2026年高考数学复习讲练测答题模板02“奇函数+常函数”的最大值+最小值及f(a)+f(-a)有关的2类核心题型（解析版）

答题模板02“奇函数+常函数”的最大值+最小值及f(a)+f(-a)有关的2类核心题型目录第一部分命题解码洞察命题意图，明确攻坚方向第二部分方法建模构建方法体系，提供通用工具【结论背记清单】方法一求“奇函数+常函数”的最大值+最小值方法二求“奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)的值第三部分题型专攻实施靶向训练，提升应试效率。【题型01】求“奇函数+常函数”的最大值+最小值【题型02】求“奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)的值第四部分答题实战检验学习成效，锤炼应用能力模块说明：洞察命题意图，明确攻坚方向模块说明：洞察命题意图，明确攻坚方向1.考向聚焦：精炼概括本专题在高考中的核心考查方向与价值。

2.思维瓶颈：精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板。1.考向聚焦1.考向聚焦（精炼概括本专题在高考中的核心考查方向与价值）高考对“奇函数+常数”模型的考查，核心在于对称中心的平移与最值的配对关系。试题通常围绕以下几点展开：最值之和定值：若h(x)=f(x)+c，其中f(x)

为奇函数，则h(x)

在对称区间上的最大值

MM

与最小值m

满足

M+m=2c（若最值存在）。和值定常数：已知

h(a)+h(−a)=k，可推出常数

c=k/2，进而求解参数或函数值。图像对称应用：函数h(x)

的图像关于点(0,c)

中心对称，利用对称性简化作图、解方程或不等式问题。与其他性质综合：结合单调性、周期性，在动态区间中讨论最值或求参数范围。考查价值：强化函数代数结构与几何特征的统一，提升学生通过性质迁移解决复杂问题的能力。2.思维瓶颈（精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板）常见误区与短板如下：误区1：最值对称错觉

误认为奇函数加常数后，最大值与最小值仍互为相反数，忽略常数平移导致的M+m=2c。误区2：结构识别障碍

面对复杂表达式，不能主动分离出奇函数部分与常数项，导致盲目计算。误区3：定义域忽视

讨论最值或f(a)+f(−a)

时，忽略定义域是否对称，或忽略区间端点对最值的影响。误区4：对称中心混淆

将关于点(0,c)

的对称与关于

y

轴的对称混淆，导致图像或性质推理错误。能力短板

代数变形中的结构识别能力、数形结合的快速转化能力、含参讨论中的整体思维。模块说明：构建思维框架，提炼通用解法模块说明：构建思维框架，提炼通用解法1.模模块化知识体系：熟记“奇函数+常函数”的最大值+最小值及f(a)+f(-a)的相关知识内容，形成清晰的解题思维基础逻辑，便于快速定位解题切入点。2.通用解法模板化：针对高频题型，总结“审题-建模-推导-验证”法，规范解题流程，减少思维漏洞，提升答题效率。3.易错点专项突破：整理常见误区，设计针对性训练题，通过对比正确与错误解法，强化对知识边界的理解，避免重复犯错。结论背记二级结论1.在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，则最大值，最小值有，即倍常数在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，有即倍常数与指数函数相关的奇函数和偶函数，（，且）为偶函数，，（，且）为奇函数和，（，且）为其定义域上的奇函数和，（，且）为其定义域上的奇函数为偶函数与对数函数相关的奇函数和偶函数，（且）为奇函数，，（且）为奇函数技法归纳方法一求“奇函数+常函数”的最大值+最小值此方法专用于处理一类特定结构的函数（一个奇函数加上一个常数）。其核心在于利用奇函数的中心对称性，推导出复合函数最值之间的定量关系（和为一个定值），从而将两个最值问题转化为一个最值问题，是简化计算的经典技巧。第一步：设函数形式设

g(x)=f(x)+k，其中

f(x)

为奇函数，k

为常数第二步：利用奇函数性质f(−x)=−f(x)第三步：求g(x)

的对称性g(x)+g(−x)=2k，说明

g(x)

关于点(0,k)

对称第四步：求最值关系若

g(x)

在区间上可导或有界，则最大值

M

和最小值

m

满足：

M+m=2k详细分析：已知奇函数加常数的最值，求相关值问题模式：设hx=fx+c,fx为奇函数，已知h解题步骤：1.写出关系式：由hx=fh2.代入最值点：设hx在x0处取得最大值M,则h−x0关键推论：若最大值点x0∈−a,a,则M3.利用已知条件：。若已知M和c,则m=2。若已知M和m,则c=4.验证定义域与最值存在：确保区间对称，最值存在且取得点对称。例题1设函数的最大值为，最小值为，则.【答案】4052【分析】化简函数，设，可得函数在上为奇函数，进而得到，进而求解即可.【详解】，设，定义域关于原点对称，由，知函数为奇函数，，因为，，所以.故答案为：4052.例题2已知函数，，其最大值与最小值分别为和，则．【答案】10【分析】根据函数为奇函数，所以，即可知．【详解】因为，所以函数为奇函数，即有，若存在，则由知，，所以．故答案为10．【点睛】本题主要考查对数型函数的奇偶性的判断和函数奇偶性的运用．例题3函数在区间内的最大值为M，最小值为N，其中，则．【答案】6【分析】把分离常数变形，再判断为奇函数，最后利用奇函数的对称性求出结果.【详解】由题意可知，，设，的定义域为，所以，所以为奇函数，所以，所以故答案为：方法二求“奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)的值这是对“奇函数+常函数”结构的直接代数应用，比求最值更为基础。关键在于识别结构后，利用奇函数的性质直接消去变化部分（奇函数），得到恒定结果。此方法常用于快速求值或验证。第一步：设

g(x)=f(x)+k其中f(x)

为奇函数第二步：写出

g(a)

与g(−a)g(a)=f(a)+k，g(−a)=f(−a)+k第三步：利用奇函数性质f(−a)=−f(a)第四步：求和化简g(a)+g(−a)=2k

⇒

f(a)+f(−a)=0例题4已知函数，则.【答案】【分析】由，可得，进而将代入函数解析式进行求解即可.【详解】已知，得：，即：，由此可得：.故答案为：例题5已知函数，若，则.【答案】【分析】由奇函数的性质进行求解即可．【详解】设，显然定义域为，又，则，所以是上的奇函数：又也是上的奇函数，所以也是上的奇函数，因此，则.故答案为：模块说明：模块说明：聚焦前沿题型，靶向提升解题能力1.精选各省市最新模拟题，确保训练内容紧密贴合当前考查方向与命题动态，帮助学生把握前沿考点。2.按题型进行系统分类与专项训练，使学生能够集中突破特定题型，深度掌握其核心解题思路与技巧。题型01求“奇函数+常函数”的最大值+最小值（共10题）1．设函数的最大值为，最小值为，则=.【答案】2【详解】，令，则为奇函数，所以的最大值和最小值和为0，又.有，即.答案为：2.2．函数在上的最大值和最小值分别为，则．【答案】2【分析】先化简函数，再结合奇函数的性质得出函数值即可.【详解】，令，,为奇函数，所以关于对称,所以关于对称，所以．故答案为：2.3．（2025·湖南邵阳·模拟预测）设函数，，当曲线和恒有交点时，记实数的最大值为，最小值为，则.【答案】0【分析】由题意得，即，令，验证奇偶性，利用奇偶性即可求解.【详解】依题意，令，即，令，，是奇函数，，故.故答案为：0.4．已知函数的最大值为M，最小值为m，则.【答案】4【分析】先化简，再应用奇函数的最大值与最小值和为0，最后计算得出最值和.【详解】==2+，令,则，所以为奇函数，的最大值与最小值的和为0，故,故.故答案为：4.5．已知函数，的最大值为M，最小值为m，则.【答案】【分析】构造，定义判断奇偶性，利用对称性有，即可求解．【详解】令，且，，所以为奇函数，且在上连续，根据奇函数的对称性：在上的最大、最小值关于原点对称，则，故．故答案为：．6．已知函数的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝．【答案】【分析】设，判断是奇函数，故，从而可求解.【详解】设，则的定义域为，则，∴，是奇函数，因此.又，，∴，．故答案为:.7．设函数，若函数在上的最大值为M，最小值为m，则．【答案】2【分析】令，证得为奇函数，从而可得在的最大值和最小值之和为0，进而可求出结果.【详解】设，定义域为,则，所以，即，所以为奇函数，所以在的最大值和最小值之和为0，令，则因为，所以函数的最大值为，最小值为，则，．∴．故答案为：2.8．已知函数，若在区间上的最大值和最小值分别为M，N，则函数的图象的对称中心为．【答案】/【分析】利用函数的奇偶性的定义及性质，结合函数的对称性即可求解.【详解】由题意可知，所以.故函数在定义域内为非奇非偶函数，令，则，所以在定义域内为奇函数.设在上的最大值为，则最小值为，所以在上的最大值为，最小值为，所以..因为，所以图象的对称中心为.故答案为：.9．函数，若最大值为，最小值为，，则的取值范围是.【答案】【分析】先化简，然后分析的奇偶性，将的最大值和小值之和转化为和有关的式子，结合对勾函数的单调性求解出的取值范围.【详解】，令，定义域为关于原点对称，∴，∴为奇函数，∴，∴，，由对勾函数的单调性可知在上单调递减，在上单调递增，∴，，，∴，∴，故答案为：.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于函数奇偶性的判断，同时需要注意到奇函数在定义域上如果有最值，那么最大值和最小值一定是互为相反数.10．已知函数，，若的最大值为，最小值为，则.【答案】【分析】先对变形得，再构造函数，判断为奇函数，从而由奇函数的性质可得答案【详解】由题意可得，令，则，因为所以为奇函数，所以在最大值与最小值之和为0，所以.故答案为：8【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性的应用，解决本题的关键是将函数变形，得到后，判断函数为奇函数，考查计算能力，属于中档题题型02求“奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)的值（共4题）11．已知函数，若，则．【答案】【分析】令，根据函数奇偶性计算即可求解.【详解】令，则，函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以函数是定义在的奇函数，因为，所以，解得.故答案为：12．已知函数，，则.【答案】【分析】由奇函数的性质列方程求解即可．【详解】设，显然定义域为，又，则，所以是上的奇函数，因此，则.故答案为：13．已知函数，若，则．【答案】【分析】构造奇函数，利用奇函数性质求解即可.【详解】设，则，由，，则，故答案为：.14．已知，为导函数，若，则．【答案】2025【分析】先求，根据奇函数的性质可得，结合题意运算求解．【详解】因为，则，所以，得，又，故．故答案为：2025．模块说明：答题模块说明：答题强化训练，实现能力跃迁。模块题量适中，全部选用最新高质量模拟题，侧重对方法模型的直接应用与巩固。题量15题一、单选题1．已知函数，若，则（

）A． B． C． D．4【答案】B【分析】根据函数解析式及函数值求得另一个函数值即可.【详解】由题知，，则则故选：B2．若奇函数在上是增函数，且最小值是1，则它在上是（）A．增函数，最小值-1 B．增函数，最大值-1C．减函数，最小值-1 D．减函数，最大值-1【答案】B【分析】根据奇函数在对称区间上的单调性相同与奇函数易得.【详解】因为函数是奇函数，且在上是增函数，又函数在对称区间上单调性相同，故函数在上是增函数，在-1处取得最大值，由奇函数的性质得到故选:B.3．已知函数在上的最大值为，最小值为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】化简得，令，结合的奇偶性以及，即可求得答案.【详解】，令，函数的定义域为，定义域关于原点对称，，所以是奇函数，则在上的最大值与最小值的和为0，从而，则，故选：A.4．若和都是奇函数，且在上有最大值5，则在上A．有最小值-5 B．有最大值-5 C．有最小值-1 D．有最大值-1【答案】C【详解】记则，故选C.考点：函数的奇偶性；函数的最值5．已知函数对于任意实数，恒有，若函数的最小值为，则的最大值为（）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】D【分析】根据条件判断出的奇偶性，然后构造函数结合条件判断出的奇偶性，再根据最值的关系可求得.【详解】因为对任意实数，恒有，令，所以，所以，令，所以，所以，且定义域为关于原点对称，所以为奇函数，令，则，且定义域为关于原点对称，所以为奇函数，令，其中为奇函数，所以为奇函数，由奇函数的图象特点可知，所以，所以，故选：D.6．若对，，有，则函数在上的最大值与最小值的和为（

）A．4 B．6 C．9 D．12【答案】B【分析】构造奇函数，根据其奇偶性与最值之间的关系，结合其与的关系，即可求得结果.【详解】令，定义域关于原点对称；又；由，，有可得：，即，同时亦可得：，则;故，则为奇函数，则其在对称区间上的最大值和最小值的和为，又，故在上的最大值和最小值的和为.故选：B.7．若定义上的函数满足：对任意有若的最大值和最小值分别为，则的值为（

）A．2022 B．2018 C．4036 D．4044【答案】D【分析】由赋值法可得，构造，说明为奇函数，由可得结果.【详解】对任意有，则令，令，令，则，故为上的奇函数，故.故选：D.8．已知函数的定义域为，对任何实数、，都有，且函数的最大值为，最小值为，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令求得，令，可得，进而可得是上的奇函数，再由是奇函数，可得是奇函数，根据奇函数的最大值与最小值互为相反数即可求解.【详解】因为函数的定义域为，对任何实数、，都有，令可得，解得，令，可得，所以，即，所以函数是上的奇函数，因为是上的奇函数，所以是上的奇函数，所以，即，所以，故选：A9．若对，有，函数在区间上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】B【分析】利用已知条件可得，则为奇函数，构造即可知为奇函数，又由上存在最大、最小值，易知最小、最大值的和为0，即可求最大、最小值的和.【详解】由题设，且，∴，则，∴为奇函数，令，∴，即是奇函数，∴在上的最小、最大值的和为0，即，∴.故选：B【点睛】关键点点睛：由题设求出，构造奇函数，根据区间内存在最值可知，进而求最值的和.二、填空题10．已知函数，，则．【答案】【分析】发现，计算可得结果.【详解】因为，，且，则.故答案为-2【点睛】本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现是关键，属于中档题.11．若定义在R上的函数为奇函数，设，且，则的值为．【答案】【分析】根据为奇函数得到的对称中心为，再结合得到的对称中心为，然后利用对称性求即可.【详解】由可得，因为为奇函数，所以的对称