2026《金版教程》高考复习方案数学基础版-第二节 两条直线的位置关系与距离公式

第二节两条直线的位置关系与距离公式课标解读考向预测1．能根据斜率判定两条直线平行或垂直．2．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．3．掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．近三年高考考查了点到直线的距离公式，以与圆锥曲线交汇融合的形式出现在多选题和填空题中，两条直线的位置关系也是常考内容之一，难度不大．预计2026年高考会继续以多选题或填空题的形式与其他知识交汇考查．必备知识—强基础1．两条直线的位置关系直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2的位置关系如下表：位置关系l1，l2方程系数满足的条件平行eq\x(\s\up1(01))k1＝k2且b1≠b2垂直eq\x(\s\up1(02))k1k2＝－1相交eq\x(\s\up1(03))k1≠k2直线l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(l3的法向量v1＝eq\x(\s\up1(04))(A1，B1)，l4的法向量v2＝eq\x(\s\up1(05))(A2，B2))的位置关系如下表：位置关系法向量满足的条件l3，l4方程系数满足的条件平行v1∥v2eq\x(\s\up1(06))A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)垂直v1⊥v2eq\x(\s\up1(07))A1A2＋B1B2＝0相交v1与v2不共线eq\x(\s\up1(08))A1B2－A2B1≠0注意：两条直线平行时，不要忘记它们的斜率都不存在的情况；两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．2．两条直线的交点直线l1和l2的交点坐标即为两条直线的方程组成的方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．相交⇔方程组有eq\x(\s\up1(09))唯一解；平行⇔方程组eq\x(\s\up1(10))无解；重合⇔方程组有eq\x(\s\up1(11))无数个解．注意：虽然利用方程组解的情况可以判断两条直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用．3．三种距离公式(1)两点间的距离公式①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．②结论：|P1P2|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)．③特例：点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|＝eq\r(x2＋y2)．(2)点到直线的距离公式点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))．(3)两条平行直线间的距离公式两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))．1．直线系方程(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2．2．五种常用对称关系(1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y)．(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．题组一走出误区——判一判(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2．()(2)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为eq\f(|kx0＋b|,\r(1＋k2))．()(3)直线外一点P与直线上一点的距离的最小值就是点P到直线的距离．()答案：(1)×(2)×(3)√题组二回归教材——练一练(1)(人教A选择性必修第一册习题2．3T6改编)点A(2，5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为________．答案：eq\r(5)解析：点A(2，5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为d＝eq\f(|2－10＋3|,\r(1＋4))＝eq\r(5)．(2)(人教A选择性必修第一册习题2．3T7改编)两条平行线l1：3x＋4y－6＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离为________．答案：eq\f(8,15)解析：依题意，将直线l1：3x＋4y－6＝0化为l1：9x＋12y－18＝0，又l2：9x＋12y－10＝0，所以两平行线间的距离为d＝eq\f(|－18＋10|,\r(92＋122))＝eq\f(8,15)．(3)(人教A选择性必修第一册习题2．3T1改编)两条直线l1：x＝2和l2：3x＋2y－12＝0的交点坐标是________．答案：(2，3)解析：联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,3x＋2y－12＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3，))所以两条直线的交点坐标为(2，3)．(4)(人教B选择性必修第一册2．2．3练习BT5改编)直线l1：px＋3y＋1＝0与直线l2：6x－2y－5＝0垂直，则p的值为________．答案：1解析：由题意，得6p＋3×(－2)＝0，解得p＝1．考点探究—提素养两条直线的位置关系(多考向探究)考向1判断两条直线的位置关系(1)直线2x＋y＋1＝0和直线x＋2y＋1＝0的位置关系是()A．平行 B．相交但不垂直C．垂直 D．重合答案：B解析：方程2x＋y＋1＝0可化为y＝－2x－1，因此该直线的斜率k1＝－2．方程x＋2y＋1＝0可化为y＝－eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)，因此该直线的斜率k2＝－eq\f(1,2)，因为k1≠k2，k1k2＝1≠－1，所以这两条直线相交但不垂直．故选B．(2)(2025·广东潮州实验中学月考)设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对边的边长，则直线sinA·x＋ay＋c＝0与bx－sinB·y＋sinC＝0的位置关系是()A．平行 B．重合C．垂直 D．相交但不垂直答案：C解析：由题意，得直线sinA·x＋ay＋c＝0的斜率为－eq\f(sinA,a)，直线bx－sinB·y＋sinC＝0的斜率为eq\f(b,sinB)，又eq\f(b,sinB)＝eq\f(a,sinA)，则－eq\f(sinA,a)·eq\f(b,sinB)＝－1，所以两直线垂直．故选C．判断两条直线位置关系的注意点(1)斜率不存在的特殊情况．(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．1．(多选)若l1与l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为α1，α2，斜率分别为k1，k2，则下列说法正确的是()A．若斜率k1＝k2，则l1∥l2B．若k1k2＝－1，则l1⊥l2C．若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2D．若α1＋α2＝π，则l1⊥l2答案：ABC解析：对于A，若两直线的斜率k1＝k2，则它们的倾斜角α1＝α2，则l1∥l2，A正确；对于B，由两直线垂直的条件可知，若k1k2＝－1，则l1⊥l2，B正确；对于C，由两直线平行的条件可知，若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2，C正确；对于D，若α1＋α2＝π，不妨取α1＝eq\f(π,3)，α2＝eq\f(2π,3)，则k1＝tanα1＝eq\r(3)，k2＝tanα2＝－eq\r(3)，k1k2≠－1，l1，l2不垂直，D错误．故选ABC．考向2由两条直线的位置关系求参数(1)直线l1：x＋ay－3＝0与直线l2：(a＋1)x＋2y－6＝0平行，则a＝()A．－2 B．1C．－2或1 D．－1或2答案：A解析：由题意，直线l1：x＋ay－3＝0与直线l2：(a＋1)x＋2y－6＝0平行，由1×2＝a(a＋1)，得a＝－2或a＝1．当a＝－2时，l1：x－2y－3＝0，l2：－x＋2y－6＝0，l1∥l2；当a＝1时，l1：x＋y－3＝0，l2：x＋y－3＝0，l1与l2重合．故选A．(2)若直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，则a＝________．答案：±1解析：因为直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，所以(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1．解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”2．已知直线l1：(a－2)x＋ay＋1＝0，直线l2：(a－2)x＋y＋2＝0，则“a＝1”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：当a＝1时，l1：－x＋y＋1＝0，l2：－x＋y＋2＝0，所以l1∥l2，充分性成立；当l1∥l2时，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a－2）＝a－2，,2a≠1，))解得a＝1或a＝2，必要性不成立．故选A．3．(2025·西南大学附中模拟)已知直线l1：2x＋2y－1＝0，l2：4x＋ny＋3＝0，l3：mx＋6y－1＝0，若l1∥l2且l1⊥l3，则m＋n的值为()A．－10 B．10

C．－2 D．2答案：C解析：由题意得eq\f(4,2)＝eq\f(n,2)≠eq\f(3,－1)，2m＋12＝0，解得n＝4，m＝－6，所以m＋n＝－2．故选C．两条直线的交点、距离公式(多考向探究)考向1两条直线的交点过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点，且过原点的直线的方程为()A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0C．19x－3y＝0 D．3x＋19y＝0答案：D解析：解法一：解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3y＋4＝0，,2x＋y＋5＝0，))可得直线l1和l2的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(19,7)，\f(3,7)))，又所求直线过原点，所以所求直线的方程为y＝－eq\f(3,19)x，即3x＋19y＝0．故选D．解法二：根据题意，可设所求的直线方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，因为此直线过原点，所以4＋5λ＝0，解得λ＝－eq\f(4,5)，所以所求直线的方程为x－3y＋4－eq\f(4,5)(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0．故选D．求过两条直线交点的直线方程的方法(1)直接法：先求出两条直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．(2)共点直线系法：先设直线方程为f(x，y)＋λg(x，y)＝0，再结合其他条件求出λ，从而得到所求的直线方程．4．过直线x＋y＋1＝0和x－2y＋4＝0的交点，且与直线x＋2y－3＝0垂直的直线方程是________．答案：2x－y＋5＝0解析：解法一：联立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＋1＝0，,x－2y＋4＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝1，))所以交点坐标为(－2，1)．直线x＋2y－3＝0的斜率为－eq\f(1,2)，所以所求直线方程的斜率为－eq\f(1,－\f(1,2))＝2，由点斜式方程得，所求直线方程为y－1＝2(x＋2)，即2x－y＋5＝0．解法二：设所求直线方程为x＋y＋1＋λ(x－2y＋4)＝0，即(1＋λ)x＋(1－2λ)y＋1＋4λ＝0．因为所求直线与直线x＋2y－3＝0垂直，所以所求直线的斜率为2，易知λ≠eq\f(1,2)，则eq\f(1＋λ,2λ－1)＝2，得λ＝1，则所求直线方程为2x－y＋5＝0．考向2与距离有关的问题(1)(2025·广东湛江模拟)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为()A．1 B．eq\r(2)C．eq\r(3) D．2答案：B解析：解法一：由点到直线的距离公式知，点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离d＝eq\f(|k＋1|,\r(k2＋1))＝eq\r(\f(k2＋2k＋1,k2＋1))＝eq\r(1＋\f(2k,k2＋1))．当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d＝eq\r(1＋\f(2k,k2＋1))＝eq\r(1＋\f(2,k＋\f(1,k)))，要使d最大，需k＞0且k＋eq\f(1,k)最小，由基本不等式知，k＋eq\f(1,k)≥2，当且仅当k＝1时，等号成立，所以当k＝1时，dmax＝eq\r(2)．故选B．解法二：记点A(0，－1)，直线y＝k(x＋1)恒过点B(－1，0)，当AB垂直于直线y＝k(x＋1)时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，且最大值为|AB|＝eq\r(2)．故选B．(2)若平面内两条平行线l1：x＋(a－1)y＋2＝0，l2：ax＋2y＋1＝0间的距离为eq\f(3\r(5),5)，则实数a＝________．答案：－1解析：∵l1∥l2，∴a(a－1)＝2，解得a＝2或a＝－1．当a＝2时，d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2))),\r(2))＝eq\f(3\r(2),4)，不满足题意；当a＝－1时，d＝eq\f(|2＋1|,\r(5))＝eq\f(3\r(5),5)，满足题意．故a＝－1．求解距离问题的思路(1)点到直线的距离的求法：可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．(2)两条平行直线间的距离的求法：①利用“转化法”将两条平行直线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两条平行直线间的距离公式．(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|．(2)求两条平行直线间的距离时，应先将两条直线方程化为一般式，且x，y的系数对应相等．5．(2025·湖北宜昌模拟)设直线l：3x＋2y－6＝0，P(m，n)为直线l上的动点，则(m－1)2＋n2的最小值为()A．eq\f(9,13) B．eq\f(3,13)C．eq\f(3\r(13),13) D．eq\f(\r(13),13)答案：A解析：(m－1)2＋n2表示点P(m，n)到点A(1，0)距离的平方，该距离的最小值为点A(1，0)到直线l的距离，即eq\f(|3－6|,\r(13))＝eq\f(3,\r(13))，则(m－1)2＋n2的最小值为eq\f(9,13)．故选A．6．(多选)已知直线l1：2x＋3y－1＝0和直线l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程为()A．2x＋3y－8＝0 B．4x＋6y＋5＝0C．6x＋9y－10＝0 D．12x＋18y－13＝0答案：BD解析：设直线l的方程为4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9，直线l到直线l1和l2的距离分别为d1，d2，由题意，知d1＝eq\f(|m＋2|,\r(16＋36))，d2＝eq\f(|m＋9|,\r(16＋36))．因为eq\f(d1,d2)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(2|m＋2|,\r(16＋36))＝eq\f(|m＋9|,\r(16＋36))，即2|m＋2|＝|m＋9|，解得m＝5或m＝－eq\f(13,3)，即直线l的方程为4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0．对称问题(多考向探究)考向1点关于点、直线关于点对称(1)过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段恰好被点P平分，则直线l的方程为()A．x－4y＋4＝0 B．4x－y－4＝0C．4x＋y＋4＝0 D．x＋4y－4＝0答案：D解析：设l1与l的交点为A(a，8－2a)．由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，把点B的坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4．因为点A(4，0)，P(0，1)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0．故选D．(2)直线l：y＝2x＋3关于点P(2，3)对称的直线l′的方程是()A．2x－y－5＝0 B．2x＋y－5＝0C．2x－y＋5＝0 D．2x＋y＋5＝0答案：A解析：因为l和l′关于点P对称，则两直线平行，可设l′的方程为2x－y＋b＝0(b≠3)，点P到两直线的距离相等，则eq\f(|2×2－3＋3|,\r(22＋（－1）2))＝eq\f(|2×2－3＋b|,\r(22＋（－1）2))，解得b＝－5或b＝3(舍去)，所以直线l′的方程是2x－y－5＝0．故选A．两类中心对称问题(1)点关于点对称：点P(x，y)关于点M(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝2a－x，,y′＝2b－y.))(2)直线关于点对称的两种方法7．直线3x－2y＝0关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0))对称的直线方程为()A．2x－3y＝0 B．3x－2y－2＝0C．x－y＝0 D．2x－3y－2＝0答案：B解析：设所求直线上任一点为(x，y)，则其关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0))对称的点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－x，－y))，因为点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－x，－y))在直线3x－2y＝0上，所以3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－x))－2(－y)＝0，化简得3x－2y－2＝0，所以所求直线方程为3x－2y－2＝0．故选B．8．光线从点A(－3，5)射到x轴上，经反射后经过点B(2，10)，则光线从A到B经过的路程为()A．5eq\r(2) B．2eq\r(5)C．5eq\r(10) D．10eq\r(5)答案：C解析：点A(－3，5)关于x轴的对称点为C(－3，－5)，则光线从A到B经过的路程为CB的长度，即|CB|＝eq\r(（－3－2）2＋（－5－10）2)＝5eq\r(10)．故选C．考向2点关于直线的对称(2025·河南洛阳模拟)点P(2，0)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点Q的坐标为()A．(－3，5) B．(－1，－4)C．(4，1) D．(2，3)答案：A解析：设点P(2，0)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点Q的坐标为(a，b)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b－0,a－2)×1＝－1，,\f(a＋2,2)－\f(b,2)＋3＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝5，))所以点Q的坐标为(－3，5)．故选A．若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)对称，则由方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＋B\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y1＋y2,2)))＋C＝0，,B（x2－x1）－A（y2－y1）＝0，))可得到点P1关于l对称的点P2的坐标．9．已知点A(a＋2，b＋2)和B(b－a，－b)关于直线4x＋3y＝11对称，则a，b的值为()A．a＝－1，b＝2 B．a＝4，b＝－2C．a＝2，b＝4 D．a＝4，b＝2答案：D解析：点A，B关于直线4x＋3y＝11对称，则kAB＝eq\f(3,4)，即eq\f(b＋2－（－b）,a＋2－（b－a）)＝eq\f(3,4)①，且AB的中点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋2,2)，1))在已知直线上，代入得2(b＋2)＋3＝11②，联立①②组成方程组，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝2.))故选D．考向3直线关于直线的对称直线x－2y－1＝0关于直线y－x＝0对称的直线方程是()A．2x－y＋1＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x＋y＋1＝0 D．x＋2y＋1＝0答案：A解析：在直线x－2y－1＝0上任取一点P(a，b)，设点P关于直线y－x＝0的对称点为Q(x，y)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y－b,x－a)＝－1，,\f(y＋b,2)＝\f(x＋a,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝y，,b＝x，))即P(y，x)，因为点P(y，x)在直线x－2y－1＝0上，所以y－2x－1＝0，即2x－y＋1＝0，所以所求直线方程是2x－y＋1＝0．故选A．求直线l1关于直线l对称的直线l2的两种方法(1)在直线l1上取两点(一般取特殊点)，利用求点关于直线的对称点的方法求出这两点关于直线l的对称点，再用两点式写出直线l2的方程．(2)设点P(x，y)是直线l2上任意一点，其关于直线l的对称点为P1(x1，y1)(P1在直线l1上)，根据点关于直线对称建立方程组，用x，y表示出x1，y1，再代入直线l1的方程，即得直线l2的方程．特别地，若直线l1与直线l平行，则在直线l1上取一点，求出该点关于直线l的对称点，由点斜式可得直线l2的方程．10．已知直线l1：x－y＋3＝0与直线l：x－y－1＝0，若直线l1关于直线l的对称直线为l2，则直线l2的方程为________．答案：x－y－5＝0解析：解法一：由题意，知l1∥l2，设直线l2：x－y＋m＝0(m≠3，m≠－1)，在直线l1上取点M(0，3)，设点M关于直线l的对称点为M′(a，b)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b－3,a)×1＝－1，,\f(a＋0,2)－\f(b＋3,2)－1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－1，))即M′(4，－1)，将M′(4，－1)代入l2的方程，得4＋1＋m＝0，解得m＝－5．所以直线l2的方程为x－y－5＝0．解法二：易知l1∥l，所以l2∥l，设直线l2：x－y＋m＝0(m≠3，m≠－1)．因为直线l1，l2关于直线l对称，所以l1与l，l2与l间的距离相等．由两平行直线间的距离公式得eq\f(|3－（－1）|,\r(2))＝eq\f(|m－（－1）|,\r(2))，解得m＝－5或m＝3(舍去)．所以直线l2的方程为x－y－5＝0．课时作业基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号123456789难度★★★★★★★★★★考向两条直线的位置关系两条直线的位置关系两条直线的交点、距离公式两条直线的位置关系两条直线的交点、距离公式对称问题两条直线的位置关系两条直线的交点、距离公式；对称问题两条直线的位置关系；两条直线的交点、距离公式；直线方程的应用考点由两条直线的位置关系求直线方程由两条直线的位置关系求参数两条直线的交点；两点间的距离判断两条直线的位置关系过两条直线交点的直线系；点到直线的距离直线关于直线对称由两条直线的位置关系求参数两条直线的交点；点关于直线对称由两条直线的位置关系求参数；两条直线的交点；直线过定点问题关联点充分、必要条件的判断基本不等式题号101112131415161718难度★★★★★★★★★★★★★★★★★考向直线的倾斜角与斜率；两条直线的位置关系；两条直线的交点、距离公式两条直线的交点、距离公式对称问题两条直线的位置关系；两条直线的交点、距离公式对称问题；求直线方程两条直线的位置关系；两条直线的交点、距离公式两条直线的位置关系；两条直线的交点、距离公式两条直线的位置关系；两条直线的交点、距离公式；对称问题两条直线的位置关系；两条直线的交点、距离公式考点直线的倾斜角；由两条直线的位置关系求直线方程；两点间的距离；点到直线的距离过两条直线交点的直线系点关于直线对称由两条直线的位置关系求参数；过两条直线交点的直线系；两条平行直线间的距离点关于点对称；两点式方程两条直线的交点；由两条直线的位置关系求参数由两条直线的位置关系求直线方程；两点间的距离过两条直线交点的直线系；判断两条直线的位置关系；点到直线的距离；点关于直线对称判断两条直线的位置关系；点到直线的距离关联点基本不等式与直线有关的新定义问题一、单项选择题1．过点A(2，3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为()A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0答案：A解析：由题意，可设所求直线方程为x－2y＋m＝0，将A(2，3)代入上式，得2－2×3＋m＝0，即m＝4，所以所求直线方程为x－2y＋4＝0．故选A．2．(2025·广东惠州期末)已知直线l1：ax＋2y＋a＝0，l2：3x＋(2a－1)y＋a＋1＝0，则“a＝－eq\f(3,2)”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案：C解析：当l1∥l2时，a(2a－1)＝6，解得a＝2或a＝－eq\f(3,2)．当a＝2时，l1与l2重合，不符合l1∥l2；当a＝－eq\f(3,2)时，l1：－eq\f(3,2)x＋2y－eq\f(3,2)＝0，l2：3x－4y－eq\f(1,2)＝0，l1与l2不重合，符合l1∥l2．故“a＝－eq\f(3,2)”是“l1∥l2”的充要条件．故选C．3．已知直线l1：x＋2y－5＝0和直线l2：3x－y－1＝0的交点为A，O为坐标原点，则点A到原点O的距离|AO|为()A．1 B．2C．eq\r(5) D．eq\r(3)答案：C解析：解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y－5＝0，,3x－y－1＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))即直线l1与直线l2的交点A(1，2)，又O为坐标原点，则|AO|＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，所以点A到原点O的距离|AO|为eq\r(5)．故选C．4．直线l1：2x＋y－1＝0与直线l2：4x＋2y＋3＋a(2x＋y－1)＝0(实数a为参数)的位置关系是()A．l1与l2相交B．l1与l2平行C．l1与l2重合D．l1与l2的位置关系与a的取值有关答案：B解析：由l2：4x＋2y＋3＋a(2x＋y－1)＝0，可得(4＋2a)x＋(2＋a)y＋3－a＝0，因为2×(2＋a)－1×(4＋2a)＝0且1×(3－a)≠－1×(2＋a)，所以l1与l2平行．故选B．5．(2025·湖北武汉模拟)已知定点P(－2，0)和直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ(λ∈R)，则点P到直线l的距离的最大值为()A．2eq\r(3) B．eq\r(10)C．eq\r(14) D．2eq\r(15)答案：B解析：将(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ变形得(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0，所以l是经过两直线x＋y－2＝0和3x＋2y－5＝0的交点的直线系．设两直线的交点为Q，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝0，,3x＋2y－5＝0，))得交点Q(1，1)，所以直线l恒过定点Q(1，1)，于是点P到直线l的距离d≤|PQ|＝eq\r(（－2－1）2＋（0－1）2)＝eq\r(10)，即点P到直线l的距离的最大值为eq\r(10)．故选B．6．设直线l1：x－2y－2＝0与l2关于直线l：2x－y－4＝0对称，则直线l2的方程是()A．11x＋2y－22＝0 B．11x＋y＋22＝0C．5x＋y－11＝0 D．10x＋y－22＝0答案：A解析：联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y－2＝0，,2x－y－4＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0，))取直线l1：x－2y－2＝0上一点(0，－1)，设点(0，－1)关于直线l：2x－y－4＝0的对称点为(a，b)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b＋1,a)＝－\f(1,2)，,2×\f(a,2)－\f(b－1,2)－4＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(12,5)，,b＝－\f(11,5)，))直线l2的斜率k＝－eq\f(11,2)，所以直线l2的方程为y＝－eq\f(11,2)(x－2)，整理得11x＋2y－22＝0．故选A．7．已知a>0，b>0，直线(a－1)x＋2y＋3＝0与直线x＋by－1＝0垂直，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值是()A．2＋eq\r(2) B．4C．3＋2eq\r(2) D．6答案：C解析：因为直线(a－1)x＋2y＋3＝0与直线x＋by－1＝0垂直，所以(a－1)×1＋2b＝0，即a＋2b＝1，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))(a＋2b)＝3＋eq\f(2b,a)＋eq\f(a,b)≥3＋2eq\r(\f(2b,a)·\f(a,b))＝3＋2eq\r(2)(当且仅当a＝eq\r(2)－1，b＝eq\f(2－\r(2),2)时，等号成立)．故选C．8．已知△ABC的顶点A(4，3)，AC边上的中线所在直线的方程为4x＋13y－10＝0，∠ABC的平分线所在直线的方程为x＋2y－5＝0，则AC边所在直线的方程为()A．2x－3y＋1＝0 B．x－8y＋20＝0C．3x－5y＋3＝0 D．x－y＋1＝0答案：B解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y－5＝0，,4x＋13y－10＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝9，,y＝－2，))所以点B的坐标为(9，－2)，设点A(4，3)关于直线x＋2y－5＝0的对称点为A′(x0，y0)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3－y0,4－x0)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1，,\f(4＋x0,2)＋2×\f(3＋y0,2)－5＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝2，,y0＝－1，))所以A′(2，－1)，因为点A′(2，－1)在直线BC上，所以直线BC的方程为y－(－1)＝eq\f(－2－（－1）,9－2)×(x－2)，即x＋7y＋5＝0，设点C的坐标为C(x1，y1)，则AC的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋4,2)，\f(y1＋3,2)))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋7y1＋5＝0，,2（x1＋4）＋\f(13,2)（y1＋3）－10＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝－12，,y1＝1，))所以点C的坐标为(－12，1)，所以kAC＝eq\f(3－1,4－（－12）)＝eq\f(1,8)，所以AC边所在直线的方程为y－3＝eq\f(1,8)(x－4)，即x－8y＋20＝0．故选B．二、多项选择题9．已知两条直线l1：(a－2)x＋3y＋2a＝0，l2：x＋ay＋6＝0，则下列结论正确的是()A．当a＝eq\f(1,2)时，l1⊥l2B．若l1∥l2，则a＝－1或a＝3C．当a＝0时，l1与l2相交于点(－6，－4)D．直线l2过定点(－6，0)答案：ACD解析：当a＝eq\f(1,2)时，a－2＋3a＝eq\f(1,2)－2＋eq\f(3,2)＝0，l1⊥l2，A正确；若l1∥l2，则a(a－2)－3＝0，a＝－1或a＝3，其中a＝－1时，l1的方程为－3x＋3y－2＝0，即3x－3y＋2＝0，l2的方程为x－y＋6＝0，两直线平行，a＝3时，两直线方程均为x＋3y＋6＝0，两直线重合，不平行，B错误；当a＝0时，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x＋3y＝0，,x＋6＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－6，,y＝－4，))即两直线的交点为(－6，－4)，C正确；直线l2的方程为x＋ay＋6＝0，恒过点(－6，0)，D正确．故选ACD．10．下列说法正确的是()A．动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为3eq\r(2)B．直线eq\r(3)x－y－5＝0的倾斜角是直线eq\r(3)x＋y－5＝0的倾斜角的一半C．当点P(3，2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，m的值为1D．过点(2，1)且与直线3x－2y＝0垂直的直线方程为3x＋2y－8＝0答案：AB解析：对于A，直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0平行，故中点的轨迹方程为x＋y－6＝0，原点到直线x＋y－6＝0的距离为d＝eq\f(6,\r(2))＝3eq\r(2)，即线段AB的中点M到原点的距离的最小值为3eq\r(2)，A正确；对于B，设直线eq\r(3)x－y－5＝0的倾斜角为α，α∈[0，π)，所以tanα＝eq\r(3)，α＝eq\f(π,3)，设直线eq\r(3)x＋y－5＝0的倾斜角为β，β∈[0，π)，所以tanβ＝－eq\r(3)，β＝eq\f(2π,3)，B正确；对于C，直线mx－y＋1－2m＝0过定点N(2，1)，当直线与PN垂直时距离最大，此时m×eq\f(2－1,3－2)＝－1，解得m＝－1，C错误；对于D，直线3x－2y＝0的斜率k1＝eq\f(3,2)，直线3x＋2y－8＝0的斜率k2＝－eq\f(3,2)，不满足k1k2＝－1，两直线不垂直，D错误．故选AB．三、填空题11．(2025·广西柳州模拟)已知两直线a1x＋b1y－1＝0和a2x＋b2y－1＝0的交点为P(2，3)，则过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)(a1≠a2)的直线方程为____________．答案：2x＋3y－1＝0解析：∵P(2，3)在已知的两条直线上，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a1＋3b1＝1，,2a2＋3b2＝1，))∴点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)是直线2x＋3y－1＝0上的两个点，故过Q1，Q2两点的直线方程为2x＋3y－1＝0．12．(2025·重庆育才中学模拟)设点A(－2，0)，B(0，3)，在直线l：x－y＋1＝0上找一点P，使|PA|＋|PB|取到最小值，则这个最小值为________．答案：eq\r(17)解析：设点B关于直线l：x－y＋1＝0的对称点为C(m，n)，线段BC的中点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，\f(n＋3,2)))在x－y＋1＝0上，则eq\f(m,2)－eq\f(n＋3,2)＋1＝0，又kl·kBC＝－1，eq\f(n－3,m)×1＝－1，解得m＝2，n＝1，即C(2，1)，|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PC|≥|AC|＝eq\r(（2＋2）2＋12)＝eq\r(17)，即|PA|＋|PB|的最小值为eq\r(17)．13．(2025·四川绵阳高三月考)已知两条直线l1：(λ＋2)x＋(1－λ)y＋2λ－5＝0，l2：(k＋1)x＋(1－2k)y＋k－5＝0，且l1∥l2，当两条平行线间的距离最大时，λ＋k＝________．答案：5解析：l1：(λ＋2)x＋(1－λ)y＋2λ－5＝0，即λ(x－y＋2)＋2x＋y－5＝0，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋2＝0，,2x＋y－5＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3，))故l1过定点A(1，3)；l2：(k＋1)x＋(1－2k)y＋k－5＝0，即k(x－2y＋1)＋x＋y－5＝0，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1＝0，,x＋y－5＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2，))故l2过定点B(3，2)，故l1，l2的距离的最大值为|AB|＝eq\r(5)．此时直线l1的斜率为－eq\f(λ＋2,1－λ)＝－eq\f(1,kAB)＝2，直线l2的斜率为－eq\f(k＋1,1－2k)＝－eq\f(1,kAB)＝2，解得λ＝4，k＝1，故λ＋k＝5．14．过点P(3，0)有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段恰被点P平分，则直线l的方程为____________．答案：8x－y－24＝0解析：设直线l夹在直线l1，l2之间的线段是AB(A在l1上，B在l2上)，A，B的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)．因为AB被点P平分，所以x1＋x2＝6，y1＋y2＝0，于是x2＝6－x1，y2＝－y1．由于A在l1上，B在l2上，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x1－y1－2＝0，,（6－x1）＋（－y1）＋3＝0，))解得x1＝eq\f(11,3)，y1＝eq\f(16,3)，即点A的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,3)，\f(16,3)))．直线PA的方程为eq\f(y－0,\f(16,3)－0)＝eq\f(x－3,\f(11,3)－3)，即8x－y－24＝0．所以直线l的方程为8x－y－24＝0．四、解答题15．已知直线l1：x＋my＋1＝0，l2：2x－y－4＝0，l3：3x＋y－1＝0．(1)若这三条直线交于一点，求实数m的值；(2)若这三条直线能构成三角形，求m满足的条件．解：(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y－4＝0，,3x＋y－1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2，))代入l1的方程，得m＝1．(2)当这三条直线相交于一点或其中两条直线平行时，这三条直线不能构成三角形．①当