2026年高考数学复习讲义专题05 方程的根与函数的零点（原卷版）

专题05方程的根与函数的零点目录01析·考情精解02构·知能框架03破·题型攻坚考点方程的根与函数的零点真题动向必备知识知识点1函数的零点与方程的解知识点2三种函数模型的性质知识点3常见的函数模型知识点4利用导数研究函数的性质命题预测题型1求函数的零点题型2求函数零点或方程根的个数题型3判断零点所在区间题型4根据函数零点的个数求参数范围题型5根据函数零点范围求参数范围题型6数形结合法研究函数的零点题型7构造函数研究函数的零点命题轨迹透视从近三年高考试题来看，本章内容为高考必考内容，多集中于考查函数的零点，函数的应用，常结合函数的零点利用导数研究函数的单调性、极值与最值、不等式的证明等问题，诸如求参数的范围、恒成立问题等.复习时，重点把握零点存在性定理，导数的应用，加强导数与函数的单调性、导数与函数的极值，导数与函数的最值的认知，理解化归与转化思想、分类讨论思想、函数与方程思想的应用.考点频次总结考点2025年2024年2023年方程的根与函数的零点第21题求函数零点或方程根的个数春考高考16、21题函数与方程的关系，函数与方程的综合运用春考高考9、19题函数的零点与方程根的关系，根据实际问题选择合适的函数模型2026命题预测根据零点的情况求参数的取值范围，利用导数研究函数零点问题是高考的热点，主要涉及判断、证明或讨论函数零点的个数、已知函数零点存在情况求参数及由函数零点性质研究其他问题等，多以解答题的形式出现，难度较大.考点方程的根与函数的零点1．（2023·上海·高考真题）函数(1)当时，是否存在实数c，使得为奇函数；(2)若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围.【答案】(1)不存在(2)且【分析】（1）将代入得，先考虑其定义域，再假设为奇函数，得到方程无解，从而得以判断；（2）先半点代入求得，从而得到，再利用二次函数的根的分布得到关于的不等式组，解之可得，最后再考虑的情况，从而得到的取值范围.【详解】（1）当时，，定义域为，假设为奇函数，则，而，则，此时无实数满足条件，所以不存在实数，使得函数为奇函数；（2）图像经过点，则代入得，解得，所以，定义域为，令，则的图像与轴负半轴有两个交点，所以，即，解得，若，即是方程的解，则代入可得，解得或.由题意得，所以实数的取值范围是且.2．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合．(1)若，判断是否是中的元素，请说明理由；(2)若，求a的取值范围；(3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点．【答案】(1)不是；(2)；(3)证明见解析.【分析】（1）直接代入计算和即可；（2）法一：转化为在实数使得，分析得，再计算得，最后根据的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线与该函数有两个交点，将用表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案；（3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出时解析式，再分析出，最后对的范围进行分类讨论即可.【详解】（1）（1），，则不是中的元素.（2）法一：因为，则存在实数使得，且，当时，，其在上严格单调递增，当时，，其在上也严格单调递增，则，则，令，解得，则，则.法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点，由图知，假设交点分别为，，联立方程组得（3）（3）对任意，因为其是偶函数，则，而，所以，所以，因为，则，所以，所以，所以当时，，，则，，则，而，，则，则，所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下：其中，但其对应的值均未知.首先说明，若，则，易知此时，则，所以，而时，，所以，与矛盾，所以，即，令，则，当时，即使让，此时最多7个零点，当时，若，此时有5个零点，故此时最多5个零点；当时，若，此时有5个零点，故此时最多5个零点；当时，若，此时有3个零点，若，则，易知此时，则，所以，而时，，所以，与矛盾，所以，则最多在之间取得6个零点，以及在处成为零点，故不超过9个零点.综上，零点不超过9个.知识点1函数的零点与方程的解1.函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．2.函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．3.函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．知识点2三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值的变化而各有不同知识点3常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b为常数，k≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0)知识点4利用导数研究函数的性质题型1求函数的零点1．（25-26高一上·全国·课前预习）函数的零点为（

）A． B． C．或 D．和2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）函数的零点是（

）A．0 B．1 C．2 D．33．（24-25高一下·贵州黔东南·期中）已知是函数的零点，则（

）A．0 B．1 C．2 D．34．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的零点为（

）A．2 B．C．或 D．2和题型2求函数零点或方程根的个数5．（25-26高一上·云南昭通·期中）函数的零点个数为（

）A． B．C． D．6．（2025·广西河池·三模）函数的零点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（2025高二下·湖南·学业考试）函数在区间上的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．38．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，则在上的零点有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个9．（25-26高一上·全国·课前预习）函数的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．310．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则方程的根的个数为（

）A．0 B．1C．2 D．311．（25-26高三上·四川广元·月考）方程的实根个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3题型3判断零点所在区间12．（25-26高一上·贵州贵阳·月考）函数的零点所在的一个区间是（

）A． B． C． D．13．（25-26高一上·山西·月考）函数的零点所在的区间为（

）A． B．C． D．14．（25-26高一上·辽宁葫芦岛·月考）函数的零点所在区间为（

）A． B． C． D．15．（25-26高一上·广东·月考）函数的零点所在区间为（

）A． B．C． D．16．（25-26高一上·北京·期中）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值123452025118则不一定包含零点的区间是（

）A． B． C． D．17．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）函数的零点所在区间是（

）A． B． C． D．题型4根据函数零点的个数求参数范围18．（2025高一上·全国·专题练习）若函数在上恰有一个零点，则（

）A． B．C．或 D．或19．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数在内至少有一个零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．20．（24-25高二下·北京延庆·期末）若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．21．（24-25高一下·四川泸州·期末）若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．22．（25-26高一上·全国·课后作业）设．若关于x的方程有三个不同的实数解，则实数k可取（

）A． B． C．0 D．123．（2025·重庆·三模）已知函数在上恰有2个零点，则的最小正周期的最小值为（

）A． B． C． D．24．（24-25高一下·云南·期中）已知函数（）在上恰有3个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．25．（2025·四川凉山·三模）已知函数在上有且仅有2个零点，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．题型5根据函数零点范围求参数范围26．（25-26高三上·海南海口·月考）已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．27．（25-26高一上·全国·课后作业）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．28．（22-23高二下·河南省直辖县级单位·月考）函数在内存在一个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C．或 D．或29．（21-22高一下·河南焦作·期末）若函数在区间上存在零点，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．30．（25-26高一上·重庆巴南·月考）已知函数的两个零点分别在和内，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．题型6数形结合法研究函数的零点31.已知函数f（x）＝ex－（a∈R），讨论函数f（x）的零点个数.32.（2025·南昌模拟节选）已知函数f（x）＝x2＋bex（b∈R），若函数y＝f（x）有3个零点，求b的取值范围.33.（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数.(1)当时，求证：最大值小于；(2)若有两个零点，求实数k的取值范围.题型7构造函数研究函数的零