2026《金版教程》高考复习方案数学基础版-第四节 幂函数与指对运算

第四节幂函数与指对运算课标解读考向预测1.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq\s\up7(\f(1,2))，y＝x－1的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数.2.通过对有理数指数幂aeq\s\up6(\f(m,n))(a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.3.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.高考对幂函数与指对运算的考查，常与指数函数、对数函数交汇命题，题型一般为选择题、填空题，难度中档．预计2026年高考对于幂函数的考查会以幂函数的图象和性质的应用为主，对于指对运算的考查会以参数的求解为主，题型一般为选择题、填空题，难度中档.必备知识—强基础1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数eq\x(\s\up1(01))y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)在同一坐标系中的五个幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α＞0时，幂函数的图象都过点eq\x(\s\up1(02))(0，0)和eq\x(\s\up1(03))(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α＜0时，幂函数的图象都过点eq\x(\s\up1(04))(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减；④当α为奇数时，y＝xα为eq\x(\s\up1(05))奇函数；当α为偶数时，y＝xα为eq\x(\s\up1(06))偶函数．2．根式(1)如果xn＝a，那么eq\x(\s\up1(07))x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)式子eq\r(n,a)叫做eq\x(\s\up1(08))根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．(3)(eq\r(n,a))n＝eq\x(\s\up1(09))a．当n为奇数时，eq\r(n,an)＝eq\x(\s\up1(10))a；当n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))3．分数指数幂正数的正分数指数幂，aeq\s\up7(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，n>1)．正数的负分数指数幂，a－eq\s\up7(\f(m,n))＝eq\f(1,aeq\s\up7(\f(m,n)))＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，n>1)．0的正分数指数幂等于eq\x(\s\up1(11))0，0的负分数指数幂没有意义．4．指数幂的运算性质aras＝eq\x(\s\up1(12))ar＋s；(ar)s＝eq\x(\s\up1(13))ars；(ab)r＝eq\x(\s\up1(14))arbr(a>0，b>0，r，s∈R)．5．对数的概念(1)定义：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数eq\x(\s\up1(15))x叫做以a为底N的对数，记作x＝eq\x(\s\up1(16))logaN，其中a叫做对数的eq\x(\s\up1(17))底数，N叫做eq\x(\s\up1(18))真数．(2)常用对数和自然对数①常用对数：以eq\x(\s\up1(19))10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为eq\x(\s\up1(20))lg__N．②自然对数：以eq\x(\s\up1(21))e为底的对数叫做自然对数，并把logeN记为eq\x(\s\up1(22))ln__N．6．对数的性质(1)eq\x(\s\up1(23))负数和0没有对数；(2)loga1＝eq\x(\s\up1(24))0；(3)logaa＝eq\x(\s\up1(25))1；(4)对数恒等式：alogaN＝eq\x(\s\up1(26))N；logaab＝eq\x(\s\up1(27))b(a>0，且a≠1)．7．对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么(1)loga(MN)＝eq\x(\s\up1(28))logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝eq\x(\s\up1(29))logaM－logaN；(3)logaMn＝eq\x(\s\up1(30))nlogaM(n∈R)．8．换底公式logab＝eq\x(\s\up1(31))eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．1．幂函数的奇偶性αy＝xα的奇偶性α为整数α为偶数偶函数α为奇数奇函数α＝eq\f(m,n)，其中n≥2，m，n∈N*且m，n互质m为奇数，n为奇数奇函数m为偶数，n为奇数偶函数m为奇数，n为偶数非奇非偶函数2.任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个，且互为相反数．3．对数运算的两个重要结论(1)logab＝eq\f(1,logba)(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)．(2)logambn＝eq\f(n,m)logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0)．题组一走出误区——判一判(1)函数y＝－xeq\s\up7(\f(1,2))是幂函数．()(2)当α<0时，幂函数y＝xα在定义域内单调递减．()(3)若幂函数y＝xα是偶函数，则α为偶数．()(4)eq\r(n,an)＝(eq\r(n,a))n＝a.()(5)log2x2＝2log2x.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×题组二回归教材——练一练(1)(人教B必修第二册习题4－4BT1改编)已知幂函数f(x)的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，则f(4)的值是()A．64 B．4eq\r(2)C.eq\f(\r(2),4) D.eq\f(1,4)答案：D(2)(人教A必修第一册习题4.3T5改编)设lg2＝a，lg3＝b，则log1210＝()A.eq\f(1,2a＋b) B.eq\f(1,a＋2b)C．2a＋b D．2b＋a答案：A解析：log1210＝eq\f(1,lg12)＝eq\f(1,lg3＋2lg2)＝eq\f(1,2a＋b).(3)(人教A必修第一册3.3探究改编)已知α∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，－1，－\f(1,2)，\f(1,2)，1，2))，若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则α＝________．答案：1解析：由y＝xα为奇函数，知α取－1，1，又y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，∴α>0，∴α＝1.(4)(人教B必修第二册4.4例1改编)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系是________(用“<”连接)．答案：c<b<a解析：由指数函数、幂函数的单调性可知，0.30.4<0.30.3，0.40.3>0.30.3，即c<b<a.考点探究—提素养幂函数的图象与性质eq\a\vs4\al()(1)若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为()A．－1<m<0<n<1 B．－1<n<0<m<eq\f(1,2)C．－1<m<0<n<eq\f(1,2) D．－1<n<0<m<1答案：D解析：幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸，∴0<m<1.当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．不妨令x＝2，由图象得2－1<2n，则－1<n<0.综上，－1<n<0<m<1.故选D.(2)(2025·江苏连云港海滨中学模拟)若幂函数f(x)＝(m2－2m－2)x－m2＋m＋3在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝________．答案：3解析：因为幂函数f(x)＝(m2－2m－2)x－m2＋m＋3在(0，＋∞)上是减函数，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－2m－2＝1，,－m2＋m＋3<0.))由m2－2m－2＝1，得m＝－1或m＝3.当m＝－1时，－m2＋m＋3＝－1－1＋3＝1>0，所以m＝－1舍去；当m＝3时，－m2＋m＋3＝－9＋3＋3＝－3<0，符合题意．综上，m＝3.(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)对于幂函数的图象，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．(3)在比较幂值的大小时，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．(4)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴(简记为“指大图高”)．1.已知a＝2ln2，b＝3－0.5，c＝2－0.4，则()A．a>b>c B．a>c>bC．c>a>b D．c>b>a答案：B解析：因为2ln2＝ln4>lne＝1，3－0.5<3－0.4<2－0.4<1，所以a>c>b.故选B.2．幂函数f(x)＝xa(a∈R)满足：对任意x∈R有f(－x)＝f(x)，且f(－1)<f(2)<2.写出符合上述条件的一个函数：f(x)＝________．答案：xeq\s\up7(\f(2,3))(答案不唯一)解析：取f(x)＝xeq\s\up7(\f(2,3))，则定义域为R，且f(－x)＝(－x)eq\s\up7(\f(2,3))＝xeq\s\up7(\f(2,3))＝f(x)，f(－1)＝1，f(2)＝2eq\s\up7(\f(2,3))＝eq\r(3,4)，满足f(－1)<f(2)<2.故f(x)＝xeq\s\up7(\f(2,3))满足题意．指数幂的运算eq\a\vs4\al()(1)已知x，y>0，化简eq\f(3x－eq\s\up7(\f(3,4))yeq\s\up7(\f(1,2)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)xeq\s\up7(\f(1,4))y－eq\s\up7(\f(1,3))))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)x－1y－eq\s\up7(\f(1,6)))))＝__________．答案：－10y解析：原式＝eq\f(3x－eq\s\up7(\f(3,4))yeq\s\up7(\f(1,2)),－\f(3,10)x－eq\s\up7(\f(3,4))y－eq\s\up7(\f(1,2)))＝－10y.(2)计算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(1,4)))eq\s\up12(0.5)－0.752＋6－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,27)))－eq\s\up7(\f(2,3))＝________．答案：1解析：原式＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2)))eq\s\up7(\f(1,2))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,36)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(3)))－eq\s\up7(\f(2,3))＝eq\f(3,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,36)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(－2)＝eq\f(3,2)－eq\f(9,16)＋eq\f(1,36)×eq\f(9,4)＝1.3.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))－eq\s\up7(\f(1,2))×eq\f(\r(（4ab－1）3),（0.1）－1（a3b－3）eq\s\up7(\f(1,2)))(a>0，b>0)＝________．答案：eq\f(8,5)解析：原式＝eq\f(2×4eq\s\up7(\f(3,2))aeq\s\up7(\f(3,2))b－eq\s\up7(\f(3,2)),10aeq\s\up7(\f(3,2))b－eq\s\up7(\f(3,2)))＝eq\f(8,5).4．若xeq\s\up7(\f(1,2))＋x－eq\s\up7(\f(1,2))＝3，则x2＋x－2＝________．答案：47解析：由xeq\s\up7(\f(1,2))＋x－eq\s\up7(\f(1,2))＝3，得x＋x－1＝7，再平方得x2＋x－2＝47.对数的运算eq\a\vs4\al()(1)(多选)下列各式化简运算结果为1的是()A．log53×log32×log25B．lgeq\r(2)＋eq\f(1,2)lg5C．logeq\r(a)a2(a>0，且a≠1)D．eln3－0.125－eq\s\up7(\f(1,3))答案：AD解析：对于A，原式＝eq\f(lg3,lg5)×eq\f(lg2,lg3)×eq\f(lg5,lg2)＝1；对于B，原式＝eq\f(1,2)lg2＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)lg(2×5)＝eq\f(1,2)；对于C，原式＝2logeq\r(a)a＝2×2＝4；对于D，原式＝3－8eq\s\up7(\f(1,3))＝3－2＝1.故选AD.(2)已知正实数x，y，z满足3x＝4y＝(2eq\r(3))z，则()A.eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,z) B.eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝eq\f(1,x)C.eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(2,z) D.eq\f(1,x)＋eq\f(1,z)＝eq\f(2,y)答案：C解析：令3x＝4y＝(2eq\r(3))z＝a，则x＝log3a，y＝log4a，z＝log2eq\r(3)a，故eq\f(1,x)＝loga3，eq\f(1,y)＝loga4，eq\f(1,z)＝loga2eq\r(3)，故eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝loga12＝2logaeq\r(12)＝eq\f(2,z).故选C.对数运算的一般思路转化利用ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)对题目条件进行转化利用换底公式转化为同底数的对数运算恒等式注意loga1＝0，logaaN＝N，alogaN＝N(a>0，且a≠1)的应用拆分将真数化为积、商或底数的指数幂形式，正用对数的运算法则化简合并将对数式化为同底数对数的和、差、倍数形式，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算利用常用对数中的lg2＋lg5＝1.5.化简(2log43＋log83)(log32＋log92)的值为()A．1 B．2C．4 D．6答案：B解析：原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(1,2)log23＋\f(1,3)log23))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log32＋\f(1,2)log32))＝eq\f(4,3)log23×eq\f(3,2)log32＝2.故选B.6．(多选)若10a＝4，10b＝25，则()A．a＋b＝2 B．b－a＝1C．ab>(lg2)2 D．b－a>lg6答案：ACD解析：由10a＝4，10b＝25，得a＝lg4，b＝lg25，所以a＋b＝lg4＋lg25＝lg100＝2，故A正确；因为b－a＝lg25－lg4＝lgeq\f(25,4)<lg10＝1，故B错误；因为ab＝lg4×lg25>lg2×lg2＝(lg2)2，故C正确；因为b－a＝lg25－lg4＝lgeq\f(25,4)>lgeq\f(24,4)＝lg6，故D正确．故选ACD.与指对运算相关的情境问题eq\a\vs4\al()(2024·北京高考)生物丰富度指数d＝eq\f(S－1,lnN)是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则()A．3N2＝2N1 B．2N2＝3N1C．Neq\o\al(2,2)＝Neq\o\al(3,1) D．Neq\o\al(3,2)＝Neq\o\al(2,1)答案：D解析：由题意，得eq\f(S－1,lnN1)＝2.1，eq\f(S－1,lnN2)＝3.15，若S不变，则2.1lnN1＝3.15lnN2，即2lnN1＝3lnN2，所以Neq\o\al(3,2)＝Neq\o\al(2,1).故选D.对于此类问题要正确理解题目信息，根据题意，列出相应的代数式或方程，灵活使用对数的运算法则和性质进行化简计算．7.(2025·河南重点中学高三联考)在倡导“节能环保”“低碳生活”的今天，新能源逐渐被人们所接受，进而青睐．新能源汽车作为新能源产业中的重要支柱产业之一，取得了长足的发展．为预测某省未来新能源汽车的保有量，采用阻滞型模型y＝eq\f(M,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(M,y0)－1))e－rt)进行估计，其中y为第t年底新能源汽车的保有量，r为年增长率，M为饱和量，y0为初始值(单位：万辆)．若该省2022年底新能源汽车的保有量为20万辆，以此作为初始值，若以后每年的增长率为0.12，饱和量为1300万辆，那么2032年底该省新能源汽车的保有量约为(采取四舍五入法，精确到1万辆)(参考数据：ln0.887≈－0.12，ln0.30≈－1.2)()A．65万辆 B．64万辆C．63万辆 D．62万辆答案：B解析：由题意知y＝eq\f(1300,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1300,20)－1))e－0.12×10)＝eq\f(1300,1＋64e－1.2)，因为ln0.30≈－1.2，所以e－1.2≈0.30，所以y≈eq\f(1300,1＋64×0.30)≈64.故选B.课时作业基础题(占比50%)中档题(占比30%)拔高题(占比20%)题号12345678910难度★★★★★★★★★★★★考向幂函数的图象幂函数的性质指对运算指对运算幂函数性质的应用指对运算幂函数性质的应用幂函数的性质指对运算幂函数性质的应用考点奇偶性、单调性对数的运算利用单调性比较大小对数的运算利用奇偶性求值幂函数的单调性指数幂的运算利用单调性、奇偶性比较大小题号11121314151617181920难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★考向指对运算相关的情景问题指对运算幂函数的解析式指对运算幂函数性质的应用幂函数的图象指对运算指对运算指对运算幂函数性质的应用考点指数幂的运算由幂函数的解析式求值解对数方程利用幂函数的单调性求参数值、解不等式利用幂函数的图象比较大小与指对运算有关的新定义问题与指对运算有关的新定义问题对数的运算由幂函数的单调性求参数的值、最值一、单项选择题1.如图，①②③④对应四个幂函数的图象，其中①对应的幂函数可能是()A．y＝x3 B．y＝x2C．y＝x D．y＝xeq\s\up7(\f(5,8))答案：D解析：根据题中函数图象可得①对应的幂函数y＝xα在[0，＋∞)上单调递增，且增长速度越来越慢，故α∈(0，1)，故D符合要求．故选D.2．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，eq\r(3))，则f(x)()A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数答案：D解析：设幂函数的解析式为y＝xα，将点(3，eq\r(3))的坐标代入解析式，得3α＝eq\r(3)，解得α＝eq\f(1,2)，所以y＝xeq\s\up7(\f(1,2))，函数的定义域为[0，＋∞)，是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．故选D.3．lg4＋2lg5＋log28＋8eq\s\up7(\f(2,3))＝()A．8 B．9C．10 D．1答案：B解析：因为lg4＋2lg5＝lg4＋lg52＝lg4＋lg25＝lg100＝2，log28＝log223＝3，8eq\s\up7(\f(2,3))＝(23)eq\s\up7(\f(2,3))＝22＝4，所以lg4＋2lg5＋log28＋8eq\s\up7(\f(2,3))＝2＋3＋4＝9.故选B.4．(2025·辽宁丹东模拟)若2a＝3，3b＝5，5c＝4，则log4(abc)＝()A．－2 B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2) D．1答案：B解析：由2a＝3，3b＝5，5c＝4，可得a＝log23，b＝log35，c＝log54，所以abc＝log23×log35×log54＝eq\f(lg3,lg2)×eq\f(lg5,lg3)×eq\f(lg4,lg5)＝2，则log4(abc)＝log42＝eq\f(1,2).故选B.5．已知a＝2eq\s\up7(\f(4,3))，b＝4eq\s\up7(\f(2,5))，c＝25eq\s\up7(\f(1,3))，d＝6eq\s\up7(\f(2,3))，则()A．b<a<d<c B．b<c<a<dC．c<d<b<a D．b<a<c<d答案：D解析：由题意，得a＝2eq\s\up7(\f(4,3))＝16eq\s\up7(\f(1,3))，b＝4eq\s\up7(\f(2,5))＝16eq\s\up7(\f(1,5))，c＝25eq\s\up7(\f(1,3))，d＝6eq\s\up7(\f(2,3))＝36eq\s\up7(\f(1,3))，因为幂函数y＝xeq\s\up7(\f(1,3))在R上单调递增，所以a<c<d.又因为指数函数y＝16x在R上单调递增，所以b<a.故选D.6．(2025·湘豫名校联考)若a>1，则alg(lga)－(lga)lga的值是()A．零 B．正数C．负数 D．以上皆有可能答案：A解析：令b＝lga，则a＝10b，由a>1，得b>0，所以alg(lga)－(lga)lga＝(10b)lgb－bb＝10lgbb－bb＝0.故选A.7．已知函数f(x)＝(m－1)xm＋1为幂函数，则f(a2－2a)＋f(2a－a2)＝()A．0 B．－1C．a2 D．a6－a4答案：A解析：由题意，有m－1＝1，可得m＝2，f(x)＝x3，其定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，则函数f(x)为奇函数，所以f(a2－2a)＋f(2a－a2)＝0.故选A.8．已知幂函数f(x)的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(\r(2),2)))，则函数y＝f(x2＋2x)的单调递增区间为()A．(－∞，－2) B．(－∞，－1)C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)答案：A解析：设f(x)＝xα，因为f(x)的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(\r(2),2)))，所以2α＝eq\f(\r(2),2)，解得α＝－eq\f(1,2)，即f(x)＝x－eq\s\up7(\f(1,2))，可得f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则函数y＝f(x2＋2x)＝(x2＋2x)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,\r(x2＋2x))，由x2＋2x>0，解得x<－2或x>0，则函数y＝x2＋2x在(－∞，－2)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以函数y＝f(x2＋2x)的单调递增区间为(－∞，－2)．故选A.二、多项选择题9．下列各式中成立的是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,m)))eq\s\up12(7)＝n7meq\s\up7(\f(1,7))(n>0，m>0)B．－eq\r(12,34)＝eq\r(3,－3)C.eq\r(\r(3,9))＝eq\r(3,3)D．[(a3)2(b2)3]－eq\s\up7(\f(1,3))＝a－2b－2(a>0，b>0)答案：BCD解析：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,m)))eq\s\up12(7)＝eq\f(n7,m7)＝n7m－7(n>0，m>0)，故A错误；－eq\r(12,34)＝－3eq\s\up7(\f(4,12))＝－3eq\s\up7(\f(1,3))＝eq\r(3,－3)，故B正确；eq\r(\r(3,9))＝eq\r(\r(3,32))＝eq\r(3eq\s\up7(\f(2,3)))＝eq\r(3,3)，故C正确；[(a3)2(b2)3]－eq\s\up7(\f(1,3))＝(a6b6)－eq\s\up7(\f(1,3))＝a－2b－2(a>0，b>0)，故D正确．故选BCD.10．已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都满足eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0，若a，b∈R且f(a)＋f(b)<0，则下列结论可能成立的是()A．a＋b>0且ab<0B．a＋b<0且ab<0C．a＋b<0且ab>0D．以上都可能答案：BC解析：因为f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3为幂函数，所以m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.依题意f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以m＝2，此时f(x)＝x3，因为f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，所以f(x)＝x3为奇函数．因为a，b∈R且f(a)＋f(b)<0，所以f(a)<f(－b)，又y＝f(x)为增函数，所以a<－b，所以a＋b<0.故选BC.11．(2025·湖南娄底模拟)我国向国际社会的环保承诺已经超额完成，积极稳妥推进碳达峰、碳中和，我国将继续坚持贯彻落实．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)的关系为P＝P0e－kt，其中P0，k是常数．已知在前5h消除了10%的污染物．则下列结论正确的是(参考数据：ln0.5≈－0.693，ln0.9≈－0.105)()A．k＝eq\f(1,5)ln0.9B．过滤10h后还剩余81%的污染物C．污染物减少50%所需要的时间为31hD．污染物减少50%所需要的时间为33h答案：BD解析：由题意知，当t＝0时，P＝P0，当t＝5时，P＝(1－10%)P0＝0.9P0，于是有0.9P0＝P0e－5k，解得k＝－eq\f(1,5)ln0.9，故A错误；当t＝10时，P＝P0e－10k＝P0e2ln0.9＝P0×0.92＝81%P0，故B正确；当P＝50%P0＝0.5P0时，有0.5P0＝P0e－kt，解得t＝eq\f(ln0.5,\f(1,5)ln0.9)≈eq\f(－0.693,0.2×（－0.105）)＝33，故C错误，D正确．故选BD.三、填空题12．(2025·八省联考)已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)，若f(ln2)f(ln4)＝8，则a＝________．答案：e解析：由f(ln2)f(ln4)＝8，可得aln2·aln4＝8，即aln2＋ln4＝a3ln2＝8，也即(aln2)3＝23，∵a>0且a≠1，∴aln2＝2，两边取对数得ln2·lna＝ln2，解得a＝e.13．已知函数f(x)为幂函数，且f(4)＝eq\f(1,2)，则当f(a)＝4f(a＋3)时，实数a＝________．答案：eq\f(1,5)解析：设f(x)＝xα，则4α＝eq\f(1,2)，所以α＝－eq\f(1,2)，因此f(x)＝x－eq\s\up7(\f(1,2))，从而a－eq\s\up7(\f(1,2))＝4(a＋3)－eq\s\up7(\f(1,2))，解得a＝eq\f(1,5).14．(2024·全国甲卷)已知a>1，eq\f(1,log8a)－eq\f(1,loga4)＝－eq\f(5,2)，则a＝________．答案：64解析：由eq\f(1,log8a)－eq\f(1,loga4)＝eq\f(3,log2a)－eq\f(1,2)log2a＝－eq\f(5,2)，整理，得(log2a)2－5log2a－6＝0，解得log2a＝－1或log2a＝6，又a>1，所以log2a＝6＝log226，故a＝26＝64.四、解答题15．已知幂函数f(x)＝(m2＋m－1)xm＋1在(0，＋∞)上是减函数．(1)求f(x)的解析式；(2)若(5－a)eq\s\up6(\f(1,m))>(2a－1)eq\s\up6(\f(1,m))，求实数a的取值范围．解：(1)由幂函数的定义，知m2＋m－1＝1，即m2＋m－2＝0，解得m＝－2或m＝1.因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以m＋1<0，即m<－1，则m＝－2.故f(x)＝x－1＝eq\f(1,x).(2)由(1)可得m＝－2，设g(x)＝x－eq\s\up7(\f(1,2))，则g(x)的定义域为(0，＋∞)，且g(x)在定义域上为减函数，因为(5－a)－eq\s\up7(\f(1,2))>(2a－1)－eq\s\up7(\f(1,2))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5－a>0，,2a－1>0，,5－a<2a－1，))解得2<a<5.故实数a的取值范围为(2，5)．16．设函数f(x)＝eq\f(1,x)，g(x)＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0)，若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是()A．当a<0时，x1＋x2<0，y1＋y2>0B．当a<0时，x1＋x2>0，y1＋y2<0C．当a>0时，x1＋x2<0，y1＋y2<0D．当a>0时，x1＋x2>0，y1＋y2>0答案：B解析：令f(x)＝g(x)，得eq\f(1,x2)＝ax＋b.设F(x)＝eq\f(1,x2)，y＝ax＋b，根据题意F(x)与直线y＝ax＋b只有两个交点，不妨设x1<x2，结合图形可知，当a>0时，如图1，y＝ax＋b与F(x)左支双曲线相切，与右支双曲线有一个交点，根据对称性可得|x1|>x2，即－x1>x2>0，此时x1＋x2<0，y2＝eq\f(1,x2)>eq\f(1,－x1)＝－y1，所以y1＋y2>0，同理可得，当a<0时，如图2，x1＋x2>0，y1＋y2<0，故选B.17．(2025·重庆一中模拟)已知[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.1]＝1，[2]＝2，[－2.1]＝－3，定义：若f(x)＝n在(a，b)上恒成立，则称S＝|n|(b－a)为函数f(x)在[a，b)上的“面积”．函数f(x)＝[2x]在[0，3)上的“面积”之和与下面哪个数最接近(注意：①“面积不重复计算”；②630≈29.3)()A．7.3 B．7.7C．8.7 D．9.3答案：C解析：因为0≤x<3，所以1≤2x<8，当1≤2x<2，即0≤x<1时，f(x)＝1，当2≤2x<3，即1≤x<log23时，f(x)＝2，当3≤2x<4，即log23≤x<2时，f(x)＝3，当4≤2x<5，即2≤x<log25时，f(x)＝4，当5≤2x<6，即log25≤x<log26时，f(x)＝5，当6≤2x<7，即log26≤x<log27时，f(x)＝6，当7≤2x<8，即log27≤x<3时，f(x)＝7，根据“面积”的定义