2026《金版教程》高考复习方案数学提升版-第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)．1．直线的方向向量设A，B是直线上的两点，则eq\o(AB,\s\up6(→))就是这条直线的方向向量．2．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴eq\x(\s\up1(01))正向与直线leq\x(\s\up1(02))向上的方向之间所成的角α叫做这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为eq\x(\s\up1(03))0°；②直线的倾斜角α的取值范围为eq\x(\s\up1(04))0°≤α<180°．(2)直线的斜率条件公式直线的倾斜角为α，且α≠90°k＝eq\x(\s\up1(05))tanα直线过点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2k＝eq\x(\s\up1(06))eq\f(y2－y1,x2－x1)3.直线的方向向量同斜率的关系若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝eq\x(\s\up1(07))eq\f(y,x)．4．直线方程的五种形式名称条件方程适用范围点斜式斜率k与点(x0，y0)eq\x(\s\up1(08))y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式斜率k与直线在y轴上的截距beq\x(\s\up1(09))y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式两点(x1，y1)，(x2，y2)eq\x(\s\up1(10))eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝y2)截距式直线在x轴、y轴上的截距分别为a，beq\x(\s\up1(11))eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式—eq\x(\s\up1(12))Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平面直角坐标系内的直线都适用1．直线的斜率k与倾斜角α之间的关系．α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0不存在k<0牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论．”2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量v＝(A，B)，一个方向向量a＝(－B，A)．1．(人教A选择性必修第一册2.1.1练习T5改编)过A(2，4)，B(1，m)两点的直线的一个方向向量为(－1，1)，则m＝()A．－1 B．1C．5 D．3答案：C解析：解法一：由题意可知eq\f(m－4,1－2)＝－1，∴m＝5.故选C.解法二：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，m－4)，∴m－4＝1，即m＝5.故选C.2．直线x＋eq\r(3)y＋1＝0的倾斜角是()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(5π,6)答案：D解析：由直线的方程得直线的斜率k＝－eq\f(\r(3),3)，设该直线的倾斜角为α，则tanα＝－eq\f(\r(3),3)，又α∈[0，π)，所以α＝eq\f(5π,6).3．(人教A选择性必修第一册练习T3改编)倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是()A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0答案：D解析：直线的斜率为k＝tan135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.4．(人教A选择性必修第一册习题2.2T10改编)如果AC＜0且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案：C解析：∵AC＜0，BC＜0，∴A，B同号．又直线Ax＋By＋C＝0可化为y＝－eq\f(A,B)x－eq\f(C,B)，－eq\f(A,B)＜0，－eq\f(C,B)＞0，∴直线Ax＋By＋C＝0不经过第三象限．5．(人教A选择性必修第一册习题2.2T7改编)过点(5，2)且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是____________．答案：2x－5y＝0或2x＋y－12＝0解析：设所求直线在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为2a.①当a＝0时，所求直线经过点(5，2)和(0，0)，所以直线方程为y＝eq\f(2,5)x，即2x－5y＝0；②当a≠0时，设所求直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,2a)＝1，又直线过点(5，2)，所以eq\f(5,a)＋eq\f(2,2a)＝1，解得a＝6，所以所求直线方程为eq\f(x,6)＋eq\f(y,12)＝1，即2x＋y－12＝0.综上，所求直线方程为2x－5y＝0或2x＋y－12＝0.考向一直线的倾斜角与斜率(1)(2025·广东惠州一中模拟)已知点A(1，3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是()A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))B．(－∞，－2]C．(－∞，－2]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))答案：D解析：由题意，知直线l：y＝k(x－2)＋1过点P(2，1)，连接点P与线段AB上的点A(1，3)时直线l的斜率最小，为kPA＝eq\f(1－3,2－1)＝－2，连接点P与线段AB上的点B(－2，－1)时直线l的斜率最大，为kPB＝eq\f(－1－1,－2－2)＝eq\f(1,2)，所以k的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2))).故选D.(2)(2024·黄浦区校级三模)直线(a2＋1)x－2ay＋1＝0的倾斜角的取值范围是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))答案：C解析：①当a＝0时，直线的斜率不存在，即倾斜角为eq\f(π,2)；②当a>0时，直线的斜率k＝eq\f(a2＋1,2a)＝eq\f(a＋\f(1,a),2)≥eq\f(2\r(a·\f(1,a)),2)＝1，即k≥1，所以直线的倾斜角的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))；③当a<0时，直线的斜率k＝eq\f(a2＋1,2a)＝eq\f(a＋\f(1,a),2)≤－eq\f(2\r(（－a）·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))),2)＝－1，即k≤－1，所以直线的倾斜角的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4))).综上，直线的倾斜角的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4))).故选C.直线的倾斜角的取值范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的取值范围时，要分eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))两种情况讨论．1.已知直线l的一个方向向量为p＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)，cos\f(π,3)))，则直线l的倾斜角为()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(4π,3)答案：A解析：由题意，得直线l的斜率k＝eq\f(cos\f(π,3),sin\f(π,3))＝eq\f(\r(3),3)＝taneq\f(π,6)，即直线l的倾斜角为eq\f(π,6).故选A.2．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，________．答案：eq\f(1,3)－3解析：如图，在正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为2，建立如图所示的平面直角坐标系．设对角线OB所在直线的倾斜角为θ，则tanθ＝2，由正方形的性质可知，直线OA的倾斜角为θ－45°，直线OC的倾斜角为θ＋45°，故kOA＝tan(θ－45°)＝eq\f(tanθ－tan45°,1＋tanθtan45°)＝eq\f(2－1,1＋2)＝eq\f(1,3)，kOC＝tan(θ＋45°)＝eq\f(tanθ＋tan45°,1－tanθtan45°)＝eq\f(2＋1,1－2)＝－3.考向二求直线的方程求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(1，2)，倾斜角α的正弦值为eq\f(4,5)；(2)经过点P(2，3)，并且在两坐标轴上的截距相等；(3)经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量为v＝(－3，2)．解：(1)由题意可知，sinα＝eq\f(4,5)，则tanα＝±eq\f(4,3)，∵直线经过点P(1，2)，∴所求直线的方程为y－2＝±eq\f(4,3)(x－1)，即y＝±eq\f(4,3)(x－1)＋2，整理得4x－3y＋2＝0或4x＋3y－10＝0.(2)解法一：①当截距为0时，直线过点(0，0)，(2，3)，则直线的斜率为k＝eq\f(3－0,2－0)＝eq\f(3,2)，∴所求直线的方程为y＝eq\f(3,2)x，即3x－2y＝0.②当截距不为0时，可设直线的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1.∵直线过点P(2，3)，∴eq\f(2,a)＋eq\f(3,a)＝1，∴a＝5.∴所求直线的方程为x＋y－5＝0.综上可知，所求直线的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.解法二：由题意可知所求直线的斜率存在，则可设直线方程为y－3＝k(x－2)，且k≠0.令x＝0，得y＝－2k＋3.令y＝0，得x＝－eq\f(3,k)＋2.于是－2k＋3＝－eq\f(3,k)＋2，解得k＝eq\f(3,2)或k＝－1.则所求直线的方程为y－3＝eq\f(3,2)(x－2)或y－3＝－(x－2)，即3x－2y＝0或x＋y－5＝0.(3)联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,2x－y＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))∴直线过点(1，1)，∵直线的一个方向向量为v＝(－3，2)，∴直线的斜率k＝－eq\f(2,3).则所求直线的方程为y－1＝－eq\f(2,3)(x－1)，即2x＋3y－5＝0.求直线方程的两种方法注意：使用点斜式、截距式求直线方程时，应注意分类讨论．1.若直线y＝－eq\f(m,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,m)))在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(3,2)的倾斜角的2倍，则()A．m＝－4，n＝－3 B．m＝4，n＝3C．m＝4，n＝－3 D．m＝－4，n＝3答案：D解析：y＝－eq\f(m,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,m)))＝－eq\f(m,n)x－eq\f(3,n)，则－eq\f(3,n)＝－1，得n＝3，得直线方程为y＝－eq\f(m,3)x－1，设直线y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(3,2)的倾斜角为α，则tanα＝eq\f(1,2)，得tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×\f(1,2),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(4,3)，得－eq\f(m,3)＝eq\f(4,3)，得m＝－4.故选D.2．经过A(0，2)，B(－1，0)两点的直线方程为______________，若直线的一个方向向量为(1，k)，则k＝________．答案：2x－y＋2＝02解析：经过A(0，2)，B(－1，0)两点的直线方程为eq\f(x,－1)＋eq\f(y,2)＝1，即2x－y＋2＝0，所以直线的一个方向向量为(1，2)，故k＝2.3．过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程为____________．答案：2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0解析：设直线方程的截距式为eq\f(x,a＋1)＋eq\f(y,a)＝1，则eq\f(6,a＋1)＋eq\f(－2,a)＝1，解得a＝2或a＝1，则直线的方程是eq\f(x,3)＋eq\f(y,2)＝1或eq\f(x,2)＋eq\f(y,1)＝1，即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.考向三直线方程的应用角度1直线方程与不等式的结合过点P(4，1)作直线l，分别交x轴、y轴的正半轴于点A，B.(1)当△AOB的面积最小时，求直线l的方程；(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．解：设直线l：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)，因为直线l经过点P(4，1)，所以eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)＝1.(1)因为eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)＝1≥2eq\r(\f(4,a)·\f(1,b))＝eq\f(4,\r(ab))，所以ab≥16，S△AOB＝eq\f(1,2)ab≥8，当且仅当a＝8，b＝2时，等号成立．所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小，此时直线l的方程为eq\f(x,8)＋eq\f(y,2)＝1，即x＋4y－8＝0.(2)因为eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)＝1，a>0，b>0，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)＋\f(1,b)))＝5＋eq\f(a,b)＋eq\f(4b,a)≥9，当且仅当a＝6，b＝3时，等号成立．所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为eq\f(x,6)＋eq\f(y,3)＝1，即x＋2y－6＝0.角度2直线方程与函数的结合为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量|AB|＝100m，|BC|＝80m，|AE|＝30m，|AF|＝20m，应如何设计才能使草坪面积最大？解：如图所示，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，则E(30，0)，F(0，20)，∴直线EF的方程为eq\f(x,30)＋eq\f(y,20)＝1(0≤x≤30)．易知当矩形草坪的一个顶点在线段EF上时，草坪面积可取最大值，在线段EF上取点P(m，n)，作PQ⊥BC于点Q，PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S，则S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)．又eq\f(m,30)＋eq\f(n,20)＝1(0≤m≤30)，∴n＝20－eq\f(2,3)m.∴S＝(100－m)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(80－20＋\f(2,3)m))＝－eq\f(2,3)(m－5)2＋eq\f(18050,3)(0≤m≤30)．∴当m＝5时，S有最大值，这时|EP|∶|PF|＝5∶1.∴当矩形草坪的两边在BC，CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分有向线段EF成5∶1时，草坪面积最大．直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题、不等式的性质、基本不等式等)来解决．1.已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________．答案：eq\f(1,2)解析：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝eq\f(1,2)×2×(2－a)＋eq\f(1,2)×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(15,4)，所以当a＝eq\f(1,2)时，四边形的面积最小．2．如图，在两条互相垂直的道路l1，l2的一角有一个电线杆，电线杆底部到道路l1的垂直距离为4米，到道路l2的垂直距离为3米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道，使得人行直道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行直道的长度为多少米？解：如图，建立平面直角坐标系，则P(3，4)．设人行道所在直线方程为y－4＝k(x－3)(k<0)，所以Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(4,k)，0))，B(0，4－3k)，所以△ABO的面积S＝eq\f(1,2)(4－3k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(4,k)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(24－9k－\f(16,k)))，因为k<0，所以－9k－eq\f(16,k)≥2eq\r(（－9k）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,k))))＝24，当且仅当－9k＝－eq\f(16,k)，即k＝－eq\f(4,3)时取等号．此时，A(6，0)，B(0，8)，所以人行直道的长度为eq\r(62＋82)＝10米．课时作业一、单项选择题1．经过点(1，1)，且方向向量为(1，2)的直线方程是()A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－3＝0C．x－2y＋1＝0 D．x＋2y－3＝0答案：A解析：由于直线的方向向量为(1，2)，故直线的斜率为eq\f(2,1)＝2，故直线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.故选A.2．对方程eq\f(y－6,x＋3)＝2表示的图形，下列叙述正确的是()A．斜率为2的一条直线B．斜率为－eq\f(1,2)的一条直线C．斜率为2的一条直线，且除去点(－3，6)D．斜率为－eq\f(1,2)的一条直线，且除去点(－3，6)答案：C解析：方程eq\f(y－6,x＋3)＝2成立的条件为x≠－3，且当x≠－3时，方程可变形为y－6＝2(x＋3)，由直线方程的点斜式知它表示一条斜率为2的直线，但要除去点(－3，6)．故选C.3．已知直线l1：eq\r(3)x＋3y＋1＝0，若直线l2与l1垂直，则直线l2的倾斜角是()A．eq\f(5π,6) B．eq\f(2π,3)C．eq\f(π,3) D．eq\f(π,6)答案：C解析：由eq\r(3)x＋3y＋1＝0，得y＝－eq\f(\r(3),3)x－eq\f(1,3)，则kl1＝－eq\f(\r(3),3)，因为直线的倾斜角的范围为[0，π)，故直线l1的倾斜角为eq\f(5π,6)，故直线l2的倾斜角为eq\f(5π,6)－eq\f(π,2)＝eq\f(π,3).故选C.4．(2025·贵州毕节模拟)若直线mx＋y－4m－1＝0的斜率小于0，那么该直线不经过()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案：C解析：直线mx＋y－4m－1＝0可化为y－1＝－m(x－4)，所以直线过定点(4，1)，且斜率k＝－m<0，故该直线不经过第三象限．故选C.5．(2025·湖南长沙模拟)已知两点M(a，6)，N(a＋2，3)，下列各点一定在直线MN上的是()A．(a＋4，0) B．(a＋4，2)C．(a＋4，4) D．(a＋4，6)答案：A解析：因为M(a，6)，N(a＋2，3)，所以kMN＝eq\f(3－6,a＋2－a)＝－eq\f(3,2)，所以直线MN的方程为y－6＝－eq\f(3,2)(x－a)，即y＝－eq\f(3,2)x＋eq\f(3,2)a＋6，当x＝a＋4时，y＝－eq\f(3,2)(a＋4)＋eq\f(3,2)a＋6＝－eq\f(3,2)a－6＋eq\f(3,2)a＋6＝0，所以点(a＋4，0)在直线MN上．故选A.6．(2025·山东济南模拟)过点A(1，4)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为()A．x－y＋3＝0B．x＋y－5＝0C．4x－y＝0或x＋y－5＝0D．4x－y＝0或x－y＋3＝0答案：D解析：①当直线过原点时，在两坐标轴上的截距都为0，满足题意，因为直线过点A(1，4)，所以直线的斜率为eq\f(4－0,1－0)＝4，所以直线方程为y＝4x，即4x－y＝0；②当直线不过原点时，设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,－a)＝1，因为点A(1，4)在直线上，所以eq\f(1,a)＋eq\f(4,－a)＝1，解得a＝－3，所以直线方程为x－y＋3＝0.故所求直线方程为4x－y＝0或x－y＋3＝0.故选D.7．已知△ABC的顶点C的坐标为(1，1)，AC所在直线的方向向量为(1，2)，AC边上的中线所在的直线方程为x＋y－1＝0，则点A的坐标为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－\f(1,3))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，－\f(1,3)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，－\f(2,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－\f(2,3)))答案：A解析：设A(x0，y0)，AC所在直线的方向向量为(1，2)，则AC所在直线的斜率k＝eq\f(1－y0,1－x0)＝eq\f(2,1)，∴1×(1－y0)－2(1－x0)＝0，得y0＝2x0－1，∴A(x0，2x0－1)，又C(1，1)，则AC的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x0,2)，x0))，∵AC边上的中线所在的直线方程为x＋y－1＝0，则AC的中点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x0,2)，x0))在直线x＋y－1＝0上，∴eq\f(1＋x0,2)＋x0－1＝0，解得x0＝eq\f(1,3)，∴点A的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－\f(1,3))).故选A.8．(2025·北京海淀区模拟)斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致．如图是重庆千厮门嘉陵江大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列．已知拉索上端相邻两个锚的间距|PiPi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均为3.4m，拉索下端相邻两个锚的间距|＋1|(i＝1，2，3，…，9)均为16m．最短拉索的锚P1，A1满足|OP1|＝66m，|OA1|＝86m，则最长拉索所在直线的斜率为()A．±0.47 B．±0.45C．±0.42 D．±0.40答案：C解析：根据题意，最短拉索的锚P1，A1满足|OP1|＝66m，|OA1|＝86m，且|PiPi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均为3.4m，拉索下端相邻两个锚的间距|＋1|(i＝1，2，3，…，9)均为16m，则|OA10|＝|OA1|＋|A1A10|＝86＋9×16＝230，又|OP10|＝|OP1|＋|P1P10|＝66＋9×3.4＝96.6，则最长拉索A10P10所在直线的斜率kA10P10＝－tan∠OA10P10＝－eq\f(96.6,230)＝－0.42，同理，最长拉索B10P10所在直线的斜率kB10P10＝0.42.故选C.二、多项选择题9．已知直线l过点P(3，2)，且与直线l1：x＋3y－9＝0及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则()A．直线l的方程为x－3y＋3＝0B．直线l与直线l1的倾斜角互补C．直线l在y轴上的截距为1D．这样的直线l有两条答案：ABC解析：因为直线l与l1及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，所以直线l与直线l1的倾斜角互补，故B正确；由直线l1的斜率为－eq\f(1,3)，知直线l的斜率为eq\f(1,3)，可得直线l的方程为y－2＝eq\f(1,3)(x－3)，即直线l的方程为x－3y＋3＝0，故A正确；令x＝0，得y＝1，所以直线l在y轴上的截距为1，故C正确；过点P(3，2)且斜率为eq\f(1,3)的直线只有一条，故D错误．故选ABC.10．已知直线xsinα＋ycosα＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是()A．直线的倾斜角是π－αB．无论α如何变化，直线不过原点C．直线的斜率一定存在D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1答案：BD解析：直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R，A不正确；当x＝y＝0时，xsinα＋ycosα＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B正确；当α＝eq\f(π,2)时，直线的斜率不存在，C不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,－sinα)))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,－cosα)))＝eq\f(1,|sin2α|)≥1，D正确．故选BD.11．(2025·江苏南通模拟)下列说法中错误的是()A．已知点P(a，2)，Q(1，2a－1)，若直线PQ的倾斜角小于135°，则实数a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))∪(2，＋∞)B．若集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(（x，y）\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(y－3,x－2)＝3))))，N＝{(x，y)|ax＋2y＋a＝0}满足M∩N＝∅，则a＝－6C．若两条平行直线l1：eq\r(3)x－y＋1＝0和l2：eq\r(3)x－y＋a＝0之间的距离小于1，则实数a的取值范围为(－1，3)D．若直线ax＋y＋1＝0与连接A(2，3)，B(－3，2)的线段相交，则实数a的取值范围为(－∞，－1]∪[2，＋∞)答案：BCD解析：对于A，当倾斜角小于90°时，kPQ＝eq\f(2a－1－2,1－a)≥0，解得1<a≤eq\f(3,2)；当倾斜角等于90°时，a＝1；当倾斜角大于90°且小于135°时，kPQ＝eq\f(2a－1－2,1－a)<－1，解得a>2或a<1.综上，实数a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))∪(2，＋∞)，A正确．对于B，由eq\f(y－3,x－2)＝3，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－3＝3（x－2），,x≠2，))所以集合M表示斜率为3的直线y－3＝3(x－2)上的点(除去点(2，3))．由ax＋2y＋a＝0，得a(x＋1)＋2y＝0，所以集合N表示过点(－1，0)且斜率为－eq\f(a,2)的直线，若－eq\f(a,2)＝3，a＝－6，此时两直线平行，满足M∩N＝∅；若直线ax＋2y＋a＝0过点(2，3)，则2a＋6＋a＝3a＋6＝0，a＝－2，此时M∩N＝∅，且－eq\f(a,2)＝－eq\f(－2,2)＝1≠3，符合题意．综上，a＝－6或a＝－2，B错误．对于C，依题意0<eq\f(|a－1|,2)<1，解得a∈(－1，1)∪(1，3)，所以实数a的取值范围是(－1，1)∪(1，3)，C错误．对于D，直线ax＋y＋1＝0过定点S(0，－1)，斜率为－a，kSA＝eq\f(3－（－1）,2－0)＝2，kSB＝eq\f(2－（－1）,－3－0)＝－1，所以－a≥2或－a≤－1，解得a≤－2或a≥1，所以实数a的取值范围为(－∞，－2]∪[1，＋∞)，D错误．故选BCD.三、填空题12．若直线l的一个方向向量为a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,7)，cos\f(π,7)))，则直线l的倾斜角θ＝________．答案：eq\f(5π,14)解析：∵直线l的一个方向向量为a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,7)，cos\f(π,7)))，∴直线l的斜率k＝eq\f(cos\f(π,7),sin\f(π,7))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,7))),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,7))))＝eq\f(sin\f(5π,14),cos\f(5π,14))＝taneq\f(5π,14)，∴直线l的倾斜角θ＝eq\f(5π,14).13．(2025·四川凉山模拟)已知实数x，y满足x－3y＋5＝0(1≤x≤4)，则eq\f(y＋1,x－2)的取值范围为________．答案：(－∞，－3]∪[2，＋∞)解析：eq\f(y＋1,x－2)可以看成x－3y＋5＝0(1≤x≤4)上的点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(除去点\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7,3)))))和C(2，－1)连成的直线的斜率，在x－3y＋5＝0(1≤x≤4)中，令x＝1，得y＝2，令x＝4，得y＝3，设A(1，2)，B(4，3)，则kAC＝eq\f(2＋1,1－2)＝－3，kBC＝eq\f(3＋1,4－2)＝2，所以eq\f(y＋1,x－2)的取值范围为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．14．(2025·上海杨浦模拟)一质点在矩形ABCD内运动，从AB的中点O沿一确定方向发射该质点，依次由线段BC，CD，DA反射．反射点分别为P1，P2，P3(入射角等于反射角)，最后落在线段OA上的P4(不包括端点)．若A(－1，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(－1，1)，则OP1所在直线的斜率的取值范围是________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))解析：由题意知，OP1∥P2P3，P1P2∥P3P4，设P1(1，b)，则线段OP1的斜率k＝eq\f(b－0,1