专题 平面向量数量积十种常考题型（解析版）

A..|B.+|C..=.D.A..-.=-(.B.若.=.且≠0，则=C.对任意向量,,.(.=.D.对任意向量,,+(.=.+.故选项B错误；C. A.-1B.1C.-2D.2+-(=2-.-2=2×12-0-32=-7.“A丄B，:A.B=0，即(λA+A).(A-A)=0，:(λ-1(A.A—-λA2+A—2=0，:-3(λ-1)-4λ+9=0，:λ=因为B=2E，可得A=A+B=+B=+，A.4B.-4C.2D.-2所以B.A=|B|.|A|.cos=2×2×(-=-2.计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花(如图1).已知正方形ABCD的.(P+P(=() 所以P.(P+P(=-O.(O—-O+O-O(=-O.O-O.O+2|O|2【分析】由BD=DE=EC得出点D,E是BC的三等分点，再用AD,AE分别表示出AB,AC,CB，即可计算出(A+A(.C．所以AB+AE=2AD,AD+AC=2AE，则AB=又C=3(A-A(，所以(A+A(.C=(A+A(.3(A-A(=3(A2-A2(=3×3=9，【分析】先将AD用AB与AC表示出来，再根据向量数量积的运算律计算AD.AC.A=A+B=A+B=A+(A-A)=A+A，则A=A+M=A-1BA=A+M=A+1则A.A=(A-B(.(A+B(=A2-B2因为AB.AC=-8，AM=A.-1B.1C.D.-所以λ=-1.A.B.C.D.2+(丄-+-(=2.-||2=0，2-2(1-λ)||2-||2=0， A.-B.C.-3D.3:+12=0由+2)丄(-m+2-m)=0，(1)求-|；+k(丄-+k-(=0，.-k2=0，即9+(k-1((-3(-4k=0，解得k=.A.2B.3C.2D.52=+2A.5B.5C.3D.3∵若F是边AD的中点，N是边BC的中点，∴FD=-FA,CN=-BN，∴F2= ,,,,C.若.B=0且|A+A|=|A-A|，则三角形△ABC为等腰直角三角形可判断D.对于C、因为|A+A|=|A-A|，对等式两边同时平方可得(A+A)2=(A-A)2，设A，(A+A(.B=0，说明∠BAC的平分线垂直于BC，所以AB=AC，-).=-8化简结合已知条件可得答案.A.B.C.[2,+∞(D 2=A.B.C.D.,π[，2=A.B.C.D.-|，则-|2-)2=2-.+222-.+||2，2.-).=||2-||2=-||2-与的夹角为.A.+(.=.+.B..=.A√B×C×当两个非零向量与的方向相反时此时与D√ .-.-22=2-.-22=3，所以.=-2，则-.2=-2，()A.-B.CD.+|=32+.+||2=3，+).=2+.=4-1=3，A.-2B.2C.-D.⇒+λ(.=2+|cos120o=1-λ=2⇒λ=-2.【解析】已知A=λA+(1-λ)A，将其变形可得A-A=λ(A-A)，即C=λC. 所以.=-2，()A.直角梯形B.矩形C.菱形D.正方形又A-A=D，(A-A)在A方向上的数量投影是0，即D四边形ABCD为菱形；A.等腰直角三角形B.三边均不相等的三角形C.等边三角形D.等腰(非直角)三角形所以△ABC是等腰直角三角形．41.已知△ABC中则此三角形为()A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形所以BM⊥AC，即△ABC为等腰三角形， C.在△ABC中，若|C-C|=|C+C|，则△ABC为直角三角形【解析】对于A，A.B=|A||B|(-cos∠ABC(=1×2×(-2r2.cos<O,O>+r2=r2，所以cos<O,O>=-，对于C，由|C-C|=|C+C|，得|C-C|2=|C+C|2，43.△ABC是边长为2的正三角形，P为△ABC所在平面内任意一点，则P的最小值为()A.-B.C.D.-2【分析】设BC的中点为D,AD的中点为E，则P.(P+P(=2P.P，P.P可表示为P2-【解析】设BC的中点为D,AD的中点为E，则有P+P=2P，则P.(P+P(=2P.P，而P.P=(P+E(.(P+E(=(P+E(.(P-E(=P2-E22-E2=P2-，故当P与E重合时，P2-E2有最小值-，所以P.(P+P(的最小值为-，A.B.-C.【分析】先设A=λA(0≤λ≤1)，将P用A与A表示出来，再根据向量数量积的运算律求出P.【解析】设A=λA(0≤λ≤1)，因为P=A-A，所以P=A-λA.因为P=-A=-λA—，所以P.P=(-λA—).则P.P=-λA—.A+λ2A2，令y=16λ2-4λ,×-=-=-.即P.P的最小值为-. 2A.B.CD.将线段AC绕着点D旋转得到线段EF，则ME.MF的最小值为A.-2BC.-1D.-【分析】利用转化法，将M.M转化为M2-D2或M2-F2，进而求得M.M的最小值.连接MD，则M.M=(M+D(.(M+D(=(M+D(.(M-D(=M2-D2，，得M.M的最小值为-．则M+M=2M,M.M=[(+M(2-(M-M(2[=M2-1F24，所以M.M的最小值为-．故选:D过C作CE丄AB交AB延长线于E点，则AC.AB=AE.A=|A|.|A|，.AB取得最大值， 此时∠DAE=,AD=3AF=63,AE=9，-AC|=2是△ABC的边AB上的动点，则DB.DC的最小值为则B(-2,0(,C(2,0(,A(0,32(，故B=(2,32(.设BD=λBA(0≤λ≤1(，则BD=(2λ,32λ(，∴D(2λ-2,32∴DB=(-2λ,-32λ(，DC=(22-2λ,-32λ(∴D.D=-2λ.(22-2λ(+(-32λ(.(-32λ(=20λ2-4λ, ,若M是线段AB上的一个动点，则DM.CM的取值范围是.所以D.C=(A-A).(A-A)=(tA-A).(tA-A)=t2A2-tA.A—-tA.A—+A.A=12t2-6t+12=12(t-2+，(t-2+取得最大【答案】[-1,0[≤4，则-1≤|P|2-4≤0，即P.P的取值范围是[-1,0[. 故答案为：[-1,0[. 【分析】将A.A中向量进行分解，即：A因为A.A=(A+B(.(A+B(=A2+A.(B+B(+B.B,因为B是PQ的中点，所以B+B=，B.B=-|B||B|A.A=A2-|B||B|=A2-3，所以(A.A(max=32-3=6.判断C.对于C在方向上的投影向量为故C错误；-1B.在△ABC中，若A=A+A，则点D为BC边上的中点B：因为A=A+B，且A=A+A，所以A+B=A+A—→A+B=A—→A+B=(B-B(=B+ +|2=-|2⇒2+.+2=2-.+2⇒.=0，由菱形的对角线互相垂直可得AD⊥BC，所以BD是BA在BC上的投影向量，故D正确；【解析】设|AM|=x,|AN|=y,y∈(0,1(，则S1=xy，S2=1-xy-(1-x(-(1-y(=，|C.A|=|(C+B(.A|=|B.A|=|B|.|A|=1-x，|C.A|=|(C+D(.A|=|D.A|=|D|.|A|=1-y，|C.A|.|C.A|=(1-x((1-y(，所以xy=(1-x((1-y(，即x+y=1+xy，即1+xy≥2xy，当且仅当x=y时又xy>0，即0<xy≤2-2，即0<xy≤6-42，则S2=1-xy-(1-x(-(1-y(=…Pn(n∈N*(是线段BC上的分点，且满—→(1)判断△ABC的形状；+A|的值；置.(1)根据数量积求出A后可判断三角形形状；A2(3)设A