2026年高考数学复习讲义专题18 排列组合与二项式定理（经典问题全归纳）（解析版）

专题18排列组合与二项式定理（经典问题全归纳）目录01析·考情精解02构·知能框架03破·题型攻坚考点一排列组合必备知识知识点1两个计数原理知识点2排列、组合的定义知识点3排列数、组合数的定义、公式、性质命题预测题型01相邻与不相邻问题综合题型02特殊元素与特殊位置优先题型03定序问题题型04隔板法题型05平均分组与不平均分组题型06先分组后分配考点二二项式定理 12必备知识知识点1二项式定理知识点2二项式系数的性质命题预测题型01求指定项的系数题型02由项的系数确定参数题型03三项展开式的系数问题题型04两个二项式乘积展开式的系数问题题型05系数最值问题命题轨迹透视从近三年高考试题来看，排列组合与二项式定理内容常出现在选择题或填空题中，分值一般为4-5分，难度中等偏易，属于“中低档题型”。主要考查分类加法计数原理、分步乘法计数原理，以及排列与组合的基本概念与计算。二项式定理部分重点考查展开式的通项公式、特定项系数、常数项等，偶尔会与赋值法结合考查系数和问题。易错点在于是否区分排列与组合、是否考虑特殊位置或特殊元素、二项式展开式中项的系数与二项式系数的区别。考点频次总结考点2025年2024年2023年排列组合上海卷T9，5分上海卷T12，5分二项式定理上海卷T4，4分上海卷T6，4分上海卷T10，5分2026命题预测预计在2026年高考中，结合有关知识背景、数学文化等命制有关排列、组合的试题，同时对用二项式定理解决特定项系数问题也是必考内容。复习二项式定理时,需要区分项的系数与二项式系数.考点一排列组合1.（2025·上海·高考真题）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有种．【答案】288【解析】先选两位家长排在首尾有种排法；再排对中的四人有种排法，故有种排法.2.（2023·上海·高考真题）空间内存在三点A、B、C，满足，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为．【答案】9【解析】因为空间中有三个点，且，不妨先考虑在一个正四棱锥中，哪三个点可以构成等边三角形，同时考虑三边的轮换对称性，可先分为两种大情况，即以下两种：第一种：为正四棱锥的侧面，如图1，此时分别充当为底面正方形的一边时，对应的情况数显然是相同的;不妨以为例，此时符合要求的另两个点如图1所示，显然有两种情况，考虑到三边的轮换对称性，故而总情况有6种；

第二种：为正四棱锥的对角面，如图2，此时分别充当底面正方形的一对角线时，对应的情况数显然也是相同的;不妨以为例，此时符合要求的另两个点图2所示，显然只有一种情况，考虑到三边的轮换对称性，故而总情况有3种；综上所述：总共有9种情况.知识点1两个计数原理（1）分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法；（2）分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法.知识点2排列、组合的定义排列的定义从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列组合的定义作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合知识点3排列数、组合数的定义、公式、性质排列数组合数定义从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数公式Anm＝n（n－1）·（n－2）…（n－m＋1Cnm＝A性质Ann＝n！，0Cn0＝1，Cnm＝Cnn题型01相邻与不相邻问题综合1．一排有7个空座位，有3人各不相邻而坐，则不同的坐法共有种．【答案】60【解析】首先拿出4个空座位，则四个空座位之间一共有5个空位，包括两端，从5个空位中选出3个空位，对3人进行全排列，即得不同的坐法共有种.2．某校8名学生（高一1人，高二3人，高三4人）在数学竞赛中获奖．8人站成一排合影留念，同年级的同学不相邻的站法有种．【答案】2016【解析】先将4名高三学生全排列，若高一、高二学生不相邻，站法有A4若高一学生与高二学生相邻，站法有A44⋅3．某小组的成员由四位男生和三位女生组成，七位同学要站成一排照相，要求任意两男生及任意两女生均不能相邻的站法总数是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】先排好3位女生，有种排法，此时产生4个空位，再将4位男生排入这4个空位，有种排法，根据分步乘法计数原理，共有种站法.4．甲、乙、丙等八个人围成一圈，要求甲、乙、丙三人两两不相邻，则不同的排列方法有（

）A．720种 B．1440种 C．2880种 D．4320种【答案】B【解析】环排问题线排策略，增加一个凳子．九个凳子排一排，甲放一号和九号，中间剩余七个位置可选，再将其他五人放入中间有种．甲、乙、丙两两不相邻．乙、丙只能放中间四空中共有种，由分步计数原理得总数种．题型02特殊元素与特殊位置优先5．有3位家长带2位儿童去爬山，5个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列种数有种.【答案】36【解析】已知3位家长带2位儿童去爬山，5个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列种数有种．6．将5名程序专家全部分配到1，2，3号3个AI实验室指导工作，每个实验室至少分配1名专家，其中A专家必须去1号实验室，则不同的分配方案共有种．【答案】50【解析】当1号实验室有1人时，分配方案有种；当1号实验室有2人时，分配方案有种；当1号实验室有3人时，分配方案有种，可得不同的分配方案共有种．7．在图所示的10块地中，选出6块种植这六个不同品种的蔬菜，每块地种植一种．若必须横向相邻种在一起，与在横向、纵向都不能相邻种在一起，则不同的种植方案有种.【答案】5160【解析】①当与同行，与也同行时，有种种植方案；与不同行时，有种种植方案；②当与不同行时，有种种植方案.故不同的种植方案有（种）.8．有3名男生和2名女生站成一排照相，要求两名女生不能相邻，同时男生甲不能站在最左边，女生乙不能站在最中间，满足条件的站法种数为．【答案】50【解析】先求出两名女生不能相邻的站法有A3若两名女生不能相邻且男生甲站在最左边，则满足题意的站法有A2若两名女生不能相邻且女生乙站在最中间，则满足题意的站法有A3若两名女生不能相邻，同时男生甲站在最左边，女生乙站在最中间，则满足题意的站法有A2所以满足条件的站法种数为72−12−12+2=50种.题型03定序问题9．在6名女同学与5名男同学中，选3名男同学和3名女同学，使男女相间排成一排，不同的排法总数为A. B. C. D.​【答案】A【详解】男女生相同，则分两类排法：“男女男女男女”与“女男女男女男”，且两类排法数相同。

每类排法都可以分两个步骤：第一步，先排男生，从5名男同学中选3位排在男生位置上，有​种方法；

第二步，再排女生，从6名女同学中选3位排在女生位置上，有种方法；

由分步计数原理可得，有种排法。

故两类共有​种排法。

故选：A．10．用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，7的顺序一定，则有个七位数符合条件．【答案】210【解析】若1，3，5，7的顺序不定，有(种)排法，所以1，3，5，7的顺序一定的排法数只占总排法数的，所以共有(个)七位数符合条件.14．6个人站成一排，甲、乙、丙三人从左到右的顺序保持一定，有多少种不同的站法？【解析】（种）.题型04隔板法11.20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（

）A．120 B．240 C．300 D．360【答案】A【解析】先往2号，3号盒内分别放入1个球和2个球，此时每个盒子至少还需放入1个球，将剩下的17个球排成一排，有16个空隙，插入2块隔板分为三堆放入三个盒中即可，共有C16故选：A12.现有9个三好学生的名额分给甲、乙、丙、丁4个班级，若每个班级至少1个名额，则不同的分配方法有（

）A．504种 B．126种 C．84种 D．56种【答案】D【解析】根据隔板法，9个名额，分给四个班级，每个班级至少1个名额，则有C8故选：D13.某校庆典活动开场舞安排高中三个年级的16名学生共同完成，要求每个年级至少安排1名学生，则名额的分配方案共有（

）A．105种 B．455种 C．120种 D．560种【答案】A【解析】取16个元素排成一排，在相邻的每两个元素形成的15个间隙中选取2个插入隔板，这样就把16个元素分成3个区间，这3个区间的元素个数分别对应这3个年级的学生名额，则名额的分配方案的种数与隔板插入方法的种数相等．因为隔板插入方法共有C15故选：A.题型05平均分组与不平均分组14.赣超联赛作为江西本土热门足球赛事，正处于激烈的关键赛程阶段.为保障赛事服务质量，需将4名志愿者小赵、小孙、小周、小吴平均分配到A，B两个比赛场馆服务，则恰好小赵与小周分到同一个场馆的概率为．【答案】1【解析】将4人平均分为两组，每组两人，共C4再将两组人分配到A，B两个场馆，因此共3A小赵与小周分到同一个场馆的分法有2种；故小赵与小周分到同一个场馆的概率为2615.将本不同的杂志分成组，每组至少本，则不同的分组方法数为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】将本不同的杂志分成组，每组至少本，则三组书的数量分别为、、，所以不同的分组方法种数为.16.从5名学生中选择4人对A，B两种不同算法的加密文件进行破译，每人选择一种文件，每个文件2人破译，则不同的人员安排共有（）A．40种 B．48种 C．30种 D．72种【答案】C【解析】从5名学生中选择4人，共有种，将4人分成两组，共有种，再将2组进行全排列，对应A，B两种文件，共有种，则不同的人员安排共有种．题型06先分组后分配17.基础学科对于一个国家科技发展至关重要，是提高核心竞争力，保持战略领先的关键，其中数学学科尤为重要．某双一流大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了《九章算术》《古今数学思想》《数学原理》《世界数学通史》《算术研究》五门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，至少选一门，且已选过的课程不能再选，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式种数为．【答案】150【解析】先将五门课程分成3，1，1和2，2，1这两种情况，再安排到三个学年中，则共有C518.已知A，B，C，D共4名师范生需要去甲、乙、丙3所学校实习，要求每名同学只去一所学校实习，且每所学校都有学生去实习，如果A一定去甲学校实习，则不同的安排方法有种．【答案】12【解析】因为A，B，C，D共4名师范生需要去甲、乙、丙3所学校实习，要求每名同学只去一所学校实习，所以有一所学校必然有2名师范生实习.若甲学校有2名师范生实习，而A一定去甲学校实习，则B，C，D共3名师范生平均分配到甲、乙、丙3所学校实习，此时共有A3若甲学校只有1名师范生实习，而A一定去甲学校实习，则B，C，D共3名师范生按照2:1分配到乙、丙2所学校实习，此时共有C3综上，不同的安排方法有12种.19.某高中为开展新质课堂，丰富学生的课余生活，开设了若干个社团，高二年级有5名同学打算参加“书法协会”、“舞动青春”、“红袖添香”和“羽乒协会”四个社团.若每名同学必须参加且只能参加1个社团，每个社团必须有人参加，则这5个同学中有1人参加“舞动青春”社团的不同方法数为.（用数字作答）【答案】180【解析】根据题意，先将5个同学分成4组，为2,1,1,1，有C5再从只有1人的组中选1人参加“舞动青春”社团，有C3其余3组同学分配到另外3个社团，有A3则不同的方法数为C520.甲、乙、丙三位教师指导六名学生a、b、c、d、e、f参加全国高中数学联赛，若每位教师至少指导一名学生，其中甲指导三名学生，则共有（

）种分配方案A．90 B．120 C．150 D．240【答案】B【解析】第一步，从六名学生中选3名，分配给甲指导，有C6第二步，将剩余3名学生分成两组，分配给乙、丙指导，有C3根据分步乘法计数原理，不同的分配方案共有20×6=120种.故选：B.21.为了提高人们的环保意识，让所有人都能为保护环境出一份力，某校5名大学生到A，B，C三个社区做宣传，每个社区至少分配一人，每人只能去一个小区宣传，若甲、乙要求去同一个小区且不去A小区，则不同的安排方案共有（

）A．20种 B．24种 C．30种 D．36种【答案】B【解析】分类计数：第一类：仅甲乙两人在一组，此时不同的安排方案有：C3第二类：甲乙再加一人在一组，此时不同的安排方案有：C3根据分类计数加法原理，则不同的安排方案共有12+12=24种，故选：B考点二二项式定理1．（2025·上海·高考真题）在二项式的展开式中，的系数为．【答案】【解析】由通项公式，令，得，可得项的系数为.2．（2024·上海·高考真题）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为．【答案】10【解析】则二项式的展开式各项系数和为32，得，解得，所以的展开式项的系数为.3．（2023·上海·高考真题）已知，若存在{0，1，2，…，100}使得，则k的最大值为.【答案】49【解析】二项式的通项为，二项式的通项为，，，若，则为奇数，此时，，又为奇数，的最大值为49.知识点1二项式定理二项式定理（a＋b）n＝Cn0an＋Cn1an－1b1＋…＋Cnkan－kbk＋…＋Cnnb二项展开式的通项Tk＋1＝Cnkan－kbk，它表示展开式的第k＋二项式系数Cnk（k＝0，1，…，【提醒】（1）项数为n＋1；（2）各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n；（3）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.知识点2二项式系数的性质题型01求指定项的系数1．的展开式中的系数为（

）A．8 B．16 C．24 D．48【答案】C【解析】由二项展开式的通项公式：，令，得.即展开式中的系数为24.2．已知，则的值是（

）A．20 B．80 C．160 D．240【答案】C【解析】展开式的通项为，又，所以，故.3．已知，则的值为（）A．70 B．84 C．56 D．126【答案】B【解析】四项中不存在，对于其余部分展开式中的系数为，展开式中的系数为，展开式中的系数为，展开式中的系数为，4．若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中各项系数和为（

）A．16 B． C．32 D．【答案】D【解析】因为的展开式的二项式系数和为32，即，解得，令可得的展开式中各项系数和为.题型02由项的系数确定参数5．若的展开式中，的系数等于的系数的5倍，则．【答案】【解析】由二项式定理可知，的系数为，的系数为，由题可得，即，所以，而且，解得．6．若的展开式中第4项为160，则.【答案】【解析】的展开式中第4项为，所以，解得.7．已知的二项展开式中常数项为1，则实数的值为.【答案】【解析】，解得，则，即，因此实数的值为.题型03三项展开式的系数问题8．的展开式中常数项是．（用数值作答）【答案】924【解析】的展开式中常数项是.9．展开式中含项的系数为．【答案】【解析】展开式中含项的为，则其系数为.10．的展开式中项的系数为（用数字作答）【答案】【解析】的展开式中的项为，所以的