2026《金版教程》高考复习方案数学基础版-第九节 函数模型及其应用

第九节函数模型及其应用课标解读考向预测1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.近三年高考对函数模型及其应用的考查，一般出现在选择题和填空题中，难度中档偏上．预计2026年高考会考查指数函数模型或对数函数模型在实际生活中的应用，以选择题的形式出现.必备知识—强基础1．几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与指数函数相关的模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与对数函数相关的模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与幂函数相关的模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)2.指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调eq\x(\s\up1(01))递增单调eq\x(\s\up1(02))递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与eq\x(\s\up1(03))y轴平行随x的增大逐渐表现为与eq\x(\s\up1(04))x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小．题组一走出误区——判一判(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．()(2)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xn(n>0)和y＝logax(a>1)的增长速度．()(3)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．()答案：(1)×(2)√(3)×题组二回归教材——练一练(1)(人教B必修第二册4.5例2改编)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列结论中正确的是()A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x)C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)答案：B解析：在同一平面直角坐标系内，根据函数图象的变化趋势，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x)．故选B.(2)(人教A必修第一册复习参考题3T6改编)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是()A．40万元 B．60万元C．80万元 D．120万元答案：D解析：当甲商品的价格为6元时，该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)；当乙商品的价格为4元时，该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元)．故该商人共获利40＋80＝120(万元)．故选D.(3)(人教A必修第一册复习参考题4T10改编)在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的试验，将一块质量为7克的糖块放入一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，同时小明发现可以用指数型函数S＝ae－kt(a，k为常数)来描述以上糖块的溶解过程，其中S(单位：克)代表t分钟末未溶解糖块的质量，则k＝()A．ln2 B．ln3C.eq\f(ln2,5) D.eq\f(ln3,5)答案：C解析：由题意可得，当t＝0时，S＝a＝7，因为在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，所以3.5＝7e－5k，解得k＝eq\f(ln2,5).故选C.(4)(人教B必修第一册3.3例1改编)某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x，1≤x≤10，,2x＋10，10<x<100，,1.5x，x≥100，))x∈N*，其中x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为160，则该公司拟录用人数为________．答案：75解析：令y＝160，若4x＝160，则x＝40＞10，不符合题意；若2x＋10＝160，则x＝75，符合题意；若1.5x＝160，则x＝eq\f(320,3)∉N*，不符合题意．故拟录用人数为75.考点探究—提素养用函数图象刻画实际问题eq\a\vs4\al()中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律？()A．y＝mx2＋n(m>0)B．y＝max＋n(m>0，0<a<1)C．y＝max＋n(m>0，a>1)D．y＝mlogax＋n(m>0，a>0，a≠1)答案：B解析：由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且m>0，0<a<1.故选B.(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象；当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案．(2)图形、表格能直观刻画两变量间的依存关系，考查了数学直观想象核心素养．1.(多选)某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y(单位：微克)与时间t(单位：小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则下列说法正确的是()A．a＝3B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C．注射该药物eq\f(1,8)小时后每毫升血液中的含药量为0.5微克D．注射一次治疗该病的有效时间长度为5eq\f(31,32)小时答案：ACD解析：将点M的坐标代入y＝kt，可得k＝4，将点M的坐标代入y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(t－a)可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(1－a)＝4，解得a＝3，所以y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4t，0<t≤1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(t－3)，t>1，))A正确；当0<t≤1时，由y＝4t≥eq\f(1,8)可得t≥eq\f(1,32)，此时eq\f(1,32)≤t≤1；当t>1时，由y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(t－3)≥eq\f(1,8)可得t≤6，此时1<t≤6.故不等式y≥eq\f(1,8)的解为eq\f(1,32)≤t≤6，所以注射一次治疗该病的有效时间长度为6－eq\f(1,32)＝5eq\f(31,32)小时，B错误，D正确；注射该药物eq\f(1,8)小时后每毫升血液中的含药量为4×eq\f(1,8)＝0.5(微克)，故C正确．故选ACD.给定函数模型解决实际问题eq\a\vs4\al()(2025·四川凉山州模拟)血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数．人体的血氧饱和度正常范围是95%～100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型S(t)＝S0eKt描述血氧饱和度S(t)随着给氧时间t(单位：小时)的变化而变化的规律，其中S0为初始血氧饱和度，K为参数．已知S0＝60%，给氧1小时后，血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要的给氧时间为(精确到0.1，参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10)()A．0.3小时 B．0.5小时C．0.7小时 D．0.9小时答案：B解析：设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少需要t－1小时，由题意可得60eK＝80，60eKt＝90，两边同时取自然对数并整理，得K＝lneq\f(80,60)＝lneq\f(4,3)＝ln4－ln3＝2ln2－ln3，Kt＝lneq\f(90,60)＝lneq\f(3,2)＝ln3－ln2，则t＝eq\f(ln3－ln2,2ln2－ln3)≈eq\f(1.10－0.69,2×0.69－1.10)≈1.5，则给氧时间至少还需要t－1＝0.5(小时)．故选B.(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知，利用待定系数法确定模型中的待定系数．(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．2.(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lgeq\f(p,p0)，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则()A．p1≥p2 B．p2>10p3C．p3＝100p0 D．p1≤100p2答案：ACD解析：解法一：由题意可知，Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，Lp3＝40，对于A，Lp1－Lp2＝20×lgeq\f(p1,p0)－20×lgeq\f(p2,p0)＝20×lgeq\f(p1,p2)，因为Lp1≥Lp2，则Lp1－Lp2＝20×lgeq\f(p1,p2)≥0，即lgeq\f(p1,p2)≥0，所以eq\f(p1,p2)≥1且p1，p2>0，可得p1≥p2，故A正确；对于B，因为Lp2－Lp3＝20×lgeq\f(p2,p0)－20×lgeq\f(p3,p0)＝20×lgeq\f(p2,p3)，且Lp2－Lp3＝Lp2－40≥10，则20×lgeq\f(p2,p3)≥10，即lgeq\f(p2,p3)≥eq\f(1,2)，所以eq\f(p2,p3)≥eq\r(10)且p2，p3>0，可得p2≥eq\r(10)p3，当且仅当Lp2＝50时，等号成立，故B错误；对于C，因为Lp3＝20×lgeq\f(p3,p0)＝40，即lgeq\f(p3,p0)＝2，可得eq\f(p3,p0)＝100，即p3＝100p0，故C正确；对于D，由选项A可知，Lp1－Lp2＝20×lgeq\f(p1,p2)，且Lp1－Lp2≤90－50＝40，则20×lgeq\f(p1,p2)≤40，即lgeq\f(p1,p2)≤2，可得eq\f(p1,p2)≤100且p1，p2>0，所以p1≤100p2，故D正确．故选ACD.解法二：因为Lp＝20×lgeq\f(p,p0)随着p的增大而增大，且Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，所以Lp1≥Lp2，所以p1≥p2，故A正确；由Lp＝20×lgeq\f(p,p0)，得p＝p010eq\s\up7(\f(Lp,20))，因为Lp3＝40，所以p3＝p010eq\s\up6(\f(40,20))＝100p0，故C正确；假设p2＞10p3，则p010eq\s\up7(\f(Lp2,20))＞10p010eq\s\up7(\f(Lp3,20))，所以10eq\s\up7(\f(Lp2,20))eq\s\up7(\f(Lp3,20))＞10，所以Lp2－Lp3＞20，该式不可能成立，故B错误；因为eq\f(100p2,p1)＝eq\f(100p010\s\up6(\f(Lp2,20)),p010\s\up6(\f(Lp1,20)))＝10eq\s\up7(\f(Lp2,20))eq\s\up7(\f(Lp1,20))＋2≥1，所以p1≤100p2，故D正确．故选ACD.构建函数模型解决实际问题eq\a\vs4\al()A，B两城相距100km，在两城之间距A城xkm处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(单位：km)的平方与供电量(单位：亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度．(1)求x的取值范围；(2)把月供电总费用y表示成x的函数；(3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用最少？解：(1)由题意，知x的取值范围为[10，90]．(2)y＝0.25×20×x2＋0.25×10×(100－x)2＝5x2＋eq\f(5,2)(100－x)2＝eq\f(15,2)x2－500x＋25000，∴y＝eq\f(15,2)x2－500x＋25000(x∈[10，90])．(3)y＝eq\f(15,2)x2－500x＋25000＝eq\f(15,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(100,3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(50000,3)，∴当x＝eq\f(100,3)时，ymin＝eq\f(50000,3).∴核电站建在距A城eq\f(100,3)km处，才能使供电总费用最少．解答函数应用题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．以上过程用框图表示如下：3.某工厂拟建一个平面图形为矩形，且总面积为400m2的三级污水处理池，如图所示，已知池外墙造价为200元/m，中间两条隔墙造价为250元/m，池底造价为80元/m2(池壁的厚度忽略不计，且污水处理池无盖)．若使污水处理池的总造价最低，那么污水处理池的长和宽分别为()A．40m，10m B．20m，20mC．30m，eq\f(40,3)m D．50m，8m答案：C解析：设污水处理池的宽为xm，则长为eq\f(400,x)m，总造价为y元，则y＝200eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋2×\f(400,x)))＋2×250x＋80×400＝900x＋eq\f(160000,x)＋32000≥2eq\r(900×160000)＋32000＝56000，当且仅当900x＝eq\f(160000,x)，即x＝eq\f(40,3)时，总造价最低．4．一种药在病人血液中的量保持1500mg以上才有疗效；而低于500mg病人就有危险．现给某病人静脉注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过________小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．(附：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，精确到0.1h)答案：2.3解析：设应在病人注射这种药经过x小时后再向病人的血液补充这种药，则2500(1－20%)x＝1500，整理可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(x)＝eq\f(3,5)，所以x＝logeq\s\do7(\f(4,5))eq\f(3,5)，又logeq\s\do7(\f(4,5))eq\f(3,5)＝logeq\s\do7(\f(8,10))eq\f(6,10)＝eq\f(lg\f(6,10),lg\f(8,10))＝eq\f(lg6－1,lg8－1)＝eq\f(lg2＋lg3－1,3lg2－1)≈2.3，所以x≈2.3.故从现在起经过2.3小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．课时作业基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号1234567难度★★★★★★★★考向通过构建函数模型解决实际问题选择函数模型解决实际问题根据给定函数模型解决实际问题根据给定函数模型解决实际问题根据给定函数模型解决实际问题根据给定函数模型解决实际问题根据给定函数模型解决实际问题考点一次函数模型对数型函数模型幂函数模型分式函数模型指数型函数模型指数型函数模型对数型函数模型题号891011121314难度★★★★★★★★★★★★考向通过构建函数模型解决实际问题根据给定函数模型解决实际问题用函数图象刻画实际问题根据给定函数模型解决实际问题根据给定函数模型解决实际问题根据给定函数模型解决实际问题根据给定函数模型解决实际问题考点指数型函数模型反比例函数模型；二次函数模型分段函数模型指数型函数模型分段函数模型指数型函数模型指数型函数模型一、单项选择题1．某中学体育课对女生立定跳远项目的考核标准为：立定跳远距离1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后，每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分．若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分，则该女生训练后，立定跳远距离增加了()A．0.33米 B．0.42米C．0.39米 D．0.43米答案：B解析：该女生训练前立定跳远距离为1.84－0.03×eq\f(90－70,5)＝1.72(米)，训练后立定跳远距离为1.84＋0.1×eq\f(105－90,5)＝2.14(米)，则该女生训练后，立定跳远距离增加了2.14－1.72＝0.42(米)．故选B.2．视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如下表：小数记录x0.10.120.15…11.21.52.0五分记录y4.04.14.2…55.15.25.3现有如下函数模型：①y＝5＋lgx，②y＝5＋eq\f(1,10)lgeq\f(1,x)，x表示小数记录数据，y表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为4.7，则小明同学的小数记录数据为(附：100.3≈2，5－0.22≈0.7，10－0.1≈0.8)()A．0.3 B．0.5C．0.7 D．0.8答案：B解析：由表格中的数据可知，函数单调递增，故合适的函数模型为y＝5＋lgx，令y＝5＋lgx＝4.7，解得x＝10－0.3≈0.5.故选B.3．(2025·北京朝阳模拟)假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力f满足公式f＝eq\f(1,2)ρCSv2，其中ρ是空气密度，S是该飞行器的迎风面积，v是该飞行器相对于空气的速度，C是空气阻力系数(其大小取决于多种其他因素)，反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率P＝fv.当ρ，S不变，v比原来提高10%时，下列说法正确的是()A．若C不变，则P比原来提高不超过30%B．若C不变，则P比原来提高超过40%C．为使P不变，则C比原来降低不超过30%D．为使P不变，则C比原来降低超过40%答案：C解析：由题意，f＝eq\f(1,2)ρCSv2，P＝fv，所以P＝eq\f(1,2)ρCSv3，C＝eq\f(2P,ρSv3).对于A，当ρ，S，C不变，v比原来提高10%时，则P1＝eq\f(1,2)ρCS(1＋10%)3v3＝eq\f(1,2)ρCS(1.1)3v3≈1.33×eq\f(1,2)ρCSv3，所以P比原来提高超过30%，但不超过40%，故A，B错误；对于C，当ρ，S，P不变，v比原来提高10%时，C1＝eq\f(2P,1.13ρSv3)≈eq\f(2P,1.33ρSv3)≈0.75×eq\f(2P,ρSv3)，所以C比原来降低不超过30%，故C正确，D错误．故选C.4．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关．假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系N＝eq\f(1000v,0.7v＋0.3v2＋d0)，其中d0(单位：m)为安全距离，v(单位：m/s)为车速．当安全距离d0取30m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为()A．135 B．149C．165 D．195答案：B解析：由题意，得N＝eq\f(1000v,0.7v＋0.3v2＋30)＝eq\f(1000,0.7＋0.3v＋\f(30,v))≤eq\f(1000,0.7＋2\r(0.3×30))≈149，当且仅当0.3v＝eq\f(30,v)，即v＝10时取等号，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.故选B.5．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它以神经网络为出发点，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L＝L0Deq\s\up7(\f(G,G0))，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下(不含0.2)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg2≈0.3010)()A．72 B．74C．76 D．78答案：B解析：由题意，得L＝0.5×Deq\s\up7(\f(G,18))，则0.4＝0.5×Deq\s\up7(\f(18,18))，解得D＝eq\f(4,5)，则L＝0.5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up7(\f(G,18))，由L＝0.5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up7(\f(G,18))<0.2，得G>18logeq\s\do7(\f(4,5))eq\f(2,5)＝eq\f(18（lg5－lg2）,lg5－2lg2)＝eq\f(18（1－2lg2）,1－3lg2)≈73.9，所以所需的训练迭代轮数至少为74.故选B.6．已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝eax＋b(a，b为常数)，若该果蔬在6℃的保鲜时间为216小时，在24℃的保鲜时间为8小时，那么在12℃时，该果蔬的保鲜时间为()A．72小时 B．36小时C．24小时 D．16小时答案：A解析：由题意，得当x＝6时，e6a＋b＝216；当x＝24时，e24a＋b＝8，则eq\f(e6a＋b,e24a＋b)＝eq\f(216,8)＝27，整理，得e6a＝eq\f(1,3)，于是eb＝216×3＝648，当x＝12时，y＝e12a＋b＝(e6a)2·eb＝eq\f(1,9)×648＝72.故选A.7．“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等作用，激起水波，形成涌泉，声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强I与标准声强I0(I0约为10－12，单位：W/m2)之比的常用对数称作声强的声强级，记作L(单位：贝尔)，即L＝lgeq\f(I,I0).取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝，已知某处“喊泉”的声音强度y(单位：分贝)与喷出的泉水高度x(单位：m)之间满足关系式y＝2x，甲、乙两名同学大喝一声激起的涌泉的最高高度分别为70m，60m．若甲同学大喝一声的声强大约相当于n个乙同学同时大喝一声的声强，则n的值约为()A．10 B．100C．200 D．1000答案：B解析：设甲同学的声强为I1，乙同学的声强为I2，则140＝10lgeq\f(I1,10－12)，120＝10lgeq\f(I2,10－12)，两式相减，得20＝10lgeq\f(I1,I2)，即lgeq\f(I1,I2)＝2，从而eq\f(I1,I2)＝100，所以n的值约为100.故选B.8．已知某品牌手机电池充满时的电量为4000(单位：毫安时)，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择．模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电400(单位：毫安时)；模式B：电量呈指数衰减，即从当前时刻算起，t小时后的电量为当前电量的eq\f(1,2t)倍．现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在x小时后，切换为B模式，若使其在待机10小时后有超过2.5%的电量，则x的可能取值为()A．4.6 B．5.8C．7.6 D．9.9答案：C解析：模式A在待机t小时后电池内电量为y＝－400t＋4000，设当前电量为Q，模式B在待机t小时后电池内电量为y＝eq\f(1,2t)Q，则该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在x小时后，切换为B模式，其在待机10小时后的电量为eq\f(1,210－x)(－400x＋4000)，由eq\f(1,210－x)(－400x＋4000)>4000×2.5%＝100，得4(10－x)>210－x，根据选项，当x＝4.6时，4×(10－4.6)＝21.6<210－4.6＝25.4≈42.2；当x＝5.8时，4×(10－5.8)＝16.8<210－5.8＝24.2≈18.4；当x＝7.6时，4×(10－7.6)＝9.6>210－7.6＝22.4≈5.3；当x＝9.9时，4×(10－9.9)＝0.4<210－9.9＝20.1≈1.1.故x的可能取值为7.6.二、多项选择题9．在线直播带货已经成为一种重要销售方式，假设直播在线购买人数y与某产品销售单价x(单位：元)满足关系式y＝eq\f(m,x－20)－x＋40，其中20<x<100，m为常数，当该产品销售单价为25时，在线购买人数为2015.假设该产品成本单价为20元，且每人限购1件，下列说法正确的是()A．实数m的值为10000B．销售单价越低，直播在线购买人数越多C．当x的值为30时，利润最大D．利润的最大值为10000答案：ABC解析：将x＝25，y＝2015代入y＝eq\f(m,x－20)－x＋40，可得2015＝eq\f(m,25－20)－25＋40，解得m＝10000，故A正确；易知y＝eq\f(10000,x－20)－x＋40(20<x<100)单调递减，故B正确；由题意可得所得利润f(x)＝(x－20)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10000,x－20)－x＋40))＝－x2＋60x＋9200＝－(x－30)2＋10100，所以当x＝30时，利润最大，最大利润为10100元，故C正确，D错误．故选ABC.10.甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(单位：km)与时间x(单位：min)的关系，下列结论正确的是()A．甲同学从家出发到乙同学家走了60minB．甲从家到公园的时间是30minC．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝eq\f(1,15)x答案：BD解析：甲同学在公园休息的时间是10min，所以只走了50min，A错误；由题中图象知，B正确；甲同学从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲同学从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得k＝eq\f(1,15)，D正确．故选BD.三、填空题11．美国科学家Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位：A·h)，放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式C＝In·t，其中n＝logeq\s\do7(\f(3,2))2为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流I＝10A时，放电时间t＝57h，则当放电电流I＝15A时，放电时间为________h.答案：28.5解析：根据题意可得C＝57×10n，则当I＝15A时，57×10n＝15n×t，所以t＝57×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n)＝57×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(logeq\s\do7(\f(3,2))2)＝57×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(logeq\s\do7(\f(2,3))\f(1,2))＝28.5h，即当放电电流I＝15A时，放电时间为28.5h.12．为了响应党和国家节能减排的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y(单位：万元)与处理量x(单位：吨)(x∈[120，500])之间的函数关系可近似表示为y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3－80x2＋5040x，x∈[120，144），,\f(1,2)x2－200x＋80000，x∈[144，500]，))为使二氧化碳每吨处理成本最低，则处理量x为________吨．答案：400解析：由题意，得二氧化碳每吨的平均处理成本S＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x2－80x＋5040，x∈[120，144），,\f(1,2)x－200＋\f(80000,x)，x∈[144，500]，))当x∈[120，144)时，S＝eq\f(1,3)x2－80x＋5040，当x＝120时，S取得最小值240；当x∈[144，500]时，S＝eq\f(1,2)x－200＋eq\f(80000,x)≥2eq\r(\f(1,2)x·\f(80000,x))－200＝200，当且仅当eq\f(1,2)x＝eq\f(80000,x)，即x＝400时取等号，此时S取得最小值200.由于200<240，故所求处理量为400吨．13．(多选)(2025·重庆模拟)放射性物质在衰变中产生的辐射污染逐步引起了人们的关注，已知放射性物质数量随时间t的衰变公式N(t)＝N0e－eq\s\up7(\f(t,τ))，N0表示物质的初始数量，τ是一个具有时间量纲的数，研究放射性物质常用到半衰期，半衰期T指的是放射性物质数量从初始数量到衰变成一半所需的时间，已知ln2＝0.7，下表给出了铀的三种同位素τ的取值：若铀234、铀235和铀238的半衰期分别为T1，T2，T3，则()物质τ的量纲单位τ的值铀234万年35.58铀235亿年10.2铀238亿年64.75A.T＝τln0.5B．T与τ成正比例关系C．T1>T2D．T3>10000T1答案：BD解析：对于A，由题意，得N(t)＝N0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(t,T))，又N(t)＝N0e－eq\s\up7(\f(t,τ))，故N0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(t,T))＝N0e－eq\s\up7(\f(t,τ))，两边取对数，得eq\f(t,T)ln0.5＝－eq\f(t,