2026年高考数学复习讲练测专题12 计数原理与概率统计（北京专用）（原卷版）

专题12计数原理与概率统计

目录

第一部分题型破译微观解剖，精细教学

典例引领方法透视变式演练

【选填题破译】

题型01排列应用

题型02组合应用

题型03二项式系数

题型04二项式系数和

题型05互斥、对立事件的概率

题型06古典概型的概率

题型07条件概率与全概率公式

题型08独立事件的概率

题型09超几何分布的应用

题型10正态分布的应用

题型11随机抽样样本的数字特征

题型12回归分析

【解答题破译】

题型01离散型随机变量的分布列

题型02二项分布及其应用

题型03频率分布直方图

题型04独立性检验

第二部分综合巩固整合应用，模拟实战

题型01排列应用

【例1-1】（25-26高三上·北京顺义·开学考试）甲、乙、丙、丁4人排成一列，且甲、乙均不在第一个位置，

则不同的排法种数共有（）

A．6B．12C．24D．36

【例1-2】（25-26高一上·北京·期中）某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将

这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有种.（用

数字作答）

1、定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，被限

制的位置称为特殊位置．这一类问题通常以三种途径考虑：

（1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素；

（2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置；

（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数．

2、捆绑法：相邻问题把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列；

3、插空法：不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；

4、定序问题除法处理：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列

【变式1-1】（2025高二·全国·专题练习）5人参加百米赛跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有

种情况.

【变式1-2】（24-25高二下·北京东城·期末）用0，1，2，3，4组成一个无重复数字的三位数，要求个位与

百位的数字为偶数，十位数字为奇数，则共计可以组成的正整数的个数为（）

A．4B．6C．8D．20

题型02组合应用

【例2-1】（24-25高二下·北京平谷·期末）某学校从5名男生和3名女生中推荐3人参加区级演讲比赛，若

选出的3人既有男生又有女生，则不同的选法有（）

A．45种B．56种C．15种D．30种

【例2-2】（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·月考）现有5本不同的书《天工开物》、《梦溪笔谈》、《齐民

要术》、《本草纲目》、《九章算术》，则下列说法正确的是（）

A．将全部的书放到6个不同的抽屉里，一个抽屉可放多本书，有56种不同的放法

B．将全部的书放在同一层书架上，要求《本草纲目》和《九章算术》相邻，有96种不同的放法

C．将五本书排成一排，则《天工开物》、《梦溪笔谈》按从左到右（可以不相邻）的顺序排列的不同

的排法有120种

D．将书分给3位不同的学生，其中一人1本，一人2本，一人2本，有90种不同的分法

组合问题常有以下两类题型变化：

(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；

“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.

(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个

关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，

用间接法处理.

分组分配问题

(1)解题思路：先分组后分配，分组是组合问题，分配是排列问题.

(2)分组方法：①完全均匀分组，分组后除以组数的阶乘；②部分均匀分组，有m组元素个数相同，则

分组后除以m!；③完全非均匀分组，只要分组即可.

(3)分配方法：①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数

原理，先分组后分配；③有限制条件的分配问题，采用分类求解.

【变式2-1】（25-26高三上·北京·开学考试）设集合A1,0,1，Bx1,x2,x3,x4,x5,x6xiA,i1,2,3,4,5,6，

那么集合B中满足1x1x2x3x4x5x63的元素的个数为（）

A．144B．184C．232D．252

【变式2-2】（24-25高二下·北京平谷·期末）某学校从5名男生和3名女生中推荐3人参加区级演讲比赛，

若选出的3人既有男生又有女生，则不同的选法有（）

A．45种B．56种C．15种D．30种

题型03二项式系数

5

a3

【例3-1】（25-26高三上·北京东城·期中）在xx0展开式中，x的系数为10，那么实数a．

x

7

1

【例3-2】（25-26高三上·北京·月考）x的展开式中，系数最小的项为.

x

二项式定理的概念

①二项式定理：

�0�01�−11��−����

②通项公式：�+�=����+����+⋯+����⋯+����∈�∗

��−��

��+1=����

③二项式系数：二项式系数为，，…，

01�

④共有n＋1项������

二项式系数的性质

①对称性：

��−�

②二项式系数��的=最��值：当为偶数时，中间一项的二项式系数最大

当为奇数时，中间两项的�二项式系数相等且最大

注意�：b有可能是负数；第k+1项是；系数与二项式系数的区别

��−��

����

6

14

【变式3-1】（25-26高三上·北京西城·月考）2x的展开式中含x项的系数为．（用数字作

x

答）

4

31

【变式3-2】（25-26高三上·北京东城·月考）2x的展开式中的常数项是．

x

题型04二项式系数和

4432

【例4-1】（25-26高三上·北京·期中）若(2x1)a4xa3xa2xa1xa0，则a4a3a2a1（）

A．1B．1C．80D．81

4234

【例4-2】（25-26高三上·北京顺义·期中）已知13xa03a1x9a2x27a3x81a4x，则a0；

a1a2a3a4.

1、二项式系数和：

012��

��+��+��+⋯+��=2

024135�−1

�2、�+用�赋�值+�法�求+二⋯项=式��系+数�和�+，�令�其+中⋯的=未2知数为1或为-1等。

55432

【变式4-1】（25-26高三上·北京西城·月考）若(2x1)a5xa4xa3xa2xa1xa0，则

a1a2a3a4a5（用数字作答）

n

【变式4-2】（25-26高三上·北京·月考）在x1的二项展开式中，若各项系数和为64，则x2项的系数

为．

题型05互斥、对立事件的概率

2

【例5-1】（2025高三·北京·专题练习）已知事件A，B互斥，且事件A发生的概率PA，且事件B发

5

1

生的概率PB，则事件A，B都不发生的概率是.

3

1

【例5-2】（2025高一·全国·专题练习）已知事件A,B互斥，它们都不发生的概率是，且3PAPB，

5

则PB．

互斥事件与对立事件的关系

①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一

必须有一个发生．

②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条件，而

“对立”则是“互斥”的充分不必要条件．

判断互斥对立事件可根据

1、利用互斥跟对立事件的定义来判断，互斥事件的定义比对立的更严。

2、可以借助集合的方法来解决事件问题。

【变式5-1】（24-25高二下·北京·月考）甲、乙、丙、丁4人每人随机选取VisualBasie，VisualC++，VisualFoxpro

三种编程语言之一进行学习，每种编程语言至少有1人学习，A表示事件“甲学习VisualBasic编程语言”；B

表示事件“乙学习VisualBasic编程语言”；C表示事件“乙学习VisualC++编程语言”，则下列结论错误的是（）

A．事件A与B相互独立B．事件A与C不是互斥事件

51

C．P(C∣A)D．P(B∣A)

126

【变式5-2】（2024高三·北京·专题练习）一个袋中装有大小、质地相同的3个红球和3个黑球，从中随机

摸出3个球，设事件A“至少有2个黑球”，下列事件中，与事件A互斥而不互为对立的是．

①．都是黑球②．恰好有1个黑球③．恰好有1个红球④．至少有2个红球

题型06古典概型的概率

【例6-1】（2025高二下·北京·学业考试）北京中轴线纵贯北京老城中心，北起钟鼓楼，南至永定门，途经

多处著名景点，展现了中国传统都城规划理念及“中”“和”哲学思想的深刻内涵．为传播北京中轴线文化，某

社会实践活动小组准备从北京中轴线上的万宁桥、景山、故宫和天安门4个景点中随机选取2个景点做策

划方案，则选取的2个景点包含故宫的概率是（）

1112

A．B．C．D．

4323

【例6-2】（2025高三·全国·专题练习）在正方体ABCDA1B1C1D1的各个顶点与各棱中点共20个点中，任

取2个点连成直线，在这些直线中任取1条，它与对角线BD1垂直的概率为．

1、确认是否为古典概型：试验样本空间有限（样本点总数有限），每个样本点发生的可能性相等。

2、明确样本空间：列出或计算所有可能的基本事件总数n。

3、确定目标事件：明确所求事件包含哪些基本事件，并计数m。

4、计算概率：概率。

�​

检查是否需考虑顺序�、=分组�等,注意计数时使用排列还是组合，确保分子分母一致。

【变式6-1】（24-25高二下·北京顺义·期末）高二（1）班的某个小组由2名男生和3名女生组成，若从该

小组随机抽取3名学生参加义务植树劳动，则恰有1名男生被抽到的概率为.

【变式6-2】（24-25高二下·北京延庆·期末）2016年11月30日，中国的“二十四节气”被正式列入联合国

教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.二十四节气不仅是一种时间体系，更是一套具有丰富内涵的生

活与民俗系统.《传统廿四节气歌》中的“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小

大寒”，每一句诗歌的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的6个节气.某个小组在参加“跟

着节气去探究”综合实践活动时，要从24个节气中选择2个节气，则2个节气恰好在同一个季节的概率

为.

题型07条件概率与全概率公式

【例7-1】（24-25高二下·北京房山·期末）某农场种植的水果由甲、乙两块果园产出，甲果园产量占总产量

的65%，乙果园产量占总产量的35%.甲果园水果的优质率为80%，乙果园水果的优质率为60%.从农场所有

水果中随机选一个，估计选到优质水果的概率为.

【例7-2】（24-25高二下·北京大兴·期末）已知事件A与事件B相互独立，事件A的概率PA0.5，事

件B的概率PB0.4，则PAB；PAB．

1、条件概率：一般地,当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0),已知事件B发生的条件下事件A发生的概

率,称为条件概率,记作P(A|B),而且P(A|B).

��∩�

（1）如果和是两个互斥事件，则=��；

（2）设和�互�为对立事件，则��∪��=��.�+���

2、全概率�公�式：设A1,A2,…,An是�一�组�两=两1互−斥�的�事�件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n，

则对任意的事件BΩ，有，i＝1,2，…，n

�

⊆��=�=1�������

3、贝叶斯公式：设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n，

则对任意的事件BΩ，，有，i＝1,2，…，n

��������������

��

条件概率强调样本⊆空间受�限�，>全0概率是�由�原�因推=结果�的�分解=求和�=1，��贝��叶�斯��是由结果推原因的概率修正。

【变式7-1】（2024·北京朝阳·模拟预测）现有一种检验方法，对患X疾病的人化验结果99%呈阳性，对未

患X疾病的人化验结果99.9%呈阴性．我们称检验为阳性的人中未患病比例为误诊率．已知一地区X疾病

的患病率为0.0004，则这种检验方法在该地区的误诊率为（）

A．0.716B．0.618C．0.112D．0.067

【变式7-2】（2024·北京石景山·一模）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，若从中不放回地取球2次，

每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到白球”为事件B，则PB|A（）

4234

A．B．C．D．

15555

题型08独立事件的概率

【例8-1】（2025高三·全国·专题练习）已知PA0，PB0，PC0，下列说法错误的是（）

A．若事件A，B独立，则PAPA|B

B．若事件A，B互斥，则P(B|A)P(A|B)

C．若事件A，B独立，则P(C|AB)P(C|A)P(C|B)

D．若事件A，B互斥，事件A，C独立，事件B，C独立，则P(C|AB)P(C|A).

【例8-2】（2026高三·全国·专题练习）已知A、B为两个随机事件，1PA，PB0，则“A、B相互独

立”是“PA|BPA|B”的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

1、独立事件的概念与判断：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立．

2、如果事件，互相独立，那�么�与，与，与�(也��都)相=互�(独�)立�(．�)��

3、当�时�，与独立的充�要条�件是����．

�(�)>0���(�|�)=�(�)

【变式8-1】（25-26高二上·广东中山·月考）已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B如图所示.其中

nΩ12,nA6,nB4,nAB8，则事件A与事件B（）

A．是互斥事件，不是独立事件B．不是互斥事件，是独立事件

C．既是互斥事件，也是独立事件D．既不是互斥事件，也不是独立事件

【变式8-2】（25-26高二上·江苏南京·月考）在古典概型中，我们记某事件C含有的样本点个数为nC，

若一个古典概型的样本空间Ω和事件A,B满足nΩ12,nA6,nB4,nAB8，则事件A与事件B

（）

A．是互斥事件，不是独立事件

B．不是互斥事件，是独立事件

C．既是互斥事件，也是独立事件

D．既不是互斥事件，也不是独立事件

题型09超几何分布的应用

【例9-1】（24-25高二下·北京·期中）一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大

小的白球，编号为7,8,9,10，现从中任取4个球.则下列结论中不正确的是（）

A．取出的最大号码X不服从超几何分布

B．取出的黑球个数Y服从超几何分布

1

C．取出2个白球的概率为

14

1

D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为

14

【例9-2】（25-26高二上·全国·课前预习）一般地，设有N件产品，其中有MMN件次品.从中任取n(nN)

件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(Xk)，

max0,nNMkminn,M.其中nN,MN,n,M,NN.公式中的k可以取的最小值为

max0,nNM，而不一定是0.若一个随机变量X的分布列由上式确定，则称随机变量X服从参数

为N,M,n的.

超几何分布的解题步骤：

1、模型识别与参数确定

确认试验符合不放回抽样特征，并确定三个参数：总体容量N，总体中“成功”元素个数M，抽取样本量n

则随机变量XX服从超几何分布XH(N,M,n)。

2、概率计算

∼

利用超几何概率公式直接计算X=k的概率：��−�

��−�

�

3、分布列表示��=�=�

将X的所有可能取值及其对应概率整理为分布列（通常用表格形式呈现）。

【变式9-1】（2025高二·全国·专题练习）设袋中有N个球，其中有M个红球，NM个黑球，从中任取n

个球，则恰有k个红球的概率为.

【变式9-2】（25-26高三上·北京·开学考试）袋中有5个形状相同的乒乓球，其中3个黄色2个白色，现从

袋中随机取出3个球，则恰好有2个黄色乒乓球的概率是．

题型10正态分布的应用

【例10-1】（25-26高三上·北京·月考）设随机变量～N(0,1)，若P(1)p，则P(10)．（用

含有P(1)p的式子表示）

1

【例10-2】（24-25高二下·北京·期末）随机变量X~N,2,Y~B12,p,PX3,EXEY，

2

则DY．

利用正态曲线的对称性求解相关概率问题，主要依据以下两个基本性质：

1、正态曲线关于直线x=μ对称；

2、曲线与x轴所围成的总面积为1。

【变式10-1】（24-25高二下·北京通州·期末）随机变量X服从正态分布N3,2，P0X60.6，则

PX0（）

A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4

1

【变式10-2】（2024·北京通州·三模）已知随机变量X~N(,2)，Y~B(6,p)，且P(X4)，E(X)E(Y)，

2

则p．

题型11随机抽样样本的数字特征

【例11-1】（2025高二下·北京·学业考试）甲、乙两名射击运动员在一次射击测试中各射靶5次，每次命

中的环数如下：

甲86867

乙589310

2222

则甲运动员命中环数的平均数是；记甲、乙两名运动员命中环数的方差分别是s甲和s乙，则s甲s乙.

（填“>”，“=或“<”）

【例11-2】（25-26高一上·北京海淀·月考）空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数

划分为[0,50),[50,100),[100,150)，[150,200),[200,250)和[250,300]六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中

度污染”、“重度污染”和“严重污染”，六个等级．如图，是我市冬季某月连续14天的空气质量指数趋势图，

则下列说法中正确的是（）

A．这14天中有5天空气质量为“中度污染”

B．从第三天到第七天空气质量越来越好

C．这14天中空气质量指数的中位数为196.5

D．连续三天中空气质量指数方差最小的是5日到7日

1、众数反映数据出现最频繁的取值，能够体现数据的“最大集中点”，但它对数据整体的分布不敏感，容易

忽略其他取值的信息，因此无法全面、客观地反映总体特征。

2、中位数将样本数据按大小排列后位于中间位置，可视作频率累积分布的中心分割点，它不受极端值影响，

对数据中的异常值具有较好的稳健性，适用于偏态分布或存在极端值的数据描述。

3、平均数综合考虑了样本中每一个数据的取值，能够反映出数据总体的集中趋势，包含较为丰富的总体信

息。然而，平均数容易受到极端值（离群值）的影响，在数据分布严重偏斜或存在异常值时，其代表性可

能会被削弱。

如果直方图的形状是对称的，那么平均数与中位数应该大体上差不多；但是如果直方图的性质不是对称的，

那么和中位数相比，平均数总在“长尾巴”那边。

【变式11-1】（25-26高二上·北京海淀·月考）两位射击运动员在射击测试中各射靶10次，每次命中的环数

如下：

甲79785491074

乙85787610677

用x1，x2分别表示甲､乙两名运动员10次射击成绩的平均数，用s1，s2分别表示甲､乙两名运动员10次射

击成绩的标准差，则有（）

A．x1x2，s1s2B．x1x2，s1s2

C．x1x2，s1s2D．x1x2，s1s2

【变式11-2】（2025高二下·北京·学业考试）空气质量指数（简称AQI）反映了空气质量的状况，空气质量

等级划分如下：

AQIAQI

AQI50AQI100100AQI150150AQI200200AQI300

≤50300

空

气

质严重

优良轻度污染中度污染重度污染

量污染

等

级

下图是某校科学兴趣小组根据10月8日至27日测得的AQI绘制的折线图：

根据上述信息，下列结论中正确的是（）

A．10月8日至27日的空气质量等级为优的天数为10

B．10月8日至27日的AQI的极差小于150

C．10月8日至27日的AQI的中位数是17日的AQI

D．10月8日至27日的AQI逐渐增大

题型12回归分析

【例12-1】（25-26高二上·全国·单元测试）最近7年，我国生活垃圾无害处理量如下表：

年份序号X1234567

处理量Yy1y2y3y4y5y6y7

7772

通过计算得，，，，则样本相关系数（）

yi9.32xiyi40.17y1y0.5572.65r

i1i1i1

A．0.99B．0.95C．0.9D．0.85

【例12-2】（2025·上海浦东新·二模）研究变量x，y得到一组成对数据xi,yi，i1,2,,n，先进行一次线

1n1n

性回归分析，接着增加一个数据xn1,yn1，其中xn1xi，yn1yi，再重新进行一次线性回归分

ni1ni1

析，则下列说法正确的是（）

A．变量x与变量y的相关性变强B．相关系数r的绝对值变小

C．线性回归方程yaxb不变D．拟合误差Q变大

1、利用相关系数r判断变量的相关性，当|r|越趋近于1时，两变量的线性相关性越强．

2、当变量的线性相关性很强，或者从散点图分析符合线性相关时，可以用最小二乘法的方法求回归系数

^^

计算出，，，的值；利用公式计算回归系数a，b

��2

注意：�样本�点不�一=1定(�在�−经�验)(�回�−归�直)线上�=，1但��点−�，一定在经验回归直线上.

3、残差分析：绘制残差图,残差(点�均�匀)分布在水平带状区域则模型合适；带状越窄精度

越高

��​=��​−��​

4、量化评价指标:

残差平方和RSS：越小拟合越好

决定系数：越接近1，拟合效果越好（解释变量对预报变量变化的贡献率）

2

�

100

5

【变式12-1】2025·四川成都·一模）一组样本数据(xi,yt),i{1,2,3,,100}.其中xi1895，xi210，

i1

100

，求得其经验回归方程为：，残差为对样本数据进行处理：，

yi970y0.02xa1ei.xiln(xi1895)

i1

得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为，分布如图所示，且

(xi,yi)y0.42xa2i.eii

22，则下列说法错误的是（）

eN(0,1),N(0,2)

．样本负相关．

Axi,yiBa149.7

22

C．12D．处理后的决定系数变大

【变式12-2】（25-26高三上·全国·月考）已知相关变量x和y的散点图如图所示，若用ykxb与ybaxc

2222

拟合时，决定系数分别为R1和R2，则比较R1和R2的大小结果为（）

222222

A．R1R2B．R1R2C．R1R2D．不确定

题型01离散型随机变量的分布列

【例1-1】（25-26高三上·北京·月考）某大学A学院共有学生千余人，该学院体育社团为了解学生参与跑步

运动的情况，按性别分层抽样，已知A学院男生与女生人数之比为16:9，从该学院所有学生中抽取若干人

作为样本，对样本中的每位学生在5月份的累计跑步里程进行统计，得到下表.

跑步里程

0s3030s6060s90s90

（skm）

男生a9106

女生6642

用样本频率估计总体概率.

(1)求a的值，并估计从A学院所有学生中抽取一人，该学生5月份累计跑步里程（skm）在0,30中的概率；

(2)从A学院男生样本中随机抽取2人，从A学院女生样本中随机抽取1人，将这3人中在5月份的累计跑步

里程不低于60km的人数记为X，求X的分布列和数学期望；

(3)该大学B学院男生与女生人数之比为，B学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，也按性别进

行分层抽样，已知A学院和B学院的样本数据整理如下表.

5月份累计跑步里程平均值（单位：km）

性别学院

AB

男生5059

女生4045

设A学院样本中学生5月份累计跑步里程平均值为xA，B学院样本中学生5月份累计跑步里程平均值为xB，

是否存在，使得xAxB？如果存在，求的最大值；如果不存在，说明理由.

【例1-2】（25-26高三上·北京昌平·月考）在一次学业水平测试中，有一道填空题考查核心概念，A，B两

所中学的高二年级学生都参加了测试．为分析学生对该概念的掌握情况，随机抽取了A，B两校高二年级各

150名学生的答题数据，其中A校学生作答正确的人数为120，B校学生作答正确的人数为105．

假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率．

(1)估计A校高二年级学生该题作答正确的概率p；

(2)从A，B两校高二年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题作答正确的人数，估计X1的

概率及X的数学期望；

(3)假设：若未掌握该概念，学生作答正确的概率为40%（因题目有一定提示性）；若掌握该概念，A校学

生作答正确的概率为100%，B校学生作答正确的概率为75%．设A，B两校高二年级学生掌握该概念的概

率估计值分别为p1，p2，判断p1，p2的大小．（结论不要求证明）

1、判断分布类型

确认随机变量：明确问题中的随机变量X及其可能取值

识别分布类型：若为不放回抽样且关心“次品数”、“合格数”等→超几何分布

若为独立重复试验（每次成功概率相同）→二项分布

若为有限等可能抽样且涉及特定计数→可考虑古典概型计算

2、确定参数并计算概率：根据类型选用公式，依次计算X取每一个可能值的概率

3、整理分布列，列成表格，验证概率和为1

4、应用与计算：求期望值或方差等。

注意：先判断类型再计算，避免公式误用，注意随机变量取值的完整性与互斥性计算后务必检查概率总和

是否为1（可避免计算错误）

【变式1-1】（25-26高二上·全国·单元测试）袋中有大小形状相同的5个球，其中3个红色，2个黄色．

(1)两人依次不放回各摸一个球，求第一个人摸出红球，且第二个人摸出黄球的概率；

(2)甲从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时即停止摸球，记随机变量X为此

时已摸球的次数，求：①PX2的值；②随机变量X的分布列．

【变式1-2】（25-26高三上·北京·月考）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体

规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若

至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该

队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，该队的比赛成绩记为X，设甲每次

投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立.

(1)若pq0.5，求X的分布列；

(2)若p0.4，q0.5，甲参加第一阶段比赛，求X不小于5的概率；

(3)假设0pq，为使得X的数学期望尽量大，应该由谁参加第一阶段比赛？（直接写出结论）

题型02二项分布及其应用

【例2-1】（2025·北京门头沟·一模）不同AI大模型各有千秋，适用领域也各有所长．为了解某高校甲、乙

两个学院学生对A,B两款不同AI大模型是否使用，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：

甲学院乙学院

使用不使用使用不使用

A款40人80人60人20人

B款70人50人30人50人

假设所有学生对A,B两款大模型是否使用相互独立，用频率估计概率．

(1)分别估计该校甲学院学生使用A款大模型的概率、该校乙学院学生使用A款大模型的概率；

(2)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，从乙学院全体学生中随机抽取1人，记这3人中使用A款大模

型的人数为X，求X的分布列及数学期望EX；

(3)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用B款大模型的人数为Y1，其方差估计值为DY1，

从该校乙学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用B款大模型的人数为Y2，其方差估计值为DY2，

比较DY1与DY2的大小．

【例2-2】（25-26高三上·北京顺义·开学考试）近年来，中国机器人科技水平在政策支持、技术创新及市场

需求的多重驱动下实现了显著提升，尤其在工业机器人、服务机器人及特种机器人领域表现突出.国内某科

技公司致力于服务机器人的发展与创新，近期公司生产了甲、乙、丙三款不同的智能送餐机器人，并对这

三款机器人的送餐成功率进行了测试，获得数据如下表：

甲款机器人乙款机器人丙款机器人

测试次数50100100

成功次数206080

假设每款机器人的测试结果相互独立，用频率估计概率.

(1)估计甲款机器人单次送餐成功的概率；

(2)若让这三款机器人分别执行1次送餐任务，求恰好成功两次的概率；

(3)若让这三款机器人分别执行10次送餐任务，设成功的次数分别为1，2，3，直接写出方差D1，D2，

D3的大小关系.

1、判断是否为二项分布

满足以下3个条件可判定为二项分布：

试验次数固定：共进行n次独立试验

每次试验只关注两个结果：“成功”与“失败”，1与0，“正确”或“错误”等

成功概率恒定：每次试验中成功概率p保持不变

记作：XB(n,p)

1、确定参数与可能取值

∼

明确参数：n：试验总次数，p：每次试验的成功概率

2、确定随机变量取值：X（成功次数）的可能取值为0,1,2,…,n

3、概率的计算：使用二项分布概率公式：

4、列出分布列并计算期望值等。���−�

��=�=��​⋅�⋅1−�,�=0,1,…,�

【变式2-1】（25-26高三上·北京西城·月考）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛

分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：

场次12345678910

甲8101071288101013

乙9138121411791210

丙121191111998911

(1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；

(2)在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X表示乙得分大于丙得分的场数，

求X的分布列和数学期望E(X)；

(3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率．甲、

乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设Y1为甲获胜的场数，Y2为乙获胜的场数，Y3为丙获胜的场数，

写出方差DY1，DY2，DY3的大小关系．

【变式2-2】（24-25高三下·北京·月考）为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学

生开展了冬奥知识竞赛活动.为统计学生成绩，从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数

据如表：

男生818486868891

女生728084889297

用频率估计概率，样本估计总体，回答如下问题.

(1)从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率；

(2)从该校的高一学生中，随机抽取3人，记成绩为优秀（90分）的学生人数为X，求X的分布列和数学

期望；

22

(3)表中男生和女生成绩的方差分别记为s1，s2.现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，与表中男生组成

2222

新的男生样本，方差记为s3.若新抽到的男生的成绩为87分，试比较s1、s2、s3的大小关系.（只需写出结

论）

题型03频率分布直方图

【例3-1】（25-26高一上·北京·月考）某校高二年级期中考试后，为了解本次考试的情况，在整个年级中随

机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为30,50),50,70),70,90),90,110),110,130,130,150共6组，

得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求实数a的值；

(2)在样本中，采取按比例分层抽样的方法从成绩在90,150的学生中抽取13人，问其中成绩在130,150的

学生有几名？

(3)根据图中的样本数据，

①试估计本次考试的中位数；

②假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，估计本次考试的平均分．

已知落在的平均成绩是，落在的平均成绩是，求两组成绩合并后的平均数．

(4)70,907690,11091z

【例3-2】（25-26高二上·北京·月考）2021年起，江苏省实行“3+1+2”高考模式，为让学生适应新高考的赋

分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的化学成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照

考生原始分从高到低按比例划定A、B、C、D、E共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋

分．A等级排名占比15%，赋分分数区间是86100；B等级排名占比35%，赋分分数区间是7185；C等

级排名占比35%，赋分分数区间是5670；D等级排名占比13%，赋分分数区间是4155；E等级排名占

比2%，赋分分数区间是30-40；现从全年级的化学成绩中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行

分析，其频率分布直方图如图所示：

(1)求图中a的值；

(2)求抽取的这100名学生的原始成绩的众数、平均数和中位数；

(3)用样本估计总体的方法，估计该校本次化学成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的C等级及以上（含

C等级）？（结果保留整数）

1、频率分布直方图的基本关系

（1）面积即频率：每个小矩形的面积=组距×频率/组距=该组数据的频率，且所有矩形面积之和为1。

（2）频率、频数与样本容量的关系：频率=频数样本容量频率=样本容量频数​

样本容量=频数÷频率频数=样本容量×频率

2、利用直方图估计数字特征的方法

（1）中位数：寻找使得直方图左、右两侧面积均为0.5的横坐标值，即累积频率首次达到或超过50%的

位置。

（2）平均数：取每个小矩形的面积乘以该组区间中点横坐标，再求和

（3）众数：最高矩形所在区间的组中值，代表数据出现最集中的位置。

补充说明

方差的估计：可先估算各组数据与平均数之差的平方，再结合频率加权计算。

图形理解：直方图的纵坐标（频率/组距）越高，表示该区间数据越密集；面积反映比例，是频率分析的基

础。

【变式3-1】（25-26高三上·北京顺义·开学考试）电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播.比赛

现场有6名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的最终得

分由专家评分和观众评分确定.某选手参与比赛后