2026年高考数学二轮复习专题15 概率与统计（热点）（天津）（解析版）

专题15概率与统计内容导航热点聚焦方法精讲能力突破热点聚焦·析考情锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。题型引领·讲方法系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。能力突破·限时练实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。近三年：概率与统计是重点模块，总分值约20-25分，覆盖小题（单选/填空，5分）+解答题（18/19题，15分）；小题侧重基础概念，解答题以离散型随机变量的分布列与期望为主，兼顾统计图表分析，难度中档。近三年共性特点小题侧重单一知识点（古典概型、统计图表、独立事件）；解答题稳定考分布列+期望，背景多为生活实际（抽检、分配、比赛）；统计部分常与概率结合，不考复杂的统计案例（如独立性检验）。预测2026年：1.

题型与分值小题：1道5分题，大概率考古典概型或统计图表（频率分布直方图/茎叶图）。解答题：1道15分题，位置在18或19题，总分值维持20-25分，是高分必争模块。2.

核心考查方向概率部分：①古典概型、几何概型的基础计算，结合排列组合计数；②互斥、独立事件的概率公式应用；③离散型随机变量的分布列与期望，重点是超几何分布、二项分布，可能涉及两点分布的简单综合。统计部分：①频率分布直方图、茎叶图的解读与计算（频率、样本容量、均值）；②样本数字特征（平均数、中位数、方差）的计算与应用；③统计与概率的综合，以统计背景构建随机变量模型。题型01古典概型的计算解｜题｜策｜略古典概型中基本事件的探求方法1、列举法：适合于基本事件个数较少且易一一列举出来的试验；2、列表法（坐标法）：适合于从多个元素中选定两个元素的试验；3、树形图法：适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件个数的探究；4、排列组合法：求较复杂试验中基本时间的个数时，可利用排列或组合的知识.例1（2025·天津南开·模拟预测）2044年，当同学们重返母校参加140周年校庆时，惊喜地发现，南院正门外真的出现了一家“南德琐艾奶茶店”，这里正出售6款饮品，分别为林林清风、金晓惠兰、明明如月、幽幽谭香、天天爆柠、雅韵冰酿．甲、乙两位同学分别选购3款不同饮品，则甲选购的饮品中有“林林清风”的概率为；在甲选购了“林林清风”这款饮品的条件下，甲、乙二人所选饮品中恰有1款相同的概率为．【答案】//【分析】利用组合数，结合古典概型，并结合条件概率的定义计算即可.【详解】总共有6款饮品，甲选购3款不同饮品，总的选购方案数为组合数,甲选购的饮品中包含“林林清风”的方案：固定“林林清风”被选中，则甲需从剩余5款饮品中选购2款，方案数为，因此，概率为；条件：甲已选购包含“林林清风”的3款饮品（记作集合，其中必含“林林清风”），乙独立选购3款不同饮品，总的选购方案数为.要求甲、乙所选饮品集合的交集大小恰好为1（即恰有1款相同）；设饮品全集为，其中为“林林清风”，不失一般性，设甲选购，则剩余饮品为.乙选购时，恰有1款与甲相同，即乙从中选1款，并从中选2款.从选1款的方案数：，从选2款的方案数：.因此，满足条件的乙选购方案数为，概率为.故答案为：；.例2（2025·天津北辰·三模）某地教育部门联合当地高校发起公益助教赠书行动.现安排卡车为乡村小学运送书籍，共装有16个纸箱，其中6箱数学书､6箱语文书､4箱物理书.由于山路崎岖，到达目的地时发现丢失一箱书籍，则丢失的一箱恰巧是物理书的概率为；若不知丢失哪一箱，则从剩下的15箱中任意打开两箱，结果发现都是数学书的概率为.【答案】/0.25/0.125【分析】利用古典概率公式求得丢失物理书的概率；利用全概率公式求得答案.【详解】依题意，丢失的一箱恰巧是物理书的概率为；记事件“丢失数学书”，事件“任取两箱都是数学”，则，，所以所求概率.故答案为：；【变式1】（2025·天津·二模）某班级在新年联欢会上组织抽奖活动，抽奖箱里有5个红色小球代表一等奖奖品券，3个白色小球代表二等奖奖品券，2个黑色小球代表谢谢参与券，抽奖规则是不放回地依次抽取3个球.某同学参加这个活动，则他在第一次抽到一等奖奖品券的条件下，第二次抽到二等奖奖品券的概率为；小强同学参加一次抽奖活动（不放回地抽取3个球），则恰好抽到1个一等奖奖品券的概率为.【答案】【分析】①利用条件概率公式计算即可；②利用古典概型概率公式即可求解.【详解】①记第一次取到红求为事件，第二次取到白球为事件，则，，所以；②记小强恰好抽到1个一等奖奖品券为事件，则.故答案为：①；②.【变式2】（2025·天津滨海新·三模）某校高三1班一学习小组有男生4人，女生2人，为提高学生对AI人工智能的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的AI人工智能学习，恰有一名男生参加的概率为；在有女生参加AI人工智能学习的条件下，恰有一名女生参加AI人工智能学习的概率．【答案】【分析】根据古典概型的概率公式及组合学公式，即可求解第一空，根据条件概率的计算公式，即可求解第二空.【详解】从个人中任取人，全部情况有种，恰有一名两名男生的情况有，故恰有一名男生参加AI人工智能学习的概率为；有女生参加AI人工智能学习的情况有种，恰有一名女生参加AI人工智能学习的情况有种，故在至少有一名女生参加AI人工智能学习的条件下，恰有一名女生参加AI人工智能学习的概率为.故答案为：；.题型02随机抽样与计算解｜题｜策｜略1、明确简单随机抽样与分层抽样的定义。2、分层随机抽样的相关计算关系：（1）eq\f(样本容量n,总体的个数N)＝eq\f(该层抽取的个体数,该层的个体数)；（2）总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．（3）样本的平均数和各层的样本平均数的关系为：eq\x\to(ω)＝eq\f(m,m＋n)＋eq\f(n,m＋n)＝eq\f(M,M＋N)＋eq\f(N,M＋N).[例1（2025·天津红桥·模拟预测）采用分层抽样的方法抽取一个容量为80的样本，高一年级被抽取20人，高二年级被抽取30人，高三年级共有600人，则这个学校共有高中学生人.【答案】【分析】首先求出高三年级抽取的人数，再根据抽样比即可求出总人数.【详解】依题意高三年级共抽取人.又高三年级共有600人，所以抽样比为，所以学校共有高中生人.故答案为：.例2（2025·天津河北·模拟预测）某学校高一、高二、高三分别有600人、500人、700人，现采用分层随机抽样的方法从该校三个年级中抽取18人参加全市主题研学活动，则应从高三抽取人．【答案】7【分析】应用分层抽样等比例性质求从高三抽取的人数.【详解】根据分层抽样等比例性质，从高三抽取人.故答案为：7【变式1】（2025·天津·二模）某地政府为了促进当地旅游，从到达该地旅游的游客中随机选取了400人进行调查，其中青年人、中年人、老年人三个年龄段的占比饼状图如图①所示，各年龄段游客的性别占比条形图如图②所示，则下列说法正确的是（

）A．估计到达该地旅游的女性占比约为55％B．从调查的游客中，随机抽取一位进行深入调研，则抽到中年男性的概率为0.175C．若按年龄进行分层，用分层随机抽样的方法从调查的游客中抽出20人分发纪念品，则中年人中应抽取8人D．从调查的游客中选取一位作为幸运游客，在已知该幸运游客是青年人的条件下，其是女性的概率为0.6【答案】B【分析】根据题意，由三个年龄段的占比饼状图以及性别占比条形图，逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A，估计到达该地旅游的女性占比约为，故A错误；对于B，从调查的400人中，随机抽取一位进行深入调研，则抽到中年男性的概率为，故B正确；对于C，若按年龄进行分层，用分层随机抽样的方法从调查的游客中抽出20人分发纪念品，则中年人中应抽取（人），故C错误；对于D，从调查的游客中选取一位作为幸运游客，在已知该幸运游客是青年人的条件下，其是女性的概率为0.7，故D错误．故选：B．【变式2】（2025·天津南开·二模）某中学三个不同选课组合的学生在一次高三质量监测的数学平均分分别为，若按不同选课组合采用分层抽样的方法抽取了一个120人的样本，抽到三个不同选课组合的学生人数分别为20，40，60，则估计这三个不同选课组合学生的数学平均分为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出三个不同选课组合的学生的人数的比列，总体平均分需用各组合的平均分乘以对应比列后相加即可.【详解】因为三个不同选课组合的学生人数分别为20，40，60，所以三个不同选课组合的学生的人数的比列分别为：，所以估计这三个不同选课组合学生的数学平均分为.故选：C.题型03用样本估计总体解｜题｜策｜略样本估计总体的常用结论：1、如果两组数和的平均数分别是和，则一组数的平均数是；2、如果一组数的平均数为，则一组数的平均数为。3、如果一组数的平均数为，则一组数的平均数为4、如果一组数的方差为，则一组数的方差为；5、如果一组数的方差为，则一组数的方差为。例1（2025·天津武清·模拟预测）下列说法错误的是（

）A．一组数据5、7、9、11、12、14、15、16、20、18的第80百分位数为17B．若事件M，N相互独立，，，则C．某地市在一次测试中，高三学生数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从110分以上的试卷中抽取20份D．已知随机变量X服从二项分布，若，则【答案】B【分析】由百分位数、正态分布、二项分布、独立事件概率的概念逐项判断；【详解】对于A，数据从小到大排列的共有10个数据，，所以第80百分位数为正确；若事件M，N相互独立，，，则，B选项错误；某地市在一次测试中，高三学生数学成绩服从正态分布，已知，则，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从110分以上的试卷中抽取份，C选项正确；随机变量X服从二项分布，若，则，D选项正确；故选：B.例2（2025·天津·二模）某地组织全体中学生参加了主题为“强国之路”的知识竞赛，随机抽取了2000名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（

）A．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有750人B．直方图中的值为0.020C．估计全校学生成绩的中位数为87D．估计全校学生成绩的分位数约为90【答案】C【分析】根据频率分布直方图计算区间的频率，即可判断A，根据频率和为1，计算的值，判断B，根据中位数和百分位数公式，判断CD.【详解】A.由图可知，成绩在区间内的频率为，人，故A错误；B.由图可知，，得，故B错误；C.前3组的频率和为，前4组的频率和为，所以中位数在第4组，所以，得，故C正确；D.样本数据的分位数在第5组，，得，故D错误.故选：C【变式1】（2025·天津·一模）下列说法正确的是（

）A．一组数据的第60百分位数为4B．在回归分析模型中，若决定系数越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越差C．两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数r越接近于1D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断变量X与Y独立，此推断犯错误的概率不大于0.01【答案】B【分析】利用百分位数的定义计算可判断A；利用决定系数的意义可判断B；利用相关系数的意义可判断C；利用独立性检验的意义可判断D.【详解】对于A，由，所以这组数据的第60百分位数为5，故A错误；对于B，决定系数，残差平方和为，根据决定系数公式可得越小，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差.故B正确；对于C，两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近于1，故C错误；对于D，根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断变量X与Y不独立，此推断犯错误的概率不大于0.01，故D错误.故选：B.【变式2】（2025·天津和平·二模）某人工智能公司为优化新开发的语言模型，在其模型试用人群中开展满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度并绘制成如下频率分布直方图，图中，则下列结论不正确的是（

）A．B．满意度计分的众数约为75分C．满意度计分的平均分约为79分D．满意度计分的第25百分位数约为70分【答案】C【分析】由频率分布直方图的面积和为1可得A正确；由频率分布直方图计算众数，平均数，第25百分位数可得B正确，C错误，D正确.【详解】对于A，由频率分布直方图可得，又，解得，，故A正确；对于B，满意度计分的众数为最高矩形底边中点横坐标75分，故B正确；对于C，满意度计分的平均分约为，故C错误；对于D，前两组的频率之和为，所以满意度计分的第25百分位数约为70分，故D正确.故选：C.题型04百分位数的计算解｜题｜策｜略计算一组n个数据的第p百分位数的步骤第1步，按从小到大排列原始数据．第2步，计算i＝n×p%.第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．例1（2025·天津滨海新·三模）下列说法中正确的是（

）A．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14B．某新能源汽车企业基于领先技术的支持，从某年起改进并生产新车型，设改进后该企业第年的生产利润为（单位：亿元），现统计前7年的数据为，根据该组数据可得关于的回归直线方程为，且，预测改进后该企业第8年的生产利润为6.3亿元C．若随机变量服从正态分布，且，则D．若随机变量，满足，则，【答案】B【分析】对于A，根据百分位数的定义求解判断即可；对于B，根据样本中心点求得，进而求得预测值判断即可；对于C，根据正态分布的对称性求解判断即可；对于D，根据期望和方差的性质判断即可.【详解】对于A，因为，所以这组数据的第60百分位数为，故A错误；对于B，，，所以，即，则，当时，亿元，故B正确；对于C，由于随机变量服从正态分布，则，因为，所以，则，故C错误；对于D，由，则，，故D错误.故选：B.例2（2025·天津·一模）下列说法错误的是（

）A．若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量的分布比较集中B．在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好C．若样本数据的平均数为3，则的平均数为10D．一组数据6，7，7，8，10，12，14，16，19，21的第30百分位数为7【答案】D【分析】由正态分布的性质，可得A的正误；由决定系数的作用，可得B的正误；由平均数的计算公式，可得C的正误；由百分位数的计算，可得D的正误.【详解】对于A，由为标准差，该值越小，数据越集中，则曲线越高瘦，故A正确；对于B，当决定系数越大时，残差平方和越小，即模型拟合的效果越好，故B正确；对于C，由，则，故C正确；对于D，由，由，则第百分位数为，故D错误.故选：D.【变式1】（2025·天津·一模）下列说法中，不正确的是（

）A．在1，3，6，7，9，10，12，15这组数据中，第50百分位数为8B．分类变量A与B的统计量越大，说明“A与B有关系”的可信度越大C．根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的经验回归方程为，若，，，则D．两个模型中，残差平方和越大的模型拟合的效果越好【答案】D【分析】求数据的第50百分位数，判断A的真假；根据的意义，判断B的真假；根据线性回归方程必过求判断C的真假；根据残差平方和的意义判断D的真假.【详解】对A：因为，所以这组数据的第50百分位数为：，故A选项内容正确；对B：根据统计量的意义可知，B选项内容正确；对C：根据线性回归方程必过得：，故C选项内容正确；对D：因为残差平方和越小，模型拟合的效果越好，故D选项内容错误.故选：D【变式2】（2025·天津滨海新·模拟预测）2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想票房一路攀升．截至2025年2月6日登顶中国国内电影票房榜首．下图为某平台向公众征集该电影的评分结果，根据表格可以估计其得分的60%分位数约为：（

）评分/分人数占比/%1.03.213.634.248.0A．3.98 B．4.03 C．4.17 D．4.38【答案】C【分析】由百分位数的定义即可求解.【详解】因为，设得分的60%分位数为，则，解得，所以得分的60%分位数约为.故选：C.题型05事件关系的判断解｜题｜策｜略判断互斥、对立事件的两种方法（1）定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．（2）集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．例1（2025·天津·二模）甲、乙、丙三人各自独立地解同一道题，甲做对的概率是，三人都做对的概率是，三人都做错的概率是，则甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为.【答案】【分析】利用相互独立事件同时发生的乘法公式、对立事件概率公式及互斥事件至少一个发生的加法公式计算，即可求解.【详解】设甲、乙、丙三人各自独立地做对同一道题分别为事件，则，因为，，解得，或，设甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题为事件，当时，，，，当时，则，综上，则甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为.故答案为：.例2（2025·天津南开·一模）有编号分别为的3个盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球．现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，则从第1个盒子中取到白球的概率是；从第3个盒子中取到白球的概率是．【答案】【分析】应用古典概率求法求从第1个盒子中取到白球的概率，再应用独立乘法公式和互斥事件加法求从第3个盒子中取到白球的概率.【详解】由第1个盒子中有2个白球1个黑球，则从第1个盒子中取到白球的概率是，当从第1个盒子中取到白球且概率为，则第2个盒子中有2个白球1个黑球，从第2个盒子抽到白球概率为，则第3个盒子中有2个白球1个黑球，故抽到白球概率为，从第2个盒子抽到黑球概率为，则第3个盒子中有1个白球2个黑球，故抽到白球概率为，所以，对应概率为；当从第1个盒子中取到黑球且概率为，则第2个盒子中有1个白球2个黑球，从第2个盒子抽到白球概率为，则第3个盒子中有2个白球1个黑球，故抽到白球概率为，从第2个盒子抽到黑球概率为，则第3个盒子中有1个白球2个黑球，故抽到白球概率为，所以，对应概率为；综上，从第3个盒子中取到白球的概率是.故答案为：；【变式1】（2025·天津河西·一模）某体育器材商店经营三种型号的组合器械，三种型号组合器械的优质率分别为0.9，0.8，0.7，市场占有比例为，某健身中心从该商店任意购买一种型号的组合器械，则买到的组合器械是优质产品的概率为；若该健身中心从三种型号的组合器械各买一件，则恰好买到两件优质产品的概率为．【答案】0.820.398【分析】依据题意，分析事件关系，利用全概率公式求解第一空，利用互斥事件与相互独立事件求解第二空即可.【详解】第一空：由全概率公式可得：；第二空：恰好买到两件优质产品是“AB优C不优，AC优B不优，BC优A不优”这三个互斥事件的和，故所求概率为：，故答案为：0.82；0.398.【变式2】（2025·天津武清·一模）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中大约有的学生，每天玩手机超过1小时，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是.【答案】/【分析】由题意，根据条件概率公式和全概率公式求解即得.【详解】设事件“学生玩手机超过小时”，事件“学生近视”，事件为的对立事件，由题意可得，，，则，所以.故答案为：.题型06线性回归分析解｜题｜策｜略线性回归分析问题的类型及解题方法1、求线性回归方程：（1）利用公式求出回归系数，；（2）利用回归直线过样本中心点求系数；2、利用回归方程进行预测：把线性回归方程看作一次函数，求函数值；3、利用回归直线判断正、负相关：决定正相关函数负相关的系数是；4、回归方程的拟合效果可以利用相关系数判断，当越接近1时，两变量的线性相关性越强。例1（2025·天津宁河·模拟预测）下列说法中，正确的有（

）①回归直线恒过点，且至少过一个样本点：②根据列列联表中的数据计算得出，而，则有的把握认为两个分类变量有关系，即有的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误；③在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好；④某项测量结果服从正态分布，若，则A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【分析】利用回归直线的特点可判断①；利用独立型检验可判断②；利用决定系数与模型拟合效果的关系可判断③；利用正态分布可判断④.即可得出合适的选项.【详解】对于①，回归直线恒过点，不一定过样本点，①错；对于②，根据列列联表中的数据计算得出，而，则有的把握认为两个分类变量有关系，即有的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误，②对；对于③，在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好，③对；对于④，某项测量结果服从正态分布，若，则，④对.故选：C.例2（2025·天津北辰·三模）下列命题中①根据经验回归方程所得到的预报值就是响应变量的精确值②若随机变量满足，则③两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1④设且，则其中错误命题的个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】依次分析每个命题的正确性，根据经验回归方程、随机变量的方差性质、相关系数的意义以及正态分布的性质来判断.【详解】经验回归方程所得到的预报值是响应变量的估计值，而不是精确值，所以命题①错误.若随机变量满足，根据方差的性质（其中、为常数），可得，而不是，所以命题②错误.根据相关系数的意义，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于，所以命题③正确.已知，则正态曲线关于对称.因为，所以.那么，所以，所以命题④错误.综上，错误的命题有①②④，共个.故选：B.【变式1】（2025·天津和平·三模）下列结论中不正确的是（

）A．已知随机变量，若，则B．用决定系数来刻画回归的效果时，的值越接近1，说明模型拟合的效果越好C．用0，1，2，3四个数字，组成有重复数字的三位数的个数为30D．经验回归直线至少经过样本数据点中的一个点【答案】D【分析】由二项分布的期望与方差公式即可判断A；由决定系数的概念即可直接判断B；由分布乘法计数原理及间接法即可判断C；由经验回归方程有关性质即可直接判断D.【详解】对于A，由二项分布的方差公式可知，所以，所以，所以二项分布的期望为，故A正确；对于B，用来刻画回归效果，的值越接近于1，说明模型的拟合效果越好，的值越接近于0，说明模型的拟合效果越差，故B正确；对于C，百位数字不能为0，有3种选择，个位和十位各有4种选择，利用分布乘法计数原理可得组成三位数的个数有种方法，其中没有重复数字的三位数的个数有种方法，所以组成有重复数字的三位数的个数为，故C正确；对于D，在回归分析中，回归直线一定经过样本中心点，但不一定会经过样本数据点中的任何一个，故D错误；故选：D.【变式2】（2025·天津·二模）小明研究温差（单位：）与本单位当天新增感冒人数（单位：人）的关系，他记录了5天的数据：345671620252836由表中数据求得温差与新增感冒人数满足经验回归方程，则下列结论不正确的是（

）A．与正相关 B．经验回归直线经过点C．当时，残差为1.8 D．【答案】C【分析】观察数据或者求得，可知正相关，从而判定A；利用样本中心点在回归直线上，可以判定B；求出的估计值，进而计算残差，从而判定CD.【详解】选项A：观察数据，增大时也增大，说明正相关，故A正确；选项B：易得，，样本中心点为，回归直线方程经过样本中心点，故B正确；对于CD：将样本中心点坐标代入回归直线方程得，故D正确.计算预测值，实际值，残差.题目中残差为1.8（未考虑符号），故C错误，故选：C题型07独立性检验解｜题｜策｜略独立性检验的一般方法（1）根据题目信息，完善列联表；（2）提出零假设：假设两个变量相互独立，并给出在问题中的解释。（3）根据列联表中的数据及计算公式求出的值；（4）当时，我们就推断不成立，即两个变量不独立，该推断犯错误的概率不超过；当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为两个变量相互独立。例1（2025·天津河东·二模）2024年12月26日，DeepSeek—V3首个版本正式上线，截至2025年2月9日，DeepSeekAPP的累计下载量已超1.1亿次，AI成为当下的热门话题.立德中学高中数学社团以16至40岁人群使用DeepSeek频率为课题，分小组自主选题进行调查研究，下列说法正确的是（

）A．甲小组开展了DeepSeek每周使用频次与年龄的相关性研究，经计算样本相关系数，可以推断两个变量正线性相关，但相关程度很弱B．乙小组利用最小二乘法得到DeepSeek每周使用频次y关于年龄x的经验回归方程为，可以推断年龄为30岁的群体每周使用频次一定为17次C．丙小组用决定系数来比较模型的拟合效果，经验回归方程①和②的分别约为0.733和0.998，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①的好很多D．丁小组研究性别因素是否影响DeepSeek使用频次，根据小概率值的独立性检验，计算得到，可以认为不同性别的DeepSeek使用频次没有差异【答案】C【分析】由相关系数，回归方程，决定系数，卡方的检验逐项判断即可.【详解】对于A，由的绝对值越接近1，相关性越强可得A错误，故A错误；对于B，回归方程为给出的是预测值，实际值会有随机误差，所以年龄为30岁的群体每周使用频次不一定为17次，故B错误；对于C，表示模型对因变量的解释比例，大说明经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①的好很多，故C正确；对于D，，可以认为不同性别的DeepSeek使用频次有差异，故D错误.故选：C例2（2025·天津河东·一模）下列说法中，正确的有（

）①回归直线恒过点，且至少过一个样本点；②根据列列联表中的数据计算得出，而，则有的把握认为两个分类变量有关系，即有的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误；③是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当的值很小时可以推断两类变量不相关；④某项测量结果服从正态分布，若，则.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据回归直线的特征即可判断①，理解独立性检验的基本思想即可判断②，正确把握卡方值的含义即可判断③，利用正态曲线的对称性可判断④.【详解】回归直线的性质是恒过样本点的中心，但不一定会经过任何一个具体的样本点.所以说法①错误.在独立性检验中，我们先提出一个假设.当根据列联表中的数据计算得出，且时，这意味着在假设成立的条件下，出现这样的值是一个小概率事件.小概率事件在一次试验中几乎不可能发生，但现在却发生了，所以我们有理由拒绝假设，从而有的把握认为两个分类变量有关系，同时也就意味着有的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误，所以说法②正确.是用于判断两个分类变量是否相关的随机变量.当的值很小时，只能说明我们有较小的把握认为两类变量相关，但不能就此推断两类变量不相关.因为即使值小，也有可能是由于样本量等因素的影响，不能绝对地得出两类变量无关的结论，所以说法③错误.已知某项测量结果服从正态分布，正态分布具有对称性，其对称轴为.又因为，这表明与关于对称轴对称.根据正态分布的对称性可知，与之和为，已知，那么，所以说法④正确.故选：B.【变式1】（2024·天津滨海新·三模）下列说法中正确的是（

）A．一组数据3，4，2，8，1，5，8，6，9，9，的第60百分位数为6B．将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差变大C．若甲、乙两组数据的相关系数分别为和，则甲组数据的线性相关程度更强D．在一个列联表中，由计算得的值，则的值越接近1，判断两个变量有关的把握越大【答案】C【分析】根据百分位数计算规则判断A，根据方差的性质判断B，根据相关系数的概念判断C，根据卡方的意义判断D.【详解】对于A：将数据从小到大排列为：1，2，3，4，5，6，8，8，9，9，又，所以第百分位数为，故A错误；对于B：将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差不变，故B错误；对于C：具有线性相关关系的两个变量的相关系数为，则越接近与，则和的线性相关程度越强，因为，所以甲组数据的线性相关程度更强，故C正确；对于D：在列联表中，由计算得的值，的值越大，则两个变量有关的把握越大，故D错误；故选：C【变式2】（2024·天津·一模）下列说法正确的是（

）A．一组数据的第80百分位数为17；B．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05；C．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0；D．若随机变量满足，则．【答案】B【分析】A选项，由百分位数的定义得到答案；B选项，，得到结论；C选项，由相关系数的性质得到C错误；D选项，由方差的性质得到D错误.【详解】A选项，，故从小到大排列，第8个数和第9个数的平均数作为第80百分位数，即，A错误；B选项，由于，得到与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，B正确；C选项，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，C错误；D选项，若随机变量满足，则，D错误.故选：B题型08二项分布解｜题｜策｜略独立重复试验与二项分布1、定型：“独立”“重复”是二项分布的基本特征，“每次试验事件发生的概率都相等”是二项分布的本质特征．判断随机变量是否服从二项分布，要看在一次试验中是否只有两种试验结果，且两种试验结果发生的概率分别为p,1－p，还要看是否为n次独立重复试验，随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数．2、定参，确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率．3、列表，根据离散型随机变量的取值及其对应的概率，列出分布列．4、求值，根据离散型随机变量的期望和方差公式，代入相应数据求值．相关公式：已知X～B(n，p)，则P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．例1（2025·天津河北·模拟预测）甲、乙两人独立地破译一份密码，甲、乙能破译的概率分别为、，则密码被成功破译的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】应用独立事件乘法公式及对立事件的概率求法求概率.【详解】由题设，甲乙都不能破译的概率为，所以密码被成功破译的概率为.故选：A例2（2025·天津南开·二模）甲、乙两个袋子中各有10个除颜色外完全相同的小球，其中甲袋中有7个红球，3个黄球，乙袋中有8个红球，2个黄球．若从两个袋子中各任取1个球，则都取到红球的概率为；若从两个袋子中各任取1个球，两球颜色不同的条件下，乙袋中取出黄球的概率为．【答案】【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式计算可得出都取到红球的概率；根据条件概率公式计算可得两球颜色不同的条件下，乙袋中取出黄球的概率.【详解】设事件表示“从甲袋中取到红球”，事件表示“从乙袋中取到红球”，甲袋中有个红球，个球，所以；乙袋中有个红球，个球，所以.因为从甲、乙两袋中取球相互独立，所以“都取到红球”即与同时发生，根据相互独立事件的概率乘法公式可得.设事件表示“两球颜色不同”，事件表示“乙袋中取出黄球”.先求：两球颜色不同有“甲红乙黄”和“甲黄乙红”两种情况.“甲红乙黄”的概率；“甲黄乙红”的概率.根据互斥事件概率加法公式，.“两球颜色不同且乙袋中取出黄球”即“甲红乙黄”，.根据条件概率公式，可得.故答案为：；.【变式1】（2025·天津·一模）已知甲、乙两名乒乓球运动员进行比赛，根据二人以往比赛资料统计，在一局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛互不影响.现在甲、乙二人准备进行三局比赛.则在三局比赛中甲胜前两局、乙胜第三局的概率是，用表示三局比赛中甲获胜的局数，则的数学期望是.【答案】.【分析】（1）利用独立事件概率公式，即可求解（2）根据题意求出的可能取值，分别求出每种取值的概率，列出分布列，进而求解.【详解】（1）设事件表示“在三局比赛中甲胜前两局、乙胜第三局”，则.（2）由题意知，的可能值为，则的分布列为：0123所以.【变式2】（2025·天津河西·二模）已知甲袋中装有个红球，个白球；乙袋中装有个红球，个白球，两个袋子均不透明，其中的小球除颜色外完全一致.现从两袋中各随机取出一个球，若两个球同色，则将取出的两个球全部放入甲袋中；若两个球不同色，则将取出的两个球全部放入乙袋中，每次取球互不影响.按上述方法操作一次，在甲袋中恰有个小球的条件下，当时从甲袋中取出的是红球的概率是；按上述方法重复操作两次后，乙袋中恰有个小球的概率是.【答案】【分析】记住事件甲袋中恰有个小球，事件从甲袋中取出的是红球，利用条件概率公式可求得的值；对前两次模的球的颜色进行分类讨论，结合独立事件的概率公式可得出所求事件的概率.【详解】记住事件甲袋中恰有个小球，事件从甲袋中取出的是红球，则，，由条件概率公式可得；根据题意，若乙袋中恰有个小球，则两次操作后，取出的两球是同色的，有种情况：（i）第一次都取出红球，第二次都取出红球，其概率为；（ii）第一次都取出红球，第二次都取出白球，其概率为；（iii）第一次都取出白球，第二次都取出红球，其概率为；（iv）第一次都取出白球，第二次都取出白球，其概率为.因此，重复操作两次后，乙袋中恰好有个小球的概率为.故答案为：；.题型09超几何分布解｜题｜策｜略超几何分布的适用范围及本质（1）适用范围：考察对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个题，考察某一类个题个数的概率分布；（2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的。2、超几何分布与二项分布的区别（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；（2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的，而二项分布是“有放回”的抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同点。例1（2025·天津·月考）盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根据二项分布求，根据超几何分布求，即可得结果.【详解】由题意可知：，则，且Y的可能取值为0，1，2，则，可得，，所以，.故选：B.例2（2025·天津·月考）一个不透明的袋子中有10件外观一样的产品，其中有6件正品，4件次品．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出2件产品，记取得次品的件数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出2件产品，记取到次品的件数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用超几何分布和二项分布知识分别计算从中随机地无放回摸出2件产品、从中随机地有放回摸出2件产品的期望、方差，再做比较可得答案．【详解】试验一：从中随机地无放回摸出2件产品，记次品的件数为，则的可能取值是0，1，2，则，，故随机变量的概率分布列为：012则数学期望为：，方差为：；试验二：从中随机地有放回摸出2件产品，则每次摸到次品的概率为，则，故，方差为：，所以，故，．故选：A．【变式1】（2025·天津·月考）已知20条试题中有8条选择题，甲无放回地依次从中抽取5条题，乙有放回地依次从中抽取5条题，甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的5条题中选择题的条数分别为，的期望分别为，方差分别为，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】随机变量服从超几何分布,随机变量服从二项分布，根据超几何分布和二项分布的均值、方差公式计算即可.【详解】由题意可知，的可能取值为，的可能取值为，随机变量服从超几何分布，随机变量服从二项分布，根据超几何分布的均值方差公式得：，即，.根据超二项分布的均值方差公式得：，即，所以，.故选：A.【变式2】（2025·天津·月考）已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布，求出对应的概率，根据数学期望，方差的公式及性质计算即可．【详解】根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布，故所以，，故选：D．题型10正态分布解｜题｜策｜略关于正态总体在某个区间内取值的概率求法（1）熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．（2）充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等；②P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)．例1（2025·天津·二模）如图是两个正态分布的密度函数图象，则下列表述正确的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根据给定的函数图象，结合正态分布的密度函数图象性质判断即得.【详解】令对应的正态密度函数分别为，则函数图象的对称轴分别为，且，观察图象，得，，所以，.故选：C例2（2025·天津·一模）已知随机变量，若，则.【答案】【分析】根据正态分布的对称性，结合概率的性质，可得答案.【详解】由，则，所以.故答案为：.【变式1】（2025·天津和平·一模）某物理量的测量结果服从正态分布，下面结论中不正确的是（

）A．该物理量在一次测量中小于2的概率为0.5B．该物理量在一次测量中小于1.98与大于2.02的概率相等C．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等D．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大【答案】C【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.【详解】对于A，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量小于2的概率为，故A正确；对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，故B正确；对于C，因为正态分布密度曲线的性质，该物理量测量结果落在的概率大于落在的概率，所以一次测量结果落在的概率大于落在的概率，故C错误；对于D，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故D正确；故选：C.【变式2】（2025·天津宁河·一模）下列说法不正确的是（

）A．对具有线性相关关系的变量、，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是B．若随机变量服从正态分布，且，则C．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越高D．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14【答案】D【分析】利用线性回归方程中的基本量即可判断选项A，利用正态分布的性质即可判断选项B，根据线性相关系数的性质即可判断选项C，利用百分位数的定义即可判断选项D.【详解】对A：样本点的中心为，所以，，因为满足线性回归方程，所以，所以，A正确.对B：若随机变量服从正态分布，且，则，则，B正确；对C：若线性相关系数越接近，则两个变量的线性相关性越强，C正确；对于D，因为，所以第百分位数为，D错误；故选：D.（建议用时：30分钟）1．（2025·天津·二模）为帮助学生减压，高三某班准备了“幸运抽奖箱”，箱中共有10张卡片，其中6张为“获奖卡”．每位同学随机抽取3张，抽到获奖卡可兑换奖品，每人抽完后箱中恢复原先10张卡片．甲同学参加了一次抽奖活动，则甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率为；若该班有60名同学，每人都恰参加一次抽奖活动，则至少抽到1张“获奖卡”的人数的均值是．【答案】；58【分析】由古典概型的概率公式代入计算，即可得到甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率，再由二项分布的期望公式代入计算，即可得到结果.【详解】甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率为；至少抽到1张“获奖卡”的概率为，设至少抽到1张“获奖卡”的人数为X，则，所以．故答案为：；2．（2025·天津河西·一模）对变量，有观测数据，得散点图；对变量，有观测数据，得散点图2．由这两个散点图可以判断（

）A．变量与正相关，与正相关 B．变量与正相关，与负相关C．变量与负相关，与正相关 D．变量与负相关，与负相关【答案】B【分析】根据散点图点的变化关系确定正负相关性即可.【详解】由变量，的散点图，知随增大，也增大，变量与正相关，由变量，的散点图，知随增大，减小，与负相关.故选：B3．（2025·天津·二模）为研究某奶茶店每日的热奶茶销售量和气温之间是否具有线性相关关系，统计该店（2025年2月6日至3月24日）每天的热奶茶销售量及当天气温得到如图所示的散点图（轴表示气温，轴表示热奶茶销售量），由散点图可知与的相关关系为（

）A．正相关，相关系数的值为0.8 B．负相关，相关系数的值为0.8C．正相关，相关系数的值为 D．负相关，相关系数的值为【答案】D【分析】根据正负相关的概念判断．【详解】由散点图知随着的增大而减小，因此是负相关．相关系数为负．故选：D．4．（2025·天津南开·一模）如图是由一组实验数据得到的散点图，以下四个回归方程类型中适合作为与的回归方程类型的是（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】根据散点图的变化趋势及散点的分布情况判断回归方程的类型.【详解】由散点图中各点的变化趋势：非线性、且上单调递增,且增速越来越快，所以适合指数型模型.故选：C.5．（2025·天津武清·模拟预测）在一个口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的五张卡片，这些卡片除编号不同外其他都相同，从口袋中有放回地摸卡片三次，每次摸一个.则三次摸出卡片的数字有两次不超过3的概率；在已知三次摸出卡片的数字有两次不超过3的前提下，这三次中有一次摸出编号为2的卡片的概率.【答案】【分析】根据题意可知三次试验中恰好两次成功的概率服从二项分布，由二项分布的概率计算公式即可求解①；求出事件A与事件AB包含的样本点个数，根据条件概率计算即可.【详解】由题意可知，单次摸到不超过3的概率为，超过3的概率为，记事件A=“三次摸出卡片的数字有两次不超过3”三次试验中恰好两次成功的概率服从二项分布，故；事件A的总情况数为，记事件B=“三次中有一次摸出编号为2的卡片”，则事件AB为：有一次摸出编号为2，另外一次为1或3，第三次超过3，可由如下步骤实线事件AB，第一步：从三次摸出卡片中选出一次摸出编号2，共3种情况，第二步：从剩下的两次摸出卡片中选出一次摸出编号1或3，共种情况，第三步：从剩下的一次摸出卡片中选出超过3的编号，共2种情况，由分步乘法计数原理可知，事件AB总情况数为，所以故答案为：，6．（2025·天津·二模）已知一批零件是由甲、乙、丙三名工人生产的，三人生产的产品分别占总产量的、、.已知三人生产产品的次品率分别为、、，现从这批零件中任取一个零件，则它是次品的概率为.【答案】【分析】分别记事件、、表示抽取的一个零件为甲、乙、丙生产的，记事件抽取的一个零件为次品，利用全概率公式可求得的值.【详解】分别记事件、、表示抽取的一个零件为甲、乙、丙生产的，记事件抽取的一个零件为次品，由题意可得，，，，，由全概率公式可得.故答案为：.7．（2025·天津河西·模拟预测）一纸箱中装有4瓶未过期的饮料和2瓶过期饮料．若每次从中随机取出1瓶，取出的饮料不再放回，则在第一次取到过期饮料的条件下，第二次取到未过期饮料的概率为；对这6瓶饮料依次进行检验，每次检验后不再放回，直到区分出6瓶饮料的保质期时终止检验，记检验的次数为，则随机变量的期望为．【答案】【分析】记事件A为“第一次取到过期饮料”，事件B为“第二次取到未过期饮料”，分别求出、，代入条件概率公式求解即可；首先确定终止检验的条件为：同种类型的饮料被全部取出，从而确定X的值，然后分析每个取值的情况并计算概率值，最后代入期望计算公式进行计算.【详解】记事件A为“第一次取到过期饮料”，事件B为“第二次取到未过期饮料”，则，，所以在第一次取到过期饮料的条件下，第二次取到未过期的概率为.随机变量的取值为2,3,4,5，记为“第“i”次取到过期饮料”，，,.故答案为：.8．（2025·天津河北·二模）甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采用3局2胜制．假设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的结果相互独立，则甲以的比分获胜的概率为；在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是．【答案】/【分析】应用独立事件乘法公式求甲以的比分获胜的概率，先确定甲获胜的概率，再求其中甲第一局获胜的概率，最后由条件概率公式求甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率.【详解】若甲以的比分获胜，即一共3局，前两局甲乙各胜一局，最后一局甲胜，所以甲以的比分获胜的概率，事件表示“甲获胜”，则前两局甲获胜，或前两局甲乙各胜一局，最后一局甲胜，所以甲获胜的概率，事件表示“甲第一局获胜”，则，所以.故答案为：，9．（2025·天津·二模）将一个质地均匀的正四面体的四个面上分别写上数字1，2，3，4，并在桌面上连续独立地抛掷次（为正整数）.当时，设为正四面体与桌面接触面上的数字为偶数的次数，则；当时，记正四面体与桌面接触面上的数字分别为，，记事件为“为偶数”，事件为“，中有偶数，且”，则.【答案】/0.25【分析】（1）根据题给条件可判断随机变量服从二项分布，即，再根据即可得解.（2）写出事件包含的事件个数，再根据条件概率公式计算即可.【详解】由题意知，正四面体与桌面接触面上的数字为偶数的概率，且在桌面上连续独立地抛掷次，为正四面体与桌面接触面上的数字为偶数的次数，则随机变量服从二项分布，即，则；正四面体与桌面接触面上的数字分别为，的包含的事件总个数为，事件为“为偶数”包含的事件个数为，事件为“，中有偶数，且”包含的事件个数为.则，，则.故答案为：；.10．（2025·天津·一模）某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程．甲、乙、丙、丁四位同学进行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择，甲和乙选择的课程不同，则四人选课的不同方案共有种；若定义事件为甲和乙选择的课程不同，事件为丙和丁恰好有一人选择的是“九章算术”，则．【答案】30【分析】利用排除法，总的方案数减去甲和乙选择的课程的方案数即可得到甲和乙选择的课程不同的方案数；分有一个人选择“九章算术”和两个人选择“九章算术”两种情况，利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求得事件中包含的方案数，再利用条件概率公式求得【详解】四个人参加三门选修课程共有种方案，其中甲和乙选择的课程相同共有种方案，所以甲和乙选择的课程不同共有种方案；事件共有种方案，以下考虑事件，即“甲和乙选择的课程不同，丙和丁恰好有一人选择的是九章算术”先从丙、丁两个人中选一个人选择“九章算术”，则有种方案，若四个人中只有一个人选择“九章算术”，则甲、乙分别选择另外两门课程，有种方案，丙、丁中没选择“九章算术”的也从另外两门中选择一门，有种方案，根据分步乘法计数原理，共有种方案；若四个人中有两人选择“九章算术”，则除了包含丙、丁中的一个人外，还包含甲、乙中的一个人，有种方案，其余两人分别选择另外两