2026年高考数学复习讲义专题12 立体几何的外接球、内切球及棱切球相关问题的解题策略（原卷版）

专题12立体几何的外接球、内切球及棱切球相关问题的解题策略目录01析·考情精解02构·知能框架03破·题型攻坚考点立体几何的外接球、内切球及棱切球真题动向必备知识知识点01外接球模型一：墙角模型知识点02外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型知识点03外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型知识点04外接球模型四：垂面模型知识点05外接球模型五：正棱锥与侧棱相等模型知识点06内切球思路命题预测题型01长方体外接球题型02正四面体外接球题型03对棱相等的三棱锥外接球题型04直棱柱外接球题型05直棱锥外接球题型06正棱锥与侧棱相等模型题型07垂面模型题型08二面角模型题型09坐标法解决外接球问题题型10多面体外接球题型11锥体内切球题型12棱切球命题轨迹透视近年来，高考中对组合体的考查中，与球相关的外接和内切问题已成为命题的热点。这类问题在小题中的综合化趋势尤为显著，要求学生具备较强的空间想象能力和精确的计算能力才能顺利解答。从全国高考命题的情况来看，这部分内容主要以选择题和填空题的形式出现，很少出现在大题中。此部分是考试的重点，同时也是难点，其难度属于中等水平。2026命题预测预计在2026年高考中，与球相关的组合体问题多以小题形式呈现，同时也有可能融入解答题中，作为相对独立的部分。具体来说：（1）这类问题可能会以选择题或填空题的形式出现，旨在考查学生的综合推理能力。（2）锥体内切球与棱切球问题将成为考查的热点。考点立体几何的外接球、内切球及棱切球1.（2022·新高考全国Ⅱ卷T7）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．2.（2025新高考Ⅱ卷T14）一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为．3.（2023·全国乙卷T16）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则．4.（2023·全国甲卷·高考真题）在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有个公共点．知识点01外接球模型一：墙角模型墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq\r(a2＋b2＋c2)．)，秒杀公式：R2＝eq\f(a2＋b2＋c2,4)．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：知识点02外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以．知识点03外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O的位置是△ABC的外心O1与△A1B1C1的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，．知识点04外接球模型四：垂面模型1、垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，．2、或者是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD的高为h，外接球的半径为R，球心为O．△BCD的外心为O1，O1到BD的距离为d，O与O1的距离为m，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R2＝r2＋m2，,R2＝d2＋h－m2，))解得R．可用秒杀公式：R2＝r12＋r22－eq\f(l2,4)(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长)知识点05外接球模型五：正棱锥与侧棱相等模型1、正棱锥外接球半径：．2、侧棱相等模型：如图，的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点．解题步骤：第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：，解出．知识点06内切球思路：1、等积法思路以三棱锥P－ABC为例，求其内切球的半径．方法：等体积法，三棱锥P－ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r，球心为O，建立等式：VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC⇒VP－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·r＋eq\f(1,3)S△PAB·r＋eq\f(1,3)S△PAC·r＋eq\f(1,3)S△PBC·r＝eq\f(1,3)(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r；第三步：解出r＝eq\f(3VP－ABC,SO－ABC＋SO－PAB＋SO－PAC＋SO－PBC)＝eq\f(3V,S表)．2、球内接圆锥如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．由图、图可知，或，故，所以．3、球内接圆柱如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足．4、球内接圆台，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．5、棱切球方法：找切点，找球心，构造直角三角形题型01长方体外接球1．一个长方体的长、宽、高分别为5，4，3，则它的外接球的表面积是（

）A． B． C． D．2．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是，则这个球的体积是（

）A． B． C． D．3．在长方体中，，，，则长方体外接球的表面积为A． B． C． D．题型02正四面体外接球4.一个棱长为2的正四面体盒子内部放置了一个正方体，且该正方体在铁盒内能任意转动，则该正方体棱长的最大值为.5.已知正四面体的棱长为3，点在棱上，且，若点都在球的球面上，则球的表面积为（

）A． B． C． D．6.小张同学将一块棱长为的正方体形状橡皮泥重新捏成一个正四面体（过程中橡皮泥无损失），则该四面体外接球的体积为（

）A． B． C． D．7．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（

）A． B． C． D．题型03对棱相等的三棱锥外接球8.四面体中，，，则此四面体外接球的表面积为．9.如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（）A． B． C． D．10.在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．题型04直棱柱外接球11.已知直三棱柱，，，，，设该直三棱柱的外接球的表面积为，该直三棱柱内部半径最大的球的表面积为，则（

）A． B． C． D．12.已知直三棱柱的底面是边长分别为5，12，13的直角三角形，若该三棱柱有内切球，则其外接球的表面积为（

）A． B． C． D．13.已知直三棱柱的体积为24，，若直三棱柱的所有顶点都在球O的球面上，则球O表面积的最小值为.题型05直棱锥外接球14.已知三棱锥且平面，其外接球体积为（

）A． B． C． D．15.已知三棱锥中，平面，，，则此三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．16.已知三棱锥P-ABC中，是边长为2的等边三角形，，，，则三棱锥P-ABC的外接球表面积为（

）A． B． C． D．题型06正棱锥与侧棱相等模型17.已知正四棱锥的各条棱长均为2，则其外接球的表面积为A． B． C． D．18．已知正三棱锥的底面的边长为6，直线AB与底面BCD所成角的余弦值为，则正三棱锥外接球的体积为（

）A． B． C． D．19．正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，则它的外接球的体积为.20.已知三棱锥，，，，，三棱锥外接球的表面积与三棱锥的侧面积之比为（

）A． B． C． D．题型07垂面模型21.如图，在中，，，为中点，沿将翻折至的位置，使得平面平面，则三棱锥外接球的表面积为．22．在三棱锥中，，O为的外心，平面，若，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．23．已知四边形中，，，．现将沿边翻折，使点翻折到点，若平面平面，则三棱锥外接球的表面积是（

）A． B． C． D．题型08二面角模型24.长方形中，,将沿折起，使二面角大小为，则四面体的外接球的表面积为25．在三棱锥中，已知是边长为2的正三角形，且.若和的面积之积为，且二面角的余弦值为，则该三棱锥外接球的表面积为.26.已知三棱锥中，，三角形为正三角形，若二面角为，则该三棱锥的外接球的体积为．27．在四面体中，，二面角的余弦值是，则该四面体的外接球的表面积是．题型09坐标法解决外接球问题28．已知四面体的顶点坐标为，，，，则该四面体外接球的表面积为（

）A． B． C． D．29．已知四面体ABCD的四个顶点的坐标分别为，，，，则该四面体外接球的表面积为（

）A． B． C． D．30．已知四面体的顶点坐标为、、、，则该四面体外接球的表面积为（

）A． B． C． D．31.在底面边长为2的正三棱柱中，D，E分别是和的中点，若，则该三棱柱外接球的表面积为（

）A． B． C． D．题型10多面体外接球32.四面体ABCD中，平面ABC，，，，∠BAC=90°．若A，B，C，D四点都在同一个球面上，则该球面面积等于．33.中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国､秦､汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，若鳖臑的体积为2，则阳马外接球的表面积为（

）

A． B． C． D．34.正多面体是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角.在古希腊时期人们就已经发现正多面体仅有5种，分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体.如图是一个正八面体，其每一个面都是正三角形，六个顶点都在球的球面上，则球与正八面体的体积之比是（

）A． B． C． D．35.“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为，则该多面体外接球的表面积为（

）A． B．C． D．题型11锥体内切球36.已知用一个通过圆锥的轴的平面去截一个圆锥，得到的截面是面积为的正三角形.则此圆锥内切球的半径为.37.已知圆锥的底面半径为3，侧面母线长为5，设该圆锥内半径最大的球的体积为，圆锥的体积为，则.38.如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面