2026年高考数学专题专练专题05 解三角形及其实际应用5大题型（原卷版）

专题05解三角形及其实际应用目录第一部分考向速递洞察考向，感知前沿第二部分题型归纳梳理题型，突破重难题型01正余弦定理解三角形题型02三角形的周长与面积题型03判断三角形形状题型04三角形解的个数题型05解三角形的实际运用第三部分分层突破固本培优，精准提分A组·基础保分练B组·重难提升练1．有一道解三角形的问题，缺少一个条件，具体如下：“在中，已知，，，求角A的大小．”经推断缺少的条件为三角形一边的长度，且正确答案为，试将所缺的条件补充完整．2．雨天外出虽然有撑雨伞，时常却总免不了淋湿衣袖、裤脚、背包等，热爱探究数学问题的小明想通过数学建模的方法研究如何撑伞可以让淋湿的面积尽量小．为了简化问题小明做出下列假设：假设1：小明把人假设为身高、肩宽分别为，的矩形＂纸片人＂；假设2：受风的影响，雨滴下落轨迹视为与水平地面所成角为的直线；假设3：伞柄长为，可绕矩形＂纸片人＂上点旋转；假设4：伞面为被伞柄垂直平分的线段．如图，在矩形“纸片人”上身恰好不被淋湿时，求其＂裤脚＂被淋湿（阴影）部分的面积（结果精确到）；3.某数学建模小组研究挡雨棚（图1），将它抽象为柱体（图2），底面与全等且所在平面平行，与各边表示挡雨棚支架，支架、、垂直于平面.雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为（即），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形（、分别在、延长线上）.(1)挡雨板（曲面）的面积可以视为曲线段与线段长的乘积．已知米，米，米，小组成员对曲线段有两种假设，分别为：①其为直线段且；②其为以为圆心的圆弧.请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到0.1平方米）；(2)小组拟自制部分的支架用于测试（图3），其中米，，，其中，求有效遮挡区域高的最大值.4.已知，“、、成等差数列且、、成等比数列”是“是正三角形”的条件．01正余弦定理解三角形1．在中，，，，则边的长度为.2．在中，，，，则.3．已知的三边长分别为3，5，7，则该三角形最大角的正弦值等于.4．如图，平面凸四边形中，，且是边长为2的等边三角形.

(1)若，求.(2)若线段（不含端点）上存在动点，满足，记，求关于的函数.5．在中，角、、的对边分别为、、，．(1)求角，并计算的值；(2)若，且是锐角三角形，求的最大值．02三角形的周长与面积1．在中，分别为角的对边.已知是一个面积为的锐角三角形，且，则的周长为.2．已知点D、E分别是三角形ABC的边AC、BC的中点，且，则三角形ABC的面积的取值范围是．3．在中，，.(1)求的值；(2)若，求的周长和面积.4．在中，角所对边的边长分别为，且满足．(1)求角的值；(2)若外接圆的直径等于4，求面积的最大值．5．在中，角，，的对边分别为，，，且，.(1)求角；(2)若为锐角三角形，求的周长的取值范围.03判断三角形形状1．在中，，则的形状是（

）.A．直角三角形 B．底边为的等腰三角形C．底边为的等腰三角形 D．底边为的等腰三角形2．已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（

）A．若，则一定是等边三角形B．若，则一定是等腰三角形C．若，则一定是等腰三角形D．若，则一定是锐角三角形3．在中，已知，且，则的形状为（

）A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．有一个角为的直角三角形 D．等边三角形4．在中，角、、的对边分别为、、，已知.(1)求角的大小；(2)若的面积为，求的最小值，并判断此时的形状.5．设的内角所对的边分别为，已知．(1)求角A；(2)若，求证：是直角三角形．04三角形解的个数1．张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，，，分别是角，，的对边，已知，，求边，显然缺少条件，若他打算补充的大小，并使得只有一解，的取值不可能是（

）A． B． C． D．2．在中，已知，，若有唯一值，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．3．已知中，，，的对边分别为，，，若，，给出下列条件中：①，②，③，能使有两解的为.（请写出所有正确答案的序号）05解三角形的实际运用1．下图为某地出土的一块三角形瓷器片，其一角已破损.为了复原该三角形瓷器片，现测得如下数据：，，则两点间距离为cm.（精确到1cm）2．某地某一楼房在地震时发生了严重倾斜（未塌陷），如图，已知地震前，该楼房在地面上的影子长度为30米，且在影子末端处测得楼顶的仰角为；地震后，在同样的时间（假设太阳位置不变）测得该楼房在地面上的影子长度为40米，则该楼房当前与地面所成角的大小为.（精确到）

3．三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A、B、C三点，且A、B、C在同一水平面上的投影、、满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A、C两点到水平面的高度差约为．（精确到1）4．某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点和．某日两个观测点的林场人员都观测到处出现火情．在处观测到火情发生在北偏西方向，而在处观测到火情在北偏西方向．已知在的正东方向处（如图所示），则.（精确到）5．如下图，某公园东北角处有一座小山，山顶有一根垂直于水平地平面的钢制笔直旗杆，公园内的小山下是一个水平广场（虚线部分）．某高三班级数学老师留给同学们的周末作业是：进入该公园，提出与测量有关的问题，在广场上实施测量，并运用数学知识解决问题．老师提供给同学们的条件是：已知米，规定使用的测量工具只有一只小小的手持激光测距仪（如下图，该测距仪能准确测量它到它发出的激光投射在物体表面上的光点之间的距离）．

(1)甲同学来到通往山脚下的笔直小路上，他提出的问题是：如何测量小山的高度？于是，他站在点处，独立的实施了测量，并运用数学知识解决了问题．请写出甲同学的解决问题方案，并用假设的测量数据（字母表示）表示出小山的高度；(2)乙同学是在一阵大风过后进入公园的，广场上的人纷纷议论：旗杆似乎是由于在根部处松动产生了倾斜．她提出的问题是：如何检验旗杆是否还垂直于地面？并且设计了一个不用计算就能解决问题的独立测量方案．请你写出她的方案，并说明理由；(3)已知（1）中的小路是东西方向，且与点所确定的平面垂直于地平面．又已知在（2）中的乙同学已经断定旗杆大致向广场方向倾斜．如果你是该班级的同学，你会提出怎样的有实际意义的问题？请写出实施测量与解决问题的方案，并说明理由（如果需要，可通过假设的测量数据或运算结果列式说明，不必计算）．1．的内角的对边分别为，满足，角为锐角，则角的取值范围是（

）A． B．C． D．2．在中，，，，若满足条件的有两个，则的可能取值为（）A． B． C． D．3．在△中，已知，，当有两解时，的取值范围为．4．若的三条边的长分别为、、，则的外接圆面积为.（结果保留）5．如图，河宽50米，河两岸A、B的距离为100米，一个玩具气垫船（不计大小）可以从A走水路直接到B，也可以从A先沿着岸边行驶一段距离，再走水路到B．已知该气垫船在水中的速度是10米/分钟，岸上的速度是20米/分钟，则从A到B的最短时间为分钟，（精确到小数点后两位）6．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(1)求的值；(2)若，为钝角，求面积的最大值．7．在中各角所对的边分别为a，b，c，下列结论错误的是（

）A．则为等边三角形；B．已知，则；C．已知，，，则最小内角的度数为；D．在，，，解三角形有两解．8．某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中、均与水平面垂直.在已测得可直接到达的两点间距离、的情况下，四名同学用测角仪各自测得下列四组角中的一组角的度数，其中不能唯一确定与之间的距离的是（

）.A．，， B．，，C．，， D．，，9．在三角形中，分别根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，10．已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若，则以下关于“”的选项，结论正确的是（

）A．存在满足 B．存在锐角满足C．该表达式不存在最大值 D．该表达式不存在最小值11．如图所示，设港口在灯塔南偏西20°方向上，两地相距24海里；灯塔在灯塔南偏东40°方向上，与港口相距31海里.货船从港口出发，行驶到达两灯塔连线段上的处时，若此时货船恰与灯塔相距20海里，则此时货船与港口相距海里.

12．在中，，则的值为.13．已知中，，且，，则的最大值为.14．在中，已知，若，则的面积为.15．在中，角，，所对的边分别为，，，满足则角.【16．如图，要在和两地之间修建一条笔直的隧道，现在从地和地测量得到：，.则.（结果精确到）

17．某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为m．(结果精确到1m)18．张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，，求边c，显然缺少条件，若他打算补充a的大小，并使得c只有一解，a的可能取值是只需填写一个适合的答案19．锐角三角形的三个内角的度数成等差数列（公差不为0），则其最大边长与最小边长比值的取值范围是．20．如图，自动卸货汽车采用液压机构．已知车厢的最大仰角为，油泵顶点与车厢支点之间的距离为，的长为，与过的水平线交于点，的长为.则与水平线之间的夹角的大小为.（以角度制表示，精确到）21．如图，两条足够长且互相垂直的轨道相交于点，一根长度为的直杆的两端点分别在上滑动（两点不与点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），直杆上的点满足，则面积的取值范围是.22．在中，角、、的对边分别为、