2026年高考数学二轮复习：专题4.1 导数与函数单调性、极值及最值常考类型全归纳（重难专练）（解析版）

6/60专题4.1导数与函数单调性、极值及最值常考类型全归纳内容导航速度提升技巧掌握手感养成分析考情·探趋势锁定核心，精准发力：快速锁定将要攻克的最核心、必考的重难点，明确主攻方向，聚焦关键目标破解重难·冲高分方法引领，突破瓶颈：系统归纳攻克高频难点的解题策略与实战技巧，并配以同源试题快速内化拔尖冲优·夺满分巅峰演练，锤炼题感：精选中高难度真题、模拟题，锤炼稳定攻克难题的“顶级题感”与应变能力近三年：聚焦含参函数核心，题型以分式、指数对数复合型为主，强调定义域优先原则，重点检验导数求导准确性与符号判断能力，易错点集中在复合函数求导、临界点遗漏。分类讨论为高频考点，多按参数对临界点位置的影响分层设问，覆盖导后一次、二次及类二次型场景。应对需规范“求导整理-找临界点-分类讨论”流程，专题突破区间单调性、不单调等题型，复盘真题错题以固化解题思路，适配命题核心要求。预测2026年：命题弱化复杂运算，强化逻辑推理与数形结合，注重导函数与原函数图像关联分析。跨知识点融合加深，常与不等式、极值、数列等结合命题，考查模型构建能力。考向01函数与导函数图象关系问题这类题核心就抓两点：符号定趋势，零点定极值。首先看导函数的正负，导数为正，原函数必增；导数为负，原函数必减。其次看导函数的零点，若该点两侧导数符号由正变负，则原函数在此取极大值；若由负变正，则取极小值。此外，导函数值的大小反映原函数图象的陡峭程度，导数值越大，图象越陡。解题时，先分析导函数图象的正负区间和零点特征，再对应推断原函数的升降趋势和极值点，从而选出正确图象。【经典例题】1．(2026·黑龙江齐齐哈尔·二模)已知的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中，是的大致图象的是（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】当时，，∴，故在区间上为减函数，排除AB；当时，，∴，故在区间上为减函数，排除D.故选：C.2．(2026·山东济南·模拟)已知在同一平面直角坐标系中，函数及其导函数的部分图象如图所示，则（

）A．函数在区间上单调递增B．函数在区间上单调递减C．函数在区间上单调递增D．函数在区间上单调递减【答案】C【详解】如图，不妨令上面的曲线为，与的轴交点横坐标分别为，，下面的曲线为，与的轴交点横坐标为，由的图象可知，当时函数值小于，当时函数值大于，且的图象从左至右呈上升趋势；由的图象可知，当时函数值小于，当或时函数值大于，且的图象从左至右呈先下降，后上升趋势；又这两个函数图象为函数及其导函数的图象，所以对应的是，对应的是；所以当时，单调递减，且，当时，单调递增，且当时，当时；对于A、B：由，所以，显然，当时，所以，则在上单调递减，当时，所以，则在上单调递增，故A、B错误；对于C、D：，则，显然，且当时，即，所以，所以在区间上单调递增，故C正确，D错误.故选：C【变式训练】1．若函数的导函数是开口向上的二次函数，且满足，则函数的减区间可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由得的图像关于直线对称，又是开口向上的二次函数，所以若有解，则解集的端点关于直线对称.故选：B2．(2025·陕西宝鸡·模拟)已知函数的图象如图所示，则（

）A．B．C．D．【答案】BC【详解】由图可知，，则A错误.由题意可得，因先增后减再增，则先正后负再正，故，故B正确；因有两个极值点，且，是的两个零点，则，则，故C正确；D错误.故选：BC3．(2026·山东·模拟)函数的图象如图所示，设是函数的导函数，则（

）

A．的解集是B．C．时，取得最大值D．解集是【答案】BCD【详解】对于A项，由图象可得，函数在上单调递增，所以的解集是，故A项错误；对于B项，因为，结合A可得，故B项正确；对于C项，又为二次函数，根据三次函数的图象可知，因为函数在以及处取得极值，故，故，因为，所以时，取得最大值，故C项正确；对于D项，由，可得或；由图象知，当时，，又的解集为，所以由可得；由图象知，当时，，又的解集为，所以由可得；所以的解集是，故D项正确.故选：BCD.4．(2025·海南·模拟)在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（

）A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为1C．函数的最大值为1 D．函数的最小值为1【答案】B【详解】由图可知，两个函数图象都在轴上方，所以，单调递增，所以实线为的图象，虚线为的图象，，对A，，单调递增，无最大值，A错误；对B，，，由图可知，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数取得最小值，B正确；对C，，由图可知，所以在上单调递增，无最大值，C错误；对D，，由图可知，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，当时，函数取得最大值，D错误.故选：B考向02知函数单调区间求参此类问题需厘清“单调区间”与“在区间上单调”的区别。解题关键：先求导，根据导函数零点与原函数单调区间的对应关系，确定参数。若已知单调区间为，则通常是的根，且在该区间内外导数符号相反。通过列方程组求解参数，并代入验证是否满足单调性要求。核心是利用导函数的零点定理与符号变化法则。【经典例题】1．已知函数的单调递减区间是，则（

）A．3 B． C．2 D．【答案】B【详解】函数，则导数，令，即，∵，的单调递减区间是，∴0，4是方程的两根，∴，，∴.故选：B.2．函数（）的减区间为，则实数的值为（

）A．2 B． C．1 D．4【答案】A【详解】显然该函数的定义域为全体正实数集，即，，因为，所以由可得：，因为函数（）的减区间为，所以，故选：A【变式训练】1．(2026·吉林松原·模拟)若函数的减区间为，则的值为（

）A．3 B．1 C． D．【答案】A【详解】由函数，可得，因为函数的减区间为，即不等式的解集为，所以，且，解得，所以且，解得.故选：A.2．(2026·湖北孝感·模拟)函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，则．【答案】【详解】根据题意可知，则可得，令，即，解之可得或，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；所以可知，，所以.故答案为：3．若函数为奇函数，且在上单调递增，在上单调递减．(1)求函数的解析式；(2)若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．【详解】（1）因为函数为奇函数，则，故，，又因为函数在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，因为，所以，即，解得：，经检验符合题意，所以．（2），因为曲线方程为，，点不在曲线上，设切点为，则点的坐标满足，因为，故切线的斜率为，整理得：，因为过点可作曲线的三条切线，所以关于的方程有三个实根．设，则，由，得，，得或，所以在，上单调递增，在上单调递减，所以函数的极值点为，，所以关于的方程有三个实根的必要条件是，解得：，又当时，，当时，，所以时，必有三个实根，故所求的实数的取值范围是．考向03知函数在区间上的单调性求参此类问题关键在于转化与化归。核心技巧是将“函数在区间上单调”转化为“导数在该区间上恒非负或恒非正”。若已知增区间，令导数≥0恒成立；若已知减区间，令导数≤0恒成立。接着通过分离参数法或讨论导函数最值来求解。特别注意端点值的检验，确保等号成立时函数仍保持单调性。【经典例题】1．(2026·四川泸州·一模)若函数在单调递减，则的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】函数，求导得，当时，，在R上单调递增，不合题意；令，解得或，若函数在单调递减，则在恒成立，当时，，，当时，，，的取值范围为.故选：C．2．(2026·江西抚州·一模)函数在R上单调，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意，函数在上单调递增，当时，，依题需使恒成立，则；当时，由在上递增，需使在上恒成立，则，即；又由在上递增，可得，解得.综上可得，的取值范围是.故选：C.【变式训练】1．(2023·陕西西安·三模)若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，令，则，所以在上递增，又，所以.所以的取值范围是.故选：B2．(2025·陕西·模拟)已知函数是上的增函数，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由，得，因为是上的增函数，则恒成立，即恒成立，当时，，此时不恒成立，不满足题意；当时，等价于对恒成立，则.故选：C.3．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为函数在上单调递减，所以当时，恒成立，则；当时，由在上递减，若，，合题意，若，则，故;又分段点处也要满足递减的性质，所以，解得.综上所述，，故选：C．4．(2026·福建漳州·三模)已知函数．(1)当时，求的单调区间；(2)若是减函数，求的取值范围；(3)当时，，求的最大值；【详解】（1）当时，的定义域为，且．令，得；令，得；因此，的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）因为在单调递减，所以，即在恒成立．令，则．令，则当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以的最大值为，所以的取值范围．（3）的定义域为，．因为在上单调递增，所以．①当时，对，有，所以在上单调递增，则对，，所以符合题意．②当时，令，得，所以在上单调递减，所以当时，，所以不合题意，舍去．综上，，所以的最大值为．考向04知函数在区间上不单调求参这类问题的解题核心在于“转化与化归”。函数在某区间上不单调，等价于其导函数在该区间内存在变号零点，即函数在该区间内存在极值点。解题时，通常将问题转化为导函数方程在该区间内有实根，且根两侧导数符号相反。常用方法有两种：一是直接求解导函数的零点，并使其落在给定区间内；二是利用零点存在性定理，结合导函数的图象，分析其在区间端点的函数值异号，进而求解参数范围。此过程常需分类讨论，注意数形结合思想的应用。【经典例题】1．(2025·江苏苏州·三模)若在上不单调，则实数的取值范围是．【答案】【详解】由，可得，所以在上不单调，所以在上有解，即在有解，即存在，使得，又因为在上单调递减，所以，所以实数的取值范围是.故答案为：.2．(2023·宁夏·三模)若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（

）A．B．C．D．m>1【答案】B【详解】函数的定义域为，且，令，得，因为在区间上不单调，所以，解得：.故选：B.3．(2024·山东济南·模拟)已知函数在上不是单调函数，则实数m的取值范围是．【答案】或【详解】因为，所以，又不是单调函数，所以函数有极值点，即在上有变号零点，则成立，当时，可化为，显然不成立；当时，，为，，所以或，所以实数m的取值范围为或（因为要有变号零点，故不能取等号），经检验，或满足要求.故答案为：或.【变式训练】1．(2026·陕西西安·模拟)若函数在上不单调，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，，在上不单调，在上有变号零点，即存在，使得，在上有解，在上有解，，，，，即，解得，在上是增函数；，即，解得，在上是减函数.又，，，，在上有解，，当时，，设，，当，解得，得在上是增函数；当，解得，得在上是减函数.则在处取最小值为，在上恒成立，即在上恒成立，得到在是增函数，不满足题意，说明不满足题意，同理也不满足题意，综上可得.故选：B2．(2025·河北·模拟)已知，，两个函数图象至少有一个在区间上不单调，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由函数的对称轴为，若在上不单调，则满足，解得；又由函数，可得，若在上不单调，则满足，解得，所以两个函数图象至少有一个在区间上不单调，则有或，可得，所以实数的取值范围为.故选：D.3．若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】函数的定义域为，且，令，可得，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以函数的唯一极值点为，因为函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则函数在区间上存在极值点，且，所以，解得.故选：A.4．(2025·福建三明·模拟)已知函数．(1)当时，求证：单调递增；(2)若在上不单调，求的取值范围；(3)当时，证明：在上的最小值为1．（参考数据：）【详解】（1）当时，，，令，，所以时，，单调递减，时，，单调递增，则，即恒成立，故单调递增.（2），因为，所以，若在上单调，则有解，即在恒成立，即，令，，所以时，，单调递增，时，，单调递减，，则时，在上单调，所以若在上不单调，则.（3）由（2）知，当时，在单调递增，所以；当时，由（2）知，在单调递增，在单调递减，如图，

则时，有两个根，又，，所以不妨取，当，，即，同理可得或，，所以时，，单调递增，时，，单调递减，时，，单调递增，所以，令，，所以时，，单调递减，又，所以在上恒成立，即，又，故此时的最小值为1，综上时，在上的最小值为1.考向05知函数存在单调区间求参此类问题本质是“有解”问题。解题核心是将“存在单调区间”转化为“导数在该区间上能取到特定符号”，即不等式有解。若存在增区间，则在区间内有解，转化为导函数最大值大于0；若存在减区间，则有解，转化为导函数最小值小于0。求解时，常通过分离参数转化为求最值，或直接分析导函数图象与x轴有交点且在某处取相应符号，注意与“恒成立”问题区分。【经典例题】1．若函数在存在单调递减区间，则a的取值范围为．【答案】【详解】，等价于在有解，即在有解，即在有解，所以，令，则，即在上是增函数，∴，所以.故答案为：.2．(2024·福建泉州·模拟)若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为函数在上存在单调递增区间，所以存在，使成立，即存在，使成立，令，，变形得，因为，所以，所以当，即时，，所以，故选：D．【变式训练】1．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由可得：.因为函数在区间内存在单调递增区间，所以在上有解，即在上有解.设，由在上恒成立，所以在单调递增，所以.所以.故选：D2．已知函数，，．(1)若函数在上单调递减，求实数a的取值范围；(2)若函数存在单调递减区间，求实数a的取值范围．【详解】（1）因为在上单调递减，所以当时，恒成立，即恒成立，令，则，而．因为，所以．所以（此时），所以．当时，．因为，所以，即在上为减函数，又，所以实数a的取值范围是．（2）因为，，所以．因为在上存在单调递减区间，所以当时，有解，即有解．设，所以只要即可，而，，所以，此时，所以．又，所以或．所以实数a的取值范围为．3．已知函数，，．(1)若函数在上单调递减，求实数a的取值范围；(2)若函数存在单调递减区间，求实数a的取值范围．【详解】（1）因为在上单调递减，所以当时，恒成立，即恒成立，令，则，而．因为，所以．所以（此时），所以．当时，．因为，所以，即在上为减函数，又，所以实数a的取值范围是．（2）因为，，所以．因为在上存在单调递减区间，所以当时，有解，即有解．设，所以只要即可，而，，所以，此时，所以．又，所以或．所以实数a的取值范围为．考向06求函数的极值及最值求极值抓“导数变号”：先求导，解f'(x)=0的根，再列表判断根左右导数符号是否变化，由正变负为极大值，由负变正为极小值。求最值则在闭区间[a,b]上进行：先求出区间内所有极值，再计算端点值f(a)、f(b)，比较所有极值与端点值，最大者为最大值，最小者为最小值。注意：最值必在极值点或端点处取得。【经典例题】1．(2025·四川·模拟)函数的极小值是.【答案】【详解】函数的定义域为，又，令，解得或，当时，，则在和上单调递增，当时，，则在上单调递减，所以当时，取得极小值，且极小值.故答案为：-62．(2026·河南开封·模拟)已知函数，且曲线在点处的切线斜率为．(1)求实数的值；(2)求函数在区间上的最大值与最小值．【详解】（1），依题意，，解之得：；（2）令，解之得：，令，则，所以在上单调递减，记，则单调递增，单调递减，所以在处取极大值，又因为，所以，又，比较可得：函数在区间上的最大值为，最小值为1．【变式训练】1．(2026·河南·模拟)函数的极小值为（

）A． B． C． D．7【答案】C【详解】由题意，，，令，解得或1，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当，取得极小值，且.故选：C2．已知，是的导函数，若有且只有两个不同的零点，且和的零点均在集合中，则的极大值为．【答案】0【详解】由题意可知，设有且只有两个不同的零点，则，即．令，得，，由于中，且，由于，可知，又由于，且，所以零点的组合不能是或，故的组合只能是，这样只能是，，可计算得，满足题意，此时，．令，得或，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，则由单调性可知，的极大值为．故答案为：03．(2026·四川·模拟)已知函数在处的切线方程为．(1)求的解析式；(2)当时，求函数的极值．【详解】（1），因为函数在处的切线方程为，所以，，也即，解得，所以的解析式为．（2）由（1）知，所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；由单调性可知，是函数的极小值点，且是区间内唯一的极值点，因此函数在处取得极小值，无极大值，，所以函数在内的极小值为，无极大值．4．(2026·新疆·模拟)已知函数.(1)若，求在上的最大值与最小值；(2)若在上单调递增，求实数的取值范围.【详解】（1）时，，，，在区间上，令得，令得，所以在上单调递增，在上单调递减，其中，，，所以在上的最大值为17，最小值为1；（2），在上单调递增，故在上恒成立，即在上恒成立，其中，当且仅当，即时，等号成立故，从而实数的取值范围为.考向07由函数极值（或极值点）求参此类问题需紧扣极值存在的充要条件。已知极值点x₀，必有f'(x₀)=0，代入导函数方程可求参数值，但需验证该点两侧导数符号是否变号，以确认其为极值点。若已知极值（函数值），则需联立f(x₀)=极值与f'(x₀)=0构建方程组求解。对于含参函数存在极值点的问题，转化为导函数变号零点问题，常需结合判别式、分离参数或分类讨论，确保导函数图象穿过x轴。【经典例题】1．(2025·江苏徐州·模拟)若函数在处取得极小值，则a的值为．【答案】1或2【详解】由题设，则，所以或，当，则，，若，则，此时，即在上单调递减，若，令，则，对于且，则，故时，时，所以在上单调递减，在上单调递增，，故在上恒成立，对于且，则，所以在上单调递增，则，故在上恒成立，综上，在上恒成立，即，所以在上单调递增，则，所以在上单调递增，此时在处取极小值，满足；当，则，同上分析，易知在上单调递减，若，令，则，所以在上单调递增，则，所以在上单调递增，此时在处取极小值，满足；综上，或.故答案为：或2．(2025·吉林长春·一模)已知函数的极大值为，则（

）A． B． C． D．【答案】D详解】由题意，，则，令，解得或，当时，在，上满足，单调递增，在上满足，单调递减，所以在处取得极大值，，解得，当时，在，上满足，单调递增，在上满足，单调递减，所以在处取得极大值，，不符合题意，当时，，在R上单调递增，无极值，不符合题意，综上所述，.故选：D.3．(2026·江苏南通·调研)若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围是．【答案】【详解】由题，，若，则，无极值点，若，则单调递增，令得，在上，，单调递减，在上，，单调递增，则的极小值点为，无极大值点，则，得，故答案为：.4．(2026·陕西榆林·模拟)已知函数的极小值大于0，则的取值范围为.【答案】【详解】.因为的极小值大于0，所以存在两个不同的根，设，当或时，，则在单调递增，当时，，则在单调递减，则为极大值，为极小值，又极小值大于0，所以极大值，所以只有一个零点，又，显然是的零点，所以方程无实数根，即，即，因为，若，因为在单调递增，结合，可得，与条件矛盾，所以，又，，所以，即的极大值点与极小值点均大于0，且方程的2个实数根均大于0，所以，解得，综上可得：，故的取值范围为，故答案为：【变式训练】1．(2025·浙江桐乡·模拟)已知函数的极小值是，则实数（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】，令得或，当时，，在R上单调递增，无极值；当即时，时，，单调递增，时，，单调递增，时，，单调递减，得在处取得极小值，即，解得；当即时，时，，单调递增，时，，单调递增，时，，单调递减，得在处取得极小值，即，不满足题意；综上，实数.故选：C.2．(2026·江苏丹阳·模拟)若函数在上有极值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，因为函数在上有极值，说明其导数在内有变号零点，即方程在内有解，且解两侧导数符号不同，令，则在有解，且不能是重根.分离参数可得，令，则，所以，所以，当时，，仅在处，故在上单调递减，无极值.所以的取值范围是.故选：C.3．(2025·重庆·模拟)已知函数的一个极小值点为，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】已知，根据绝对值的性质，当时，，此时；当时，，此时.所以.对分段函数求导，当时，，对其求导，可得；当时，，对其求导可得.因为是函数的一个极小值点，所以在左侧附近，在右侧附近.当时，，令，即，解得；当时，，令，即，解得.要使是极小值点，则需满足，解这个不等式，得.所以实数的取值范围是.故选：A.4．已知函数（且），当时，.(1)求；(2)若为的极小值，求的取值范围；【详解】（1）当时,，因为，且，所以的最小值为，所以，解得，即若，令，得，当，，单调递减；当，，单调递增,所以，时，取得极小值，也是最小值，即，所以（2）由（1）知，函数的定义域为，定义域关于原点对称，∵，∴函数为偶函数，故只需研究的情况，若，则，令，则，所以在上单调递增所以，在上单调递增，依对称性，在上单调递减，故为极小值，故符合题意.若，，令，，令，即，解得（舍），所以因为，当时，，在上单调递减，所以在上均小于，所以在上单调递减，而，故不合题意，综上，的取值范围为.5．(2026·四川绵阳·模拟)已知函数（，a为常数）(1)若，求的单调区间；(2)若是的极大值点，求a的取值范围【详解】（1），因为，，所以，当时，，当时，，所以的单减区间为，单增区间为.（2），当时，由（1）知是的极小值点，不符合题意；当时，，在上单调递减，没有极值点，不合题意；当时，，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增，所以是的极小值点，不合题意；当时，，当时，当，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减.所以是的极大值点，符合题意，综上知的取值范围为.考向08知函数极值个数求参此类问题本质是求解导函数变号零点的个数。解题核心是转化与数形结合。首先将原函数极值点个数转化为导函数f'(x)=0的变号零点个数。接着通过分离参数，化为a=g(x)的形式，利用导数研究新函数g(x)的单调性与极值，画出草图。最后根据图象交点个数确定参数范围，注意端点值和渐近线的分析，确保零点为变号零点而非重根。【经典例题】1．(2025·陕西咸阳·模拟)已知函数，若函数有两个极值点，则实数的取值范围为.【答案】【详解】由函数的定义域为，且，若，即，则，此时单调递减，无极值点，不符合题意；若，当时，0；当时，所以在上单调递增，在上单调递减，此时只有一个极值点，不符合题意；若，则方程有两个实数根，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，此时只有一个极值点，不符合题意；若，则方程有两个实数根为，当或时，；当时，，所以的单调递减区间为，，单调递增区间为，所以当时，函数有两个极值点，综上可得，实数的取值范围为.故答案为：.2．(2026·陕西榆林·模拟)函数在区间上有且仅有2个极值点，则的取值范围是．【答案】【详解】，因，则，因在区间上有且仅有2个极值点，则，在上有且仅有2个极值点，结合正弦函数图象可知，，得，故的取值范围是.故答案为：【变式训练】1．(2026·甘肃·模拟)若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为.【答案】20【详解】由条件知有唯一的正实根，于是.令，则，当时，；当时，，所以在区间内单调递减，在区间上单调递增，且，当时，；当时，.只需直线与的图象有一个交点，故，即.所以，，所以当时，，时，，故函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，因为，，所以当时，，所以最大值与最小值之和为20.故答案为：202．(2026·四川乐山·模拟)已知曲线在点处的切线方程是．(1)求，的值；(2)若在区间有唯一极值点，求的取值范围．【详解】（1）因为切点在切线方程上，所以.对于，可变形为，则曲线在点处的切线的斜率是，而，.综上可得，，.（2）由（1）知，，令，解得.当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；若在区间有唯一极值点，则或，解得或，则的取值范围为.3．已知函数.(1)当时，求函数的单调区间；(2)若在上只有一个极值，且该极值小于，求实数的取值范围.【详解】（1）时，，，令，得；令，得，∴函数的单调递增区间为；单调递减区间为.（2），，当时，在上单调递减，无极值.当时，在上单调递增，在上单调递减.∴在处取得极小值，∴，∴.当时，令，得，或，当时在上单调递增，在上单调递减，∴在处取得极大值设，.∵，∴，从而有，∴在上单调递减，∴，∴不合题意.当时，，在上单调递增，此时在上无极值，不合题意.综上，的取值范围为.考向09由函数最值求参由函数最值求参数，本质是逆向思维问题。解题关键在于抓住最值取得的位置，列方程求解。首先求导，分析函数在区间内的单调性，确定最值点（可能在极值点或区间端点）。然后根据题目给定的最值，建立关于参数的方程（或方程组）。若含参需分类讨论，通过最值条件解出参数后，务必验证其是否符合该分类的条件，确保解的合理性。【经典例题】1．(2025·四川乐山·模拟)已知函数的最小值为0，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由函数，可得其定义域为，且，要使得函数在上的最小值为，则必不是单调函数，所以在定义域上为先减后增，令，即，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，函数取得最小值，且，令，可得，构造函数，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，所以，所以，因为，所以.故选：D.2．(2026·河北唐山·模拟)已知函数的值域为，实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】当时，，故，令，得当时，，得函数在上单调递增，当时，，得函数在上单调递减，故得最大值为，当时，；当时，，因此当时，，当时，函数，由题意可得此时的的范围是的子集，对进行分类讨论：（1）．若，则，当时，，不符合范围是的子集的要求，因此不满足题意；（2）若，函数的图象是开口向下的抛物线，且对称轴为故当时，函数在对称轴处取得最大值，且由题意得.因为，解得：；（3）若，函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为，

故在上单调递减，且，故，这不符合范围是的子集的要求；综上，的取值范围是．故选：A．3．(2025·重庆·模拟)函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，令，得或.当时，，递增，当时，，递减，当时，，递增.因此，是极大值点，是极小值点.要使上存在最大值，需，又因为，且，若，函数在递增，会超过，因此需.综上：.故选：D.【变式训练】1．(2025·江苏扬州·模拟)若函数的最小值为2，则实数a的值是.【答案】1【详解】由，求导可得，当时，令，可得，由可得，由得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故，解得；当时，，显然函数在上单调递减，故不合题意；当时，，函数在上单调递减，故不合题意.故答案为：2．(2025·上海·模拟)已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为.【答案】【详解】，当时，在上严格单调递增，不符合题意;当时，令；.所以在上严格单调递增，在上严格单调递减，所以在处取得极大值.因为函数在区间上存在最大值，所以.故答案为：.3．(2025·四川德阳·模拟)任意实数，函数在上有最值，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】命题"任意实数，函数在上有最值"的否定如下，是"存在实数，使函数在上没有最值",即存在实数，使函数在上单调,即存在实数，使，或在上恒成立.由，得.因为，，所以.令，易知在上单调递减，所以.令，易知在上单调递减，所以.令，则在上单调递减，所以.所以当时，，即存在实数，.所以；当时，得到，即存在实数，.所以.所以当存在实数，使函数在上没有最值时，得到或.所以当任意实数，使函数在上有最值时，得到.所以实数m的取值范围为.故选：A.4．(2026·四川德阳·模拟)已知函数（，且），函数的图象与的图象关于直线对称.(1)求；(2)若的最小值是2，求.【详解】（1）依题意得；（2）由题对恒成立，当时，为增函数，所以函数在上单调递增，且，则函数无最小值，不符合，所以，所以为增函数，令，所以时，时，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，又，所以.综上所述，.5．(2025·福建·模拟)已知函数.(1)求函数的极值点；(2)若函数在区间上的最小值为0，求实数的值.【详解】（1）函数的定义域为，又，所以当时，当时，所以的单调递减区间为，单调递增区间为，所以为的极小值点，无极大值点.（2）当，即时，在上单调递增，所以在处取得最小值，，不符合题意；当，即，此时在上单调递减，在上单调递增，所以，解得；当，即，此时在上单调递减，所以，不符合题意；综上可得.6．(2025·河北·模拟)已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若函数在区间上的最小值为0，求实数的值.【详解】（1）当时，函数，求导得，则，而，所以曲线在处的切线方程为，即.（2）函数的定义域为，求导得，当时，，函数在上单调递减，，解得，不符题意舍去；当时，由得，；由得，，函数在上单调递减，在上单调递增，①当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，解得，满足，则；②当，即时，在上单调递减，则，解得，不满足，不符题意舍去.所以.7．(2025·四川绵阳·模拟)已知函数.(1)若时，求曲线在处的切线方程；(2)若时，在区间上的最小值为，求实数的值.【详解】（1）当时，且，所以，故切线方程为，即，（2），由，存在，使得，即，当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，故，，故在单调递减，又，故考向10导函数为一次型的函数单调性问题导函数为一次型，说明原函数通常为二次或指数/对数型。解题核心是分析一次函数（直线）的图象。首先确定导函数的零点（令f'(x)=0），该点即为原函数单调性的分界点。若导函数斜率大于0，则导函数由负变正，原函数先减后增；若斜率小于0，则原函数先增后减。特别注意定义域限制，如对数函数需保证真数大于0，单调区间必须在定义域内讨论。【经典例题】1．已知函数，其中为常数，为自然对数的底数．(1)当时，求的单调区间；(2)若在区间上的最大值为，求的值．【详解】（1）函数的定义域为，当时，，令，得；令，得，∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（2），①当时，∵，∴，∴函数在上单调递增，∴，∴，∴，符合题意；②当且，即时，令，得，当变化时，的变化情况如下表．＋－单调递增极大值单调递减∴，∴，∴，不符合题意，舍去；③当，即时，在上，，∴在上单调递增，故在上的最大值为，∴，不符合题意，舍去，综上可得.2．(2026·陕西西安·模拟)已知函数，．(1)当时，求函数在点处的切线方程；(2)讨论的单调性；(3)若有极大值，且极大值小于0，求a的取值范围．【详解】（1）当时，则，，所以，所以函数在点处的切线方程为，即；（2）函数的定义域为，又，当时恒成立，在上单调递增，无极值.当时，由，解得，由，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，（3）由（2）当时恒成立，在上单调递增，无极值.当时，在处取得极大值，极大值为.令，解得，所以的取值范围为.【变式训练】1．(2024·江西·模拟)已知函数，其中(1)若，求函数的增区间；(2)若在上的最大值为0．求a的取值范围．【详解】（1）当时，，其定义域为，，令，解得，函数的增区间为．（2）由，得，若，则，单调递增；若，，当时，，单调递增，当时，，单调递减；当时，在上单调递增，，满足题意；当时，即时，在上单调递增，，满足题意；当时，即时，在上单调递增，在上单调递减，，令，则，当时，，在上单调递增，，即，不满足题意，综上，的取值范围是.2．(2026·广东肇庆·模拟)已知a，，，(1)当时，讨论的单调性；(2)设，若在上有极值，求b的取值范围并证明此极值小于b．【详解】（1）由题意知的定义域为，当时，，当时，，则在上单调递减，当时，由，解得；由，解得.即在上单调递减，在上单调递增.综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）由题意得，所以的定义域为，在上有极值等价于在上有变号零点.令，即在上有变号零点.当时，显然在上恒成立，无变号零点，不满足题意；当时，在上恒成立，所以在上单调递增，令，解得，此时在上有唯一零点.∵在上单调递增，∴当时，，即；当时，，即，故在上单调递减；在上单调递增，故是的极小值点.方法一：由上分析，，∵，∴，即极小值小于b.方法二：因，由，可得，则，令，显然在上单调递减，则，即，故，即极小值小于b．3．(2026·云南·模拟)已知函数.(1)为的导数，讨论的单调性；(2)若函数在定义域内有两个极值点，，.（i）求的取值范围；（ii）证明：.【详解】（1）由题，，.设，，则，若，则，所以在上单调递减.若，当时，，所以在上单调递增.当时，，所以在上单调递减.综上所述，当，在上单调递减；当，在上单调递增；在上单调递减.（2）（i）函数在定义域内有两个极值点，等价于在区间上恰有两个“变号”零点，由（1）知，，且，解得.而当且时，;时，.综上所述，的取值范围为.（ii）证明：因为，是的两根，所以，即，两式相减得.又，同理，则.欲证，即证，只需证，而，即证，因为，所以，则只需证.令，则转化为证明，.设，，则，所以在上单调递减，故，即恒成立.所以成立.考向11导函数为准一次型的函数单调性问题导函数为准一次型时，先整理为标准形式。令导数为0，求出对应参数条件。根据题目要求，分参数讨论单调性：若导数系数为正，参数小于该值时函数单调递减，大于时单调递增；若系数为负，则单调性相反。注意结合定义域判断，确保讨论全面无遗漏。【经典例题】1．已知函数，.(1)讨论的单调性；(2)证明：若，则存在唯一的极小值，且.【详解】（1）因为，其中，.①当时，恒成立，的增区间为，无减区间；②当时，令，得，由可得；由可得.此时，函数的减区间为，增区间为.综上所述：当时，的增区间为，无减区间；当时，函数的减区间为，增区间为.（2）当时，，，令，，则在上恒成立，∴在上单调递增，又∵，，则方程只有一解，设为，∴存在唯一的，使得，即，当时，，当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，∵，∴，∴，即.2．(2026·云南·模拟)已知函数．(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)讨论的单调性；(3)若，且，证明：．【详解】（1）依题意，，，则，而，故所求切线方程为.（2）依题意，的定义域为，令，得，若，则当时，单调递减；当时，单调递增；若，则当时，单调递增；当时，单调递减．综上所述，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减．（3）（3）证明：令，则，令，故，令，解得．故当时，单调递增，当时，单调递减，故，即在区间上单调递减，且．又，所以，令，，则，，令，，则，所以函数在区间上单调递增，且时，，所以，即所以函数在区间上单调递减，且时，，所以，所以当时，，所以，因为，所以，即，因为函数在区间上单调递减，所以，即．【变式训练】1．(2026·甘肃·模拟)已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论的单调性．【详解】（1）当时，，．，．曲线在点处的切线方程为．（2）．当时，，是增函数．当时，令，解得．当时，；当，．所以在上单调递减，在上单调递增．综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．3．(2026·云南·一模)已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若在上存在唯一零点，求a的取值范围；(3)函数有两个极值点为，若，求的最大值．【详解】（1）函数的定义域为，当时，在上恒成立，所以在上单调递增；当时，令得，当时，单调递减；当时，单调递增．综上，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）由题意知，在上存在唯一零点,等价于方程在上有唯一实数根,等价于函数与的图象在上有唯一交点，因为直线过定点为直线的斜率，根据题意，直线所在区间为下图中阴影部分，由图，下临界线为函数在处的切线，，上临界线过点，则，所以a的取值范围为．（3）由题意得，定义域为，则．因为是函数的两个极值点，所以是方程的两个实数根，则．．令，由，可得，令，则，所以在上单调递减，可得，故的最大值为.考向12导函数为二次型的函数单调性问题导函数为二次型时，需结合图象（抛物线）分析。首先确定开口方向（看二次项系数符号）。其次计算判别式Δ：若Δ≤0，导数恒正或恒负，原函数在定义域内单调；若Δ>0，求出两根x₁、x₂。在定义域内，当开口向上时，导数在两根之间为负，之外为正；开口向下则相反。最后写出原函数的增减区间，注意单调区间需用“逗号”或“和”分隔，不可用并集符号。【经典例题】1．(2026·吉林·一模)设函数.(1)当时，求在处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；(3)若有极小值，且极小值小于，求的取值范围.【详解】（1）当时，，求导，，，所以在处的切线方程为，即.（2）定义域为，，令，解得或，①当时，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增；②当时，则在上单调递增；③当时，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增；综上，当时，在和单调递增，在单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和单调递增，在单调递减．（3）由上分析可知，当时，在和单调递增，在单调递减；所以为的极小值点，此时的极小值为，所以，解得；当时，在上单调递增，显然无极值点，不合题意；当时，在和单调递增，在单调递减．所以为的极小值点，此时的极小值为，不合题意；综上，的取值范围是.2．(2026·湖南·一模)已知函数．(1)讨论的单调性；(2)已知存在两个极值点，若，且，求的最小值．【详解】（1）由函数的解析式可知，，①若，则恒成立，在上单调递增，②若，则由，得或；由，得．在上单调递减，在和上单调递增，③若，则由，得；由，得．在上单调递减，在上单调递增，综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在和上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）是方程的两个根，，，且，所以，，令，则．在上单调递减，，的最小值为.【变式训练】1．(2026·四川内江·一模)已知函数.(1)讨论的单调性；(2)记曲线的对称中心为，若存在，使得，求的取值范围.【详解】（1），当时，，所以在上单调递增；当时，由，解得，由，解得或，所以在和上单调递增，在上单调递减；当时，由，解得，由，解得或，所以在和上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减.（2）因为曲线的对称中心为，所以，化简整理得，因为上式对任意都成立，所以，即，所以，即存在，使得成立，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，又，所以，所以时，有最大值，所以，即的取值范围为.2．(2026·陕西汉中·一模)设函数．(1)讨论的单调性；(2)若对任意恒成立，求的取值范围；(3)当时，若，且，证明：．【详解】（1），令，解得或，若，则，则在上单调递增；若，则当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；若，则当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.（2）当时，由，得，得，令，则，令，则，故在上单调递增，又，则当时，，即，则在上单调递减；当时，，即，则在上单调递增；所以，所以，即的取值范围为.（3）当时，，因，若，，则，，与矛盾，故，，由（2）可知，则，则，所以，又，所以.3．(2026·广东深圳·模拟)已知函数，其中．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个零点，求的取值范围．【详解】（1）由题意可知：函数的定义域为，且，若，则，可知函数在内单调递增；若，令，解得；令，解得；可知函数在内单调递减，在内单调递增；综上所述：若，函数在内单调递增；若，函数在内单调递减，在内单调递增.（2）因为函数有两个零点，若，函数在内单调递增，可知函数至多有一个零点，不合题意；若，函数在内单调递减，在内单调递增，且当趋近于0或时，函数趋近于，可得，解得；综上所述：实数的取值范围为.考向13导函数为准二次型的函数单调性问题导函数为准二次型（如含x与1x、ex与x等混合）时，解题核心是化归。通常通过通分（处理分式）或因式分解（提取ex等恒正因子），将其转化为标准的二次型gx=ax【经典例题】1．(2026·陕西西安·三模)已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若在区间没有极值点，求的取值范围；(3)证明：当时，.【详解】（1）对求导得：，①当时，恒成立，令，解得，当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；②当时，令，解得，，当时，，单调递增；当或时，，单调递减；③当时，恒成立，在上单调递减.④当时，令，解得，，当时，，单调递增；当或时，，单调递减.综上所述：①当时，在上单调递增，在上单调递减；②当时，在上单调递增，在和上单调递减；③当时，在上单调递减；④当时，在上单调递增，在和上单调递减.（2）函数在区间没有极值点等价于在区间上无异号零点，因为，由（1）知当时，在上单调递减，满足题意；当时，令，解得，因为，故只需，则或,解得：或,综上所述：的取值范围为（3）令，则视为关于的一元二次函数，二次函数的二次项系数为，开口向上，判别式：，令，则，求导得：，因为，，,所以恒成立，所以在上单调递减，又，所以恒成立，所以恒成立，所以恒成立，所以当时，成立.2．(2026·山东·模拟)已知函数．(1)求函数在处的切线方程；(2)讨论函数极值点的个数．【详解】（1）∵，∴，∴在处的切线方程为，即．（2）由题意，函数的定义域为．，①当时，由，得，由，得，∴在上单调递减，在上单调递增，∴在处取得极小值．②当时，，∴在上单调递增，无极值．③当时，由，得或，由，得，∴在上单调递增，在上单调递减，∴在处取得极大值，在处取得极小值．④当时，由，得或，由，得，∴在单调递增，在单调递减，∴在处取得极大值，在处取得极小值．综上，当时，的极值点个数为0；当时，有1个极值点；当且时，有2个极值点．【变式训练】1．(25-26高三上·广东广州荔湾区·调研)已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；(3)若函数有三个零点，求的取值范围.【详解】（1）当时，，，在点处的切线方程为：（2）定义域为，（i）当时，，令得，所以在上单调递增，在上单调递减；（ii）当时，则由得或，当时，，所以在单调递增；当时，，令得所以在和上单调递增，在上单调递减；当时，，令得所以在和上单调递增，在上单调递减.综上所述，当时在上单调递增，在上单调递减；当时在和上单调递增，在上单调递减；当时在单调递增；当时在和上单调递增，在上单调递减.（3）由（2）知且，，记，则且，当时，；当时所以在上单调递增，在上单调递减，所以有，所以，等号成立当且仅当故当时，由（2）知有且只有一个零点，舍去当且时，，要使得有三个零点，则，解得所以的取值范围是2．(2026·安徽·模拟)已知函数．(1)当时，求函数的最大值；(2)当时，讨论函数的单调性；(3)若函数的图像关于点中心对称，求实数的值．【详解】（1）当时，，求导得，当时，，函数单调递增；当时，，单调递减，函数在时取得最大值，即．（2），求导得，令，解得或．当时，令，解得或；令，解得，在上单调递增，在上单调递减；当时，，在上单调递增；当时，令，解得或；令，解得，在上单调递增，在上单调递减，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．（3）函数的图像关于点中心对称，函数的定义域为，且关于点中心对称，，即①，为奇函数，，，整理得②．①代入②得，即，，当且仅当时，等号成立，即不恒为0，，即，．（建议用时：80分钟）一、单选题1．(2025·河北·模拟)已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（

）A．B．C． D．【答案】B【详解】，如图：因为的图象是开口向上的抛物线，所以；应为函数图象关于轴对称，即为偶函数，所以；因为有两根且互为相反数，所以.综上：.故选：B．2．(2024·重庆南开·模拟)已知函数，为实数，的导函数为，在同一直角坐标系中，与的大致图象不可能是（

）A．B．C． D．【答案】C【详解】由可得，对于，当时，在第一象限上递减，对应图象在第四象限且递增，故A项符合；对于在第一象限上与的图象在上都单调递增，故且，则.又由可得，即与的图象交点横坐标应大于1，显然C项不符合，B,D项均符合.故选：C.3．(2026·安徽·模拟)设函数在区间上单调递减，则的最大值是（

）A． B． C． D．3【答案】A【详解】因为，所以，因为函数在区间上是减函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，因为时，，所以，所以的最大值是.故选：A.4．(2026·广西河池·三模)已知函数是上的增函数，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为函数是上的增函数，所以恒成立，不等式化为，若时，，则时，，不符合题意；当时，令，得，或，若，即时，不等式的解为或者，不符合题意；当，即时，不等式恒成立，符合题意；若，即时，不等式的解为或者，不符合题意.综上知，.故选：5．(2024·贵州遵义·一模)若函数在区间上单调递增，则的可能取值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【详解】由题设在区间上单调递增，所以恒成立，所以上恒成立，即恒成立，而在上递增，故.所以A符合要求.故选：A6．(2025·山东威海·模拟)已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】求导可得，由题意有解，即有解，即有解，令，因为，易知在单调递增，此时，所以，又，，所以，解得：，所以的取值范围是.故选：B.7．(2024·陕西榆林·二模)若函数在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】的定义域为，，因为函数在其定义域内单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，因为，当且仅当时，等号成立，所以，所以.故选：B8．(2025·河南新乡·二模)已知函数的极小值为，则实数的值为（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】A【详解】由已知得，令，得，当时，单调递减，当或时，单调递增，所以的极小值为，解得.故选：A.9．(2025·河南·模拟)若函数在区间上有极大值，则的最小值是（

）A． B． C．1 D．e【答案】A【详解】由，若在上有极大值，必存在极大值点，即在上有解，即有解，所以有，，，所以有，令，有，可得函数的减区间为，增区间为，有，当时，，则上，上，所以在上单调递增，上单