2026《金版教程》高考复习方案数学基础版-第七节 函数的图象

第七节函数的图象课标解读考向预测1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.会画简单的函数图象.3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.近三年高考中常常考查图象变换问题，多以给图变图、求解析式等多种形式呈现，难度较小．函数图象的应用主要是利用图象研究函数的性质，考查解决有关问题(如方程的根、解不等式)的能力，体现了数形结合的解题思想，难度较大．预计2026年高考函数的图象仍会出题，一般在选择题或填空题中出现，难度起伏较大.必备知识—强基础1．描点法作图步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．2．图象变换图象变换包括图象的平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换等．(1)平移变换(左加右减，上加下减)(2)伸缩变换①把函数y＝f(x)图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的eq\f(1,w)倍，得到y＝eq\x(\s\up1(05))f(wx)(0<w<1)的图象；横坐标缩短到原来的eq\f(1,w)倍，得到y＝eq\x(\s\up1(06))f(wx)(w>1)的图象；②把函数y＝f(x)图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的w倍，得到y＝eq\x(\s\up1(07))wf(x)(w>1)的图象；纵坐标缩短到原来的w倍，得到y＝eq\x(\s\up1(08))wf(x)(0<w<1)的图象．(3)对称变换y＝f(x)的图象eq\o(→,\s\up7(关于x轴对称))y＝eq\x(\s\up1(09))－f(x)的图象；y＝f(x)的图象eq\o(→,\s\up7(关于y轴对称))y＝eq\x(\s\up1(10))f(－x)的图象；y＝f(x)的图象eq\o(→,\s\up7(关于原点对称))y＝eq\x(\s\up1(11))－f(－x)的图象；y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象eq\o(→,\s\up7(关于直线y＝x对称))y＝eq\x(\s\up1(12))logax(a＞0，且a≠1)的图象．简单地记为：x轴对称y要变，y轴对称x要变，原点对称都要变．(4)翻折变换①把函数y＝f(x)图象上方部分保持不变，下方的图象对称翻折到x轴上方，得到函数y＝eq\x(\s\up1(13))|f(x)|的图象；②保留y轴右边的图象，擦去左边的图象，再把右边的图象对称翻折到左边，得到函数y＝eq\x(\s\up1(14))f(|x|)的图象．1．函数图象自身的对称关系(1)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝eq\f(a＋b,2)对称．(2)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)．2．两个函数图象之间的对称关系(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．题组一走出误区——判一判(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．()(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0，且a≠1)的图象相同．()(3)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．()答案：(1)×(2)×(3)√题组二回归教材——练一练(1)(人教A必修第一册复习参考题3T12改编)函数f(x)＝eq\f(x,x2＋1)的大致图象是()答案：A解析：当x>0时，f(x)>0；当x<0时，f(x)<0，可排除B，C，D.故选A.(2)(人教B必修第一册第三章复习题T3改编)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能为()A．f(x)＝eq\f(lnx,x)－x＋1 B．f(x)＝eq\f(lnx,x)＋x－1C．f(x)＝xlnx－x＋1 D．f(x)＝xlnx＋x－1答案：C解析：当x＝2时，eq\f(ln2,2)－2＋1＝lneq\r(2)－1<0，eq\f(ln2,2)＋2－1＝lneq\r(2)＋1>1，2ln2＋2－1>1，故排除A，B，D.故选C.(3)(人教A必修第一册复习参考题4T1(3)改编)为了得到函数y＝lgeq\f(x＋3,10)的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点向左平移________个单位长度，再向下平移________个单位长度．答案：31解析：因为y＝lgeq\f(x＋3,10)＝lg(x＋3)－1，所以y＝lgx的图象eq\o(→,\s\up7(向左平移3个单位长度))y＝lg(x＋3)的图象eq\o(→,\s\up7(向下平移1个单位长度))y＝lg(x＋3)－1的图象．(4)(人教A必修第一册复习参考题3T7改编)若函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax＋b，x<－1，,ln（x＋a），x≥－1))的图象如图所示，则f(－3)＝________．答案：－1解析：由f(－1)＝ln(－1＋a)＝0，得a＝2，又直线y＝ax＋b过点(－1，3)，则2×(－1)＋b＝3，解得b＝5.故当x<－1时，f(x)＝2x＋5，则f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1.考点探究—提素养作函数的图象eq\a\vs4\al()作出下列函数的图象：(1)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)；(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝eq\f(2x－1,x－1)；(4)y＝x2－2|x|－1.解：(1)因为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)为偶函数，首先，作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)(x≥0)的图象，再以y轴为对称轴作出x<0部分的图象，即得y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)的图象，如图1中实线部分．(2)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图2中实线部分．(3)因为y＝eq\f(2x－1,x－1)＝2＋eq\f(1,x－1)，故其函数图象可由y＝eq\f(1,x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图3.(4)因为y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x－1，x≥0，,x2＋2x－1，x<0，))且该函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，即得函数y＝x2－2|x|－1的图象，如图4.函数图象的画法直接法当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征找出图象的关键点直接作出图象转化法含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象图象变换法若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称、伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本初等函数的要先变形，应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响1.分别画出下列函数的图象：(1)y＝|lg(x－1)|；(2)y＝2x＋1－1；(3)y＝x2－|x|－2.解：(1)首先作出y＝lgx的图象，然后将其向右平移1个单位长度，得到y＝lg(x－1)的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y＝|lg(x－1)|的图象，如图1中实线部分．(2)将y＝2x的图象向左平移1个单位长度，得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位长度，得到y＝2x＋1－1的图象，如图2所示．(3)y＝x2－|x|－2＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－x－2，x≥0，,x2＋x－2，x<0，))其图象如图3所示．函数图象的辨别eq\a\vs4\al()(1)(2024·全国甲卷)函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sinx在区间[－2.8，2.8]的大致图象为()答案：B解析：由题知函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝－x2＋(e－x－ex)sin(－x)＝－x2＋(ex－e－x)sinx＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，所以函数f(x)在区间[－2.8，2.8]上的图象关于y轴对称，故可排除A，C；又f(1)＝－1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e－\f(1,e)))sin1>－1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e－\f(1,e)))·sineq\f(π,6)＝eq\f(e,2)－1－eq\f(1,2e)>eq\f(1,4)－eq\f(1,2e)>0，故可排除D.故选B.(2)(2025·广西柳州模拟)已知函数f(x)＝eq\f(1－22x,1＋22x)，g(x)＝log2|x|，如图为函数h(x)的图象，则h(x)可能是()A．h(x)＝f(x)＋g(x)B．h(x)＝f(x)－g(x)C．h(x)＝f(x)g(x)D．h(x)＝eq\f(f（x）,g（x）)答案：C解析：依题意可知，函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝eq\f(1－2－2x,1＋2－2x)＝eq\f(22x－1,22x＋1)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．函数g(x)的定义域为{x|x≠0}，g(－x)＝log2|－x|＝g(x)，所以函数g(x)为偶函数．对于A，函数h(x)＝f(x)＋g(x)的定义域为{x|x≠0}，h(x)既不是奇函数也不是偶函数，故A不符合题意；对于B，函数h(x)＝f(x)－g(x)的定义域为{x|x≠0}，h(x)既不是奇函数也不是偶函数，故B不符合题意；对于C，函数h(x)＝f(x)g(x)的定义域为{x|x≠0}，h(－x)＝－h(x)，所以h(x)为奇函数，故C符合题意；对于D，函数h(x)＝eq\f(f（x）,g（x）)的定义域为{x|x≠0且x≠±1}，显然D不符合题意．故选C.(1)定性分析：通常利用函数定义域、单调性(有时也借助导数)、奇偶性、周期性、极值点等进行判断．(2)定量计算：关注特殊点及特殊位置．2.(2025·湖北武汉模拟)已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的是()A．y＝eq\f(x,ex＋e－x) B．y＝xcosxC．y＝x(ex－e－x) D．y＝cosx(ex＋e－x)答案：A解析：设题设函数为f(x)，由选项可知，A，B，C，D中函数的定义域均为R.对于D，若f(x)＝cosx(ex＋e－x)，此时f(0)＝2，不符合题意，故排除D；对于C，若f(x)＝x(ex－e－x)，此时f(－1)＝e－e－1>0，不符合题意，故排除C；对于B，若f(x)＝xcosx，此时feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝0，不符合题意，故排除B.故选A.3.若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为()答案：C解析：y＝f(x)的图象eq\o(→,\s\up7(向左平移1个单位长度))y＝f(x＋1)的图象eq\o(→,\s\up7(关于x轴对称（翻转）))y＝－f(x＋1)的图象．故选C.4．如图所示直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动(转到角不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是()答案：D解析：观察题图，可知面积S的变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知D符合要求．故选D.函数图象的应用(多考向探究)考向1根据图象研究函数的性质eq\a\vs4\al()(多选)某学习小组在研究函数f(x)＝eq\f(1,|x|－2)的性质时，得出了如下结论，其中正确的结论是()A．函数f(x)的图象关于点(2，0)中心对称B．函数f(x)在(－2，0)上单调递增C．函数f(x)在[0，2)上的最大值为－eq\f(1,2)D．方程f(x)－x＝0有2个不同实根答案：BCD解析：由y＝eq\f(1,x)→y＝eq\f(1,x－2)→y＝eq\f(1,|x|－2)的路线，结合图象变换规则，可得y＝f(x)的大致图象如图所示．由函数f(x)是偶函数及图象知，函数f(x)的图象不关于点(2，0)中心对称，故A错误；由图象知，函数f(x)在(－2，0)上单调递增，故B正确；由图象知，函数f(x)在[0，2)上单调递减，因此x∈[0，2)时，f(x)max＝f(0)＝－eq\f(1,2)，故C正确；当x<0时，f(x)＝eq\f(1,－x－2)，令eq\f(1,－x－2)＝x，得x2＋2x＋1＝0，故x＝－1，且由图象知，当x>0时，直线y＝x与函数y＝f(x)的图象也有一个交点，故D正确．故选BCD.利用图象研究函数性质问题的思路5.(多选)对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，下列说法正确的是()A．f(x＋2)是偶函数B．f(x＋2)是奇函数C．f(x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增D．f(x)没有最小值答案：AC解析：作出函数f(x)的图象如图所示，将f(x)的图象向左平移2个单位长度，得f(x＋2)的图象，且f(x＋2)的图象关于y轴对称，故f(x＋2)为偶函数，故A正确，B不正确；由图象可知f(x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，故C正确；由图象可知函数f(x)存在最小值0，故D不正确．故选AC.考向2根据图象解决不等式问题eq\a\vs4\al()已知y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域都是[－3，3]，且它们在[0，3]上的图象如图所示，则不等式eq\f(f（x）,g（x）)<0的解集是________．答案：{x|－2<x<－1，或0<x<1，或2<x<3}解析：y＝f(x)是偶函数，由图象及偶函数的对称性知，在[－3，－2)上，f(x)<0，在(－2，0)上，f(x)>0；y＝g(x)是奇函数，由图象及奇函数的对称性知，在(－3，－1)上，g(x)<0，在(－1，0)上，g(x)>0.当eq\f(f（x）,g（x）)<0时，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）>0，,g（x）<0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）<0，,g（x）>0，))故所求不等式的解集是{x|－2<x<－1，或0<x<1，或2<x<3}．当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解．6.如图为函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象，则不等式f(x)g(x)<0的解集为()A．(－∞，－1)∪(－1，0)B．(－∞，－1)∪(0，1)C．(－1，0)∪(1，＋∞)D．(0，1)∪(1，＋∞)答案：D解析：由图象可得，当f(x)>0时，x∈(－1，0)∪(1，＋∞)，此时需满足g(x)<0，则x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故x∈(1，＋∞)；当f(x)<0时，x∈(－∞，－1)∪(0，1)，此时需满足g(x)>0，则x∈(－1，1)，故x∈(0，1)．综上所述，x∈(0，1)∪(1，＋∞)．故选D.考向3根据图象研究取值范围问题eq\a\vs4\al()函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2log2x，x≥1，,f（x＋1），x<1，))若方程f(x)＝－2x＋m有且只有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()A．(－∞，4) B．(－∞，4]C．(－2，4) D．(－2，4]答案：A解析：令g(x)＝－2x＋m，画出f(x)与g(x)的图象，平移直线，当直线经过(1，2)时只有一个交点，此时m＝4，向右平移，不再符合条件，故m<4.故选A.求解函数图象应用问题的思维流程此类问题通常采用“以形助数”或“以数辅形”的数形结合法将问题直观化、生动化．7.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2－x＋\f(3,2)，x≤a，,－2x，x>a))无最大值，则实数a的取值范围是________．答案：(－∞，－1)解析：由题意可知，当x≤a时，f(x)＝－eq\f(1,2)x2－x＋eq\f(3,2)，其图象的对称轴为直线x＝－1，当a≥－1时，函数f(x)＝－eq\f(1,2)x2－x＋eq\f(3,2)有最大值，为f(－1)＝2；当a<－1时，函数f(x)＝－eq\f(1,2)x2－x＋eq\f(3,2)有最大值，为f(a)＝－eq\f(1,2)a2－a＋eq\f(3,2).当x>a时，f(x)＝－2x在(a，＋∞)上单调递减，故f(x)<f(a)＝－2a，因为函数f(x)无最大值，故当a≥－1时，需满足2<－2a，解得a<－1，不符合题意；当a<－1时，需满足－eq\f(1,2)a2－a＋eq\f(3,2)<－2a，解得a<－1或a>3(舍去)．综上，实数a的取值范围是(－∞，－1)．课时作业基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号123456789难度★★★★★★★★★★★★考向函数图象的应用函数图象的应用函数图象的辨别函数图象的辨别函数图象的辨别函数图象的应用作函数的图象函数图象的应用函数图象的应用考点根据函数图象研究函数的性质根据函数图象解决不等式问题根据解析式辨别函数图象根据解析式辨别函数图象根据函数图象辨别函数解析式根据函数图象研究交点问题作具体函数的图象根据函数图象研究方程根的个数根据函数图象研究函数的性质题号101112131415161718难度★★★★★★★★★★★★★★★★★考向函数图象的辨别函数图象的应用函数图象的变换函数图象的变换函数图象的应用函数图象的辨别函数图象的辨别函数图象的应用函数图象的应用考点根据解析式辨别函数图象根据函数图象研究函数的性质根据函数图象研究交点问题根据函数图象辨别函数解析式根据函数图象辨别点的移动轨迹作出函数的图象研究函数的性质根据函数图象研究函数的性质一、单项选择题1．已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是()A．f(x)是偶函数，且单调递增区间是(0，＋∞)B．f(x)是偶函数，且单调递减区间是(－∞，1)C．f(x)是奇函数，且单调递减区间是(－1，1)D．f(x)是奇函数，且单调递增区间是(－∞，0)答案：C解析：将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值，得f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x<0，))画出函数f(x)的图象，如图所示，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故f(x)为奇函数，且单调递减区间是(－1，1)．故选C.2．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式eq\f(f（x）－f（－x）,x)<0的解集为()A．(－1，0)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0，1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1，0)∪(0，1)答案：D解析：因为f(x)为奇函数，所以不等式eq\f(f（x）－f（－x）,x)<0可化为eq\f(f（x）,x)<0，f(x)的大致图象如图所示，所以原不等式的解集为(－1，0)∪(0，1)．故选D.3．(2025·河北邢台模拟)已知函数f(x)＝|ln|x||，则函数y＝－f(－x＋1)的图象是()答案：D解析：因为f(x)＝|ln|x||的定义域为{x|x≠0}，所以y＝－f(－x＋1)的定义域为{x|x≠1}，所以排除A，C；因为f(x)＝|ln|x||≥0，所以y＝－f(－x＋1)≤0，所以排除B.故选D.4．(2025·江苏扬州宝应县安宜高级中学高三期末)函数f(x)＝eq\f(ex－1,ex＋1)cosx的图象大致为()答案：C解析：因为函数f(x)＝eq\f(ex－1,ex＋1)cosx的定义域为R，f(－x)＝eq\f(e－x－1,e－x＋1)cos(－x)＝eq\f(1－ex,ex＋1)cosx＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，排除B，D；又f(2)＝eq\f(e2－1,e2＋1)cos2<0，排除A.故选C.5.函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为()A．f(x)＝eq\f(5（ex－e－x）,x2＋2) B．f(x)＝eq\f(5sinx,x2＋1)C．f(x)＝eq\f(5（ex＋e－x）,x2＋2) D．f(x)＝eq\f(5cosx,x2＋1)答案：D解析：解法一：由题图可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数．f(x)＝eq\f(5（ex－e－x）,x2＋2)，定义域为R，f(－x)＝eq\f(5（e－x－ex）,x2＋2)＝－f(x)，所以函数f(x)＝eq\f(5（ex－e－x）,x2＋2)是奇函数，所以排除A；f(x)＝eq\f(5sinx,x2＋1)，定义域为R，f(－x)＝eq\f(5sin（－x）,x2＋1)＝－eq\f(5sinx,x2＋1)＝－f(x)，所以函数f(x)＝eq\f(5sinx,x2＋1)是奇函数，所以排除B；f(x)＝eq\f(5（ex＋e－x）,x2＋2)，定义域为R，f(－x)＝eq\f(5（e－x＋ex）,x2＋2)＝f(x)，所以函数f(x)＝eq\f(5（ex＋e－x）,x2＋2)是偶函数，又x2＋2>0，ex＋e－x>0，所以f(x)>0恒成立，不符合题意，所以排除C.故选D.解法二：由题图可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数．因为y＝x2＋2是偶函数，y＝ex－e－x是奇函数，所以f(x)＝eq\f(5（ex－e－x）,x2＋2)是奇函数，故排除A；因为y＝x2＋1是偶函数，y＝sinx是奇函数，所以f(x)＝eq\f(5sinx,x2＋1)是奇函数，故排除B；因为x2＋2>0，ex＋e－x>0，所以f(x)＝eq\f(5（ex＋e－x）,x2＋2)>0恒成立，不符合题意，故排除C.故选D.6．(2024·广东江门二模)若函数f(x)的图象与圆C：x2＋y2＝4恰有4个公共点，则f(x)的解析式可以为()A．f(x)＝||x|－2| B．f(x)＝x2－2|x|C．f(x)＝|2x－2| D．f(x)＝|lgx2|答案：D解析：作出y＝||x|－2|，y＝|2x－2|的图象，如图1所示，作出y＝x2－2|x|，y＝|lgx2|的图象，如图2所示，由图可知，f(x)＝|lgx2|满足题意．故选D.7.如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点M从点A出发，沿A→B→C→D→A方向，以每秒2个单位的速度在正方形ABCD的边上运动；点N从点B出发，沿B→C→D→A方向，以每秒1个单位的速度在正方形ABCD的边上运动．点M与点N同时出发，运动时间为t(单位：秒)，△AMN的面积为f(t)(规定A，M，N共线时其面积为零)，则点M第一次到达点A时，y＝f(t)的图象为()答案：A解析：①当0≤t≤1时，f(t)＝eq\f(1,2)AM·BN＝eq\f(1,2)·2t·t＝t2；②当1<t≤2时，f(t)＝eq\f(1,2)MN·AB＝MN＝|2(t－1)－t|＝2－t；③当2<t≤3时，f(t)＝eq\f(1,2)MN·BC＝MN＝|2(t－2)－(t－2)|＝t－2；④当3<t≤4时，f(t)＝eq\f(1,2)AM·DN＝eq\f(1,2)[2－2(t－3)][2－(t－2)]＝(t－4)2.综上，f(t)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t2，0≤t≤1，,2－t，1<t≤2，,t－2，2<t≤3，,（t－4）2，3<t≤4，))其图象为选项A中的图象．故选A.8．(2025·浙江温州模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x＋3，x>0，,2x，x≤0，))则关于x的方程f(x)＝ax＋2的根的个数不可能是()A．0 B．1C．2 D．3答案：C解析：作出函数f(x)的图象，如图所示，则原问题转化为直线y＝ax＋2(过定点(0，2))与函数y＝f(x)的图象交点的个数，由图可知，当a＝0时，直线y＝2与函数y＝f(x)的图象只有一个交点；当a<0时，直线y＝ax＋2与函数y＝f(x)的图象没有交点；当a>0时，直线y＝ax＋2与函数y＝f(x)的图象有三个交点．所以直线y＝ax＋2与函数y＝f(x)的图象不可能有两个交点．故选C.二、多项选择题9．下列关于函数f(x)＝eq\f(2x－3,x－2)的性质，说法正确的是()A．f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)B．f(x)的值域为RC．f(x)在定义域上单调递减D．点(2，2)是f(x)图象的对称中心答案：AD解析：f(x)＝eq\f(2x－3,x－2)＝eq\f(2（x－2）＋1,x－2)＝2＋eq\f(1,x－2)，由y＝eq\f(1,x)的图象向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到f(x)＝2＋eq\f(1,x－2)的图象，因为y＝eq\f(1,x)的图象关于点(0，0)对称，所以f(x)的图象关于点(2，2)对称，故D正确；函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，故A正确，B错误；函数f(x)在(－∞，2)和(2，＋∞)上单调递减，故C错误．故选AD.10．已知a>0，函数f(x)＝xa－ax(x∈(0，＋∞))的图象可能是()答案：ABC解析：当0<a<1时，函数y＝xa在(0，＋∞)上单调递增，函数y＝ax在(0，＋∞)上单调递减，因此函数f(x)＝xa－ax在(0，＋∞)上单调递增，当x→0时，f(x)→－1，f(a)＝0，函数图象为曲线，故A符合题意；当a＝1时，函数f(x)＝x－1在(0，＋∞)上的图象是不含端点(0，－1)的射线，故B符合题意；当a>1时，取a＝2，有f(2)＝f(4)＝0，即函数f(x)＝x2－2x，x>0的图象与x轴有两个交点，又当a>1，x>0时，随着x的无限增大，函数y＝ax呈“爆炸式”增长，其增长速度比y＝xa大，因此存在正数x0，当x>x0时，xa<ax恒成立，即f(x)<0，故C符合题意，D不符合题意．故选ABC.11．如图所示，边长为1的正方形PABC沿x轴从左端无穷远处滚向右端无穷远处，点B恰好能经过原点．设动点P的纵坐标关于横坐标的函数解析式为y＝f(x)，则下列对函数y＝f(x)的判断正确的是()A．函数y＝f(x)是偶函数B．函数y＝f(x)是周期为4的函数C．函数y＝f(x)在区间[10，12]上单调递减D．函数y＝f(x)在区间[－1，1]上的值域是[1，eq\r(2)]答案：ABD解析：当－2≤x<－1时，动点P的轨迹是以A为圆心，1为半径的eq\f(1,4)圆；当－1≤x<1时，动点P的轨迹是以B为圆心，eq\r(2)为半径的eq\f(1,4)圆；当1≤x<2时，动点P的轨迹是以C为圆心，1为半径的eq\f(1,4)圆；当2≤x≤3时，动点P的轨迹是以A为圆心，1为半径的eq\f(1,4)圆．故函数y＝f(x)的周期为4，因此函数y＝f(x)的图象如图所示，根据图象的对称性可知函数y＝f(x)是偶函数，故A正确；函数f(x)的周期为4，故B正确；函数y＝f(x)在区间[2，4]上为增函数，故在区间[10，12]上也是增函数，故C错误；函数y＝f(x)在区间[－1，1]上的值域是[1，eq\r(2)]，故D正确．故选ABD.三、填空题12．(2025·福建泉州模拟)把函数y＝log3(x－1)的图象向右平移eq\f(1,2)个单位长度，再把横坐标缩小为原来的eq\f(1,2)，所得图象的函数解析式是________．答案：y＝log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(3,2)))解析：把函数y＝log3(x－1)的图象向右平移eq\f(1,2)个单位长度，得到函数y＝log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)－1))＝log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))的图象，再把横坐标缩小为原来的eq\f(1,2)，得到函数y＝log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(3,2)))的图象．13．设函数y＝f(x)的定义域为R，给出下列命题：①若y＝f(x)是偶函数，则y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称；②若y＝f(x＋2)是偶函数，则y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称；③若f(x－2)＝f(2－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称；④y＝f(x－2)与y＝f(2－x)的图象关于直线x＝2对称．其中真命题的序号是________．答案：②④解析：若y＝f(x)是偶函数，则y＝f(x＋2)的图象关于直线x＝－2对称，①为假命题；若y＝f(x＋2)是偶函数，则f(x＋2)＝f(－x＋2)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，②为真命题；f(x－2)＝f(2－x)＝f(－(x－2))，令x－2＝t，即f(t)＝f(－t)，所以f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，③为假命题；y＝f(x－2)的图象是将f(x)的图象向右平移2个单位长度而得，y＝f(2－x)＝f(－(x－2))的图象是将f(x)的图象沿y轴对称后再向右平移2个单位长度而得，因此y＝f(x－2)与y＝f(2－x)的图象关于直线x＝2对称，④为真命题．14．(2024·河北石家庄三模)给定函数f(x)＝|x2＋x|，g(x)＝x＋eq\f(1,x)，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记M(x)＝max{f(x)，g(x)}．若函数y＝M(x)的图象与y＝a有3个不同的交点，则实数a的取值范围是________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))∪(2，＋∞)解析：由f(x)＝|x2＋x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x<－1或x>0，,－x2－x，－1≤x≤0，))g(x)＝x＋eq\f(1,x)，作出函数f(x)与g(x)的图象如图1，因为M(x)＝max{f(x)，g(x)}，所以函数y＝M(x)的图象如图2，其中(|x2＋x|)max＝eq\f(1,4)(－1≤x≤0)，当且仅当x＝－eq\f(1,2)时取最大值，设两函数图象在第一象限的交点为P，即当x>0，y>0时，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）＝|x2＋x|，,g（x）＝x＋\f(1,x)，))解得P(1，2)，由题意y＝a与函数y＝M(x)的图象有3个不同的交点，数形结合易知，0<a<eq\f(1,4)或a>2.15．(2025·浙江台州教学质量评估)函数y＝f(x)的图象如图1所示，则如图2所示的函数图象所对应的函数解析式可能为()A．y＝f(4－2x) B．y＝－f(4－2x)C．y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)x)) D．y＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)x))答案：C解析：由题图1知，f(1)＝0，且当x>1时，f(x)>0，由题图2知，图象过点(0，0)，且当x<0时，y>0.对于A，当x＝0时，y＝f(4)>0，故A不可能；对于B，当x＝0时，y＝－f(4)<0，故B不可能；对于C，当x＝0时，y＝f(1)＝0，而当x<0时，1－eq\f(1,2)x>1，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)x))>0，故C可能；对于D，当x＝0时，y＝－f(1)＝0，而当x<0时，1－eq\f(1,2)x>1，则－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1