2026年高考数学复习讲义专题07 平面向量的综合应用（最值、范围问题等）（解析版）

专题07平面向量的综合应用(最值、范围问题等)目录01析·考情精解02构·知能框架03破·题型攻坚考点平面向量的数量积及其应用真题动向必备知识知识点1平面向量的数量积的定义知识点2平面向量数量积的运算知识点3平面向量数量积的坐标知识点4投影向量命题预测题型1平面向量的数量积题型2向量垂直与平行的坐标表示题型3向量的模题型4向量的夹角题型5向量数量积的范围问题题型6与模有关的最值范围问题题型7线性运算中参数范围问题题型8平面向量在几何中的应用命题轨迹透视平面向量的数量积及其应用是核心考点之一，近年来的考查呈现出高频、综合、创新的特点。直接或间接涉及该知识点的题目年均1-2题，占分约4-9分。填空题：侧重基础运算，如数量积计算、投影向量、夹角余弦值等。选择题：常考查向量共线、垂直条件或几何意义。解答题：综合题居多，需结合几何图形或实际情境。考点频次总结考点2025年2024年2023年平面向量数量积及其应用上海卷T12，4分上海卷T5，4分上海卷T2，4分2026命题预测预计在2026年高考中，高考对平面向量的考查以平面向量的基础知识、基本运算为主，考查与平面向量基本定理相关的线性运算、向量的数量积运算、向量的夹角、向量的模。试题以中低档题为主，以选择题或填空题的形式出现，分值为4分。高考对本章的考查依然是基础与能力并存，在知识的形成过程、知识的迁移中渗透数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养，重视函数与方程、数形结合、转化与化归思想。考点平面向量数量积及其应用1．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是．【答案】【分析】利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得.【详解】若，则，又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立；故.不妨设，则，不妨设，，则，则，则，由，，则，故.故答案为：.2．（2024年上海夏季高考数学真题（网络回忆版））已知，且，则的值为．【答案】15【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.【详解】，，解得．故答案为：15．3．（2023·上海·高考真题）已知,，求【答案】4【分析】由平面向量数量积的坐标运算求解.【详解】由题意得故答案为：4知识点1平面向量的数量积的定义1.向量的夹角已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.2.平面向量的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积，记作a·b.3.平面向量数量积的几何意义设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，AB＝a，CD＝b，过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量a向向量b投影，A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量.记为|a知识点2平面向量数量积的运算1.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ∈R).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.2.平面向量数量积运算的常用公式①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.②(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.③a2＋b2＝0⇒a＝b＝0.知识点3平面向量数量积的坐标1.已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.几何表示坐标表示数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2模|a|＝a|a|＝x夹角cosθ＝acosθ＝xa⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤(2.有关向量夹角的两个结论①若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.②若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.知识点4投影向量a在b上的投影向量为a·b|b|·b|b题型1平面向量的数量积1．已知等腰直角的斜边长为2，设，，，那么（

）A．6 B． C．4 D．【答案】D【分析】由向量的加法运算和数量积的运算法则可得结果.【详解】，故.故选：D.2．若是边长为的等边三角形，点满足，则（

）A． B．5 C． D．4【答案】A【分析】由数量积的运算性质即可求解.【详解】因为，所以，所以，所以.故选：A.3．在梯形中，，，，，，则（

）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】C【分析】将用来表示，再求数量积即可.【详解】由题可知，所以，因，则故选：C.4.如图，为等边三角形的中线上任一点，，，则（）

A． B．C． D．【答案】D【分析】利用向量加减法运算法则，将要求的式子拆分成已知向量求解；或者直接建立平面直角坐标系，用向量的坐标表示，根据已知条件列方程求解【详解】因为为等边三角形，是边的中点.所以.故.所以.因为是边上的中点，所以有.因此.故选：D题型2向量垂直与平行的坐标表示5．已知向量，若，则（

）A． B． C．1 D．5【答案】C【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示公式，结合平面向量垂直的坐标表示公式进行求解即可.【详解】因为，所以，由，故选：C6．已知向量，若，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】根据平面向量的坐标运算先求，最后利用数量积的坐标运算即可求解.【详解】由题意有，又因为，所以，故选：B.7．已知向量，若与共线，则（

）A． B．1 C．2 D．【答案】A【分析】根据向量的坐标运算及向量共线求解.【详解】，，由与共线，可得，解得，故选：A8．已知，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量线性运算的坐标表示求出和，再由向量共线的坐标表示列方程求解.【详解】由，，得，，若，则，解得.故选：B.题型3向量的模9．已知向量与的夹角为，，则（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】先根据已知求得，再利用运算.【详解】，故，解得，则.故选：A10．已知，，且，则（

）A．3 B．4 C． D．12【答案】C【分析】将两边平方，求得的值，再开平方即可求解.【详解】由题可得：，所以，故选：C11．已知，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将题干条件平方处理，得出，然后对待求表达式也平方处理即可得解.【详解】由，则，解得，于是，故.故选：B12．已知平面向量与的夹角为，，，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由向量的模长公式代入计算，即可得到结果.【详解】.故选：B13．已知向量，满足，，且，的夹角为，则（

）A． B． C．5 D．10【答案】C【分析】运用向量的数量积的运算和向量的坐标运算即可.【详解】由题意得.故选：C.题型4向量的夹角14．已知向量满足，且，则的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】通过，求得，进而可求解.【详解】由得，，即，所以，则，所以，则的夹角为，故选：B．15．已知向量，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量线性运算的坐标表示方法，求出的坐标，再根据向量夹角的坐标计算公式，求出结果.【详解】由题意可得，故.故选：A.16．已知向量，满足，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由向量线性运算的坐标表示，根据数量积与模长的坐标表示，可得答案.【详解】由，，得，，所以.故选：B.17．已知向量，且，则向量与夹角的大小为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知，利用平面向量夹角公式求解.【详解】，，，，∴，则.故选：B18．已知非零向量与不共线，且满足，与的夹角为，则向量与向量的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设向量与向量的夹角为，设，进而利用向量的夹角公式列出等式，解方程即可求得答案.【详解】设向量与向量的夹角为，,设，则，则，与的夹角为，所以，则，即，可得,解得（舍）或，则．故选：A．题型5向量数量积的范围问题19．设均为单位向量，且，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由向量数量积的运算律和模长的计算求解即可.【详解】，即，则，所以.故选：C.20．在菱形中，，，E为边上的动点（包括端点），F为的中点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，由，，结合数量积的运算律即可求解.【详解】设，则，由为的中点，得，在菱形中，，，所以，，所以，故选：D21．等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，，，，P为腰AD所在线段上任意一点，则的最小值是（）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】作垂直于于点，作垂直于于点，建立平面直角坐标系，求出相关点的坐标，利用坐标计算出的表达式，由二次函数的单调性即可求得答案.【详解】如图，作垂直于于点，作垂直于于点，又，，，则，，，，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，又P为腰AD所在直线上任意一点，则设，，则点P的坐标为，所以，，又关于的二次函数的对称轴为，则在上单调递减，所以当，即点P和点D重合时，取得最小值．故的最小值是．故选：C．题型6与模有关的最值范围问题22．设单位向量，已知，则的最小值为（

）A．0 B．1 C． D．【答案】C【分析】设，求出，再利用不等式即可求解.【详解】设，因为单位向量，，则，则，等号成立时方向相反，故的最小值为.故选：C23．平面向量，满足，，，若，则最小值为（）A．1 B．C． D．【答案】B【分析】由题意计算出，由整理得，由向量的数量积公式得到，即可得到最小值.【详解】因为，，，，得，即，即，所以，即.设与的夹角为，则，，∴当时，最小值为.故选：B.24．在中，，，，P为所在平面内的动点，且.则的最大值为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意，得到点P的轨迹为半径为2的圆，取的中点D，得到，求得，即可求解.【详解】由P为所在平面内的动点，且，点P的轨迹为以C为圆心，2为半径的圆，又由，，，取的中点D，则，所以.故选：C.25．已知平面向量满足，则的最小值为（）A．1 B．C．2 D．3【答案】D【分析】在平面直角坐标系中设出，再根据所给条件列出方程，再运用重要不等式，即可得解.【详解】在平面直角坐标系中，设，，，得.由，得，当且仅当时，等号成立.因此，的最小值为.故选：D.26．已知平面向量，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平面向量数量积的坐标运算结合模长公式计算即可.【详解】因为，所以，即，即，则.故选:D．27．已知平面直角坐标系中，，，设，则的最大值是（

）A． B． C．8 D．12【答案】A【分析】由向量模的坐标表示计算模后，结合三角函数的辅助角公式求得最大值.【详解】由已知，，，所以，，其中，为锐角，所以的最大值为，所以的最大值为，故选：A.28．在平面直角坐标系中，，.已知点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】结合图形先利用向量数量积的运算律求得，，化简得，再借助于向量的三角不等式即可求出的取值范围.【详解】

如图，因，，则，即，因，又，则，则，因，当且仅当与同方向时，；当且仅当与反方向时，，即.故选：C.题型7线性运算中参数范围问题29．已知向量，若，则的最小值为（

）A．7 B． C． D．【答案】B【分析】利用数量积的坐标运算得到，再利用基本不等式中“1”的妙用可得答案.【详解】因为向量，若，可得，即，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：B30．在正六边形ABCDEF中，点M在边BC和边CD上运动（含端点），设，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，利用向量加法的平行四边形法则，分类讨论，得到取值范围，进而的取值范围，得到答案.【详解】如图所示，由向量加法的平行四边形法则知，当点M在边BC上由点B向点C运动时，的值由1增大到2，的值由0增大到1，的取值范围是；当点M在边CD上由点C向点D运动时，的值恒为2，的值由1增大到2，的取值范围是.综上，可知的取值范围是.故选：D.

31．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若则的最小值为（

）

A．2 B．9 C．10 D．18【答案】B【分析】根据向量共线的知识和基本不等式的性质进行求解即可.【详解】因为是的中点，所以.因为，所以.由于三点共线，所以可以表示为的线性组合，即.所以，即.因为，所以.当且仅当时，即时等号成立.由于，所以解得，此时最小值为9.故选：B.32．已知与是两个不共线的向量，且向量同向，则的最小值为（

）A． B．6 C． D．【答案】C【分析】利用向量同向可得存在正实数使得，再利用基本不等式即可求解.【详解】已知向量同向，所以存在正实数使得，比较系数可得，即，所以，当时取等号，所以的最小值为.故选：C.33．在中，角所对的边分别为，点为外接圆的圆心，若，且，，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题结合余弦定理依次求出，，利用正弦定理可求外接圆半径为1，即，根据向量的运算可得，平方处理计算可得，再结合基本不等式的运用可得的范围即可求解.【详解】由可得，整理得，又，所以，由正弦定理可得圆半径为，即，又，，．，整理可得．又，得，解得或．当时，点在外部，分居两侧且，所以四点共圆，不满足题意，舍去，（当且仅当时取等号），故选：D．34．在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．9【答案】D【分析】利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论可得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案.【详解】由点在线段上，，得，而点为线段上除端点外的任意一点，则，且，因此，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为9.故选：D题型8平面向量在几何中的应用35．设是的外心，点满足，则是的（）A．内心 B．任意一点C．垂心 D．重心【答案】C【详解】由题可得，由于是的外心，设为线段的中点，故且，即，所以，同理，，故是的垂心．故选：C.36．中，、、的对边分别为