2026年高考数学复习讲义专题16 圆锥曲线综合问题2（最值范围问题与定点、定值问题）（原卷版）

专题16圆锥曲线综合问题2（最值范围问题与定点（定直线）、定值问题）目录01析·考情精解02破·题型攻坚考点一最值范围问题真题动向必备知识知识点圆锥曲线中取值范围问题的常用解法命题预测题型1利用不等关系求最值（范围）题型2利用基本不等式求最值（范围）题型3利用函数性质求最值（范围）考点二定点（定直线）与定值真题动向必备知识知识1定点问题知识2定直线问题知识3定值问题命题预测题型1直线过定点问题题型2圆过定点问题题型3定点类探索性问题题型4面积为定值问题题型5斜率为定值问题题型6线段长为定值问题题型7向量数量积为定值问题题型8定值类探索性问题题型9定直线问题题型10定直线类探究问题命题轨迹透视最值与范围问题是解析几何中的典型问题,是教学的重点也是历年高考的热点.解决这类问题不仅要善于利用几何手段对平面图形进行研究,而且要从代数角度进行函数等相关运算.定点问题主要涉及直线或圆过定点问题的判定及证明；定值问题主要涉及面积、长度、代数式等与参数无关的定值，考查题型为解答题，一般作为压轴题出现.考点频次总结考点2025年2024年2023年最值范围问题上海卷T18，18分上海卷T18，18分上海卷T18，18分定点（定直线）定值2026命题预测预测2026年：命题形式：18题第2问（7-8分），载体为椭圆，可与抛物线/圆融合，考定点+定值+定直线耦合（如动直线过定点且截距为定值，求定直线）。基础型：椭圆定点证明（保分），用特殊探路+韦达消参快速求解。中档型：椭圆+抛物线/圆，结合斜率积/向量条件求定点/定值，需运算精准。新情景：翻折/旋转+定点定值（如椭圆翻折后动直线过定点）、实际建模（光学/轨迹）、含参数递推动点，强化临界分析与多解验证。考点一最值范围问题1．（2025·上海·高考真题）已知椭圆，，A是的右顶点．(1)若的焦点，求离心率e；(2)若，且上存在一点P，满足，求m；(3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围．2．（2024·上海·高考真题）已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.(1)若的离心率为2，求.(2)若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标.(3)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值.3．（2023·上海·高考真题）曲线，第一象限内点A在Γ上，A的纵坐标是a．(1)若A到准线距离为3，求a；(2)若a＝4，B在x轴上，AB中点在上，求点B坐标和坐标原点O到AB距离；(3)直线，令P是第一象限Γ上异于A的一点，直线PA交l于Q，H是P在l上的投影，若点A满足“对于任意P都有”，求a的取值范围．知识点圆锥曲线中取值范围问题的常用解法1.利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．2.利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．3.利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．4.利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．5.利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．题型1利用不等关系求最值（范围）1.已知直线与抛物线交于两点，且．(1)求；(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值．2.（2025·甘肃白银·三模）已知双曲线的渐近线方程为，且其焦距为.(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线交于不同的两点，且在由点与构成的三角形中，，求实数的取值范围.3.（2025·山东潍坊一模）已知实轴长为，虚轴长为的双曲线的焦点在轴上，直线是双曲线的一条渐近线，且原点、点和点使等式成立.（1）求双曲线的方程；（2）若双曲线上存在两个点关于直线对称，求实数的取值范围.题型2利用基本不等式求最值（范围）4.已知椭圆C：eq\f(x2,3)＋y2＝1的左右焦点分别为F1，F2，若A和B为椭圆C上在x轴同侧的两点，且eq\o(AF2,\s\up6(→))＝λeq\o(BF1,\s\up6(→))，求四边形ABF1F2面积的最大值.5.已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．（1）求C的方程;（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.6．（2025·陕西西安二模）已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，且点在上．(1)求椭圆的方程；(2)过点作直线交椭圆于两点，且点位于轴上方，设点关于轴的对称点为，求面积的最大值．题型3利用函数性质求最值（范围）7.如图,点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上，设M是椭圆长轴上的一点,M到直线的距离等于,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．8.已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上．(1)若，求抛物线的标准方程；(2)若直线与抛物线交于，两点，点的坐标为，且满足，原点到直线的距离不小于，求的取值范围．9.（2025·广东珠海一模）已知抛物线：，点A在上，点，其中.(1)若，求的最小值；(2)点Q是点P关于y轴的对称点，经过点P的直线与交于两点B，C；（ⅰ）若A是B，Q中点，证明：；（ii）若直线与相切且，直线与交于点D，求D纵坐标的取值范围.考点二定点（定直线）与定值1.（2022全国乙（理）卷T20）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．(1)求E的方程；(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．2.（2023新课标全国Ⅱ卷）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.知识点1定点问题定点问题是比较常见出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.知识点2定直线问题解决定线问题的核心在于确定动点的轨迹方程，主要方法有：(1)待定系数法，设出含参数的直线方程，利用条件消去参数，得到系数确定动点的坐标，确定直线.(2)设点法，设出动点的坐标，通过动点满足的条件消去参数，得到动点的轨迹方程，从而确定直线.知识点3定值问题求解定值问题的三步骤题型1直线过定点问题1．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为．(1)求椭圆的标准方程；(2)设椭圆的右顶点为，若直线与椭圆交于两点，满足，证明：直线过定点．2．已知双曲线C：的离心率为2，其右焦点F到一条渐近线的距离为.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线：与双曲线C交于不同的两点A，B，且以线段为直径的圆经过点，证明：直线过定点.3．过抛物线上的点的直线，分别交抛物线于点，．设直线，的斜率分别为，，，当且点，关于轴对称时，的面积为16．(1)求抛物线的方程；(2)当时，证明：直线过定点．题型2圆过定点问题4．已知，分别是双曲线：的上顶点，下焦点．(1)求的标准方程；(2)过的直线与的上，下支分别交于，两点（异于），直线平分线段与的下支交于点．（ⅰ）求证：直线与直线的交点在一条定直线上；（ⅱ）过三点的圆是否经过定点，请说明理由．5．已知椭圆（）的焦距为2，点在C上．(1)求C的方程；(2)若过动点P的两条直线，均与C相切，且，的斜率之积为，点，问是否存在定点B，使得？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，已知开口方向向上、顶点在原点的抛物线上的纵坐标为1的点到焦点的距离为2．(1)求抛物线的方程．(2)已知是直线上的动点，为抛物线的两条切线，为切点．①求证：直线过定点；②抛物线上是否存在定点使得以为直径的圆恰过定点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．题型3定点类探索性问题7．已知椭圆C的焦距为2，且过点.(1)求C的方程；(2)若A，B分别是C的左、右顶点，设直线与x轴交于点P，点Q是直线上不同于点的一点，直线BQ与C交于另一点M，直线AM与交于点N，是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.8．已知双曲线的焦距为4，一条渐近线的倾斜角为．(1)求双曲线的方程；(2)过点作直线，与的左支相交于两点，点与点关于轴对称，问：直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．9．已知是抛物线的焦点，在点处的切线交轴于点，过点的直线与交于两点.(1)求的方程；(2)比较与的大小，并说明理由；(3)过点的直线与交于两点，，线段的延长线分别交于点，，试判断直线是否过定点，如果是，请求出该定点的坐标，如果不是，请说明理由.题型4面积为定值问题10．已知抛物线：与双曲线：相交于点．(1)若，求抛物线的准线方程；(2)记直线l：与、分别切于点M、N，当p变化时，求证：的面积为定值，并求出该定值．11．已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数，(1)求动点的轨迹；(2)过上述轨迹上一点作轨迹的切线与两直线分别交于、两点，证明：三角形的面积是定值．12．在平面直角坐标系中，已知椭圆的中心为原点，焦点在坐标轴上，，为上两点，为椭圆上三个动点.(1)求椭圆的标准方程；(2)是否存在点使为的重心？若存在，请探究的面积是否为定值；若不存在，请说明理由.题型5斜率为定值问题13．已知椭圆经过两点，其左、右焦点分别为，且焦距为有理数，点为椭圆上异于的动点，面积的最大值为.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与分别交直线于两点，证明：直线和的斜率之积为定值.14．已知双曲线的中心为原点，左､右焦点分别为，离心率为，且过点，又点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足.(1)求双曲线的方程；(2)证明：直线与直线的斜率之积是定值.15．在平面直角坐标系xOy中，已知点D为双曲线E：的右顶点，，在双曲线上.(1)求双曲线E的方程；(2)过点且斜率为的直线l与双曲线E的左支交于A，B两点，的外接圆的圆心为P，直线OP的斜率为，证明：为定值.16．已知点是抛物线：的焦点，纵坐标为2的点在上，以为圆心、为半径的圆交轴于，，．(1)求抛物线的方程；(2)过作直线与抛物线交于，，求的值．题型6线段长为定值问题17．已知圆，抛物线的准线与圆相切，过抛物线焦点的动直线与抛物线交于、两点，线段的中点为．(1)求抛物线的方程；(2)当轴时，求直线的斜率；(3)求证：为定值，并求出该定值．18．已知双曲线的左右焦点分别为，离心率为2，

是上一点，且，的周长为12.(1)求C的方程;(2)过的直线与C的右支交于A，B两点，过原点O作AB的垂线，并且与双曲线右支交于点P，证明：为定值.19.（23-24高二上·浙江金华·期中）已知圆分别与轴的正半轴交于两点，为圆上的动点（异于两点）.(1)若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程；(2)若直线与轴交于点，直线与轴交于点，试证为定值.题型7向量数量积为定值问题20.已知抛物线Γ：的焦点为F，准线为l，直线经过点F且与Γ交于点A、B．(1)若，求线段AB的中点到x轴的距离；(2)设O为坐标原点，M为Γ上的动点，直线AM、BM分别与准线l交于点C、D．求证：为常数．21.已知双曲线的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线相切．(1)求双曲线的方程；(2)已知点为双曲线的左焦点，在轴上存在定点，过点任意作一条直线交双曲线于，两点，使为定值，求出此定值和所有的定点的坐标.22.在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，直线与交于两点.(1)若过，另一条过的直线与交于两点（在轴上方），直线分别交直线于两点，证明：为的中点；(2)若上存在点，使得，证明：为定值.23.已知两定点，，动点P满足到A与B的连线斜率乘积为1(1)求P的轨迹方程；(2)过点的直线交的轨迹于A、B，（ⅰ）若A、B在y轴的右侧，且的面积为，求的方程；（ⅱ）是否存在轴上的定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.题型8定值类探索性问题24.已知抛物线在点处的切线为，当时，的斜率为．(1)求抛物线的方程；(2)点关于轴对称点为，抛物线的焦点为，过且平行于的直线与抛物线交于两点，直线与的斜率和是否为定值．若是，求出该值；若不是，请说明理由．25.在圆上任取一点，过点作轴的垂线段为垂足．(1)当点在圆上运动时，求线段的中点的轨迹方程．(当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合)(2)根据（1）中所得的点的轨迹方程，若直线与点的轨迹相交于，两点，且，试判断的面积是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．题型9定直线问题26.如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知抛物线的焦点为，点的坐标为.(1)若点在上，且，求点的坐标；(2)若是上的任意一点，求的最小值；(3)过点的动直线与抛物线交于、两点，过点、分别作的切线，切线交点为，求证：点的轨迹是一条直线.27.已知双曲线的左､右顶点分别是，直线与交于两点（不与重合），设直线的斜率分别为，且.(1)判断直线是否过轴上的定点.若过，求出