第13课时二次函数的图象与性质（一）

第三单元函数及其图象第13课时二次函数的图象与性质（一）1.

二次函数的图象和性质二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）图象

（a＞0）

（a＜0）开口方向开口向上开口向下对称轴直线x＝－

顶点坐标（－

，

）增减性当x＜－

时，y随x的增

大而减小；当x＞－

时，y随x的增

大而增大当x＜－

时，y随x的增大而

增大；当x＞－

时，y随x的增大而

减小最值当x＝－

时，y取最小值

当x＝－

时，y取最大值

2.

二次函数图象的平移和对称平移方法：口诀：对y＝ax2＋bx＋c而言，左右平移改变x，左加右减；上下平

移改变y，上加下减.对称变换：（1）y＝ax2＋bx＋c的图象关于x轴作对称变换，x不变，y

变成相反数.（2）y＝ax2＋bx＋c的图象关于y轴作对称变换，x变成相反数，y不变.（3）y＝ax2＋bx＋c的图象关于原点作对称变换，x，y均变成相反数.类型之一二次函数的图象和性质

A.

y1＞y2＞y3B.

y2＞y3＞y1C.

y3＞y1＞y2D.

y1＞y3＞y2D2.

［2024•泸州］已知二次函数y＝ax2＋（2a－3）x＋a－1（x是自变

量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（

A

）A.

1≤a＜

B.

0＜a＜

C.

0＜a＜

D.

1≤a＜

A3.

［2025•宜宾模拟］关于抛物线y＝x2－2mx＋m2＋m－6（m是常

数），以下结论：①若此抛物线与x轴只有一个公共点，则m＝－6；②若此抛物线与坐标轴只有一个公共点，则m＞6；③若点A（m－2，y1），B（m＋1，y2）在抛物线上，则y1＜y2；

其中正确的有（

B

）A.

1个B.

2个C.

3个D.

4个B类型之二二次函数中的变换4.

在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－4x＋5与y轴交于点C，则该抛物

线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为（

A

）A.

y＝－x2－4x＋5B.

y＝x2＋4x＋5C.

y＝－x2＋4x－5D.

y＝－x2－4x－5A

③对于任意实数m，不等式am2＋bm－a＋b≥0一定成立；④P（x1，y1），Q（x2，y2）为该二次函数图象上任意两点，且x1＜x2，

当x1＋x2＋2＞0时，一定有y1＜y2.

①③④

类型之三二次函数中的新定义问题6.

［2024•眉山］定义运算：aⓧb＝（a＋2b）（a－b），例如，4ⓧ3

＝（4＋2×3）×（4－3），则函数y＝（x＋1）ⓧ2的最小值为

（

B

）A.

－21B.

－9C.

－7D.

－5

B（3，0）或（4，0）

（2）已知二次函数的图象以A（－1，4）为顶点，且过点B（2，－5），

求二次函数的表达式；解：（2）由顶点A（－1，4），可设二次函数的表达式为y＝a（x＋1）

2＋4（a≠0）.∵二次函数的图象过点B（2，－5），∴－5＝a（2＋1）2＋4，解得a＝－1，∴二次函数的表达式是y＝－（x＋1）2＋4，即y＝－x2－2x＋3.解：（2）由顶点A（－1，4），可设二次函数的表达式为y＝a（x＋1）

2＋4（a≠0）.∵二次函数的图象过点B（2，－5），∴－5＝a（2＋1）2＋4，解得a＝－1，∴二次函数的表达式是y＝－（x＋1）2＋4，即y＝－x2－2x＋3.

解：（3）（方法一）由题意，设二次函数的表达式为y＝a（x＋1）（x

－3），把C（0，－3）代入，得a×1×（－3）＝－3，解得a＝1.故二次函数的表达式为y＝（x＋1）（x－3），即y＝x2－2x－3.（方法二）设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c.

故二次函数的表达式为y＝x2－2x－3.

解：（1）∵二次函数为y＝x2＋bx＋c，

∴b＝1.又图象经过点A（－2，5），∴4－2＋c＝5，∴c＝3，

（2）若点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位

长度后，恰好落在y＝x2＋bx＋c的图象上，求m的值；解：（2）∵点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m个单位长度

（m＞0），∴平移后的点为（1－m，9）.又∵（1－m，9）在y＝x2＋x＋3的图象上，∴9＝（1－m）2＋（1－m）＋3，∴m＝4或m＝－1（舍去），∴m＝4.解：（2）∵点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m个单位长度

（m＞0），∴平移后的点为（1－m，9）.又∵（1－m，9）在y＝x2＋x＋3的图象上，∴9＝（1－m）2＋（1－m）＋3，∴m＝4或m＝－1（舍去），∴m＝4.

＝－2，不符合题意.

一、选择题1.

二次函数y＝－（x＋1）2＋2图象的顶点所在的象限是（

B

）A.

第一象限B.

第二象限C.

第三象限D.

第四象限2.

已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝－（x＋1）2＋2上，则

下列结论正确的是（

C

）A.

y1＞y2＞2B.

y2＞y1＞2C.

2＞y1＞y2D.

2＞y2＞y1BC3.

［2022•通辽］在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x－1）2＋1的

图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的表达式

为（

D

）A.

y＝（x－2）2－1B.

y＝（x－2）2＋3C.

y＝x2＋1D.

y＝x2－14.

［2025•泸州模拟］已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）经过点（－

1，0）和（1，4），且抛物线与x轴的另一个交点的横坐标m满足2＜m＜

3，那么a的取值可能是（

B

）A.

－3B.

－

C.

1D.

DB5.

［2024•乐山］已知二次函数y＝x2－2x（－1≤x≤t－1），当x＝－1

时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是

（

C

）A.

0＜t≤2B.

0＜t≤4C.

2≤t≤4D.

t≥2C二、填空题6.

用配方法将二次函数y＝4x2－24x＋26写成y＝a（x－h）2＋k的形式

是

⁠.7.

［2024•内江］已知二次函数y＝x2－2x＋1的图象向左平移两个单位长

度得到抛物线C，点P（2，y1），Q（3，y2）在抛物线C上，则y1

⁠

y2（填“＞”或“＜”）.y＝4（x－3）2－10＜

8.

如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y＝a（x－

m）2＋n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C，D两点（点C在点D的

左侧），点C横坐标的最小值为－3，则点D横坐标的最大值为

⁠.8

4三、解答题10.

［2025•泸州节选］如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－x2

＋bx＋c经过点（2，3），与x轴交于点A（－1，0）和点B.

（1）求该抛物线的表达式；

解：（1）∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点（2，3），与x轴交于点A

（－1，0），

∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3.

解：（2）如答图，过点D作DM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点

答图答图

∵四边形CDEF是正方形，∴DE＝EF，∠DEF＝∠EDC＝90°，∴∠MDE＋∠MED＝∠MED＋∠NEF＝90°，∴∠MDE＝∠NEF.

∴△MDE≌△NEF（AAS），∴DM＝EN，ME＝NF.

设F（f，－f2＋2f＋3），

∴ME＝NF＝－f2＋2f＋3.∵∠ADE＝180°－∠EDC＝90°，∴∠DAE＋∠DEA＝∠MED＋∠MDE，∴∠MDE＝∠DAE，∴tan∠MDE＝tan∠DAE.

∴EN＝DM＝2ME＝－2f2＋4f＋6，∴OM＝ON－ME－EN＝f－（－2f2＋4f＋6）－（－f2＋2f＋3）＝3f2

－5f－9，∴D（3f2－5f－9，－2f2＋4f＋6）.

∴7f2－13f－20＝0，

（1）求b的值.

∵当x1＋x2＝0时，总有y1＝y2，

整理得（x1－x2）（x1＋x2－4b）＝0，∵x1≠x2，∴x1－x2≠0，∴x1＋x2－4b＝0，∴b＝0.

①若抛物线C1与抛物线C2有一个交点，求m的取值范围.解：（2）①注意到抛物线C2最大值和开口大小不变，m只影响图象左右

平移.下面考虑满足题意的两种临界情形：（i）当抛物线C2过点（0，0）时，如答图1所示，解：（2）①注意到抛物线C2最大值和开口大小不变，m只影响图象左右

平移.下面考虑满足题意的两种临界情形：（i）当抛物线C2过点（0，0）时，如答图1所示，答图1

（