线另一条渐近线距离的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先确定双曲线的相关参数.设，利用轴对称表示出，写出点到另一条渐近线的距离，再利用三角代换的方法求最小值.【详解】因为双曲线的离心率为，所以.所以斜率为正的渐近线：，另一条渐近线为.设，，因为为该双曲线右支上一动点，所以，由.所以到渐近线即的距离为：.又，可设，.所以，设，所以，所以.所以.即到双曲线另一条渐近线距离的最小值为.故选：C二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知等差数列的公差为，前项和为，则下列说法正确的有（）A.若，则数列一定是递增数列B.若，则C.一定是关于的二次函数D.若，则【答案】ABD【解析】【分析】根据等差数列的定义可判断A的真假，根据等差数列的通项公式求的值，可判断B的真假；根据时，数列的前项和的形式可判断C的真假；根据等差中项的求法求的值，可判断D的真假.【详解】对A：根据等差数列的概念，当时，等差数列一定是递增数列，故A正确；对B：若，则，故B正确；对C：当时，不是关于的二次函数，故C错误；对D：当时，，故D正确.故选：ABD10.已知圆与圆相交于A，B两个不同的点，则下列说法正确的是（）A.实数的取值范围为B.当时，两圆的公共弦长C.当时，D.若，则【答案】BC【解析】【分析】根据圆与圆的位置关系可判断A；根据公共弦方程以及弦长公式可判断B；根据公共弦方程，弦长公式以及面积公式可判断C；根据公共弦方程以及两三角形有公共底边得出可判断D.【详解】圆，圆心，半径，圆，配方得，圆心，半径，两圆相交，圆心距离，满足，即，解不等式，故A错误；当时，圆，两圆方程相减得公共弦方程为，圆心到直线的距离，所以公共弦长，故B正确；当时，圆圆心，半径，两圆方程相减得公共弦方程为,圆心到直线的距离，所以公共弦长，，故C正确；两圆方程相减得公共弦方程为，圆心到直线的距离，圆心到直线的距离，因为且两三角形有公共底，所以，即，解得或，故D错误.故选：BC11.已知动点到两定点，的距离乘积为定值2，的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（）A.动点的轨迹方程为：B.曲线C上存在点，使得C.曲线C上点的纵坐标的最大值为D.若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围为【答案】ACD【解析】【分析】设，根据两点间距离公式直接列式可判断A；令，将方程变形为，然后利用解不等式可判断B；将方程变形为，利用可判断C；首先证明原点是与曲线的一个公共点，然后由方程正数解可判断D；【详解】设，由题意可知，即，整理得：，故A正确；令，则代入得，即，所以，因为，则，又因为，所以，即，所以曲线上不存在点，使得，故B错误；由，令，则，解得，将变形为，因为是实数，所以，解得.所以曲线上点的纵坐标的最大值为，故C正确；将代入得，即，当时，是方程的一个解；当时，，即，解得，若直线与曲线恰有一个公共点，所以除原点外无其他公共点，即，解得或，的取值范围为，故D正确.故选：ACDII卷非择题部分三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.若事件A与事件B相互独立，且，则___________【答案】##【解析】【分析】根据独立事件的概率乘法公式求解.【详解】因为事件A与事件B相互独立，所以.故答案为：13.已知数列的通项公式，则此数列前项和的最大值和最小值之和为___________【答案】【解析】【分析】首先利用等比数列前项和公式求出，然后分析的符号和单调性即可求解.【详解】因为，所以，显然当为奇数时的必然大于为偶数时的，当为奇数时，，函数单调递增，所以当为奇数时，单调递减，故最大，且，，当为偶数时，，函数单调递减，所以当为偶数时，单调递增，故最小，且，，故的最大值和最小值之和为.故答案为：14.已知椭圆的离心率，左，右焦点分别为，点在椭圆上，且轴，为的内心，若，则___________．【答案】【解析】【分析】先根据离心率得出的关系，再用表示各点的坐标，利用列式，可求的值.【详解】如图：因为椭圆的离心率为，所以.又点在椭圆上，且轴，不妨设点在第一象限，则，即.所以.设的内切圆半径为，则.又.所以，所以，又，所以.故答案为：四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知圆，直线．（1）求证：不论为何值时直线恒过定点，并求出定点坐标；（2）（i）求证：直线与圆相交；（ii）求出截得弦长最短时直线的方程．【答案】（1）证明见解析，定点坐标为（2）（i）证明见解析（ii）【解析】【分析】（1）首先把直线变形为，然后解方程组即可得出定点坐标；（2）（i）只需利用点与圆的位置关系证明点在圆内即可；（ii）当直线时，弦长最短，根据垂直关系即可求出.【小问1详解】直线整理得，由解得，所以直线恒过.【小问2详解】（i）因为，所以点在圆内，所以直线与圆相交；（ii）由题意可知圆心当直线时，弦长最短，此时，即，解得，所以直线的方程为，即.16.某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分分分及以上为认知程度高，结果认知程度高的有人，按年龄分成组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有人．（1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第百分位数；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取人，担任本市的“中国梦”宣传使者．(ⅰ)若有甲年龄，乙年龄两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的宣传使者中，再随机抽取名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；(ⅱ)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，据此估计这人中岁所有人的年龄的方差．【答案】（1）3225，（2）(ⅰ)；(ⅱ)【解析】【分析】（1）利用百分位数的定义以及平均数的计算公式求解即可；（2）（ⅰ）根据频率分布直方图求出第一组频率，由此能求出第四组和第五组被抽到的使者，再利用古典概型公式求解即可．（ii）利用方差公式求解即可得到．【小问1详解】设这人的平均年龄为，则岁．因为，，所以第百分位数在第四组，设第百分位数为，则，解得．【小问2详解】由题意得，第四组应抽取人，记为，，，甲，第五组抽取人，记为，乙，对应的样本空间为：，，，甲，，乙，，，，甲，，乙，，，甲，，乙，，甲，乙，甲，，乙，，共个样本点，设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”，则，甲，，乙，，甲，，乙，，甲，，乙，甲，乙，甲，，乙，，共有个样本点，所以．(ⅱ)设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，则，，，，设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为．则，，因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为．据此，可估计这人中年龄在岁的所有人的年龄方差约为.17.已知函数．（1）若，求在处的切线方程；（2）讨论的单调性：（3）若在区间上存在极值，且此极值小于，求的取值范围．【答案】（1）（2）答案见解析（3）【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求函数在点处的切线.（2）求导，分，讨论导函数单调性.（3）结合（2）的结论，确定函数的极小值，在根据极小值的取值范围求的取值范围.【小问1详解】当时，，，所以，.所以在处切线方程为：，即.【小问2详解】因为，.所以.若，则在上恒成立，所以在上为减函数；若，由，由.所以在上为减函数，在上为增函数.综上，时，在上为减函数；时，在上为减函数，在上为增函数.【小问3详解】由（2）知：，即，此时函数在处取得极小值.由，由，结合，得.故的取值范围为.18.已知数列中，．（1）证明数列是等比数列，并求的通项公式；（2）数列满足，设为数列的前项和，求使恒成立的最大的整数．【答案】（1）证明见解析；.（2）0【解析】【分析】（1）根据等比数列的概念证明数列是等比数列，并求数列的通项公式.（2）先利用错位相减法求数列的前项和，分析的单调性，求的最小值，进而求最大的整数.【小问1详解】因为，且，所以数列是以为首项，以3为公比的等比数列.所以【小问2详解】由题意.所以，.两式相减得：.所以.由.所以，所以，由恒成立得，所以整数最大值为0.19.已知抛物线，点在上，为常数，，按照如下方式依次得到不同的点及：过点作斜率为的直线与交于点，过点作斜率为的直线与交于点．设直线交轴于点，直线交轴于点，记点的横坐标为．（1）若，求；（2）求证：数列为等差数列；（3）记的面积为，令求证：当时，．【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）代入求出，再求出相关直线，并将其与抛物线方程联立，求出交点坐标即可得到答案；（2）设坐标，