专题07 立体几何与空间向量（选填题）（培优题型专练）（全国适用）2026年高考数学二轮复习高效培优系列（原卷版及解析）

专题07立体几何与空间向量（选填题）目录第一部分题型解码微观解剖，精细教学典例剖析目录第一部分题型解码微观解剖，精细教学典例剖析方法提炼变式题型01平行垂直问题题型02角和距离问题题型03球内切外接问题 题型04轨迹问题题型05截面问题第二部分强化实训整合应用，模拟实战题型01平行垂直问题【例1-1】（2025·广东·模拟预测）设是两个相交但不垂直的平面，直线，则与的关系不可能是（

）A． B．C． D．与相交但不垂直【例1-2】（2025·湖北·模拟预测）在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是侧面上的一个动点，满足平面，则线段长度的最大值为（

）A． B． C． D．1.证明空间中直线、平面的平行关系（1）证明线面平行的常用方法：①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明；②利用线面平行的判定定理；③利用面面平行的性质定理；（2）证明面面平行的常用方法：①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；②利用面面平行的判定定理；③利用两个平面垂直于同一条直线；④证明两个平面同时平行于第三个平面．（3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；2.证明空间中直线、平面的垂直关系（1）证明线线垂直的方法①等腰三角形底边上的中线是高；②勾股定理逆定理；③菱形对角线互相垂直；④直径所对的圆周角是直角；⑤向量的数量积为零；⑥线面垂直的性质；⑦平行线垂直直线的传递性．（2）证明线面垂直的方法①线面垂直的定义；②线面垂直的判定；③面面垂直的性质；④平行线垂直平面的传递性；⑤面面垂直的性质．（3）证明面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理．【变式1-1】（2025·上海静安·一模）在三维空间中，下列命题是真命题的一个是（

）A．垂直于同一条直线的两条直线平行B．垂直于同一个平面的两个平面平行C．若一条直线垂直于一个平面，另一条直线与这个平面平行，则这两条直线互相垂直D．若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直【变式1-2】（2025·上海普陀·一模）已知直线和平面，且，，则下列命题中正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【变式1-3】（2025·全国一卷·高考真题）（多选题）在正三棱柱中，D为BC的中点，则（

）A． B．平面C． D．平面题型02角和距离问题【例2-1】（2025·广东广州·模拟预测）在三棱锥中，若，，则直线与平面所成角的正弦值是（

）A． B． C． D．【例2-2】（2025·四川南充·一模）已知四面体中，、、两两垂直，，与平面所成的角为，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．1.异面直线所成的角设异面直线所成的角为，则，其中分别为直线的方向向量.两条异面直线所成的角的范围是.2.线面角设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为与所成的角，则.3.二面角平面与相交于直线，平面的法向量为，平面的法向量为，，则二面角的大小为或.设二面角的大小为，则.4.点到直线的距离如图，已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理，得.5.点到平面的距离：设平面的一个法向量为，是平面内任意一点，则平面外一点到平面的距离.6.两异面直线间的距离在两直线上各取一点构成一个向量，为两直线的公垂线的单位方向向量，则两异面直线间的距离为.【变式2-1】（2025·全国·一模）已知空间四边形，，，，.则对角线与所成角的余弦值的取值范围是.【变式2-2】（25-26高三上·四川成都·月考）（多选题）已知正方体的棱长为1，则以下说法正确的是（

）

A．直线与平面所成角的正切值为B．二面角所成角的大小为C．直线与直线所成的角为D．点到平面的距离为【变式2-3】（2025·浙江·二模）（多选题）在四边形中，，，，将沿折起，使点到达点的位置，下而正确的是（

）A．直线与平面所成角的最大值为B．异面直线与所成角的余弦值取值范围C．若平面平面，则到平面的距离为D．三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积的最小值为题型03球内切外接问题【例3-1】（2025·河北·二模）已知圆台的母线长为4，下底面的半径是上底面半径的3倍，母线与底面所成的角为60°，那么圆台的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【例3-2】（2025·山东日照·一模）已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和4，高为．若该圆台内有一个球，则该球的表面积的最大值为（

）A． B． C． D．解决球的内切外接问题的核心思路：定球型→找球心→求半径→套公式.1.外接球核心策略：球心定位（外心连线中点/高线）+半径公式/勾股定理(1)定义法：利用平面几何体知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.(2)补形法：若球面上四点构成的三条线段两两垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据求解.(3)截面法：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解.2.内切球核心策略：等体积法（万能通法）+轴截面法(1)体积分割是求内切球半径的通用方法.(2)找准切点，通过作过球心的截面来解决.【变式3-1】（2025·上海黄浦·一模）已知边长为3的正三角形的三个顶点都在球O的球面上，球心O到平面的距离为1，则球O的体积为．【变式3-2】（2025·江苏连云港·模拟预测）（多选题）在四面体中，，其余各棱长均为2，则该四面体的（

）A．表面积为 B．体积为C．外接球的半径为 D．内切球的半径为【变式3-3】（2025·广东·模拟预测）一个轴截面为等边三角形、高为6cm的封闭圆锥形容器内有一个半径为1cm的小球，小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥内壁的面积为．题型04轨迹问题【例4-1】（2025·四川成都·二模）一封闭圆锥容器的轴截面是边长为4的等边三角形，一个半径为的小球在该容器底面运动，则小球与侧面接触部分的轨迹长为（

）A． B． C． D．【例4-2】（2025·全国·模拟预测）已知正方体的棱长为，点平面，且，则点的轨迹的长度为（

）A． B． C． D．1、立体几何中的轨迹问题立体几何轨迹问题是以空间图形为素材,去探究符合一定条件的点的运动轨迹,常见的轨迹类型有直线、圆雉曲线、球面、椭球面.2、常用的解决策略(1)定义法：根据圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，进而求解轨迹问题.(2)交轨法：若动点满足的几何条件是两动曲线(曲线方程中含有参数)的交点，此时，要首先分析两动曲线的变化，依赖于哪一个变量?设出这个变量为t，求出两动曲线的方程，然后由这两动曲线方程着力消去参数t，化简整理即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法我们称为交轨法.(3)几何法：从几何视角人手，结合立体几何中的线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，找到动点的轨迹，再进行求解.(4)坐标法：坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将立体几何中的轨迹问题转化为坐标运算问题，进行求解.(5)向量法：不通过建系，而是利用空间向量的运算、空间向量基本定理等来研究立体几何中的轨迹问题，进行求解.【变式4-1】（2025·甘肃·模拟预测）在所有棱长为4的正四棱锥中，M是底面正方形内一点（含边界），若，则点M的轨迹长度是（

）A． B． C． D．【变式4-2】（2025·甘肃甘南·模拟预测）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为侧面内（包含边界）的动点，且，则动点的轨迹长度为；当线段取最小值时，三棱锥的外接球的半径．【变式4-3】（2025·浙江丽水·一模）已知三棱锥，满足，且，，两两垂直．在底面内有一动点到三个侧面的距离依次成等差数列，则点的轨迹是（）A．一个点 B．一条线段 C．一段圆弧 D．一段抛物线题型05截面问题【例5-1】（2025·陕西西安·二模）在三棱锥中，，且．记直线，与平面所成角分别为，，已知，当三棱锥的体积最小时，平面截三棱锥的外接球的截面面积为.【例5-2】（2025·云南昭通·模拟预测）在棱长为3的正方体中，是棱的中点，为棱的三等分点（靠近点），过三点作正方体的截面，则以为顶点，以该截面为底面的棱锥的体积为．1.作截面的具体步骤（1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点;方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点;（2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线;（3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面.2.作截面的几种方法（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程.（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点.（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线.【变式5-1】（2025·河北邯郸·一模）已知三棱锥中，，为的中点，过点作三棱锥外接球的截面，则截面面积的最小值为.【变式5-2】（2025·河南·模拟预测）已知球是正三棱锥的外接球，，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角为（

）A． B． C． D．【变式5-3】（2025·辽宁·二模）（多选题）在棱长为4的正方体中，，，分别是棱，，的中点，是棱上的动点（包含端点），则（

）A．当点是棱的中点时，过点且与平面平行的平面截该正方体所得截面图形的面积为B．若过点，，的平面截该正方体所得截面与交于点，则C．过点且与垂直的平面截该正方体所得截面图形的面积的最大值为D．存在点，使得过点，，的平面截该正方体所得截面图形为五边形1.（2025·山东济南·二模）（多选题）如图，矩形中，分别为的中点．现将沿翻折，得到三棱锥，则在翻折的过程中，下列说法正确的是（

）A．三棱锥体积的最大值为8B．存在某个位置使C．三棱锥外接球半径为3D．直线被三棱锥外接球截得的线段长的取值范围为2.（2025·河北·模拟预测）（多选题）如图，在正八面体中，所有棱长均为，为正八面体内切球球面上的任意一点，则（

）A．正八面体内切球的表面积为 B．正八面体的体积为C．的取值范围是 D．的最大值为3.（2025·湖北武汉·三模）（多选题）如图，半圆锥的底面直径为，母线，为圆弧上任意一点（不包括，两点），直线垂直于平面，且．连结交母线于点．下列结论正确的是（

）

A．三棱锥的4个面均为直角三角形B．C．沿此半圆锥的曲侧面从点到达点的最短距离为2D．当直线与平面所成角最大时，平面截三棱锥外接球所得截面的面积为4.（2025·云南玉溪·模拟预测）（多选题）正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为1，P是A1D上的一个动点，下列结论中正确的是（

）A．当P在A1D上运动时，不一定有B．当P在直线A1D上运动时，三棱锥B1－ACP的体积不变C．PA+PC的最小值为D．以点B为球心，为半径的球面与平面AB1C的交线长为π5.（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）（多选题）如图，棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（

）

A．动点轨迹的长度为B．平面截正方体所得的截面图形的面积为C．存在点，使得D．若为的中点，以点为球心，为半径的球面与四边形的交线长为6.（2025·湖南·一模）（多选题）如图，三棱台中，平面，则（）

A．三棱台的体积为B．平面C．D．若点在侧面上运动，且与平面所成角的正切值为4，则点在侧面上的轨迹长度为7.（2025·湖南郴州·一模）（多选题）在棱长为的正方体中，点在侧面所在平面内运动，为的中点，则下列说法正确的是（

）A．当在线段上运动时，恒有B．当为正方形的中心时，与所成角的正弦值为C．若点满足，则平面截正方体所得的截面面积为D．直线和与平面所成的角相等时，动点的轨迹为圆8.（2025·湖北武汉·模拟预测）（多选题）在棱长为3的正方体中，点是平面内一个动点，且满足，则下列结论正确的是（

）

A． B．点的轨迹是一个半径为的圆C．直线与平面所成角为定值 D．三棱锥体积的最大值为39.（2025·贵州六盘水·模拟预测）（多选题）在直四棱柱中，，，点，在以线段为直径的圆上运动，且，，三点共线，点，分别是线段，的中点，则下列说法中正确的是（

）

A．平面平面B．当四棱柱的体积最大时，C．当时，过的平面截该四棱柱的外接球所得截面面积的最小值为D．当时，过点，，的平面截该四棱柱所得的截面周长为10.（2025·山东济宁·二模）（多选题）已知正方体的棱长为1，点在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则下列结论正确的是（）A． B．点的轨迹长度为C．线段长度的最小值为 D．的最小值为

专题07立体几何与空间向量（选填题）目录第一部分题型解码微观解剖，精细教学典例剖析方法提炼目录第一部分题型解码微观解剖，精细教学典例剖析方法提炼变式题型01平行垂直问题题型02角和距离问题题型03球内切外接问题 题型04轨迹问题题型05截面问题第二部分强化实训整合应用，模拟实战题型01平行垂直问题【例1-1】（2025·广东·模拟预测）设是两个相交但不垂直的平面，直线，则与的关系不可能是（

）A． B．C． D．与相交但不垂直【答案】C【详解】在平面外取平行于和的交线即可，故A可能；在平面内取平行于和的交线即可，故B可能；若且，则，与条件矛盾，故C不可能；除去和的情况D都成立，故D可能.故选C.【例1-2】（2025·湖北·模拟预测）在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是侧面上的一个动点，满足平面，则线段长度的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】取的中点的中点的中点F，连接和，

由分别为的中点，知，同理可知：,，有，又由,面且平面，所以平面，同理可知，平面.因为,平面平面，所以平面平面，而平面，故动点在平面内的轨迹为，由可知，，所以，即，所以线段的最大值为.故选：A.1.证明空间中直线、平面的平行关系（1）证明线面平行的常用方法：①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明；②利用线面平行的判定定理；③利用面面平行的性质定理；（2）证明面面平行的常用方法：①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；②利用面面平行的判定定理；③利用两个平面垂直于同一条直线；④证明两个平面同时平行于第三个平面．（3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；2.证明空间中直线、平面的垂直关系（1）证明线线垂直的方法①等腰三角形底边上的中线是高；②勾股定理逆定理；③菱形对角线互相垂直；④直径所对的圆周角是直角；⑤向量的数量积为零；⑥线面垂直的性质；⑦平行线垂直直线的传递性．（2）证明线面垂直的方法①线面垂直的定义；②线面垂直的判定；③面面垂直的性质；④平行线垂直平面的传递性；⑤面面垂直的性质．（3）证明面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理．【变式1-1】（2025·上海静安·一模）在三维空间中，下列命题是真命题的一个是（

）A．垂直于同一条直线的两条直线平行B．垂直于同一个平面的两个平面平行C．若一条直线垂直于一个平面，另一条直线与这个平面平行，则这两条直线互相垂直D．若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直【答案】C【详解】如图为正方体，，但，故A错误；平面平面，平面平面，但平面平面，故B错误；，与平面平行的所有平面均与平行，故D错误；如图，，由线面平行的性质定理可知，平面内一定存在直线与平行，由线面垂直的性质定理可知，，则有，故C正确.故选：C【变式1-2】（2025·上海普陀·一模）已知直线和平面，且，，则下列命题中正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【详解】由，，可得，对于A，，，则直线可能相交、平行或异面，故错误；对于B，若，则或，故错误；对于C，因为，，所以，又，所以，正确；对于D，要证明，需垂直平面内两条相交直线，现在只有，条件不够，故错误；故选：C【变式1-3】（2025·全国一卷·高考真题）（多选题）在正三棱柱中，D为BC的中点，则（

）A． B．平面C． D．平面【答案】BD【详解】法一：对于A，在正三棱柱中，平面，又平面，则，则，因为是正三角形，为中点，则，则又，所以，则不成立，故A错误；对于B，因为在正三棱柱中，平面，又平面，则，因为是正三角形，为中点，则，，又平面，所以平面，故B正确；对于D，因为在正三棱柱中，又平面平面，所以平面，故D正确；对于C，因为在正三棱柱中，，假设，则，这与矛盾，所以不成立，故C错误；故选：BD.法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为，高为，则，对于A，，则，则不成立，故A错误；对于BD，，设平面的法向量为，则，得，令，则，所以，，则平面，平面，故BD正确；对于C，，则，显然不成立，故C错误；故选：BD.题型02角和距离问题【例2-1】（2025·广东广州·模拟预测）在三棱锥中，若，，则直线与平面所成角的正弦值是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设，以为原点，为轴，为轴，建立如下图所示空间直角坐标系，则，设点，，，，即，同理，即设，则，，，解得，直线与平面夹角的正弦值等于点到平面的距离与的比值，即．故选：B．【例2-2】（2025·四川南充·一模）已知四面体中，、、两两垂直，，与平面所成的角为，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】如图，以为原点，、、所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，设，，则，，，，所以，，.设平面的法向量为，则，得：，不妨令，解得：，因为与平面所成的角为，所以，即，又，解得：.所以平面的一个法向量为，故到平面的距离为.故选：A1.异面直线所成的角设异面直线所成的角为，则，其中分别为直线的方向向量.两条异面直线所成的角的范围是.2.线面角设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为与所成的角，则.3.二面角平面与相交于直线，平面的法向量为，平面的法向量为，，则二面角的大小为或.设二面角的大小为，则.4.点到直线的距离如图，已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理，得.5.点到平面的距离：设平面的一个法向量为，是平面内任意一点，则平面外一点到平面的距离.6.两异面直线间的距离在两直线上各取一点构成一个向量，为两直线的公垂线的单位方向向量，则两异面直线间的距离为.【变式2-1】（2025·全国·一模）已知空间四边形，，，，.则对角线与所成角的余弦值的取值范围是.【答案】【详解】在中，因为，所以，过点在平面中作于点，则和相似，所以，所以，，取中点，连接，在三角形中，因为，所以，如图，以为坐标原点，为轴，为轴，过作直线垂直于平面，这条直线为轴，建立空间直角坐标系，

因为，，所以，所以，设，且，所以，，设直线与直线的夹角为，则，因为，所以当时，，所以当时，，所以对角线与所成角的余弦值的取值范围是.故答案为：.【变式2-2】（25-26高三上·四川成都·月考）（多选题）已知正方体的棱长为1，则以下说法正确的是（

）

A．直线与平面所成角的正切值为B．二面角所成角的大小为C．直线与直线所成的角为D．点到平面的距离为【答案】ABC【详解】以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则有、、、、、、、；对A：由轴平面，则平面的法向量可为，又，则，设直线与平面所成角为，则，则，故A正确；对B：、，设平面的法向量为，则有，取，则，设二面角所成角的大小为，由图可知为锐角又平面的法向量为，则，故二面角所成角的大小为，故B正确；对C：、，设直线与直线所成的角为则，故直线与直线所成的角为，故C正确；对D：、、，设平面的法向量为，则有，取，则，则点到平面的距离，故D错误.

故选：ABC.【变式2-3】（2025·浙江·二模）（多选题）在四边形中，，，，将沿折起，使点到达点的位置，下而正确的是（

）A．直线与平面所成角的最大值为B．异面直线与所成角的余弦值取值范围C．若平面平面，则到平面的距离为D．三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积的最小值为【答案】ACD【详解】对于A，，，，，且，所以直线与平面所成角的最大值为；对于B，，，又平面，所以平面，又，所以直线与平面的夹角为，则直线与所成角最小角为，此时在直线上，直线与所成角最大角为，当平面平面垂直时，，平面平面，平面，平面，，所以异面直线与所成角的余弦值取值范围，故B错误；对于C，由B知当平面平面垂直时，平面，，平面，，，又，所以，，设到平面的距离为，则，解得，故C正确；对于D，因为，所以为直角三角形，外接圆半径分别为，故三棱锥外接球半径最小为2，此时球心在中点处，表面积为，故D正确；故选：ACD.题型03球内切外接问题【例3-1】（2025·河北·二模）已知圆台的母线长为4，下底面的半径是上底面半径的3倍，母线与底面所成的角为60°，那么圆台的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为母线与底面所成的角为60°，则圆台的高，上底面半径，下底面半径，设外接球的半径为，球心到上底面的距离为，则，解得，所以，所以.故选：D．【例3-2】（2025·山东日照·一模）已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和4，高为．若该圆台内有一个球，则该球的表面积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】如图，作出圆台的轴截面，要使球的表面积最大，则球需要与相切，设圆的半径为，则，因为，所以，作，，因为，所以，而，由勾股定理得，则，且，而，即得到，解得，则该球的表面积的最大值为，故B正确.故选：B解决球的内切外接问题的核心思路：定球型→找球心→求半径→套公式.1.外接球核心策略：球心定位（外心连线中点/高线）+半径公式/勾股定理(1)定义法：利用平面几何体知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.(2)补形法：若球面上四点构成的三条线段两两垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据求解.(3)截面法：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解.2.内切球核心策略：等体积法（万能通法）+轴截面法(1)体积分割是求内切球半径的通用方法.(2)找准切点，通过作过球心的截面来解决.【变式3-1】（2025·上海黄浦·一模）已知边长为3的正三角形的三个顶点都在球O的球面上，球心O到平面的距离为1，则球O的体积为．【答案】【详解】设正三角形的外接圆半径为.根据正弦定理可得，，所以.设球O的半径为，则，.所以球O的体积为.故答案为：.【变式3-2】（2025·江苏连云港·模拟预测）（多选题）在四面体中，，其余各棱长均为2，则该四面体的（

）A．表面积为 B．体积为C．外接球的半径为 D．内切球的半径为【答案】BCD【详解】由题意得：两个等边三角形的面积为，两个等腰三角形的面积为，所以四面体的表面积为，故A错误；取的中点，由等边三角形的性质可得：，由于平面，所以平面，由此可得等腰三角形面积为，所以四面体的体积为，故B正确；设内切球半径为，根据等体积公式可得：，故D正确；由两个等边三角形的外心分别为，可得，过分别作两个平面平面的垂线，相交于点，根据球心的性质可知，点为四面体的外接球球心，由于三角形是等腰三角形，可知点在等腰三角形的底边角平分线上，则有，即，又因为，所以，所以外接球半径为，故C正确；故选：BCD.【变式3-3】（2025·广东·模拟预测）一个轴截面为等边三角形、高为6cm的封闭圆锥形容器内有一个半径为1cm的小球，小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥内壁的面积为．【答案】【详解】在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域围成一个圆台侧面，如图所示，圆锥轴截面为等边三角形，高为，则圆锥的母线长与底面圆的直径均为．由小球的半径1cm，，得，又都是等边三角形，则，圆台的上、下底面圆的半径分别为，母线长，因此圆台的侧面积为，在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆，其半径为，其面积为，所以圆锥内壁上小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为故答案为：题型04轨迹问题【例4-1】（2025·四川成都·二模）一封闭圆锥容器的轴截面是边长为4的等边三角形，一个半径为的小球在该容器底面运动，则小球与侧面接触部分的轨迹长为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意，轴截面示意图如下，当球与圆锥轴截面两条边都相切时，球心在角平分线上，

由，，则，可得，故，如上图都是球与圆锥内壁的切点，所以小球与圆锥侧面接触部分的轨迹为以为直径的圆，故小球在该容器底面运动时，小球与侧面接触部分的轨迹长为.故选：D【例4-2】（2025·全国·模拟预测）已知正方体的棱长为，点平面，且，则点的轨迹的长度为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】如图1所示，设为的交点，所以．又平面平面，所以．又，平面，所以平面．因为点平面，故平面，所以，则．因为正方体的棱长为，所以，即，在平面内建立平面直角坐标系，如图2所示，则．设，则，，所以．又，故，即，整理得，即，故点的轨迹是半径为的圆，所以点的轨迹长度为．故选：C．1、立体几何中的轨迹问题立体几何轨迹问题是以空间图形为素材,去探究符合一定条件的点的运动轨迹,常见的轨迹类型有直线、圆雉曲线、球面、椭球面.2、常用的解决策略(1)定义法：根据圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，进而求解轨迹问题.(2)交轨法：若动点满足的几何条件是两动曲线(曲线方程中含有参数)的交点，此时，要首先分析两动曲线的变化，依赖于哪一个变量?设出这个变量为t，求出两动曲线的方程，然后由这两动曲线方程着力消去参数t，化简整理即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法我们称为交轨法.(3)几何法：从几何视角人手，结合立体几何中的线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，找到动点的轨迹，再进行求解.(4)坐标法：坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将立体几何中的轨迹问题转化为坐标运算问题，进行求解.(5)向量法：不通过建系，而是利用空间向量的运算、空间向量基本定理等来研究立体几何中的轨迹问题，进行求解.【变式4-1】（2025·甘肃·模拟预测）在所有棱长为4的正四棱锥中，M是底面正方形内一点（含边界），若，则点M的轨迹长度是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】在正四棱锥中，令正方形中心为，取中点，连接，取中点，连接，则，由平面，平面，则平面，由，得，，又平面，因此，，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在正方形及内部的圆弧，显然，则，而点是的轨迹的端点，于是点的轨迹是半径的半圆，所以点M的轨迹长度是.故选：A【变式4-2】（2025·甘肃甘南·模拟预测）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为侧面内（包含边界）的动点，且，则动点的轨迹长度为；当线段取最小值时，三棱锥的外接球的半径．【答案】【详解】如图①，建立空间直角坐标系，则．设，则，由题意得，则．又因为，，所以．设分别为的中点，则线段为动点的轨迹，轨迹长度为．，则当时，线段取得最小值，此时，则点在平面内的投影为点的中点．如图②，设三棱锥的外接球的球心为．由题意，为的外接圆圆心，，则，即，解得，所以．故答案为：

，.【变式4-3】（2025·浙江丽水·一模）已知三棱锥，满足，且，，两两垂直．在底面内有一动点到三个侧面的距离依次成等差数列，则点的轨迹是（）A．一个点 B．一条线段 C．一段圆弧 D．一段抛物线【答案】B【详解】在三棱锥中，，且，，两两垂直，，，即为等边三角形，设点到平面、平面、平面的距离依次为、、，如下图所示：

由题意可知，，则，即，即，所以，，不妨设点到边、、的距离分别为、、，设等边的边长为，则，又因为，即，所以，，①由，可得，可得，②联立①②可得，所以，点的轨迹是一条与平行且与之间的距离为的线段．故选：B．题型05截面问题【例5-1】（2025·陕西西安·二模）在三棱锥中，，且．记直线，与平面所成角分别为，，已知，当三棱锥的体积最小时，平面截三棱锥的外接球的截面面积为.【答案】【详解】如图，过点作平面，垂足为，则，由平面得.在中，，在中，，∴，故.由，得，且.当三点构成三角形时，，即，，，当点在线段上时，由得，，，此时三棱锥的高最小，体积最小.当点在线段上时，由得，，取线段中点，由和为直角三角形得，，故点为三棱锥外接球的球心，外接球半径，∵为外接球直径，平面，∴平面截三棱锥的外接球的截面面积为.故答案为：.【例5-2】（2025·云南昭通·模拟预测）在棱长为3的正方体中，是棱的中点，为棱的三等分点（靠近点），过三点作正方体的截面，则以为顶点，以该截面为底面的棱锥的体积为．【答案】3【详解】如图，因为为的中点，为棱的三等分点（靠近点），所以取为棱的六等分点（靠近点），则，即四点共面，所以过三点的截面为平行四边形则，又因为，所以故答案为：3．1.作截面的具体步骤（1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点;方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点;（2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线;（3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面.2.作截面的几种方法（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程.（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点.（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线.【变式5-1】（2025·河北邯郸·一模）已知三棱锥中，，为的中点，过点作三棱锥外接球的截面，则截面面积的最小值为.【答案】【详解】取线段的中点，连接，因，，，则由勾股定理可知，，，则，则点为三棱锥的外接球球心，外接球半径为因，则由勾股定理可知，，因为的中点，则，设球心到过点的三棱锥外接球的截面的距离为，截面圆的半径为，则，欲使截面面积最小，即最小，则要求最大，当垂直截面时，最大，最大值为，则的最小值为，则截面面积的最小值为.故答案为：【变式5-2】（2025·河南·模拟预测）已知球是正三棱锥的外接球，，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】如图，作平面，垂足为，则是正三角形的中心，因为，，所以，则，因为，取的中点，所以，，设正三棱锥外接球的半径为，则，得，所以，故，设过点的球的截面圆的半径为，圆心为，为截面圆上一点，，则，所以，则，所以与该截面所成角为，故，，即与该截面所成角为.故选：C.【变式5-3】（2025·辽宁·二模）（多选题）在棱长为4的正方体中，，，分别是棱，，的中点，是棱上的动点（包含端点），则（

）A．当点是棱的中点时，过点且与平面平行的平面截该正方体所得截面图形的面积为B．若过点，，的平面截该正方体所得截面与交于点，则C．过点且与垂直的平面截该正方体所得截面图形的面积的最大值为D．存在点，使得过点，，的平面截该正方体所得截面图形为五边形【答案】ABC【详解】对于A，如图所示，取的中点，连接，，，因为，分别为，的中点，所以，，又平面，平面，平面，平面，所以平面，平面，，故平面平面，所以即为过点且与平面平行的平面截该正方体所得截面图形，因为正方体的棱长为4，所以，所以的面积为，故A正确；对于B，如图，延长，，使，再连接，使，延长，，使，连接，使，连接，，则五边形为平面截正方体所得截面图形，又，所以，所以，故B正确；对于C，如图，过点作于点，过点作交于点．易得得平面，又平面，所以，因为，，平面，所以平面，所以过点且与垂直的平面截该正方体所得截面图形为矩形，当点与点重合时，矩形的面积最大，此时点为的中点，所以，，矩形的面积最大为，故C正确；对于D，由题可知，，分别是，的中点，则．当点与点重合时，过点，，的平面截该正方体所得截面图形为矩形；当点与点重合时，截面图形为四边形（菱形）；当在棱（除端点外）上时，如图，作交于点，连接并延长交延长线于点，连接并延长交延长线于点，连接交于点，交于点，多边形为过，，三点的截面图形，由正方体的对称性可知梯形与梯形全等，则截面图形为六边形．综上，过，，三点的平面截该正方体所得截面图形不可能是五边形，故D错误．故选：ABC．1.（2025·山东济南·二模）（多选题）如图，矩形中，分别为的中点．现将沿翻折，得到三棱锥，则在翻折的过程中，下列说法正确的是（

）A．三棱锥体积的最大值为8B．存在某个位置使C．三棱锥外接球半径为3D．直线被三棱锥外接球截得的线段长的取值范围为【答案】ACD【详解】A：当面面BCD时，三棱锥体积最大，由题设易知，所以三棱锥的高为，则，对．B：在矩形ABCD中连接CM，有，易得，则，如下图，翻折过程中始终有，又在平面内，所以平面，翻折过程中平面，即恒有，且平面，翻折过程中恒有平面平面，所以，在翻折的过程中，点M在底面BCD的投影落到平面在平面的投影直线上，显然，翻折过程中同一平面内的DN与DB不平行，故不成立，错．C：在翻折的过程中，和都是直角三角形，所以两个面的外接圆圆心都在BD的中点处，故三棱锥外接球半径为3，对．D：因为球心为BD的中点O，连接OM，ON，所以，又直线MN被三棱锥外接球截得的线段长，其中h为O到MN的距离，所以h只受与的夹角的影响，其中夹角越大，线段越长，当刚要翻折时线段最长，趋近于直径6，当将要与面BCD重合时，线段最短，如图所示，因为，所以，

所以，所以，故线段长为，综上，线段长的取值范围为，D对．故选：ACD2.（2025·河北·模拟预测）（多选题）如图，在正八面体中，所有棱长均为，为正八面体内切球球面上的任意一点，则（

）A．正八面体内切球的表面积为 B．正八面体的体积为C．的取值范围是 D．的最大值为【答案】ACD【详解】对于A选项，由题意得，可以只分析正四棱锥，易得正四棱锥的高为，侧面正三角形的高为，设内切球的半径为，则由面积法可得，解得，所以表面积为，故A正确；对于B选项，正八面体的体积为两个正四棱锥的体积之和，，因此，故B错误；对于C选项，取中点，，而点到的距离为，因此的最小值为，最大值为，，代入数据可得的范围是，故C正确；对于D选项，设球心为，由球的几何性质可知，当与球相切时，最大，此时为锐角，如下图所示：易知，，，则，所以，D对.故选：ACD.3.（2025·湖北武汉·三模）（多选题）如图，半圆锥的底面直径为，母线，为圆弧上任意一点（不包括，两点），直线垂直于平面，且．连结交母线于点．下列结论正确的是（

）

A．三棱锥的4个面均为直角三角形B．C．沿此半圆锥的曲侧面从点到达点的最短距离为2D．当直线与平面所成角最大时，平面截三棱锥外接球所得截面的面积为【答案】ABD【详解】对于A，根据直线垂直于平面，故，故为直角三角形，半圆锥的底面直径为，为圆弧上任意一点（不包括，两点），，故为直角三角形，，，故平面，得，故为直角三角形，故A正确；对于B，中，，则；．B答案正确．对于C，将圆锥沿母线剪开后得到平面展开图，，则；即圆锥展开为一个半圆．又，则，C答案错误．对于D，过P作于，连接，则面，故为与面所成的角设，则，则，可得．设，则上式，当且仅当，即时取得“”．又三棱锥的外接球半径为，点到平面的距离为，又中点（球心）到平面的距离为点到平面的距离的一半，即为；则，所以，故D正确；故选：ABD．4.（2025·云南玉溪·模拟预测）（多选题）正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为1，P是A1D上的一个动点，下列结论中正确的是（

）A．当P在A1D上运动时，不一定有B．当P在直线A1D上运动时，三棱锥B1－ACP的体积不变C．PA+PC的最小值为D．以点B为球心，为半径的球面与平面AB1C的交线长为π【答案】BD【详解】对于A，连接，因为四边形为正方形，故，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，同理可证，因为，平面，所以平面，又平面，所以，所以当P在A1D上运动时，一定有，A错误；对于B，由正方体的性质可得，平面，平面，到平面的距离为定值，又为定值，则为定值，即三棱锥的体积不变，故B正确；对于C，将平面翻折到平面上，如图，连接AC，与的交点即为点P，此时取最小值AC，在三角形ADC中，，故C错误；对于D，由于平面，设与平面交于点，，设以为球心，为半径的球与面交线上任一点为，，，在以为圆心，为半径的圆上，由于为正三角形，边长为，其内切圆半径为，故此圆恰好为的内切圆，完全落在面内，交线长为，故D正确．故选：BD.5.（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）（多选题）如图，棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（

）

A．动点轨迹的长度为B．平面截正方体所得的截面图形的面积为C．存在点，使得D．若为的中点，以点为球心，为半径的球面与四边形的交线长为【答案】ACD【详解】对于A：如图，分别取，的中点，，连接，，，，

则，，可得，且平面，平面，所以平面，又因为，，则四边形是平行四边形，可得，且平面，平面，所以平面，又，，平面，所以平面平面，当时，则平面，所以平面，即线段为点的轨迹，可知，故A选项正确；对于B：如图，取中点，连接，，，

则由，可得平面截正方体所得的截面为梯形，又，，，则等腰梯形的高为所以等腰梯形的面积为，故B选项错误；对于C：连接，，

因为为正方形，则，又因为平面，平面，则，且，，平面，所以平面，设平面（即与的交点为），此时平面，所以，故C选项正确；对于D：如图，设，取中点，连接，则，

因为为正方形，则，又因为平面，平面，则，且，平面，所以平面，可知点到平面的距离为，又因为球的半径为，可得以点为球心，为半径的球面被平面截得的小圆的半径为，又矩形中，，，所求交线长为：矩形中，以为圆心，2为半径的圆弧，如图所示，

可知该圆弧对应的圆心角为，所以该圆弧长为，故D选项正确.故选：ACD.6.（2025·湖南·一模）（多选题）如图，三棱台中，平面，则（）

A．三棱台的体积为B．平面C．D．若点在侧面上运动，且与平面所成角的正切值为4，则点在侧面上的轨迹长度为【答案】ABD【详解】A选项：，，故A正确；B选项：平面，平面平面，又为的中点，，平面，平面，故B正确；C选项：由B选项答案可知平面，若，而平面，则平面，，与条件矛盾，故错误；D选项：如图，在平面中，作于点，由B选项答案可知，平面，，平面，平面为与平面所成角，

依题意，又，又．在侧面上的轨