四年级数学奥数还原问题讲义

四年级数学奥数还原问题讲义亲爱的小朋友们，大家好！今天我们要一起探索数学世界里一个非常有趣的问题——还原问题。什么是还原问题呢？简单来说，就是当我们知道一件事情的结果，以及这件事情是如何一步步发生变化的时候，我们需要反过来推算出它最初的样子。这就像侦探破案一样，根据现场留下的线索，一步步还原出事情的真相。是不是很有挑战性？别担心，掌握了方法，你就能成为一名出色的“数学小侦探”！一、认识“还原”——从结果入手，逆向思考我们先来看一个生活中的小例子：妈妈买了一袋苹果，你第一天吃了3个，第二天又吃了2个，现在袋子里还剩下5个苹果。请问妈妈一开始买了多少个苹果呢？这个问题，我们知道最后剩下5个苹果，也知道这两天吃了多少。要想知道原来有多少个，我们不能顺着想“先吃3个，再吃2个”，而是要反过来想：剩下的5个，加上第二天吃的2个，再加上第一天吃的3个，就是原来的总数。对不对？所以，5+2+3=10（个）。妈妈一开始买了10个苹果。你看，这种从结果出发，沿着变化的过程反过来思考，一步步倒着推算，直到求出最初状态的方法，就是我们解决还原问题的核心方法——倒推法，也叫“逆推法”。二、解题法宝——“倒推法”的小窍门在使用倒推法的时候，有几个小窍门要记住：1.顺序相反：原来的变化是按“第一步、第二步、第三步……”进行的，倒推的时候就要按照“最后一步、倒数第二步、倒数第三步……”的顺序来。2.运算互逆：原来用的是加法，倒推时就用减法；原来用的是减法，倒推时就用加法；原来用的是乘法，倒推时就用除法；原来用的是除法，倒推时就用乘法。这就是“逆运算”。比如：*一个数加上5变成了10，这个数是多少？（倒推：10-5=5）*一个数减去3变成了7，这个数是多少？（倒推：7+3=10）*一个数乘以2变成了8，这个数是多少？（倒推：8÷2=4）*一个数除以4变成了2，这个数是多少？（倒推：2×4=8）这些都是最简单的还原，多练习几下，你就能熟练掌握这种“反过来”的感觉啦！三、例题精讲，举一反三好了，我们已经知道了什么是还原问题，也掌握了倒推法的基本思路。现在，让我们通过几道例题，一起来看看如何灵活运用这些知识解决更复杂一点点的问题吧！例题1：简单的一步还原一个数加上8，再减去6，结果是10。这个数是多少？分析与解答：我们知道这个数经过了“先加8，再减6”之后变成了10。要找到原来的数，我们就倒着来。最后一步是“减去6”得到10，那么在减去6之前，这个数是多少呢？倒推：10+6=16。这个16是怎么来的呢？是原来的数“加上8”得到的。所以，原来的数就是：16-8=8。所以，这个数是8。检验一下：8+8=16，16-6=10。对啦！例题2：两步运算的还原一个数乘以3，再除以2，结果是9。这个数是多少？分析与解答：这个数先经历了“乘以3”，再经历了“除以2”，最后是9。我们倒着来。最后一步是“除以2”得到9，那么除以2之前是：9×2=18。这个18是“乘以3”得到的，所以原来的数是：18÷3=6。所以，这个数是6。检验一下：6×3=18，18÷2=9。正确！例题3：带有点小曲折的还原（含“一半”问题）小明有一些零花钱，他第一天花了总数的一半，第二天又花了剩下的一半，这时还剩下5元。小明原来有多少零花钱？分析与解答：这道题出现了“一半”，“一半”就是除以2的意思。我们从最后剩下的5元开始倒推。第二天花了剩下的一半后还剩5元，说明第二天没花之前，也就是第一天花完剩下的钱是：5×2=10（元）。这10元又是第一天花了总数的一半后剩下的，所以原来的零花钱总数就是：10×2=20（元）。所以，小明原来有20元零花钱。线段图辅助理解（可以简单画一画）：原来：[][](一共两份)第一天花了一半，剩下：[](一份，也就是10元)第二天又花了剩下的一半，剩下：[](半份，也就是5元)从图上也能清楚看到，半份是5元，一份就是10元，两份就是20元。检验一下：20÷2=10（第一天后剩下），10÷2=5（第二天后剩下）。没错！例题4：稍复杂的还原（多步运算与“一半多几”）一筐苹果，第一次卖出全部的一半多2个，第二次卖出剩下的一半少1个，这时筐里还剩5个苹果。这筐苹果原来有多少个？分析与解答：这道题比前面的复杂一些，出现了“一半多2个”、“一半少1个”。我们还是从最后剩下的5个入手，一步一步往前推。第二步：第二次卖出剩下的一半少1个，还剩5个。这里要仔细理解“卖出剩下的一半少1个”是什么意思。也就是说，剩下的苹果比“剩下的一半”还要多1个（因为少卖了1个）。我们设第二次卖之前有苹果x个。卖出的是“一半少1个”，即卖出了(x÷2-1)个。那么剩下的就是x-(x÷2-1)=x÷2+1个。已知剩下5个，所以：x÷2+1=5。倒推解这个式子：x÷2=5-1=4，所以x=4×2=8。所以，第二次卖之前有8个苹果。第一步：第一次卖出全部的一半多2个，剩下8个。同样，“卖出全部的一半多2个”，意味着剩下的苹果比“全部的一半”要少2个（因为多卖了2个）。设原来有苹果y个。卖出的是“一半多2个”，即卖出了(y÷2+2)个。那么剩下的就是y-(y÷2+2)=y÷2-2个。已知剩下8个，所以：y÷2-2=8。倒推解这个式子：y÷2=8+2=10，所以y=10×2=20。所以，这筐苹果原来有20个。检验一下：原来20个。第一次卖出一半多2个：20÷2+2=10+2=12个。剩下20-12=8个。第二次卖出剩下的一半少1个：8÷2-1=4-1=3个。剩下8-3=5个。与题目中剩下5个一致！太棒了！例题5：“多个量”的简单还原（初步）甲、乙两个小朋友共有10颗糖。如果甲给乙2颗糖后，两人的糖就一样多了。甲、乙原来各有多少颗糖？分析与解答：这道题涉及到两个人，但我们可以先从“结果”入手。“甲给乙2颗糖后，两人的糖就一样多了”，此时两人共有10颗，一样多，所以每人有10÷2=5颗。现在还原甲原来的糖：甲给了乙2颗后是5颗，那么甲原来有5+2=7颗。现在还原乙原来的糖：乙得到甲给的2颗后是5颗，那么乙原来有5-2=3颗。所以，甲原来有7颗，乙原来有3颗。检验一下：7+3=10颗。甲给乙2颗后，甲5颗，乙5颗。正确！四、方法总结通过上面的例题，我们可以总结出解决还原问题的一般步骤：1.审题：仔细读题，弄清楚事情的发展过程和每一步的变化（是加、减、乘、除，还是一半、一半多几、一半少几等）。2.确定顺序：明确变化的顺序，知道哪个是第一步，哪个是第二步……直到最后结果。3.逆运算倒推：从最后的结果开始，按照与原来变化相反的顺序，一步一步进行逆运算（加变减，减变加，乘变除，除变乘）。*特别注意“一半多几”、“一半少几”这类问题，要理解清楚剩下的部分与“一半”的关系。4.逐步还原：每一步倒推都要认真计算，直到求出最初的状态。5.检验：还原出最初的数后，一定要按照题目中的变化顺序再算一遍，看看是否能得到最后的结果。如果能，说明我们做对了！五、巩固练习好了，小侦探们，学到这里，是不是对还原问题更有信心了？现在就来挑战一下下面的练习题吧！1.一个数减去5，再加上8，结果是15。这个数是多少？2.一个数除以4，再乘以3，结果是12。这个数是多少？3.一根绳子，第一次剪去它的一半，第二次又剪去剩下的一半，最后还剩3米。这根绳子原来长多少米？4.小红看一本故事书，第一天看了全书的一半，第二天看了剩下的一半多1页，这时还剩4页没看。这本书一共有多少页？5.妈妈买了一些橘子，小明第一天吃了全部的一半多1个，第二天吃了剩下的一半，结果还剩下3个橘子。妈妈一共买了多少个橘子？（做完之后，可以和小伙伴对答