（二检）2025-2026学年福州市高三年级三月质量检测数学试卷（含标准答案）

后附原卷扫描版后附原卷扫描版2025-2026学年福州市高三年级三月质量检测数学试题(完卷时间:120分钟;满分:150分)友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x∈N|0＜x＜3},则集合A的子集个数为A.2 B.3 C.4 D.82.某种高科技产品开发的支出成本x(单位：万元)与市场销售额y(单位△万元)之间有如下表所示的线性相关关系，y与x的经验回归方程为j³=6.5x+27.5，则支出成本为8万元时，其残差(观测值减去预测值称为残差)为x24568y4050706080A.-15 B.1.5 C.-0.5 D.0.53.设x∈R、则“x＞1”是“xA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知椭圆C的两个焦点分别为F₁(-8,0),F₂(8,0),点(0,6)在C上.若C上一点M与F₁的距离为6，则M与F₂的距离为A.10 B.14 C.20 D.265.已知:sinα+β=13,tanα=3tanβ,则sinA.-23 B.23 C.-16.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy+1,f(1)=0,则f(6)=A.34 B.35 C.36 D.377.当x∈[0,2π)时,函数fxA.3 B.4 C.6 D.8高三数学——1——(共4页)8.甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字2，3，5，乙的卡片上分别标有数字4，6，10.两人进行三轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，若两个数字互质，则甲得1分，否则乙得1分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).记三轮比赛后甲的总得分为X，则E(X)=D.2A.1B.A.1B.4C.3二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,∠∠DAB=∠DAAA.A₁D⊥AC B.BD⊥平面ACC₁A₁C.直线A₁B₁与直线BC所成角为60° D.点A₁到平面ABCD的距离为310.设函数.fxA.函数y=f(x+1)+10是奇函数B.f(x)在区间(-1,1)上单调递增C.直线y=0,y=6与曲线y=f(x)的公共点个数不相等D.斜率为-12的直线与曲线y=f(x)有且仅有一个公共点11.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l:x=my-2与C交于A,B两点,l与x轴交于点A.|PA|-|PB|的取值范围为(8,+∞)B.1∣PA∣+1C.若∠AFB=90°,则△AFB的面积为9D.若∠AFB=90°,则△AFB的周长为15+3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若(x-2i)i=y+i(x,y∈R,i为虚数单位),则x+y=.13.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB=120°，且二面角P-AB-O为60°.若△PAB的面积等于63，则圆锥的体积为.14.已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=(cosθ,sinθ),θ∈[0,2π).若(a·b=[a·c]+[b·c](其中[x]表示不超过x的最大整数，如：[3.1]=3,[-1.7]=-2),则|a+b+c|的取值范围为高三数学——2—(共4页)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S(1)求{an}的通项公式;(2)设函数fx=2x+2-2-x-2+1,记bn16.(15分)已知函数f(x)=(4x+2)lnx+A.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程;(2)若函数gx=x+217.(15分)已知双曲线C：x2a2－y2b条件①：C的离心率为2：条件②：C的渐近线方程为y=±条件③：C的右焦点与点A的距离为1.(1)求C的方程;(2)若过点P(2,3)的直线l交C的右支于点M,且△AMP的面积为3,求l的方程.注：如果选择的条件不符合要求，第(1)问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分.高三数学—3—(共4页)18.(17分)如图1，圆内接四边形ABCD中，△BCD为等腰直角三角形，且∠BCD=90∘(1)求AC的长;(2)如图2,将△ABD沿BD翻折,形成四面体ABCD,当AC=6(i)求直线AD与平面BCD所成角的正弦值：(ii)找出一组依次排列的四个相互平行的平面α₁，α₂，α₃，α₄，使得.A∈α1,D∈a2,C∈α₃19.(17分)在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择：方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为3方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为4方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为2(1)物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率；(2)物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下：①第1次，随机选择一种方案；②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种.记第n次选择方案A,B,C的概率分别为an,bn,cn.(i)求a₂,b₂,并证明:数列an(ii)判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率.高三数学—4—(共4页)2025-2026学年福州市高三年级三月质量检测数学试题参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1-8 CDABDBCB二、选择题：本题共3小题.每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.BC 10.ACD 11.BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.3 13.12π 14.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S(1)求{an}的通项公式;(2)设函数fx=2x+2-2-x-2+1,记bn【考查意图】本小题主要考查等差数列的通项公式与前n项和公式，数列求和等基础知识，考查运算求解能力等，考查化归与转化思想、数形结合思想等，考查直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性.满分13分.【解析】(方法一)(1)设等差数列{an}的公差为d，则{解得{所以an=a₁+d(n-1)=18-2(n-1)=-2n+20(n∈N*).高三数学——1—(共13页)(2)因为f所以b所以T=220+(方法二)(1)设等差数列an的公差为d因为{an}是等差数列，所以S9=9因为a3=14,所以a5-a因为a3=a1+2d,所以所以2n=a(2)因为f所以b所以T=2===(方法三)(1)同方法一，略.高三数学——2—(共13页)(2)因为fx=2x+2-2-x-2+1,所以f-x-4=2-x-2-2x+2+1,所以f(x)+f(-x-4)=2,所以曲线y=f(x)关于点(-2,1)中心对称,因为{an}是等差数列，所以a116.(15分)已知函数jf(x)=(4x+2)lnx+A.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程;(2)若函数gx=x+2【考查意图】本小题主要考查函数的图象与性质、函数单调性与极值等基础知识考查逻辑推理能力、直观想象能力、运算求解能力和创新能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等，考查逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性.满分15分.【解析】(方法一)(1)当a=1时,f(x)=(4x+2)lnx+1,f得f'(1)=6,所以曲线y=f(x)在点(1,I)处的切线方程为y-1=6(x-1),即6x-y-5=0.2gg令qx=x-1高三数学——3—(共13页)故q(x)在(0,+∞)内单调递增,又q(1)=0,则当x∈(0,1),q(x)＜0,得g'(x)＜0,g(x)单调递减，当x∈(1,+∞),q(x)＞0,得g'(x)＞0,g(x)单调递增,从而g(x)在x=1处取得极小值，同时也是最小值，最小值为g(1)=9-A.又当x＞0且x→0时,g(x)→+∞,当x→+∞时,g(x)→+∞,由函数g(x)有且仅有一个零点，可得g(1)=9-a=0,则a的值为9.(方法二)(1)同方法一，略.2g令g(x)=0得a=令h则h令qx=x-1故q(x)在(0,+∞)内单调递增,又q(1)=0,则当x∈(0,1),q(x)＜0,得h'(x)＜0,h(x)单调递减,当x∈(1,+∞),q(x)＞0,得h'(x)＞0,h(x)单调递增,从而h(x)在x=1处取得极小值，同时也是最小值，最小值为h(1)=9.又当x＞0且x→0时,h(x)→+∞,当x→+∞时,h(x)→+∞,由函数g(x)有且仅有一个零点,可得a=g(1)=9,则a的值为917.(15分)已知双曲线C:x2a2-y高三数学——4——(共13页)条件①：C的离心率为2；条件②：C的渐近线方程为y=±条件③：C的右焦点与点A的距离为1.(1)求C的方程;(2)若过点P(2,3)的直线l交C的右支于点M,且△AMP的面积为3,求l的方程.注：如果选择的条件不符合要求，第(1)问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分【考查意图】本小题主要考查圆锥曲线的方程、图象与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等，考查数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性.满分15分.【解析】(方法一)(1)选择条件①和③:因为C的离心率为2，点A到C的右焦点的距离为1，所以{解得{又因为c2=a2+所以C的方程为x选择条件②和③：因为C的渐近线方程为y=±3x,点A到C的右焦点的距离为所以由{可得{所以C的方程为x(2)由(1)知,点A坐标为(1,0).又由P(2,3)可得直线PA的方程为3x-y-3=0,且|∣PA∣=高三数学——5——(共13页)设点M到直线PA的距离为d，因为△AMP面积为3，所以S=12∣PA∣⋅d=设过点M且与直线PA平行的直线为n:3x-y+m=0.则n与直线PA的距离为3105,故∣m+3∣1+9=3105,所以直线n方程为3x-y-9=0或3x-y+3=0,直线3x-y+3=0与直线PA关于原点中心对称，与双曲线三支有两个交点，不合题意，舍大由{x2-y3=1,故点M坐标为(2,-3)或(7,12),所以直线l的方程为x=2或9x-5y-3=0.(方法二)(1)同方法一，略.(2)由(1)知,点A坐标为(1,0),且点P(2,3)在C上.当直线l斜率不存在时，M(2，-3)，△AMP面积为3，直线l的方程为x=2，符合题意.当直线l斜率存在时，设其方程为y-3=k(x-2).由{x2-设M(x₁,y₁)(x₁＞1),则x故∣PM∣=又因为A到直线l的距离d=故△AMP面积为S=所以∣3k-6k-3k2-3∣=3,解得经检验，k=32或k=故直线l的方程为y=综上,直线l的方程为x=2或9x-5y-3=0.18.如图1，圆内接四边形ABCD中，△BCD为等腰直角三角形，且.∠BCD=90∘高三数学—6—(共13页)(1)求AC的长;(2)如图2,将△ABD沿BD翻折,形成四面体ABCD,当AC=6(i)求直线AD与平面BCD所成角的正弦值；(ii)找出一组依次排列的四个相互平行的平面α₁,α₂,α₃,α₄,使得A∈α₁,D∈α₂,C∈α₃,B∈α₄,且其中每相邻两个平面间的距离都相等，并求出相邻两个平面间的距离.【考查意图】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形、线面成角、面面距离、空间向量等基础知识，考查直观想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力和创新能力等，考查数形结合思想、化归与转化思想等，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性、创新性.满分17分【解析】(方法一)(1)在圆内接四边形ABCD中,△BCD为等腰直角三角形,∠BCD=90°,所以∠BAD=90°,在Rt△ABD中,因为AB=6,AD=2,所以∠ABD=30°,BD=AB2在△ABC中,cos∠ABC=cos由余弦定理得A=6+4-2×所以AC=(2)以BD的中点O为原点，以OB,OC方向为x，y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则(i)设A(x,y,z),由(1)可知,AB=(AD=2又因为AC-/6,所以{(x-高三数学——7—(共13页)解得x=-22,y=-则AD取平面BCD的一个法向量n=(0,0,1),设直线AD与平面BCD所成角为θ,所以sinθ=∣cos所以直线AD与平面BCD所成角的正弦值为2(ii)如图所示,取AB的三等分点P,Q,AC的中点M,过三点D,P,M作平面α₂,过三点O,Q,C作平面α₃,因为DP∥OQ,DP⊄平面α₃,OQ⊂平面α₃,所以DP∥平面α₃,同理PM∥平面α₃,又因为DP∩PM=P,所以平面α₂//平面α₃,再过点A，C分别作平面α₁，α₄与平面α₂平行，那么四个平面α₁，α₂，α₃，α₄依次相互平行，由线段AB被平行平面(α₁,α₂,α₃,α,截得的线段相等知，其中每相邻两个平面间的距离相等,故α₁,α₂,α₃,α₄为所求平面.由(i)可知A-22OQ设平面OCQ的法向量m=(a,b,c),则{即{2b=0,2所以点B到平面OCQ的距离d=故相邻两个平面间的距离为2高三数学—8—(共13页)(方法二)(1)在圆内接四边形ABCD中,△BCD为等腰直角三角形,∠BCD=90°,所以BD是圆的直径,∠BAD=90°.在Rt△ABD中,AB=6BD=AB2+Asin∠ABC=sin由正弦定理得ACsin∠ABC=ABsin∠BCA,又∠BCA=∠AC=(2)(i)设BD的中点为O,OD的中点为E,CD的中点为M,连接CO,AE,AM,ME.由(1)知CO⊥BD,ME∥OC,则ME⊥BD,又因为AE⊥BD,ME∩AE=E,所以BD⊥平面AME,所以平面BCD⊥平面AME.过点A作AH⊥ME交直线ME于点H,连接DH,又因为平面BCD∩平面AME=ME,平面BCD⊥平面AME,AH⊂平面AME,所以AH⊥平面BCD,则DH为直线AD在平面BCD上的射影,∠ADH为直线AD与平面BCD所成角.由(1)知CD=2,AE=F2,OC=又因为AC=6,AD=2所以∠ADC=90°,则AM=在△AME中,cos∠AEM=所以cos∠AEH=-cos∠AEM=33,所以AH=AEsin∠AEH=62×所以直线AD与平面BCD所成角的正弦值为2(ii)以O为原点，以OB，OC方向为x，y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系(O-xyz,则B2设平面α₁的法向量m=(a,b,c),高三数学——9—(共13页)由(i)可知A所以AD由α₁，α₂，α₃，α₄两两平行且每相邻两个平面间的距离都相等，可得∣从而∣-由∣-2a-2b∣=∣-2a+2b∣可得若a=0,由∣-22a+从而c=-22b若b=0,由∣-22a+从而c=22a综上，可得m=0b-或m=a02当m=0b-22b或m=从而点B在点D与m所确定的平面上，与条件矛盾，舍去；当m=a022a,从而点A在点C与m所确定的平面上，与条件矛盾，舍去；当m=a0-可求点A到平面α₂的距离d=∣AD⋅m∣∣m∣=∣2a∣a2+92a2=21111,此时α高三数学—10—(共13页)19.(17分)在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够