2026年高考数学专题专练专题10 圆锥曲线的概念与几何性质（解析版）

专题10圆锥曲线的概念与几何性质目录第一部分考向速递洞察考向，感知前沿第二部分题型归纳梳理题型，突破重难题型01圆锥曲线的定义题型02圆锥曲线的方程题型03焦点三角形题型04离心率题型05渐近线第三部分分层突破固本培优，精准提分A组·基础保分练B组·重难提升练1.足球教练带领运动员对“带球射门”进行专项训练.如图，教练员指导运动员沿着与边路平行的路线带球并起脚射门，教练员强调要在路线上的相应位置P处起脚射门进球的可能性最佳（即点P对球门所张的角最大），假如每条虚线都表示在规定的区域内为运动员预设的带球路线，而每条路线上都有一个最佳起脚射门点P，为了研究方便，如图建立坐标系，设、，请你判断：每条虚线上的最佳起脚射门点应在怎样的曲线上（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【答案】B【解析】设，,在中，,因为随着增大而减小，所以∠APB最大时，则cos∠APB最小，由基本不等式可知，当且仅当为定值时，cos∠APB有最小值，即为定值且，所以射门点应该在椭圆上.故选：.2.如图是正在施工建设的济新高速黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地锚式回转缆悬索桥．大桥主跨OA长约500米，主塔AB高约100米，缆悬索OB是以为顶点且开口向上的抛物线的一部分，若为抛物线的焦点，则主塔两端点A，B到抛物线的焦点的距离之和约为（参考数据：）（

）

A．725米 B．1358米 C．1525米 D．1558米【答案】C【解析】以为原点，直线OA为轴，过且与主塔AB平行的直线为轴，建立平面直角坐标系，连接AF，BF，则，设抛物线的方程为，则，解得，因此抛物线的焦点为，准线方程为，，又，所以主塔两端点A，B到抛物线的焦点的距离之和约为（米）．故选：C

3.抛物线具有如下的光学性质：所有平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后都过这条抛物线的焦点；设抛物线的方程为，一束光线从平行于其对称轴方向射向抛物线，光线所在直线交抛物线于一点，这点的纵坐标为12，则这束光线经过抛物线反射后所在直线的一个法向量为．【答案】，答案不唯一【解析】设入射光线所在直线交抛物线于点，由题意得点坐标为，设抛物线的焦点为，所以反射光线所在直线的一个方向向量为，设反射光线所在直线的法向量为，则，取，则，所以这束光线经过抛物线反射后所在直线的一个法向量为.故答案为：，答案不唯一.

4.世纪法国著名数学家加斯帕尔•蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展.椭圆的两条切线互相垂直，则两条切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.已知一动点到两个定点、的距离满足，则点的轨迹与椭圆的蒙日圆的交点个数为（

）A．个 B．个 C．个 D．无公共点【答案】D【解析】由题意可知，椭圆的蒙日圆方程为，设点，则，整理可得，圆的圆心为原点，半径为，圆的圆心为，半径为，两圆圆心距为，所以，，故两圆相交，所以，点的轨迹与椭圆的蒙日圆无公共点.故选：D.01圆锥曲线的定义1．已知双曲线，双曲线C上一点P到一个焦点的距离为15，则P到另一个焦点的距离为.【答案】31【解析】由双曲线方程可知，设双曲线的左、右焦点分别为，，则，根据对称性不妨设，由双曲线定义可得，解得，故答案为：31．2．已知双曲线的左、右焦点分别为、，设点，则的值为．【答案】【解析】由双曲线的标准方程可得，由满足方程，知点在双曲线的右支上，.故答案为：4.3．已知是椭圆上的动点，，且，则.【答案】5【解析】因为，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆.易知，即，所以.故答案为：54．已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最小值为.【答案】【解析】是椭圆的两个焦点，点在上，，所以，当且仅当时，取等号，所以的最小值为.故答案为：.5．过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为.延长切线交双曲线的右支于点，为坐标原点，点为线段的中点，则.【答案】【解析】如图，取双曲线右焦点，连接，由题知，，所以，因为O为，T为PF的中点，所以TO为的中位线，可得.又，所以，又，所以，又，所以，解得.故答案为：502圆锥曲线的方程与基本性质6．“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（

）条件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要【答案】B【解析】由题意有，所以“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的必要非充分条件，故选：B.7．若椭圆的焦距是2，则实数．【答案】4或2【解析】由题意知且，因为椭圆的焦距是2，即，解得.所以，或，解得或；故答案为：4或2.8．双曲线的实轴长为．【答案】6【解析】对于双曲线，，解得，故实轴长为.故答案为：.9．抛物线方程为，则此抛物线的焦点坐标为．【答案】【解析】，，解得，抛物线的焦点坐标为，抛物线焦点坐标为．故答案为：．10．已知双曲线和椭圆焦点相同，则该双曲线的方程为.【答案】【解析】根据题意，椭圆的焦点坐标为，所以双曲线中，解得，所以双曲线的方程为.故答案为：03焦点三角形11．已知椭圆的左焦点为F，A、B为椭圆上两点，且直线经过椭圆的右焦点，则的周长为．【答案】8【解析】因为椭圆，所以，设椭圆右焦点为，由椭圆定义得则的周长为．故答案为：8.12．椭圆左右焦点为，，椭圆上点满足，.【答案】【解析】由椭圆可知，，所以，，又，，解得，所以，所以，即，故答案为：13．若焦点在x轴上的椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则的面积是．【答案】1【解析】由题意设两个圆锥曲线的焦距为，椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为，由它们有相同的焦点，得到，即．不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义，①由椭圆的定义，②得，即有，又，可得，，即，则的形状是直角三角形即有的面积为.故答案为：1.14．设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则．【答案】【解析】由可知，因为，所以，即，所以，所以.故答案为：15．已知P是双曲线右支上任意一点，,分别为左、右焦点，设，，则=.【答案】/0.25【解析】由可得，如图：作出的内切圆与三边分别交于,则，又，所以，所以轴，由内切圆的性质可得，，,所以,故答案为：04离心率16．椭圆的离心率为．【答案】/0.5【解析】由椭圆，则，即，所以离心率为.故答案为：17．已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且，则该椭圆离心率的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由椭圆的定义得，又，故，由，得，又椭圆的离心率，则.故选：B18．如图，地面上有一个篮球．假设1：地面是水平面；假设2：太阳光线是平行光线，光线与地面所成的角的大小为．已知篮球在地面上的影子边界是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为．【答案】【解析】设过篮球的中心且与太阳平行光线垂直的平面为，地面所在平面为，篮球与地面的切点为，球心为，球心在地面的影子为点；已知太阳光线与地面的夹角为；如图，为球的一条直径，为在地面的影子，点在线段上，篮球在地面上的影子边界是一个椭圆，且点为椭圆的焦点，线段为椭圆的长轴，设篮球半径为，显然平面平面，连接平面，过作交于，则，于是椭圆长轴长，在四边形中，，令椭圆半焦距为，而，则，解得，所以该椭圆的离心率为.故答案为：.19．已知双曲线（）的左､右焦点分别为､.经过且倾斜角为的直线与交于第一象限的点，延长至，使.若的面积是，则双曲线的离心率为.【答案】【解析】由题意可作图如下：由，则，，则，，设，则，解得，由题意可得直线的斜率，则方程为，将代入上式，则，解得，即，由题意可得，则，.故答案为：20．已知椭圆和双曲线有相同的左、右焦点，，若，在第一象限内的交点为P，且满足，设，分别是，的离心率，则，的关系是【答案】【解析】因为，，所以，所以，所以，

记椭圆长半轴长为，双曲线实半轴长为，，则由椭圆和双曲线定义可得：①，②，则①2+②2可得，由勾股定理知，代入上式可得，整理得，即，故，的关系是.故答案为：05渐近线21．双曲线的渐近线方程是．【答案】【解析】令可得，即.故答案为：22．双曲线两渐近线夹角的正切值为.【答案】【解析】双曲线两渐近线为，设的倾斜角为，所以，所以，故所求为.故答案为：.23．已知双曲线的一条渐近线经过点，则双曲线的离心率为.【答案】【解析】由题意知双曲线的渐近线方程为，由于一条渐近线过点，可得，则.故答案为：.24．设双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的焦距为．【答案】4【解析】双曲线的渐近线为，则，解得，因此该双曲线半焦距，所以该双曲线的焦距为4.故答案为：425．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值16时，面积的最大值为.【答案】32【解析】题意得，故，如图所示，则，当且仅当M，，N三点共线时两个等号同时成立，所以的最小值为，所以，即，当且仅当时，等号成立，而到渐近线的距离，又，故，所以，即面积的最大值为32.故答案为：32.

1．抛物线的准线方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】抛物线的标准方程为，所以抛物线的焦点在轴正半轴，，则准线方程为.故选：D2．关于方程所表示的曲线，下列说法正确的是（

）A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于对称 D．关于原点中心对称【答案】D【解析】对于A，用换方程中的，得，方程发生变化，即曲线关于轴不对称，A错误；对于B，用换方程中的，得，方程发生变化，即曲线关于轴不对称，B错误；对于C，用换，换，得，方程发生变化，即曲线关于轴不对称，C错误；对于D，将点代入原方程仍为，因此曲线关于原点中心对称D正确.故选：D3．中国是世界上最古老的文明中心之一，中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器，中国陶瓷是世界上独一无二的，它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美，现有椭圆形明代瓷盘，经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的离心率为（

）A． B． C． D．2【答案】B【解析】由题意椭圆长轴长为8，短轴长为4，可知，，则，所以椭圆的离心率为：.故选：B．4．已知，，以A，B为焦点的椭圆经过点P，且该椭圆的离心率大于，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】不妨设，，该椭圆的离心率为，解得或，因为，所以，所以.所以的取值范围为.故选：C.

5．我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆.已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距离地面千米，并且、、在同一条直线上，地球的半径为千米，则卫星运行的轨道的短轴长为（）千米 B． C．2 D．【答案】A【解析】由题知，记椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为、、，由题可知，由题意可得，上述两个等式相乘可得，因此，卫星运行的轨道的短轴长为千米.故选：A.6．椭圆的焦距为.【答案】4【解析】由可知椭圆的焦点在轴上，则长半轴长为，短半轴长为，则半焦距为，故焦距为4.故答案为：4.7．若方程表示椭圆，则实数的取值范围是.【答案】【解析】因为表示椭圆，所以，解得且，所以实数的取值范围是，故答案为：8．设为双曲线:左、右焦点，点在的右支上，线段与的左支相交于点，且，则.【答案】3【解析】因为点在的右支上，为双曲线左、右焦点，所以，又，，所以.故答案为：.9．已知分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为.【答案】【解析】分别为椭圆的两个焦点，则，所以，当且仅当位于椭圆的右顶点时取等号，故的最大值为.故答案为：.10．已知点点，是动点，且直线与的斜率之积等于动点的轨迹方程为.【答案】【解析】设点的坐标为，因为，,所以，化简得.故动点的轨迹方程为.故答案为：11．已知点为抛物线上一点，若点到的焦点的距离是到轴的距离的两倍，则点的横坐标是.【答案】【解析】因为抛物线的焦点为，准线方程为，设，由题有，解得，故答案为：.12．与椭圆有公共焦点，且过点的双曲线方程为.【答案】【解析】由双曲线与椭圆有公共焦点，得双曲线的焦点坐标为，设双曲线方程为，而双曲线过点，于是，即，又，解得，所以所求双曲线的方程为.故答案为：13．若双曲线的离心率小于3，则m的取值范围为.【答案】【解析】由题意知双曲线方程为，所以，，，因为离心率小于3，所以，所以.故答案为：14．已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为．【答案】或【解析】当双曲线焦点在轴时，曲线方程可设，此时双曲线的一条渐近线为，与直线平行，所以，又，所以离心率；当双曲线焦点在轴时，曲线方程可设，此时双曲线的一条渐近线为，与直线平行，所以，又，所以离心率；故答案为：或.15．已知椭圆：，过点且方向向量为的光线，经直线反射后过的右焦点，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设过点且方向向量为的光线，交直线的点为，右焦点为，如下图所示：因为方向向量的直线斜率为，则，直线AB的斜率为，又由反射光线的性质可得的斜率为1，故，所以为等腰直角三角形，且到的距离为，又，故，所以，则，故，离心率.故选：A16．如图所示，探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点P第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点P第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：

①；②；③；④．其中正确式子的序号是（

）．A．①③ B．②③ C．①④ D．②④【答案】B【解析】由图象可知，，故①错误；，，故②正确；，即，，故③正确；此时，，故④错误；故选：B17．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸伞在地面上形成了一个椭圆形影子（春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为60°），则（

）A．该椭圆的离心率为 B．该椭圆的离心率为C．该椭圆的焦距为 D．该椭圆的焦距为【答案】B【解析】如图，伞沿的圆心位于点，伞柄底端位于点，为圆的直径，为椭圆形的左右顶点，由题意可得，，则，，即，阳光照射方向与地面的夹角为60°，即，则，，在中，，即，即，解得，而，故,，故错误,B正确.；，故D错误.故选：B.18．设椭圆的左右焦点为，，点P在该椭圆上，则使得为等腰三角形的点P的个数为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】①当等腰的底时，可知P点为椭圆上下顶点时，2个点，满足题意；②当等腰的腰时，分别以为圆心，以长为半径画弧，交椭圆于4个点；综上所述，共6个点满足题意.故答案选：C.

19．“某点是抛物线的顶点”是“从该点分别作两条坐标轴的平行线，一条是抛物线的对称轴，一条是抛物线的切线”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】从抛物线的某个点分别作两条坐标轴的平行线，一条是抛物线的对称轴，一条是抛物线的切线，则该点为抛物线的顶点，故必要性成立，但如果该抛物线经过旋转，如顺时针旋转后得到的抛物线，则从该抛物线的顶点分别作两条坐标轴的平行线，则不能满足一条是抛物线的对称轴，一条是抛物线的切线，充分性不成立，故“某点是抛物线的顶点”是“从该点分别作两条坐标轴的平行线，一条是抛物线的对称轴，一条是抛物线的切线”的必要非充分条件.故选：B20．探照灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：从焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出.根据光路可逆原理，在平面直角坐标系中，已知抛物线，一条光线经过点，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过点射出，则光线从点到点经过的总路程是（

）

A．19 B．20 C．21 D．22【答案】B【解析】设入射光线和反射光线与抛物线的交点分别为，显然直线过焦点，分别从向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，如下图所示：

由抛物线方程可知准线方程为，再由抛物线定义可得，因此光线从点到点经过的总路程为.故选：B.21．如图，椭圆、的离心率分别为、，双曲线、的离心率分别为、，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】双曲线离心率：，椭圆离心率，如图可知椭圆中，，所以，双曲线、中，，所以，综上：.故选：D.22．已知直线经过椭圆的右焦点，并与椭圆交于两点，其左焦点为，则的周长为.【答案】【难度】0.65【分析】由椭圆定义得到，，从而得到三角形周长.【解析】由椭圆方程为，得，因为点在椭圆上，所以，，所以的周长为，故答案为：.23．设集合，是双曲线，则．【答案】【解析】，若表示双曲线，则，解得：，所以，所以.故答案为：24．若对任意实数，直线与焦点在轴上的椭圆至少有一个交点，则实数的取值范围是.【答案】【解析】直线，即，直线恒过定点，直线与椭圆至少有1个公共点等价于点在椭圆内或在椭圆上．所以，即，又，故．故答案为：.25．已知定点，动点满足.设点的轨迹为，则轨迹的方程为.【答案】【解析】设动点，因为点，则.又.化简得，即，故动点的轨迹的方程为1.故答案为：.26．设P是椭圆第一象限部分上的一点，过P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N，则矩形OMPN的面积的最大值为.【答案】1【解析】椭圆的参数方程为（为参数），则可设点,所以矩形的面积为，所以，因为点在第一象限，所以当且仅当，即时，等号成立，故矩形面积的最大值为1.故答案为：1.27．如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成.已知灯口圆的直径为，灯的深度为40cm.将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点.为了保证发出的光线经过反射之后平行射出，光源应安置在抛物线的焦点位置，此时光源与顶点相距.

【答案】/【解析】

以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为x轴（抛物线开口方向是x轴