专题06 数列（选填题）（培优题型专练）（全国适用）2026年高考数学二轮复习高效培优系列（原卷版及解析）

专题05数列（选填题）目录第一部分题型解码微观解剖，精细教学典例剖析目录第一部分题型解码微观解剖，精细教学典例剖析方法提炼变式题型01数列求通项问题题型02数列求和问题题型03数列不等式问题题型04奇偶和插项数列问题题型05新定义问题第二部分强化实训整合应用，模拟实战题型01抽象函数问题【例1-1】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列满足，，则等于（

）A． B．C． D．【例1-2】（2025·江苏·模拟预测）已知正项等差数列满足，则（

）A．670 B．675 C．2025 D．40501.累加法、累乘法①累加法：适用于，求具体过程：两边分别相加得；②累乘法：适用于，求具体过程：，两边分别相乘得.2.同除法及取倒数法①形如整式，两边同时除以②形如,则有.所以是以为首项,为公差的等差数列,即.3.已知或①用消的3个步骤：①先利用求出;②用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式;③注意检验时的表达式是否可以与的表达式合并.②若等式中为与或与，则替换题目中的4.构造法①形如且，化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式.①形如且化为的形式，令,即得为等比数列,从而求得数列的通项公式.【变式1-1】（2025·山东济南·二模）已知数列的前项和为，且满足，则【变式1-2】（2025·江苏苏州·三模）已知数列满足，则（

）A． B．C． D．【变式1-3】（2025·河北张家口·一模）已知数列满足，且，则.题型02数列求和问题【例2-1】（2025·浙江台州·一模）已知等比数列满足：.设，记数列的前项和为，则（

）A．149 B．153 C．155 D．157【例2-2】（2025·江西·模拟预测）已知数列满足：，，令，数列的前项和，则（

）A． B． C． D．1.公式法：对于等差、等比数列，直接利用前项和公式．等差：.等比：.2.分组求和法：数列的通项公式为的形式，其中和满足不同的求和公式．常见于为等差数列，为等比数列或者与分别是数列的奇数项和偶数项，并满足不同的规律．3.并项求和法若在一个数列的前项和中，可两两结合求和，则称之为并项求和.4.错位相减法：数列的通项公式为或的形式，其中为等差数列，为等比数列．5.裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项．常用的裂项公式：=1\*GB3①；②；③；④.6.倒序相加法：如果一个数列的前项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和可用倒序相加法，如等差数列的前项和公式就是用此法推导的.【变式2-1】（2025·江苏淮安·模拟预测）已知递增等比数列前项和为，且，则数列的前项和为．【变式2-2】（2025·青海·模拟预测）（多选题）设数列的前项和为，已知，，记数列的前项和为，则（

）A． B．C． D．【变式2-3】（2025·辽宁·模拟预测）若，数列满足，则的值是（

）A．2024 B．4048 C．3036 D．2025题型03数列不等式问题【例3-1】（2025·辽宁·模拟预测）记是公差不为0的等差数列的前项和，若，，则使成立的的最大值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【例3-2】（2025·吉林·模拟预测）已知递减的等比数列前项和为，且满足，，若恒成立，则的最小值为（

）A． B． C．2 D．数列与不等式的综合问题及求解策略1.判断数列问题的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比较大小．2.以数列为载体，考查不等式恒成立的问题，此类问题可转化为函数的最值．3.考查与数列有关的不等式证明问题，此类问题一般采用放缩法进行证明，有时也可通过构造函数进行证明．【变式3-1】（2025·海南·模拟预测）数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式3-2】（2025·河南·模拟预测）已知数列满足，，若对，，则实数t的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式3-3】（2025·上海·高考真题）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（

）A．4个 B．3个 C．1个 D．无数个题型04奇偶和插项数列问题【例4-1】（25-26高三上·重庆·月考）已知数列的前项和为，且满足，则.【例4-2】（25-26高三上·河南南阳·期中）已知数列的通项公式，在每相邻两项之间插入个，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记数列的前n项和为，则成立的n的最小值为（

）A．35 B．36 C．37 D．381.奇偶数列求和：已知，其中的前项和为，的前项和为，的前项和为.(2)若为偶数，则(3)若为奇数，则2.常见奇偶数列模型，则直接按奇偶分开讨论.3.数列插项问题=1\*GB3①在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，则，整理的.=2\*GB3②在和之间插入个数，使这个数构成等比数列，记这个等比数列的公比为，则，整理的.【变式4-1】（25-26高三上·云南昭通·月考）已知数列满足，则；其通项公式为．【变式4-2】（25-26高三上·辽宁大连·月考）设数列满足（），，.在数列的任意与项之间，都插入（）个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求.【变式4-3】（2025·海南海口·模拟预测）已知数列的首项为1，是的前n项和，且，（），若存在，使得成立，则实数m的取值范围为．题型05新定义问题【例5-1】（2025·湖北武汉·模拟预测）（多选题）如图，曲线下有一系列正三角形，设第n个正三角形（为坐标原点）的边长为，则（

）

A．，B．记为的前n项和，则为C．记为数列的前n项和，则D．数列的前n项和为【例5-2】（2025·江苏南通·三模）（多选题）已知数列，设，若数列满足：存在常数，使得对于任意两两不相等的正整数，，，都有，则称数列具有性质，下列结论正确的是（

）A．若，则数列具有性质B．若数列的前项和，则数列具有性质C．若数列具有性质，则常数D．若数列具有性质，则为等差数列解答新定义型创新题的基本思路是：（1）正确理解新定义；（2）根据新定义建立关系式；（3）结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题；（4）运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果．【变式5-1】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）（多选题）在科技竞逐的舞台上，降本增效是突破创新的关键．在量子计算领域，九章量子计算机在2020年便以不到谷歌的资金实现了量子计算优越性，展现了中国科技界的卓越实力．2025年九章量子计算机在态叠加编码中提出一种分形数列模型，该模型中将量子态能量分解为连续奇数组，规律如下：．．．记表示第个等式中第个量子态能量值（如），研究人员发现满足：第行恰含有个连续奇数，且，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【变式5-2】（2025·山东·模拟预测）（多选题）若数列满足：存在，使得对任意成立，则称是“受限数列”，的最小值称为的“受限上界”.记的前项和为，则下列说法正确的是（

）A．若，则是受限数列B．若等差数列满足，，则是受限数列C．若，则是受限数列，其受限上界为3D．若，都是受限数列，则也是受限数列【变式5-3】（2025·北京海淀·三模）设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“超神数列”，下列命题中，正确的有．①存在递增数列，使得它是“超神数列”；②存在周期数列，使得它是“超神数列”；③存在等差数列，使得它是“超神数列”；④若为等比数列，对于任意，存在，使得为超神数列．1.（2025·江西·模拟预测）设数列的前项和为，已知，则（

）A．2024 B．2025 C． D．2.（2025·湖北·模拟预测）已知数列前项和为，，，，则的最大值为（

）A．4 B．9 C．10 D．123.（2025·重庆·三模）数列满足，则的前100项和．4.（2025·湖南益阳·三模）已知数列满足，给出定义：使数列的前k项和为正整数的k（）叫做好数，则在内的所有“好数”的和为．5.（2025·云南·模拟预测）数列满足：，且，则.6.（2025·浙江·模拟预测）已知数列和通项公式分别为，，将数列和的公共项按照从小到大的顺序排成一个新数列，则数列的通项公式；7.（2025·河南·模拟预测）（多选题）已知数列满足，则（

）A．B．C．若，则的最大值为1214D．的前36项和为12268.（25-26高三上·湖北·期中）（多选题）数列满足，且，数列的前项和为，从的前项中任取两项，它们的和为奇数的概率为，数列的前项积为，则（

）A． B． C． D．9.（25-26高三上·山西·月考）（多选题）在数列的任意相邻两项之间插入这两项的和，称为对数列进行一次“和生长”，插入这两项的积，称为对数列进行一次“积生长”.例如，对数列1，4分别进行两种操作：进行一次“和生长”得到数列，两次“和生长”得到数列；进行一次“积生长”得到数列，两次“积生长”得到数列.设对数列1，4进行次“和生长”后得到的数列为，进行次“积生长”后得到的数列为.记，则（

）A．B．C．存在常数，使得数列为等比数列D．数列的前项和10.（2025·甘肃平凉·模拟预测）（多选题）如果存在正整数，使得对任意的正整数，均有，那么称数列为“阶弱增数列”，则下列说法正确的是（

）A．若数列的前项和为，则数列不是“2阶弱增数列”B．若数列满足，则数列是“阶弱增数列”C．若数列是“阶弱增数列”且，则的最小值为4D．已知，若存在且，使得数列是“2阶弱增数列”，则

重难点06三角函数性质内容导航速度提升技巧掌握手感养成重难考向聚焦锁定目标精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向重难考向保分攻略授予利器瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化重难冲刺练模拟实战挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感”近三年：三角函数作为高中数学的核心内容，其图像与性质因兼具代数运算与几何直观的特点，成为近三年高考数学的高频考点。从命题形式来看，以选择题、填空题为主，偶尔嵌入解答题的第一问或综合题中；难度中等偏上，重点考查对“数形结合”思想的理解与应用，以及参数与函数性质的关联分析.参数求解占比比较高，且常结合图像特征（如零点、最值点、对称轴）设置条件来考察。高考对性质的考查不再局限于单一性质判断，而是倾向“多性质综合”，例如结合单调性与对称性求w的范围等等。预测2026年：026年全国卷三角函数性质的题型分布与难度将保持稳定，符合“低中档题为主，少数题分层区分”的特点来考察。参数求解（A、ω、φ）、单调性、对称性、周期性分析、基础图像等应用，仍是考查核心。要注意考察点增加实际情境建模（如物理、几何运动），强化与向量、解三角形的综合，需关注三角函数性质的逆向应用。考查始终以性质为核心，以综合为拓展，兼顾基础与应用。考向01三角函数图像1：图像求解析式A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响（1）函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）中参数A．φ、ω的作用参数作用AA决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅.φφ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位.ωω决定了函数的周期T＝.（2）图象的变换（1）振幅变换要得到函数y＝Asinx（A＞0，A≠1）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到．（2）平移变换要得到函数y＝sin（x＋φ）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到．（3）周期变换要得到函数y＝sinωx（x∈R）（其中ω＞0且ω≠1）的图象，可以把函数y＝sinx上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的_倍（纵坐标不变）即可得到．1．（2025·全国专题练习）已知函数的部分图象如图所示.若四点在同一个圆上，则（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根据对称性可知为圆心，根据即可求解.【详解】连接交轴于,由于，，，四点在同一个圆上，且和均关于点对称，故为圆心，故，,,故，解得，故选：D2．（25-26高三上·江西吉安·月考）函数的部分图象如图所示，已知点为的零点，点为的极值点，，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据可推导求得，进而求得，得到的最小正周期，从而求得；根据，结合五点作图法可对应求得.【详解】，，又，，，，则，为等边三角形，，，的最小正周期，则，，，且位于单调递减区间中，，解得：，，.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查根据三角函数图象求解函数解析式，解题关键是能够结合平面向量数量积运算可求得函数的最小正周期，从而结合五点作图法求得结果.3．（25-26高三上·湖北·月考）已知函数的部分图象如图所示（为图象与轴的一个交点，为图象的一个最高点），且，则的一个对称中心可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意可得函数的周期和振幅，进而可得函数的一个对称中心.【详解】由，得，，所以，所以，令，得，所以当时，，所以是函数的一个对称中心.故选：B.4．（2025·福建三明·模拟预测）已知函数部分图象如图所示，其中，则的最小值为（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】先根据求得的值，再对照的图象，得到与函数的周期间的关系，进而得到与的关系，利用求得的范围，得到的最小值.【详解】由图象知所以.因为,所以.所以.根据正弦函数的图象，如图，,,所以设函数的周期为T,则，即.因为，所以所以.所以的最小值为.故选：A.考向02三角函数图像2：图像应用.五点画图法，是高中解决函数图像性质的小题的“终极实战大法”也是容易被忽略的的基本方法，合理利用这个方法，能在处理图像和性质，特别是求的题型时，达到“小题速做，小题不大作”的神奇效果。确定的步骤和方法:(1)求：确定函数的最大值和最小值，则，；(2)求：确定函数的周期，则可；(3)求：常用的方法有代入法和五点法．①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时已知)或代入图象与直线的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．5．（24-25高三·广东模拟预测）函数的图象的大致形状是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据函数的奇偶性及函数值的正负即可判断得出.【详解】由，令，则，所以和都是奇函数，得，即为偶函数，图像关于轴对称，所以C，D错误；而，再由当时，，，得，，所以A错误，B正确.故选：B.6．（2025·河北·模拟预测）已知函数，，某函数的部分图象如图所示，则该函数可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】结合函数的奇偶性及特值法可判断.【详解】对于A，令，由，则，，所以是非奇非偶函数，由图象不符，故A错误；对于B，令，由，则，，所以是非奇非偶函数，由图象不符，故B错误；对于D，，当时，，与图象不符，排除D，故C正确.故选：C.7．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知分别是轴正半轴上的两个动点，且，如图，以为边构造正方形，分别过点向轴做垂线，垂足依次为，当点由向左运动到原点的过程中，四边形面积的变化趋势可能为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用三角函数表达四边形的面积，然后利用三角函数变换公式化简，进而根据三角函数的单调性做出判定..【详解】当点由向左运动到原点的过程中，设,从到变化.作于点，于.则,所以，，,所以,其中.∵，所以当时随着的增大而增大；当时随着的增大而减小.因此当点由向左运动到原点的过程中，从到变化，四边形面积的变化趋势是先增大，后减小，结合图象，只有C正确.故选：C.8．（2025·湖南岳阳·模拟预测）曲线的图象大致为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由结合诱导公式得出或，化简曲线方程，可得合适的选项.【详解】由可得或，即或，所以，曲线由一族同心圆与直线以及两族等轴双曲线、构成.故选：D.考向03三角函数图像3：图像解方程三角函数图像解方程的本质是将方程的解转化为两个函数图像的交点横坐标（或单个函数图像与特定直线的交点横坐标），核心逻辑是：对于方程f(x)=g(x)（其中f(x)为三角函数，g(x)为常数、一次函数或其他三角函数），其解等价于函数y=f(x)与y=g(x)图像交点的横坐标。解题时需通过图像分析交点的数量、位置、对称性等特征，结合三角函数的周期、单调性、对称性等性质，建立方程或不等式求解参数（如ω、φ）或直接求根。9．（2025·河北·模拟预测）函数的部分图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且为等边三角形.若，且，则的值为（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】由函数的部分图象知等边底边上的高和边长，求出的最小正周期和，根据求出，利用，结合正弦函数的图象与性质，得出的范围，求出即可计算的值．【详解】由函数的部分图象知，等边底边上的高为，所以边长，所以的最小正周期为，所以，所以，由，得，又，所以，由，得，所以，所以故选：.10．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数的图象如图，点，B在的图象上，过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，若平行四边形的面积为，则（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】由条件求，，由此确定函数的周期，列方程确定，再求结论.【详解】由四边形为平行四边形，点，，得，，由平行四边形的面积为，得，解得，由函数图象的对称性得函数的周期为，又，则，由，得，即，而图象在点处是上升的，则，，，，又，则，因此，所以故选：D.11．（2025·全国模拟预测）已知函数，其中.如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用和角公式化简函数，结合设，确定，再由确定的值，利用确定的值，求出函数解析式，代值计算即可.【详解】由，设，由可得，由可得或，，由题意，可知，故得，又，所以，，即，，故，即或，又因为，故，故.故选：A.12．（2025·辽宁·二模）如图，将绘有函数部分图像的纸片沿轴折成直二面角，此时之间的距离为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角函数的图象与性质结合函数图象求解即可.【详解】如图，因为的最小正周期，所以，又，，所以折成直二面角时，因为轴，平面，所以平面，又平面，所以，所以，解得（负值已舍去），所以，又，因为，所以或，又因为函数在轴右侧附近单调递减，所以．故选：C.考向04求w归类1；对称轴与中心型.函数的性质：(1).(2)周期(3)由求对称轴，由求对称中心.(4)由求增区间；由求减区间.1．（2024·河南南阳·模拟预测）若函数的图象关于点中心对称，且是的极值点，在区间内有唯一的极大值点，则的最大值为（

）A．8 B．7 C． D．【答案】C【分析】根据题意，结合三角函数的图象与性质，得到，进而得到，求得，分类讨论，即可求解.【详解】由函数的图象关于点中心对称，且是的极值点，可得，即，其中，因为，当时，当时，因为在区间内有唯一的极大值点，所以，解得，即，所以，当时，，此时，此时有两个极大值点，舍去；当时，，此时，此时有两个极大值点，舍去；当时，，此时，此时有一个极大值点，所以的最大值为.故选：C.2．（2024·陕西榆林·二模）已知函数在上单调，的图象关于点中心对称且关于直线对称，则的取值个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据的对称性求出，结合函数的单调性可得的取值范围，即可确定k的值，一一验证k的取值，是否符合题意，即可确定的可能值，从而得解.【详解】由题意得的图象关于点中心对称且关于直线对称，故，则，即，由函数在上单调，得，即，即，解得，而，故或1，或2，当时，，则，结合，得，则，此时，当时，，由于在上单调递增，故在上单调递增，满足题意；当时，，则，结合，得，则，此时，当时，，由于在上不单调，故在上不单调，此时不合题意；当时，，则，结合，得，则，此时，当时，，由于在上单调递增，故在上单调递增，满足题意；综上，或.故选：B【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用的对称性与单调性得到的可能取值，从而检验得解.3．（2023·全国·模拟预测）将函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，再将的图像上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的（）倍，得到函数的图像，且在区间上恰有两个极值点、两个零点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】现根据函数平移放缩变换，得到解析式，再根据在区间上恰有两个极值点、两个零点，结合余弦函数图象进行求解即可.【详解】法一：由题意，得，所以．令，，则．设，则在上恰有两个极值点和两个零点．结合图像知，解得．法二：验证排除法.由题意可知，所以，根据四个选项的特点，只有选项C中不含，所以只需要验证时的情况，若，则，令，因为，所以，结合图像知此范围内由两个零点，一个极小值点，不符合题意，所以，故选C.法三：由题可知，，所以，令，，则，，分别令，则，，，由题意知解得.，，则，，分别令，则，，，由题意知解得，综上所述，.故选：C．考向05求w归类2:零点个数型.在三角函数图象与性质中，对整个图象性质影响最大，因为可改变函数的单调区间，极值个数和零点个数，求解的取值范围是经常考察的内容，综合性较强，除掌握三角函数图象和性质，还要准确发掘题干中的隐含条件，找到切入点，数形结合求出相关性质，如最小正周期，零点个数，极值点个数等，此部分题目还常常和导函数，去绝对值等相结合考查综合能力.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)在区间内有n个零点，则满足水平线型零点，可以通过解特殊值对应的函数求解。4．（22-23高一上·江苏扬州·期末）已知满足，且在上单调，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】通过对称轴与对称点得出的式子，再通过单调得出的范围，即可得出答案.【详解】满足，，，即，，在上单调，，即，当时最大，最大值为，故选：B.5．（22-23高三上·辽宁·期末）设函数，若对于任意实数，函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据为任意实数，转化为研究函数在任意一个长度为的区间上的零点问题，求出函数在轴右侧靠近坐标原点处的零点，得到相邻四个零点之间的最大距离为，相邻五个零点之间的距离为，根据相邻四个零点之间的最大距离不大于，相邻五个零点之间的距离大于，列式可求出结果.【详解】因为为任意实数，故函数的图象可以任意平移，从而研究函数在区间上的零点问题，即研究函数在任意一个长度为的区间上的零点问题，令，得，则它在轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为，，，，，，则它们相邻两个零点之间的距离分别为，，，，，故相邻四个零点之间的最大距离为，相邻五个零点之间的距离为，所以要使函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个零点之间的最大距离不大于，相邻五个零点之间的距离大于，即，解得.故选：C【点睛】关键点点睛：在求解复杂问题时，要善于将问题进行简单化，本题中的以及区间是干扰因素，所以排除干扰因素是解决问题的关键所在.6．（2023·湖北孝感·模拟预测）已知函数的所有极值点为，且函数在内恰有2023个零点，则满足条件的有序实数对（

）A．只有2对 B．只有3对C．只有4对 D．有无数对【答案】B【分析】根据题意求得函数，把函数的零点个数转化为方程实根的个数，结合方程在内实根的个数，分类讨论，即可求解.【详解】由函数，因为函数图象的对称轴方程为，当时，可得，当时，可得，即两个相邻的极值点间的距离为，即，则，可得，因为的图象关于直线对称，所以，即，解得，则，所以函数的零点个数等价于方程实根的个数，先研究方程在内实根的个数，当时，方程在内实根的个数为1；当时，方程在内实根的个数为2；当时，方程在内实根的个数为3，其中在内实根的个数为2，因为是周期为的函数，所以当时，在，内方程实根的个数均为2，因为在内恰有2023个零点，且2023为奇数，所以，不合题意.当时，；当时，，故满足条件的有序实数对只有3对.故选：B.7．（2023·福建泉州·模拟预测）已知函数（）在内有且仅有3个零点，则的值可以是（

）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】B【分析】根据条件将问题转化为与直线在内恰有三个交点，设令，进而将问题转化为与直线在（）内恰有三个交点，结合正弦函数的图象与性质得到，即可求解.【详解】由于（）在内有且仅有3个零点，所以方程（）在内恰有三个不相等的实数根，即与直线在内恰有三个交点.令，则，则与直线在（）内恰有三个交点.令，解得：（）或（），又，且满足条件的恰有三个值，则，解得：，故选：B.8．（2024·陕西渭南·三模）若函数在内恰好存在8个，使得，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】化简函数式为，题意说明，得，由正弦函数图象与直线的交点个数得的范围．【详解】由题意可得：，由可得，因为，，则，由题意可得，解得，所以的取值范围为．故选：D．【点睛】易错点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．考向06求w归类3:最值极值型.极值点最大值最小值的问题，可以转化为区间对称轴的个数，利用对称轴公式求解。9．（22-23高三上·浙江·月考）已知函数的图象过点，且在区间内不存在最值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先将点代入，求得，由在区间内不存在最值，得是单调区间的真子集，利用数轴法得到不等式组，解之即可得到的取值范围.【详解】因为函数过点，所以，即，故，因为，所以，故，由得，所以的单调递增区间为，同理：的单调递增区间为，因为在区间内不存在最值，所以是单调区间的真子集，当时，有，解得，即，又因为，，显然当时，不等式成立，且；当时，有，解得，即，又因为，，显然当时，不等式成立，且；综上：或，即故选：D.10．（21-22高一下·宁夏银川·期中）已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先化简函数的解析式，再依据题意列出关于的不等式组，即可求得的取值范围.【详解】由，可得由在区间上恰好取得一次最大值，可得，解之得又在区间上是增函数，则，解之得综上，的取值范围是故选：B11．（2019·安徽芜湖·一模）已知函数，其中，为的零点：且恒成立，在区间上有最小值无最大值，则的最大值是（

）A．11 B．13 C．15 D．17【答案】C【分析】根据，求出，，再由在区间上有最小值无最大值，结合周期公式得出，结合选项，检验时，满足题意.【详解】由题意，是的一条对称轴，所以，即①又，所以②由①②，得，又在区间上有最小值无最大值，所以即，解得，要求最大，结合选项，先检验当时，由①得，即，又所以，此时，当时，，当即时，取最小值，无最大值，满足题意.故选：C【点睛】本题主要考查了根据正弦型函数的性质求参数的值，属于中档题.12．（24-25·湖南模拟预测）已知函数，，若，对任意恒有，在区间上有且只有一个使，则的最大值为A． B． C． D．【答案】C【解析】根据的零点和最值点列方程组，求得的表达式（用表示），根据在上有且只有一个最大值，求得的取值范围，求得对应的取值范围，由为整数对的取值进行验证，由此求得的最大值.【详解】由题意知，则其中，．又在上有且只有一个最大值，所以，得，即，所以，又，因此．①当时，，此时取可使成立，当时，，所以当或时，都成立，舍去；②当时，，此时取可使成立，当时，，所以当或时，都成立，舍去；③当时，，此时取可使成立，当时，，所以当时，成立；综上所得的最大值为．故选:C【点睛】本小题主要考查三角函数的零点和最值，考查三角函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.考向07求w归类4:单调与不单调型正弦函数在每一个闭区间（k∈Z）上都单调递增，在每一个闭区间（k∈Z）上都单调递减余弦函数在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）上都单调递增，在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z）上都单调递减对于正余弦型函数，如果区间内不单调，则区间内必有对称轴，可以借助这个思维来求解13．（2019·山西太原·三模）已知函数(，）满足，，且在区间上是单调函数，则的值可能是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】先由题意得出的表达式，易知是奇数，再根据选项求出的解析式，判断在上是否单调即可.【详解】解：，关于对称，又，关于对称，设的周期为，，而，；对A，当时，，又关于对称，，解得：，又，，，当时，，显然不单调，所以A错误；对B，是奇数，显然不符合；对C，当时，，又关于对称，，解得：，又，，，当时，，显然单调，所以C正确；对D，是奇数，显然不符合.故选：C.【点睛】方法点睛：求三角函数的解析式时，由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标，则令(或)，即可求出，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出和，若对。的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.14．（21-22高三上·四川绵阳·月考）函数（，），已知，且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合正弦函数的最值，对称性求的值，再结合单调性确定的最大值.【详解】∵

，，∴，，又对于任意的都有，∴，，∴，又，∴或，当时，，且，当时，，若，则，∴在上不单调，C错误，当时，，且，当时，，若，则，∴在上不单调，A错误，当时，，若，则，∴在上单调，D正确，故选：D.【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质求函数解析式的关键在于转化为正弦函数的问题.15．（24-25高三上·福建厦门·期中）若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间上不单调，则的最小值为（

）A．7 B．9 C．11 D．15【答案】C【分析】首先根据对称轴的性质求出的表达式，再根据函数的单调区间确定的范围，从而得出的最小值.【详解】因直线是一条对称轴，所以，.整理可得：，即，.由，得.则函数在上单调递增.因为函数在区间上不单调，所以.解得.因为，且，所以的最小值为11.故选：C.16．（24-25高三上·江苏·期末）已知函数，若f（x）在区间上不单调，且曲线的一个对称中心是，则ω的最小值是（

）A．20 B．16 C．13 D．7【答案】C【分析】根据函数的对称中心，列式求的集合，再利用代入法求的范围，结合函数的图象，列式求解.【详解】由条件可知，，得，当时，，由条件可知，，得，，且，综上可知，的最小值为13.故选：C考向08三角超越函数型1：交点个数求参.三角超越函数的“交点个数求参”，是已知函数y=f(x)（含三角函数与超越函数，如指数、对数、分段函数）与y=g(x)（常为常数函数y=m或一次函数）的交点个数，求参数（如m、ω）的取值范围。主要从以下几个方面考虑：1.化简函数：将复杂的三角超越函数拆分为“三角函数部分”与“超越函数部分”，或利用三角恒等变换（如二倍角、辅助角公式）简化解析式；2.数形结合：分别画出两函数的大致图像，重点标注三角函数的周期、最值、零点，以及超越函数的单调性、极值点；3.关联性质：结合函数性质（如三角函数的周期性、超越函数的单调性），分析交点个数与参数的关系；4.临界求解：找到“交点个数变化”的临界情况（如函数相切、过最值点、过零点），列方程或不等式求参数范围。1．（22-23高三上·江西·月考）已知，函数恰有3个零点，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别求出两段函数各自的零点，作出图像利用数形结合即可得出答案.【详解】设，，求导由反比例函数及对数函数性质知在上单调递增，且，，故在内必有唯一零点，当时，，单调递减；当时，，单调递增；令，解得或2，可作出函数的图像，令，即，在之间解得或或，作出图像如下图数形结合可得：，故选：A2．（2025·河北模拟预测）设函数，.当时，与的图象所有交点的横坐标之和为（

）A．4051 B．4049 C．2025 D．2023【答案】B【分析】判断两函数的对称性或周期，作出函数图象，数形结合，确定交点个数，进而求得答案.【详解】函数的最小正周期为2，直线为其一条对称轴，，其图象关于直线对称，故可作出函数函数，得图象如图：由图像可知，在直线的右侧，包含的1012个周期，在每个周期内和的图象都有2个交点，则共有2024个交点，根据对称性可知，在直线的左侧，和的图象也有2024个交点，且在直线的两侧的交点是关于直线两两对称的，故这4048个交点的横坐标之和为，而也是这两函数图象的一个交点的横坐标，故与的图象所有交点的横坐标之和为，故选：B【点睛】方法点睛：解决此类函数图象的交点个数问题，首先要明确函数的性质，比如周期性对称性等，然后采用数形结合的方法，即作出函数图象，解决问题，关键在于要能正确的作出函数图象.3．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·月考）设函数若恰有5个不同零点，则正实数的范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】画出的图象，将恰有5个不同零点转化为与有5个交点即可.【详解】由题知，零点的个数可转化为与交点的个数，当时，所以时，，单调递增，时，，单调递减，如图所示：

所以时有最大值：所以时，由图可知必有两个交点；当时，因为，，所以，令，则则有且，如图所示：

因为时，已有两个交点，所以只需保证与有三个交点即可，所以只需，解得.故选：D【点睛】思路点睛：函数零点问题往往可以转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合方便分析求解.4．（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知函数，若关于的方程有且仅有4个不同的实数根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先分段研究函数的函数值范围，转化已知方程为，分别分析与根的个数（即直线与函数图象的交点个数），可得实数的取值范围.【详解】已知，当时，；时，，对化简可得：，即或.由，则当时，方程无实数根；当或时，可得或，故此时方程也无实数根；当时，则，函数在上单调递减，令，则在上单调递增，故在上单调递增，由，故由零点存在性定理可知在内有且只有一个实数根，综上分析可知，方程有且只有一个实数根，故要使关于的方程有且仅有4个不同的实数根，则方程有且仅有个不同的实数根，作出函数的图象与直线，结合图形可知，要使图象与直线有且仅有三个交点，则.故选：A.考向09三角超越函数型2：求根和已知方程f(x)=g(x)（f(x)含三角函数，g(x)为指数、对数、二次函数等超越函数或常数）的根（即两函数图像交点的横坐标），求所有根的和，可以将“根的和”转化为函数图像交点的横坐标之和，通过分析函数的对称性（中心对称、轴对称）、周期性，结合数形结合思想简化计算。5．（2024·四川自贡·一模）定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在上所有零点的和为（

）A．16 B．32 C．36 D．48【答案】A【分析】先判断的对称性、周期性，然后由进行转化，结合图象以及对称性求得正确答案.【详解】依题意，是定义在上的奇函数，图象关于原点对称，由于，所以的图象关于对称，，所以是周期为的周期函数.令，得，函数的图象关于对称，的图象也关于点对称，画出函数和的图象如下图所示，由图可知，两个函数图象有个交点，且交点关于对称，所以所有零点和为.故选：A6．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知函数，则直线与的图象的所有交点的横坐标之和为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由可得，令，，分析可知，函数、的图象都关于点对称，数形结合可得出结果.【详解】由可得，令，，则函数的定义域为，其最小正周期为，，所以，函数的图象关于点对称，函数的定义域为，对任意的，，所以，函数的图象也关于点对称，因为函数、在上均为增函数，则函数在上也为增函数，如下图所示：由图可知，函数、的图象共有六个交点，其中这六个点满足三对点关于点对称，因此，直线与的图象的所有交点的横坐标之和为.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题函数图象交点横坐标之和，解题的关键在于利用函数的对称性，利用数形结合思想结合对称性求解.7．（24-25·湖南长沙·模拟预测）函数的图象与函数的图象的交点横坐标的和为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，利用倍角余弦转化为关于的一元二次方程求解，进而确定的值.【详解】若，则，得或，∴在内，有或或或.∴交点横坐标的和为.故选：A8．（21-22高三下·湖南邵阳·月考）在区间（，）内，曲线和曲线交点的横坐标之和为（

）A．2 B．1 C． D．【答案】A【分析】由题意可得函数f（x）图象和曲线都关于点（1，0）中心对称，所以可得它们的交点也一定关于（1，0）对称，再利用周期可得两曲线在内只有两个交点，从而可求得答案【详解】的周期为1，依题意，，因此函数f（x）图象关于点（1，0）中心对称，由于曲线是以（1，0）为圆心，以为半径的圆，故此曲线亦关于（1，0）对称，所以它们的交点也一定关于（1，0）对称，又因为f（x）的周期为1，所以在内只有两个交点，因此它们交点的横坐标之和为2，故选：A.考向10三角超越函数型3：抽象与复合函数型通过抽象函数的性质（单调性、奇偶性、周期性）拆解复合结构，将三角超越函数转化为可分析的具体函数关系，本质是将三角函数作为“内层函数”或“外层函数”，与抽象函数（如无具体解析式但已知单调性、奇偶性的函数）结合，形成“抽象函数+三角函数”的复合结构。从以下两方面入手：1.性质提取：从题干中提取抽象函数的关键性质2.分内外层拆解：将复合函数按“外层抽象函数+内层三角函数”或“外层三角函数+内层抽象函数”分层，利用抽象函数性质将三角超越关系转化为具体不等式或方程。9．（2020·湖南常德·二模）已知函数在定义域上是单调函数，且，当在上与在R上的单调性相同时，实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意可得，为定值，设，则，不难得到在上为增函数，再对求导，利用三角恒等变换将化简为，又在上与在上单调性相同，所以时，恒成立，即恒成立，最后根据三角函数的性质求出参数的取值范围；【详解】解：因为函数在定义域上是单调函数，则没有零点，所以或恒成立，又，，所以为定值，设，则，不难得到在上为增函数，因为，所以，又在上与在上单调性相同，所以时，恒成立，即恒成立，因为则，所以故选：B【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，三角函数的性质的应用，属于中档题.10．（2020·浙江宁波·模拟预测）设函数，若曲线上存在点，使得，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可知存在，使成立，可得，若令，求出的值域即可得到的取值范围.【详解】解：由曲线上存在点，使得，可得，所以，即存在，使成立，所以，即，，令，因为，所以在上为增函数，所以，即，所以，故选：D【点睛】此题考查了余弦函数的性质，利用导数研究函数的单调性，由单调性求函数的值域，体现了数的转化思想，属于中档题.11．（2022·浙江·模拟预测）已知函数在上有且仅有1个零点，则下列选项中b的可能取值为（

）A．0 B． C． D．4【答案】C【分析】先由题意得，在上有且只有一个解，再根据，的值域得到关于b的不等式，进而得到b的取值范围【详解】令，，由函数在上有且仅有1个零点，则方程，其中，有且只有一个解，从而的值域为有限区间，故必有，从而有的值域为，所以，即，从而可以选，故选项C正确．故选：C．12．（24-25全国模拟预测）设函数，其中、为已知实常数，.下列所有正确命题的序号是．①若，则对任意实数恒成立；②若，则函数为奇函数；③若，则函数为偶函数；④当时，若，则.【答案】①②③④.【分析】对于①，由，证明函数既是奇函数又是偶函数即可得出；对于②，根据奇函数的定义可得出结论；对于③，根据偶函数的定义进行判断即可得出结论；对于④，根据得，于此得出结论.【详解】对于命题①，若，则，则

，函数为奇函数，若，则

，

，函数为偶函数，若，则函数既是奇函数，又是偶函数，即，命题①正确；对于命题②，由①的证明过程可知，当时，函数为奇函数，命题①正确；对于命题③，由①的证明过程可知，当时，函数为偶函数，命题②正确；对于命题④，当时，，令，，则，由辅助角公式得，其中，，，则、是函数的两个对称中心点，函数的最小正周期为，该函数的两个相邻对称中心之间的距离为周期的一半，因此，，命题④正确.故答案为①②③④.【点睛】本题的考点是三角形与数列的综合，主要考查三角函数的化简，考查新定义与三角函数性质的判断，解题的关键就是利用三角函数基本性质的定义来进行计算，从而判断结论的正误，运算量较大，综合性较强，属于难题.考向11性质扩展应用1：利用性质转换图像性质转换图像，从三角函数的核心性质（对称性、周期性、奇偶性）出发，通过图像的平移、对称、折叠等转换，建立已知图像与目标图像的关联，进而突破参数求解、图像识别、面积计算等问题。作为三角函数部分图像或性质，通过对称性（中心对称、轴对称）、周期性、奇偶性等性质，反向推导图像的未知特征（如完整周期、参数ω/φ、对称点坐标），或转换为其他函数图像（如折叠、平移后的图像），最终解决参数求解、图像识别、面积计算等问题。1．（25-26·重庆·专题练习）函数的部分图象如图所示，则可能是（）

A． B．C． D．【答案】C【分析】对于A，利用正切函数的定义域即可判断；对于B，利用该函数的奇偶性即可判断；对于C，D，根据两函数在上的函数值与函数的对应函数值的大小比较，结合图象即可判断.【详解】对于A：若，因在处无定义，则函数图象在上应有间断，故A错误.对于B：是偶函数，图象应关于轴对称，故B错误.对于C，D：对于，当时，，，即在上的图象应该分布在直线的下方，图形符合题意；而对于，当时，，故，即在上的图象应该分布在直线的上方，图形显然不合要求.故C正确，D错误.故选：C.

2．（25-26·江苏南通·专题练习）已知函数，则图象如图可能对应的函数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题图和排除法，利用奇偶性的定义判断、的奇偶性，利用指数函数、余弦函数及函数的定义域判断即可.【详解】因为的定义域为R，又，所以是奇函数，又因为的定义域为R，且，所以是偶函数，由图象知：函数定义域为R，且图象关于原点对称，所以函数为奇函数，而，故A错误；，故B错误；定义域为，故D错误；的定义域为R，为奇函数，C正确，故选：C3．（25-26高三上·河北唐山·期中）已知点和是图象的两个相邻的对称中心，如图，过原点的直线与的图象在第一象限的一对相邻的交点分别为A，B（其中A在B的左侧），过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，若，且的面积是的面积的9倍，则（

）A． B．点A的坐标为C． D．点B的坐标为【答案】B【分析】相邻两个对称中心之间的距离为半个周期，可求出；因为的面积是的面积的9倍,可得，，，代入到中可求得的值.【详解】由题意得因为的面积是的面积的9倍,所以，，即,即，化简得，令，则，化简得，解得，又，所以即所以，所以.所以点A的坐标为，又，所以点的坐标为.故选：B4．（2025高一上·江苏·专题练习）已知函数与函数的部分图象如图所示，图中阴影部分的面积为8，则的值为【答案】/【分析】由题意，阴影部分的面积等于矩形的面积，利用面积即可求得参数值.【详解】如图，结合函数图象的对称性，阴影部分的面积等于矩形的面积，对于函数，定义域为，令，则，即，由图知，过点C垂直于x轴的直线为，又，则，则，解得.故答案为：.考向12性质扩展应用2：三角换元.形如，等，均可以用三角换元来解决.在利用三角换元时，一定要注意角度限制，因为对于三角函数的值域都是[-1，1]，但其角度有多种形式，于是我们在设置角度时要抓住2点：设置的角度要使三角函数的范围为[-1，1]，（2）根号要能直接开出来.就如本题来讲，令，此时，于是.5．（22-23高一上·河南·月考）已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】法一：因式分解后根据式子特征，设，，从而表达出，结合基本不等式去除最小值；法二：采用三角换元，结合三角函数恒等变换，利用三角函数有界性求出最小值.【详解】法一：∵，∴可设，，∴，代入所求式子得，，当且仅当，时等号成立.所以的最小值为.法二：设，，代入已知等式得，，∴，其中，.∴，所以的最小值为.故选：D6．（2024·湖北·一模）已知实数满足，则最大值为（

）A．2 B．3 C． D．【答案】A【分析】解法（1）采用三角换元，令，再结合余弦函数的值域求解即可；解法（2）采用基本不等式求解即可；【详解】解法（1）：由，令，即，，，即最大值为2；解法（2）：当且仅当，即时取等号，，即最大值为2，故选：A.7（24-25全国专题练习）已知实数x,y满足方程x2+y2+2x2y=0，则|x|+|y|的最大值为A．2 B．4 C． D．【答案】B【详解】分析：将圆的一般方程化为标准方程，设出圆的参数方程，利用三角恒等变换得到计算出的最大值，则利用基本不等式进行求解．详解：将化为，令，则，又，所以，即．点睛：（1）本题巧妙地利用三角代换设出圆的参数方程，使解题思路变得明了、清晰；（2）本题的关键是合理将绝对值符号去掉，为了避免讨论，合理利用基本不等式的变形进行放缩．8．（24-25高三上·甘肃白银·期末）已知，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，，将所求式子转化为三角函数的最值求解即可.【详解】因为，设，，，则，其中，当时等号成立，所以的最大值为.故选：D.考向13性质扩展应用3：无理根号型.无理根号型求范围，可以通过换元求得：1.单根号，一般是齐次关系。2.双根号，不仅仅是齐次关系，并且平方后能消去x。3.式子可能具有“轮换特征”4.一定要注意取值范围之间的变化与互相制约。9．（23-24浙江专题练习）已知实数满足,则的取值范围是．【答案】【详解】设因此因为，所以，即取值范围是点睛：利用三角函数的性质求范围，先通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．10．（2024·河南新乡·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为．【答案】1【分析】记，其中，可求得，进而可得，利用，结合基本不等式可求最小值.【详解】由，得，记，其中，原不等式化为，所以，所以，即．所以，当且仅当，即时取“”，所以的最小值为1．故答案为：1．【点睛】方法点睛：三角代换是解题的关键，进而得出是利用基本不等式求得最小值的基础，进而考查运算求解能力和创新意识.11.（20-21高三上·浙江温州·月考）已知，则的最大值是（

）A． B． C．0 D．【答案】A【解析】利用均值不等式及三角换元法，即可得到结果.【详解】令，等号在时取到．故选：A【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，考查了三角换元法，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.冲刺练（建议用时：60分钟）一、单选题1．（25-26高三上·河南·月考）已知函数是定义在上的偶函数，则的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由函数为偶函数，可得，解得结合题意判断即可．【详解】依题意，，则，又，则当时，，故的最小值为.故选：B．2．（25-26高三上·河北张家口·期末）已知函数图象的对称轴为直线，其中，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正切函数的对称性求解即可.【详解】由于函数的对称轴为直线，令，解得，因为，取，可得，则的最小值为.故选：A．3．（25-26高一上·吉林长春·期末）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据求得，由题意结合正弦函数的图象得到，解不等式即可求出答案.【详解】当时，因为，所以，由于函数在上单调递减，所以，解得，故的取值范围为.故选：A.4．（2026高三·山西专题练习）如果是函数图象上的一点，那么就是函数图象上的点，则的一个单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先结合题意求得，再求解的增区间并判断各选项即可得答案.【详解】因为是函数图象上的一点，所以，设点，因为就是函数图象上的点所以，即，所以，所以，求的减区间，即求的增区间，令，解得，，令，得一个减区间为，故D正确；对于选项AB，函数在和上不单调，对于C选项，函数在上单调递增，故选：D5．