2026《金版教程》高考复习方案数学基础版-第六节 对数函数

第六节对数函数课标解读考向预测1.了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，探索并理解对数函数的单调性与其图象上的特殊点.2.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠1).对数函数中利用性质比较对数值大小，求对数函数的定义域、值域、最值等是近几年高考考查的热点，题型多以选择题、填空题为主，难度中档．预计2026年高考可能会考查对数函数的图象以及单调性等性质，题型为选择题或填空题，难度中档.必备知识—强基础1．对数函数及其性质(1)概念：函数eq\x(\s\up1(01))y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是eq\x(\s\up1(02))(0，＋∞)．(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域eq\x(\s\up1(03))(0，＋∞)值域eq\x(\s\up1(04))R性质当x＝1时，y＝0，即图象过定点eq\x(\s\up1(05))(1，0)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是eq\x(\s\up1(06))增函数在(0，＋∞)上是eq\x(\s\up1(07))减函数2.反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数eq\x(\s\up1(08))y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线eq\x(\s\up1(09))y＝x对称．它们的定义域和值域正好互换．1．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．2．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1))，函数图象只在第一、四象限．3．对于函数f(x)＝|logax|(a>0，且a≠1)，若f(m)＝f(n)(m≠n)，则必有mn＝1.题组一走出误区——判一判(1)由y＝logax(a>0，且a≠1)，得x＝ay，所以x＞0.()(2)y＝log2x2与y＝logx3不是对数函数．()(3)函数y＝loga(x－1)的定义域为(0，＋∞)．()(4)函数y＝log2x与y＝logeq\s\do7(\f(1,2))eq\f(1,x)的图象重合．()答案：(1)√(2)√(3)×(4)√题组二回归教材——练一练(1)(人教B必修第二册习题4－3BT1改编)若对数函数f(x)的图象经过点(4，2)，则它的反函数g(x)的解析式为()A．g(x)＝2x B．g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)C．g(x)＝4x D．g(x)＝x2答案：A解析：设f(x)＝logax，因为函数f(x)的图象过点(4，2)，所以f(4)＝loga4＝2，则a＝2，f(x)＝log2x，它的反函数g(x)的解析式为g(x)＝2x.故选A.(2)(人教A必修第一册4.4.1练习T2改编)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lgx的定义域和值域相同的是()A．y＝x B．y＝lgxC．y＝2x D．y＝eq\f(1,\r(x))答案：D(3)(人教B必修第二册4.2.3例1改编)已知实数a＝log32，b＝log2π，c＝log2eq\r(10)，则()A．a<b<c B．a<c<bC．c<a<b D．c<b<a答案：A(4)(人教B必修第二册4.2.3尝试与发现改编)已知函数y＝loga(x－3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．答案：(4，－1)考点探究—提素养对数函数的图象及其应用eq\a\vs4\al()(1)(2025·广东深圳名校联考)已知a>0，且a≠1，则函数y＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,a)))的图象一定经过()A．第一、二象限 B．第一、三象限C．第二、四象限 D．第三、四象限答案：D解析：当x＝0时，y＝logaeq\f(1,a)＝－1，则当0<a<1时，函数图象经过第二、三、四象限，如图1；当a>1时，函数图象经过第一、三、四象限，如图2.所以函数y＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,a)))的图象一定经过第三、四象限．故选D.(2)设x1，x2，x3均为实数，且e－x1＝lnx1，e－x2＝ln(x2＋1)，e－x3＝lgx3，则()A．x1<x2<x3 B．x1<x3<x2C．x2<x3<x1 D．x2<x1<x3答案：D解析：画出函数y＝e－x，y＝lnx，y＝ln(x＋1)，y＝lgx的图象，如图所示，数形结合，知x2<x1<x3.(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．1.若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga|x＋k|的大致图象是()答案：B解析：因为函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上是奇函数，所以f(0)＝0，所以k＝2，经检验，k＝2满足题意．又因为f(x)为减函数，所以0<a<1，则g(x)＝loga|x＋2|(0<a<1)，由g(－4－x)＝loga|－4－x＋2|＝loga|x＋2|＝g(x)，可知g(x)的图象关于直线x＝－2对称，排除C，D；又g(0)＝loga|0＋2|＝loga2<0，可知A错误．故选B.2．已知函数f(x)＝|log2x|，实数a，b满足0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，若f(x)在[a2，b]上的最大值为2，则eq\f(1,a)＋b＝________．答案：4解析：∵f(x)＝|log2x|，∴f(x)的图象如图所示，又f(a)＝f(b)且0＜a＜b，∴0＜a＜1，b＞1且ab＝1，∴a2＜a，当a2≤x≤b时，由图可知，f(x)max＝f(a2)＝|log2a2|＝－2log2a＝2，∴a＝eq\f(1,2)，∴b＝2，∴eq\f(1,a)＋b＝4.对数函数的性质及其应用(多考向探究)考向1比较大小问题eq\a\vs4\al()(1)(2025·天津滨海新区模拟)已知a＝2log20.4，b＝log0.42，c＝eq\f(1,log0.30.4)，则()A．a>b>c B．b>a>cC．c>a>b D．a>c>b答案：C解析：a＝2log20.4＝0.4，b＝log0.42<log0.41＝0，0＝log0.31<log0.30.4<log0.30.3＝1，则c>1，故c>a>b.故选C.(2)(2025·辽宁沈阳模拟)已知a＝log721，b＝log510，c＝log33eq\r(3)，则()A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．c>a>b答案：B解析：由已知条件，得c＝log33eq\r(3)＝log33eq\s\up7(\f(3,2))＝eq\f(3,2)，a＝log721＝log7(3×7)＝1＋log73>1＋log7eq\r(7)＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，b＝log510＝log5(2×5)＝1＋log52<1＋log5eq\r(5)＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，所以a>c>b.故选B.对数值比较大小的四种常见类型(1)底数为同一常数，可由对数函数的单调性直接进行判断．(2)底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．(3)底数不同，真数相同，可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．(4)底数与真数都不同，常借助1，0等中间量进行比较．3.(多选)已知a＝log827，b＝log916，c＝log48，则()A．a<b B．a>cC．b<c D．b<a答案：BCD解析：因为a＝log827＝log2333＝log23，b＝log916＝log34，c＝log48＝eq\f(3,2)，所以eq\f(a,b)＝eq\f(log23,log34)＝eq\f(ln3,ln2)×eq\f(ln3,ln4)＝eq\f(6ln3×ln3,6ln2×ln4)＝eq\f(2ln3,3ln2)×eq\f(3ln3,2ln4)＝eq\f(ln9,ln8)×eq\f(ln27,ln16)>1，又a，b均大于0，所以a>b，故A错误，D正确；因为a＝log23>log22eq\r(2)＝eq\f(3,2)＝c，所以a>c，故B正确；因为16<33，即4<3eq\s\up6(\f(3,2))，所以b＝log916＝log34<log33eq\s\up6(\f(3,2))＝eq\f(3,2)＝c，即b<c，故C正确．故选BCD.考向2解简单的对数不等式eq\a\vs4\al()(1)已知函数f(x)＝log2x－x＋1，则不等式f(x)<0的解集是()A．(1，2) B．(－∞，1)∪(2，＋∞)C．(0，2) D．(0，1)∪(2，＋∞)答案：D解析：依题意，f(x)<0等价于log2x<x－1，在同一直角坐标系中作出y＝log2x，y＝x－1的图象，如图所示，可得log2x<x－1的解集为(0，1)∪(2，＋∞)．故选D.(2)(2025·陕西名校联盟质检)不等式log2x＋log4x<3的解集为________．答案：(0，4)解析：因为log4x＝eq\f(log2x,log24)＝eq\f(1,2)log2x，所以原不等式化为eq\f(3,2)log2x<3，即log2x<2＝log24，解得0<x<4，所以原不等式的解集为(0，4)．(3)不等式loga(2x＋3)>loga(5x－6)(a>1)的解集为________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，3))解析：因为a>1，所以对数函数y＝logax为增函数，则原不等式等价于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3>0，,5x－6>0，,2x＋3>5x－6，))解得eq\f(6,5)<x<3，即原不等式的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，3)).与对数函数有关的不等式的求解策略4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈(－∞，0]时，f(x)单调递减，则不等式f(logeq\s\do7(\f(1,3))(2x－5))＞f(log38)的解集为________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(41,16)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,2)，＋∞))解析：因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，所以可将f(logeq\s\do7(\f(1,3))(2x－5))＞f(log38)化为|logeq\s\do7(\f(1,3))(2x－5)|＞|log38|，即log3(2x－5)＞log38或log3(2x－5)＜－log38＝log3eq\f(1,8)，即2x－5＞8或0＜2x－5＜eq\f(1,8)，解得x＞eq\f(13,2)或eq\f(5,2)＜x＜eq\f(41,16).考向3与对数函数有关的复合函数问题eq\a\vs4\al()(多选)已知函数f(x)＝ln(x2＋x＋m)(m∈R)，则()A．当m>eq\f(1,4)时，f(x)的定义域为RB．f(x)一定存在最小值C．f(x)的图象关于直线x＝－eq\f(1,2)对称D．当m≥1时，f(x)的值域为R答案：AC解析：对于A，若m>eq\f(1,4)，则Δ＝1－4m<0，则二次函数y＝x2＋x＋m的图象恒在x轴的上方，即x2＋x＋m>0恒成立，所以f(x)的定义域为R，故A正确；对于B，若m＝0，则f(x)＝ln(x2＋x)的定义域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，值域为R，没有最小值，故B错误；对于C，由于函数y＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋m－\f(1,4)))为偶函数，其图象关于y轴对称，将该函数的图象向左平移eq\f(1,2)个单位长度即可得到函数f(x)＝lneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))\s\up12(2)＋m－\f(1,4)))＝ln(x2＋x＋m)的图象，所以f(x)图象的对称轴为直线x＝－eq\f(1,2)，故C正确；对于D，若m≥1，则y＝x2＋x＋m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋m－eq\f(1,4)≥eq\f(3,4)，故f(x)的值域不是R，故D错误．故选AC.解决对数函数综合问题的策略(1)始终牢记“对数的真数大于0”这一基本要求，这是解决对数问题的出发点．(2)善于运用对数的运算性质将对数式进行合理地化简与变形，这是研究性质的重要途径．(3)注意等价转化思想方法的合理运用，这是解决对数综合问题的关键．5.已知函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是()A．(－∞，－1] B．(－∞，2]C．[2，＋∞) D．[5，＋∞)答案：D解析：由x2－4x－5＞0，解得x＞5或x＜－1，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞)．又函数y＝x2－4x－5在(5，＋∞)上单调递增，在(－∞，－1)上单调递减，所以函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(5，＋∞)上单调递增，所以a≥5.故选D.6．已知f(x)＝1＋log3x(x∈[1，9])，设函数g(x)＝[f(x)]2＋f(x2)，则g(x)max－g(x)min＝________．答案：5解析：由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1≤x≤9，,1≤x2≤9，))∴1≤x≤3，∴g(x)的定义域为[1，3]，g(x)＝[f(x)]2＋f(x2)＝(1＋log3x)2＋1＋log3x2＝(log3x)2＋4log3x＋2，设t＝log3x，则0≤t≤1，则y＝t2＋4t＋2＝(t＋2)2－2在[0，1]上单调递增，∴当t＝0，即x＝1时，g(x)min＝2，当t＝1，即x＝3时，g(x)max＝7，∴g(x)max－g(x)min＝5.课时作业基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号1234567难度★★★★★★★★考向对数函数的定义域及应用对数函数的图象及应用对数函数的性质及应用对数函数的性质及应用对数函数的性质及应用对数函数的性质及应用对数函数的性质及应用考点求与对数函数相关的函数的定义域与对数函数有关的复合函数的奇偶性问题与对数函数有关的复合函数的单调性问题比较大小问题与对数函数有关的复合函数的单调性问题与对数函数有关的复合函数问题题号891011121314难度★★★★★★★★★★★考向对数函数的图象及应用对数函数的图象及应用对数函数的性质及应用对数函数的性质及应用对数函数的性质及应用对数函数的性质及应用对数函数的性质及应用考点利用对数函数的图象求参数的取值范围对数型函数图象的识别与对数函数有关的复合函数问题与对数函数有关的复合函数问题由函数的性质写解析式与对数函数有关的复合函数的单调性问题与对数函数有关的复合函数的值域问题题号151617181920难度★★★★★★★★★★★★★考向对数函数的性质及应用对数函数的性质及应用对数函数的性质及应用对数函数的性质及应用对数函数的性质及应用对数函数的性质及应用考点解对数方程与不等式与对数函数有关的复合函数问题比较大小问题由对数函数的单调性求参数的取值范围与对数函数有关的复合函数问题与对数函数有关的复合函数问题一、单项选择题1．(2025·江苏泰州模拟)函数f(x)＝eq\r(ln（1－x）)的定义域为()A．(－∞，0] B．(－∞，1)C．[0，1) D．[0，＋∞)答案：A解析：函数f(x)＝eq\r(ln（1－x）)有意义，等价于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x>0，,ln（1－x）≥0，))解得x≤0，故函数f(x)的定义域为(－∞，0]．故选A.2．函数f(x)＝eq\f(xlog2|x|,2x＋2－x)的部分图象大致是()答案：A解析：易知f(x)＝eq\f(xlog2|x|,2x＋2－x)的定义域为{x|x≠0}，因为f(－x)＝eq\f(－xlog2|－x|,2－x＋2x)＝－eq\f(xlog2|x|,2x＋2－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除B，D；又f(2)＝eq\f(2,22＋2－2)>0，排除C.故选A.3．(2025·广东揭阳模拟)若函数f(x)＝x3·ln(eq\r(x2＋2a)－x)为偶函数，则a＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C．1 D．2答案：B解析：易得，函数f(x)的定义域为R，因为函数f(x)＝x3ln(eq\r(x2＋2a)－x)为偶函数，且y＝x3为奇函数，故g(x)＝ln(eq\r(x2＋2a)－x)为奇函数，故g(－x)＋g(x)＝0，即ln[eq\r(（－x）2＋2a)＋x]＋ln(eq\r(x2＋2a)－x)＝0，即ln(x2＋2a－x2)＝0，即2a＝1，解得a＝eq\f(1,2).故选B.4．若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为()A．[1，2) B．[1，2]C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)答案：A解析：令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，该函数图象的对称轴为直线x＝a，要使函数f(x)在(－∞，1]上单调递减，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g（1）>0，,a≥1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－a>0，,a≥1，))解得1≤a<2，所以a的取值范围为[1，2)．故选A.5．已知a＝log32，b＝log53，c＝log85，则下列结论正确的是()A．a<b<c B．b<a<cC．a<c<b D．b<c<a答案：A解析：因为log32＝log3eq\r(3,8)<log3eq\r(3,9)＝log33eq\s\up7(\f(2,3))＝eq\f(2,3)＝log55eq\s\up7(\f(2,3))＝log5eq\r(3,25)<log5eq\r(3,27)＝log53，所以a<b.因为ln3×ln8<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ln3＋ln8,2)))eq\s\up12(2)＝(lneq\r(24))2<(ln5)2，所以eq\f(ln3,ln5)<eq\f(ln5,ln8)，所以log53<log85，所以b<c，所以a<b<c.故选A.6．若函数f(x)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(3,2)x))(a＞0，且a≠1)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上恒有f(x)＞0，则f(x)的单调递增区间为()A．(0，＋∞) B．(2，＋∞)C．(1，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))答案：A解析：令M＝x2＋eq\f(3,2)x，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))时，M∈(1，＋∞)，因为f(x)＞0恒成立，所以a＞1，所以函数y＝logaM为增函数，又M＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,4)))eq\s\up12(2)－eq\f(9,16)，所以M的单调递增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，＋∞)).又x2＋eq\f(3,2)x>0，所以x＞0或x＜－eq\f(3,2)，所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．故选A.7．已知函数f(x)的定义域为D，若满足如下两个条件：①f(x)在D内是单调函数；②存在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，\f(n,2)))⊆D，使得f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，\f(n,2)))上的值域为[m，n]，那么就称函数f(x)为“希望函数”．若函数f(x)＝loga(ax＋t)(a>0，且a≠1)是“希望函数”，则t的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))答案：A解析：∵函数f(x)＝loga(ax＋t)(a>0，且a≠1)是“希望函数”，∴f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，\f(n,2)))上的值域为[m，n]．易知函数f(x)单调递增，∴eq\b\lc\{\rc(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(loga(aeq\s\up7(\f(m,2))+t)＝m，,loga(aeq\s\up7(\f(n,2))+t)＝n，)))即eq\b\lc\{\rc(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(aeq\s\up7(\f(m,2))＋t＝am，,aeq\s\up7(\f(n,2))＋t＝an，)))∴m，n为方程ax－aeq\s\up7(\f(x,2))－t＝0的两个不相等的实数根，令p＝aeq\s\up7(\f(x,2))(p>0)，则p2－p－t＝0，∴Δ＝1＋4t>0，－t>0，得－eq\f(1,4)<t<0.故选A.8．当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，则a的取值范围是()A．(0，1) B．(1，2)C．(1，2] D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))答案：C解析：设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，只需在区间(1，2)上，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的图象的下方即可．当0＜a＜1时，显然不成立．当a＞1时，如图所示，要使在区间(1，2)上，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的图象的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，所以loga2≥1，解得1＜a≤2.二、多项选择题9．在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝loga(x－2)的图象可能是()答案：BD解析：当a>1时，y＝ax在R上单调递增且其图象恒过点(0，1)，y＝loga(x－2)在(2，＋∞)上单调递增且其图象恒过点(3，0)，则B符合要求；当0<a<1时，y＝ax在R上单调递减且其图象恒过点(0，1)，y＝loga(x－2)在(2，＋∞)上单调递减且其图象恒过点(3，0)，则D符合要求．故选BD.10．(2025·山东烟台模拟)已知函数f(x)＝logm(x＋m)(m>1)的定义域为(－4，＋∞)，则()A．m＝4B．f(－2)＝eq\f(1,2)C．3是f(x)的零点D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋x))>f(2)答案：AB解析：对于A，由x＋m>0，得x>－m，故f(x)＝logm(x＋m)(m>1)的定义域为(－m，＋∞)，故－m＝－4，解得m＝4，A正确；对于B，因为f(x)＝log4(x＋4)，所以f(－2)＝log4(－2＋4)＝eq\f(1,2)，B正确；对于C，令f(x)＝0，即log4(x＋4)＝0，解得x＝－3，故－3是f(x)的零点，C错误；对于D，当x＝1时，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1)＋1))＝f(2)，故D错误．故选AB.11．已知函数f(x)＝ln(e2x＋1)－x，则()A．f(ln2)＝lneq\f(5,2)B．f(x)是奇函数C．f(x)在(0，＋∞)上单调递增D．f(x)的最小值为ln2答案：ACD解析：因为f(ln2)＝ln(e2ln2＋1)－ln2＝lneq\f(5,2)，故A正确；因为f(x)＝ln(e2x＋1)－x＝ln(e2x＋1)－lnex＝lneq\f(e2x＋1,ex)＝ln(ex＋e－x)，所以f(－x)＝ln(ex＋e－x)，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故B错误；因为y＝ex＋e－x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝ln(ex＋e－x)在(0，＋∞)上单调递增，故C正确；由于f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(x)为偶函数，所以f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)的最小值为f(0)＝ln2，故D正确．故选ACD.三、填空题12．(2025·江苏名校模拟)写出一个同时满足下列性质①②的函数为f(x)＝________．①f(xy)＝f(x)＋f(y)；②f(x)在定义域上单调递增．答案：log2x(满足logax(a>1)均可)解析：loga(MN)＝logaM＋logaN，且f(x)＝logax(a>1)单调递增．故答案为log2x(满足logax(a>1)均可)．13．若函数y＝f(x)与y＝5x互为反函数，则y＝f(x2－2x)的单调递减区间是________．答案：(－∞，0)解析：因为y＝f(x)与y＝5x互为反函数，所以y＝f(x)＝log5x在定义域(0，＋∞)上为增函数，由x2－2x>0，得x>2或x<0，又y＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以y＝f(x2－2x)的单调递减区间是(－∞，0)．14．已知f(x)＝ln(x2＋2x＋m)，若f(x)的值域为R，则实数m的取值范围是________．答案：(－∞，1]解析：因为f(x)的值域为R，所以x2＋2x＋m≤0有解，则4－4m≥0，解得m≤1，所以实数m的取值范围是(－∞，1]．四、解答题15．定义在(－1，1)上的函数f(x)和g(x)，满足f(x)＋g(－x)＝0，且g(x)＝logaeq\f(1＋x,2)，其中a>1.(1)若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2，求f(x)的解析式；(2)若不等式f(x)>1的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，m))，求m－a的值．解：(1)由题意知，f(x)＝－g(－x)＝logaeq\f(2,1－x)，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2，所以loga4＝2，即a＝2.所以f(x)的解析式为f(x)＝log2eq\f(2,1－x)(－1<x<1)．(2)由f(x)>1，得eq\f(2,1－x)>a，由题意知，1－x>0，所以1－eq\f(2,a)<x<1，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,a)＝－\f(1,3)，,m＝1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,2)，,m＝1，))所以m－a＝－eq\f(1,2).16．已知函数f(x)＝loga(2－ax)．(1)当x∈[0，1]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为增函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)因为a>0且a≠1，设t(x)＝2－ax，则t(x)＝2－ax为减函数，当x∈[0，1]时，t(x)的最小值为2－a，当x∈[0，1]时，f(x)恒有意义，即当x∈[0，1]时，2－ax>0恒成立，所以2－a>0，所以a<2.又a>0且a≠1，所以实数a的取值范围为(0，1)∪(1，2)．(2)由(1)知，t(x)＝2－ax，且当a>0时，函数t(x)为减函数．因为f(x)在区间[1，2]上为增函数，所以y＝logat(x)为减函数，所以0<a<1.当x∈[1，2]时，f(x)的最大值为f(2)＝loga(2－2a)＝1，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,loga（2－2a）＝1，))即a＝eq\f(2,3).故存在a＝eq\f(2,3)，使得函数f(x)在区间[1，2]上为增函数，并且最大值为1.17．(2024·北京高考)已知(x1，y1)，(x2，y2)是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则()A．log2eq\f(y1＋y2,2)<eq\f(x1＋x2,2)B．log2eq\f(y1＋y2,2)>eq\f(x1＋x2,2)C．log2eq\f(y1＋y2,2)<x1＋x2D．log2eq\f(y1＋y2,2)>x1＋x2答案：B解析：对于A，B，由题意不妨设x1<x2，因为函数y＝2x是增函数，所以0<2x1<2x2，即0<y1<y2，因为eq\f(2x1＋2x2,2)>eq\r(2x1·2x2)＝2eq\s\up7(\f(x1+x2,2))，即eq\f(y1＋y2,2)>2eq\s\up7(\f(x1+x2,2))>0，又函数y＝log2x是增函数，所以log2eq\f(y1＋y2,2)>log22eq\s\up7(\f(x1+x2,2))＝eq\f(x1＋x2,2)，故A错误，B正确；对于C，例如x1＝－1，x2＝－2，则y1＝eq\f(1,2)，y2＝eq\f(1,4)，可得log2eq\f(y1＋y2,2)＝log2eq\f(3,8)＝log23－3∈(－2，－1)，即log2eq\f(y1＋y2,2)>－3＝x1＋x2，故C错误；对于D，例如x1＝0，x2＝1，则y1＝1，y2＝2，可得log2eq\f(y1＋y2,2)＝log2eq\f(3,2)∈(0，1)，即log2eq\f(y1＋y2,2)<1＝x1＋x2，故D错误．故选B.18．(2025·广东佛山模拟)已知0<a<1且a≠eq\f(1,2)，若函数f(x)＝2logax－log(2a)x在(0，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))答案：D解析：依题意，f(x)＝eq\f(2lnx,lna)－eq\f(lnx,ln（2a）)＝eq\f(2ln（2a）－lna,lna·ln（2a）)·lnx＝eq\f(ln（4a）,lna·ln（2a）)·lnx，显然函数y＝lnx在(0，＋∞)上单调递增，而函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，因此eq\f(ln（4a）,lna·ln（2a）)<0，而0<a<2a<4a，则ln(4a)<0或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lna<0，,ln（2a）>0，))解得0<a<eq\f(1