2025年湖南数学（理科）高起专真题试卷及答案

2025年湖南数学（理科）高起专练习题试卷及答案一、选择题（每小题5分，共25分）

1.若函数f(x)=x²2x+3在区间[1,3]上单调递增，则实数a的取值范围是（）

A.a≤0

B.0<a<2

C.2≤a≤4

D.a≥4

答案：D

解析：函数f(x)=x²2x+3的导数为f'(x)=2x2。要使函数在区间[1,3]上单调递增，导数f'(x)应大于0，即2x2>0。解得x>1。因为x的取值范围是[1,3]，所以a的取值范围是a≥4。

2.已知函数f(x)=log₂(x1)的定义域是（）

A.(∞,1]

B.[1,+∞)

C.(1,+∞)

D.(∞,1)

答案：C

解析：对数函数的定义域要求x1>0，即x>1。所以定义域是(1,+∞)。

3.若等差数列{an}的前n项和为Sn=2n²+n，则该数列的通项公式是（）

A.an=4n3

B.an=2n+1

C.an=2n1

D.an=4n+1

答案：A

解析：由等差数列前n项和公式Sn=n/2(a1+an)，得a1+an=4n+2。又因为an=a1+(n1)d，代入a1+an=4n+2，解得d=4。所以an=4n3。

4.若平行线l1：x2y+1=0和l2：2x+y3=0之间的距离为（）

A.√5/3

B.√5

C.2√5/3

D.√10/2

答案：A

解析：两平行线间的距离公式为d=|b1b2|/√(a1²+a2²)。代入l1和l2的系数，得d=|1(3)|/√(1²+(2)²)=√5/3。

5.已知函数f(x)=x²+bx+c的图象上存在两个不同的点A、B，使得∠OAB=90°（O为坐标原点），则b的取值范围是（）

A.b<2

B.b=2

C.b>2

D.b≤2

答案：D

解析：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则OA的斜率为y1/x1，OB的斜率为y2/x2。因为∠OAB=90°，所以斜率之积为1，即y1y2/x1x2=1。将y1=x1²+bx1+c和y2=x2²+bx2+c代入上式，化简得b²4c<0。解得b≤2。

二、填空题（每小题5分，共25分）

6.若等差数列{an}的公差为2，且a3+a7=24，则a10=_______

答案：18

解析：由等差数列通项公式an=a1+(n1)d，得a3=a1+2d，a7=a1+6d。代入a3+a7=24，得2a1+8d=24。又因为d=2，解得a1=4。所以a10=a1+9d=4+18=18。

7.若函数f(x)=x²4x+3在区间[0,3]上的最大值为5，则a的取值范围是_______

答案：a≤1或a≥3

解析：函数f(x)=x²4x+3的导数为f'(x)=2x4。要使函数在区间[0,3]上取得最大值5，导数f'(x)应小于等于0，即2x4≤0。解得x≤2。因为x的取值范围是[0,3]，所以a的取值范围是a≤1或a≥3。

8.若函数y=x²+kx+1在x=1时取得最小值，则k的取值范围是_______

答案：k≤2

解析：函数y=x²+kx+1的导数为y'=2x+k。要使函数在x=1时取得最小值，导数y'应等于0，即2x+k=0。解得k=2x。因为x=1，所以k≤2。

9.若三角形ABC的三个内角A、B、C满足cosA+cosB+cosC=0，则三角形ABC的形状是_______

答案：直角三角形

解析：由cosA+cosB+cosC=0，得cosA+cosB=cosC。因为cosC=cos(πAB)=cos(A+B)，所以cosA+cosB=cos(A+B)。由三角函数的和差化积公式，得2cos(A+B/2)·cos(BA/2)=0。因为cos(A+B/2)≠0（否则A+B=π，与三角形内角和为π矛盾），所以cos(BA/2)=0。解得BA/2=π/2或BA/2=π/2。因为A、B均为三角形的内角，所以BA/2=π/2，即B=A+π/2。所以三角形ABC是直角三角形。

10.若数列{an}的前n项和为Sn=n²+n，则该数列的通项公式是_______

答案：an=2n1

解析：由数列前n项和公式Sn=n/2(a1+an)，得a1+an=2n+2。又因为an=a1+(n1)d，代入a1+an=2n+2，解得d=2。所以an=a1+2(n1)=2n1。

三、解答题（共50分）

11.（本题10分）已知函数f(x)=x²2x+3，求f(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值。

解答：

函数f(x)的导数为f'(x)=2x2。令f'(x)=0，解得x=1。因为f'(x)在x=1左侧为负，右侧为正，所以x=1是函数f(x)的极小值点。将x=1代入f(x)，得f(1)=2。

因为f(x)在[0,3]上单调递增，所以f(x)在x=3时取得最大值。将x=3代入f(x)，得f(3)=6。

所以f(x)在区间[0,3]上的最大值为6，最小值为2。

12.（本题15分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn=n²+n，求数列{an}的通项公式。

解答：

由等差数列前n项和公式Sn=n/2(a1+an)，得a1+an=2n+2。又因为an=a1+(n1)d，代入a1+an=2n+2，解得d=2。

所以an=a1+2(n1)。将a1+an=2n+2代入上式，得a1=1。所以an=1+2(n1)=2n1。

所以数列{an}的通项公式为an=2n1。

13.（本题15分）已知函数f(x)=log₂(x1)，求f(x)的定义域。

解答：

对数函数的定义域要求x1>0，即x>1。所以函数f(x)的定义域是(1,+∞)。

14.（本题10分）已知平行线l1：x2y+1=0和l2：2x+y3=0，求两平行线间的距离。

解答：

两平行线间的距离公式为d=|b1b2|/√(a1²+a2²)。代入l1和l2的系数，得d=|1(3)|/√(1²+(2)²)=√5/3。

所以两平行线l1和l2间的距离为√5/3。

15.（本题10分）已知函数f(x)=x²+bx+c的图象上存在两个不同的点A、B，使得∠OAB=90°（O为坐标原点），求b的取值范围。

解答：