2026年高考数学专题专练专题05 解三角形及其实际应用5大题型（解析版）

专题05解三角形及其实际应用目录第一部分考向速递洞察考向，感知前沿第二部分题型归纳梳理题型，突破重难题型01正余弦定理解三角形题型02三角形的周长与面积题型03判断三角形形状题型04三角形解的个数题型05解三角形的实际运用第三部分分层突破固本培优，精准提分A组·基础保分练B组·重难提升练1．有一道解三角形的问题，缺少一个条件，具体如下：“在中，已知，，，求角A的大小．”经推断缺少的条件为三角形一边的长度，且正确答案为，试将所缺的条件补充完整．【答案】【解析】由，，得，但若已知去求，有两解，不合题意；再计算，，，，若再已知，可用余弦定理求，再求，这时是唯一解，满足题意．故答案为：．2．雨天外出虽然有撑雨伞，时常却总免不了淋湿衣袖、裤脚、背包等，热爱探究数学问题的小明想通过数学建模的方法研究如何撑伞可以让淋湿的面积尽量小．为了简化问题小明做出下列假设：假设1：小明把人假设为身高、肩宽分别为，的矩形＂纸片人＂；假设2：受风的影响，雨滴下落轨迹视为与水平地面所成角为的直线；假设3：伞柄长为，可绕矩形＂纸片人＂上点旋转；假设4：伞面为被伞柄垂直平分的线段．如图，在矩形“纸片人”上身恰好不被淋湿时，求其＂裤脚＂被淋湿（阴影）部分的面积（结果精确到）；【答案】【解析】如图所示，过作对边的垂线，垂足为点，过点作对边的垂线，垂足为点，连接，，由题意，，因为为得中点，所以，又，所以，，又，，由正弦定理得，所以，又，所以，，所以，所以,所以阴影部分面积为.故答案为：3.某数学建模小组研究挡雨棚（图1），将它抽象为柱体（图2），底面与全等且所在平面平行，与各边表示挡雨棚支架，支架、、垂直于平面.雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为（即），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形（、分别在、延长线上）.(1)挡雨板（曲面）的面积可以视为曲线段与线段长的乘积．已知米，米，米，小组成员对曲线段有两种假设，分别为：①其为直线段且；②其为以为圆心的圆弧.请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到0.1平方米）；(2)小组拟自制部分的支架用于测试（图3），其中米，，，其中，求有效遮挡区域高的最大值.【答案】(1)①平方米②平方米(2)0.3米【解析】（1）①其为直线段且时，米，所以在中，，即（米）.所以（平方米）；②其为以为圆心的圆弧时，此时圆的半径为（米），圆心角，所以圆弧的长，所以（平方米）（2）由题意，，，由正弦定理可得：，即，其中，当，即时，（米）.即有效遮挡区域高的最大值为米.4.已知，“、、成等差数列且、、成等比数列”是“是正三角形”的条件．【答案】充要【解析】在中，由、、成等差数列，得，而，则，由、、成等比数列，得，由正弦定理得，由余弦定理得，即，解得，因此是正三角形；若是正三角形，则，，因此、、成等差数列且、、成等比数列，所以“、、成等差数列且、、成等比数列”是“是正三角形”的充要条件.故答案为：充要.01正余弦定理解三角形1．在中，，，，则边的长度为.【答案】【解析】因为，所以，由正弦定理，，所以，故答案为：.2．在中，，，，则.【答案】或【解析】由正弦定理得，因为，所以，所以，因为，所以或.故答案为：或3．已知的三边长分别为3，5，7，则该三角形最大角的正弦值等于.【答案】/【解析】中，最大的边长为7，边长为7的边所对应的角最大，设最大的角为，由余弦定理可得：，又为三角形的内角，，，.故答案为：.4．如图，平面凸四边形中，，且是边长为2的等边三角形.

(1)若，求.(2)若线段（不含端点）上存在动点，满足，记，求关于的函数.【答案】(1)(2)【解析】（1）由，，可知，因此，所以，由正弦定理可得，由可得.（2）如下图：

由题可知，又，在中，由余弦定理可知，因此可得，又在线段（不含端点）上，所以，所以.5．在中，角、、的对边分别为、、，．(1)求角，并计算的值；(2)若，且是锐角三角形，求的最大值．【答案】(1)或；当时，；当时，(2)【解析】（1）由，得，则，又，所以或.当时，；当时，.（2）若为锐角三角形，则，有，解得.由正弦定理，得，则，所以，其中，又，所以，则，故当时，取到最大值1，所以的最大值为.02三角形的周长与面积1．在中，分别为角的对边.已知是一个面积为的锐角三角形，且，则的周长为.【答案】/【解析】由于三角形的面积为，所以,因为，故（锐角三角形），当时：，则的周长为.故答案为：.2．已知点D、E分别是三角形ABC的边AC、BC的中点，且，则三角形ABC的面积的取值范围是．【答案】【解析】如图，过作，过作交的延长线于，则四边形、四边形为平行四边形，连接，则互相平分，故共线且为的中点，而，故，故，中，，，，故，故，故答案为：3．在中，，.(1)求的值；(2)若，求的周长和面积.【答案】(1)；(2)周长32，面积24.【解析】（1）在中，，又，则，则.（2），又，，则由正弦定理得，则的周长为的面积为．4．在中，角所对边的边长分别为，且满足．(1)求角的值；(2)若外接圆的直径等于4，求面积的最大值．【答案】(1)(2)【解析】（1）根据余弦定理得，由，可得，因为，所以，又因为，解得，所以角的值为.（2）若外接圆的直径，根据正弦定理得，由余弦定理得，即，可得，根据基本不等式，可得，所以，解得，当且仅当时，等号成立，可得的面积，所以当时，的面积取得最大值，所以面积的最大值为．5．在中，角，，的对边分别为，，，且，.(1)求角；(2)若为锐角三角形，求的周长的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）已知，由正弦定理得，∴，∴，又，，∴，∵，∴，∵，∴．（2）在中由正弦定理得，又，所以，，所以，，，因为为锐角三角形，所以，所以，所以，所以，所以，所以周长的取值范围是.03判断三角形形状1．在中，，则的形状是（

）.A．直角三角形 B．底边为的等腰三角形C．底边为的等腰三角形 D．底边为的等腰三角形【答案】B【解析】由余弦定理可得，整理可得，所以，所以是底边为的等腰三角形.故选：B.2．已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（

）A．若，则一定是等边三角形B．若，则一定是等腰三角形C．若，则一定是等腰三角形D．若，则一定是锐角三角形【答案】A【解析】由正弦定理，若，则，为三角形内角，所以，三角形是等边三角形，A正确；若，由正弦定理得，即，，则或，即或，三角形为等腰三角形或直角三角形，B错；例如，，，满足，但此时不是等腰三角形，C错；时，由余弦定理可得，即为锐角，但是否都是锐角，不能保证，因此该三角形不一定是锐角三角形，D错．故选：A．3．在中，已知，且，则的形状为（

）A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．有一个角为的直角三角形 D．等边三角形【答案】D【解析】由可得，又，所以，由和正弦定理可得，即，所以，所以，所以的形状为等边三角形，故选：D.4．在中，角、、的对边分别为、、，已知.(1)求角的大小；(2)若的面积为，求的最小值，并判断此时的形状.【答案】(1)(2)4，为等边三角形【解析】（1）由正弦定理得，又由余弦定理得，因为是三角形内角，所以；（2）由三角形面积公式得：，解得，因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为，此时为等边三角形.5．设的内角所对的边分别为，已知．(1)求角A；(2)若，求证：是直角三角形．【答案】(1)(2)证明见解析．【解析】（1）由条件，得，即，亦即，故，因为，所以．（2）证明：由正弦定理及得，由（1）知，故，于是，则，即，因，故，又，从而，所以，则，因此是直角三角形．04三角形解的个数1．张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，，，分别是角，，的对边，已知，，求边，显然缺少条件，若他打算补充的大小，并使得只有一解，的取值不可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可知三角形只有一个解，由上图可知：若只有一解，可知以为圆心，为半径的圆弧与有一个交点，则或，即或，所以的取值不可能为，故选：B2．在中，已知，，若有唯一值，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由可得：，且，若，则，由正弦定理可得,则，所以B为锐角，此时B唯一，则C也唯一，所以有唯一值.当时，，则此时B唯一，则C也唯一，所以有唯一值.当时，因为，根据正弦函数图像易知，在上存在两个根，所以存在两个值满足，所以不成立.故选：C3．已知中，，，的对边分别为，，，若，，给出下列条件中：①，②，③，能使有两解的为.（请写出所有正确答案的序号）【答案】②③【解析】选择①，由余弦定理，得，解得，所以只有一解.故①错误；选择②，因为，所以,由正弦定理，得，解得，所以,所以有两解，故②正确；选择③，由，得,解得，因为，所以或，所以有两解，故③正确；故答案为：②③.05解三角形的实际运用1．下图为某地出土的一块三角形瓷器片，其一角已破损.为了复原该三角形瓷器片，现测得如下数据：，，则两点间距离为cm.（精确到1cm）【答案】14【解析】如图，延长交于点，因为，所以，在中，由正弦定理得，，，由题意得，在中，由余弦定理得，，故两点之间的距离为.故答案为：14.2．某地某一楼房在地震时发生了严重倾斜（未塌陷），如图，已知地震前，该楼房在地面上的影子长度为30米，且在影子末端处测得楼顶的仰角为；地震后，在同样的时间（假设太阳位置不变）测得该楼房在地面上的影子长度为40米，则该楼房当前与地面所成角的大小为.（精确到）

【答案】【解析】

在直角三角形中，，，所以，在地震后形成的中，，，，由正弦定理得：，可得，即故答案为：3．三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A、B、C三点，且A、B、C在同一水平面上的投影、、满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A、C两点到水平面的高度差约为．（精确到1）【答案】373【解析】如图，过C作，过B作，故，由题易知为等腰直角三角形，所以．所以.因为，所以.在中，由正弦定理得，，而，所以，所以.故答案为：373.4．某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点和．某日两个观测点的林场人员都观测到处出现火情．在处观测到火情发生在北偏西方向，而在处观测到火情在北偏西方向．已知在的正东方向处（如图所示），则.（精确到）【答案】【解析】由题意可得，，，，则，在中，由正弦定理可得，，即，所以，，则.故答案为：5．如下图，某公园东北角处有一座小山，山顶有一根垂直于水平地平面的钢制笔直旗杆，公园内的小山下是一个水平广场（虚线部分）．某高三班级数学老师留给同学们的周末作业是：进入该公园，提出与测量有关的问题，在广场上实施测量，并运用数学知识解决问题．老师提供给同学们的条件是：已知米，规定使用的测量工具只有一只小小的手持激光测距仪（如下图，该测距仪能准确测量它到它发出的激光投射在物体表面上的光点之间的距离）．

(1)甲同学来到通往山脚下的笔直小路上，他提出的问题是：如何测量小山的高度？于是，他站在点处，独立的实施了测量，并运用数学知识解决了问题．请写出甲同学的解决问题方案，并用假设的测量数据（字母表示）表示出小山的高度；(2)乙同学是在一阵大风过后进入公园的，广场上的人纷纷议论：旗杆似乎是由于在根部处松动产生了倾斜．她提出的问题是：如何检验旗杆是否还垂直于地面？并且设计了一个不用计算就能解决问题的独立测量方案．请你写出她的方案，并说明理由；(3)已知（1）中的小路是东西方向，且与点所确定的平面垂直于地平面．又已知在（2）中的乙同学已经断定旗杆大致向广场方向倾斜．如果你是该班级的同学，你会提出怎样的有实际意义的问题？请写出实施测量与解决问题的方案，并说明理由（如果需要，可通过假设的测量数据或运算结果列式说明，不必计算）．【答案】(1)答案见解析(2)方案见解析，理由见解析(3)问题见解析，方案见解析，理由见解析【解析】（1）解一：(1)如图1，设点在水平面的投影点为．用测距仪测得，．在中，，在中，，所以．

解二：如图2，在平面上，以点为原点，向量为轴，建立平面直角坐标系，设点，则，用测距仪测得，，则，解得

（2）如图，用电子尺测得，，

在广场上从点移动至点，使得，再移至点，使得，此时再测量，若，则可知旗杆垂直于地面，否则就是倾斜了．理由如下：已知，，设点是的中点，则在等腰中，．同理，又平面，所以平面；又因为平面，故．同理可证．综上所述，旗杆垂直于地面．（3）提问：旗杆向哪个方向倾斜多少角度？说明：用在地平面上的投影来刻画的倾斜方向是合理的，也可以采用在广场上确定一个位于在地平面上投影上的点来刻画，用与小路的夹角刻画扣1分．关于如何刻画倾斜多少角度的问题，既可以用与垂直于地面的直线所成角的大小，也可以用与地平面所成角的大小来刻画．解答方案1：如图，

在地面画出离点距离相等的点的轨迹圆，再在圆上找到离点距离最近的点，作垂直于地面，垂足为，则的大小就是旗杆倾斜角度．理由如下：先证明与圆的交点既是点．只需证明：对于圆上任意一点，．因为在中，，所以，故．如图5，从图4中的点向点的方向走到点，

放置一个物体，测得、、的长，利用余弦定理可得的大小．

同理可得的大小．

因此，可以求得图4中的、、、的长．在中，三边已知，利用余弦定理可求得，即旗杆向西偏南的方向倾斜．又由于、已求得，故倾斜角度为．测量倾斜角的大小方案2：如图5，从点向点的方向走到点，测得、、的长，利用余弦定理可得的大小，从而求得点的高度．同理可求得点的高度．如图，即是由于旗杆倾斜旗杆顶点所下降的高度．

所以，

在中，即为所求，测量倾斜角的大小方案3：在图5中，以点为原点，以为y轴建立平面直角坐标系，则容易求出点与点的坐标与，故的倾斜角为．1．的内角的对边分别为，满足，角为锐角，则角的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，可得，即，又由余弦定理，可得，又因为角为锐角，即，所以，即角的取值范围是.故选：D.2．在中，，，，若满足条件的有两个，则的可能取值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，，，且满足条件的有两个，则，即，解得.故选：B.3．在△中，已知，，当有两解时，的取值范围为．【答案】【解析】由正弦定理可知，，即，若有两解，则，且，所以，所以.故答案为：4．若的三条边的长分别为、、，则的外接圆面积为.（结果保留）【答案】【解析】不妨设，，，由余弦定理可得，所以，角为锐角，故，设的外接圆半径为，则，所以，，因此，的外接圆的面积为.故答案为：.5．如图，河宽50米，河两岸A、B的距离为100米，一个玩具气垫船（不计大小）可以从A走水路直接到B，也可以从A先沿着岸边行驶一段距离，再走水路到B．已知该气垫船在水中的速度是10米/分钟，岸上的速度是20米/分钟，则从A到B的最短时间为分钟，（精确到小数点后两位）【答案】8.66【解析】如图设气垫船先沿着岸边行驶一段距离，再走水路.在中，，，所以.如图，作，且于点，则，所以.所以从到所用的时间为：.过作，垂足为，则.所以.故答案为：8.666．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(1)求的值；(2)若，为钝角，求面积的最大值．【答案】(1)(2)【解析】（1）由题意可知，，由正弦定理得，因为，所以，即；（2）由（1）可知，所以（不符合题意舍去）或，在中，由余弦定理得，因为且，即，当且仅当时取等号，即，故的面积，即面积的最大值为.7．在中各角所对的边分别为a，b，c，下列结论错误的是（

）A．则为等边三角形；B．已知，则；C．已知，，，则最小内角的度数为；D．在，，，解三角形有两解．【答案】D【解析】对于A，由和正弦定理，可得，即，因，，故，同理可得，故可得为等边三角形，即A正确；对于B，由可得，即，由余弦定理，，因，故，即B正确；对于C，因，则最小内角为角，由余弦定理，，因，则，故C正确；对于D，由正弦定理，，因为，则，故角只有一解.即D错误.故选：D.8．某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中、均与水平面垂直.在已测得可直接到达的两点间距离、的情况下，四名同学用测角仪各自测得下列四组角中的一组角的度数，其中不能唯一确定与之间的距离的是（

）.A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【解析】记，，，，，，，，，，，，．对于A选项：已知，在中，由，可确定；同理，在中，即可确定，在中，由，可确定；在中，已知，由余弦定理可解三角形知，再在中，由勾股定理，可确定；再由直角梯形，结合勾股定理可得，即可确定，故A正确；对于C选项：已知，在中，由，可确定；同理，在中，可确定；在中，由及余弦定理，可确定，故C正确;对于D选项：已知，在中，由及余弦定理，可确定；在中，由，可确定；同理，在中，即可确定，由直角梯形，结合勾股定理可得，①即可确定，故D正确；对于B选项：已知，同C，D选项，可确定，在中，由勾股定理，得，在中，由余弦定理，得，②联立①②，得解此关于的二元方程组，可得，但此二元二次方程组可能有两解，例如:若，得解得或故B错误．故选：B.9．在三角形中，分别根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【解析】由正弦定理可得，若A成立，，，，有，∴，∴，故三角形有唯一解．若B成立，，，，有，∴，又，故，故三角形无解．若C成立，，，，有，∴，又，故，故可以是锐角，也可以是钝角，故三角形有两个解．若D成立，，，，有，∴，由于，故为锐角，故三角形有唯一解．故选：C．10．已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若，则以下关于“”的选项，结论正确的是（

）A．存在满足 B．存在锐角满足C．该表达式不存在最大值 D．该表达式不存在最小值【答案】C【解析】由题意得，因为，所以，由正弦定理可得，，所以，所以.因为，所以，设，则，由得，所以在上递减，在上递增，又，所以，所以无解，A错误；若，则，与锐角相矛盾，B错误；由得C正确，D错误.故选：C.11．如图所示，设港口在灯塔南偏西20°方向上，两地相距24海里；灯塔在灯塔南偏东40°方向上，与港口相距31海里.货船从港口出发，行驶到达两灯塔连线段上的处时，若此时货船恰与灯塔相距20海里，则此时货船与港口相距海里.

【答案】21【解析】在中，，由余弦定理可得，,即，化简可得，解得或（舍去），所以（海里），在中，由余弦定理可得，所以.故答案为：21.12．在中，，则的值为.【答案】/【解析】，，即，同理，由，可得，在中，由余弦定理得，.故答案为：.13．已知中，，且，，则的最大值为.【答案】/【解析】以直线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系，由，，得，外接圆半径，令圆心为，则，，点在以为圆心，为半径所含圆周角为的圆弧（不含端点）上，显然，当且仅当点在线段上时取等号，所以的最大值为.故答案为：14．在中，已知，若，则的面积为.【答案】【解析】在中，，，由余弦定理得，解得，所以的面积为.故答案为：15．在中，角，，所对的边分别为，，，满足则角.【答案】/【解析】因为，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理可得，因为，所以.故答案为：16．如图，要在和两地之间修建一条笔直的隧道，现在从地和地测量得到：，.则.（结果精确到）

【答案】.【解析】由题可得，设，则.由题意，在中，，在中，，在中，，将上述三式相乘，得，从而有，得，所以.故答案为：17．某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为m．(结果精确到1m)【答案】【解析】解：作交于E，由题意可得如图：，所以，，在中，由正弦定理可得：，所以，所以，，在直角中，，故答案为：475.18．张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，，求边c，显然缺少条件，若他打算补充a的大小，并使得c只有一解，a的可能取值是只需填写一个适合的答案【答案】【解析】解：由已知及正弦定理，可得，可得，可得的取值集合为：．可得a的可能取值是．故答案为．19．锐角三角形的三个内角的度数成等差数列（公差不为0），则其最大边长与最小边长比值的取值范围是．【答案】【解析】若锐角的三个内角、、的度数成等差数列，则，解得，不妨设角为最小角，设等差数列、、的公差为，则，，所以，，由题意可知，因为、为锐角，且，即，解得，则，所以.故答案为：.20．如图，自动卸货汽车采用液压机构．已知车厢的最大仰角为，油泵顶点与车厢支点之间的距离为，的长为，与过