广东省茂名市第十中学2026届高一数学第二学期期末复习检测试题含解析

广东省茂名市第十中学2026届高一数学第二学期期末复习检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．某市电视台为调查节目收视率，想从全市3个县按人口数用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，已知3个县人口数之比为，如果人口最多的一个县抽出60人，那么这个样本的容量等于（）A．96 B．120 C．180 D．2402．已知正实数满足，则的最大值为（）A．2 B． C．3 D．3．已知菱形的边长为，则（）A． B． C． D．4．已知集合，，则（）A． B． C． D．5．在三棱锥中，平面，，，点M为内切圆的圆心，若，则三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．6．等差数列中，，则数列前9项的和等于（）A．66 B．99 C．144 D．2977．三棱锥则二面角的大小为()A． B． C． D．8．一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，该圆锥的母线长为（）A． B．4 C． D．9．一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积是（）A．10 B．20 C．30 D．4010．若数列，若，则在下列数列中，可取遍数列前项值的数列为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．一水平位置的平面图形的斜二测直观图是一个底平行于轴，底角为，两腰和上底长均为１的等腰梯形，则这个平面图形的面积是．12．已知数列为等比数列，，，则数列的公比为__________．13．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为，则该正四棱锥内切球的表面积为________．14．．已知，若是以点O为直角顶点的等腰直角三角形，则的面积为．15．已知向量，则________16．已知关于两个随机变量的一组数据如下表所示，且成线性相关，其回归直线方程为，则当变量时，变量的预测值应该是_________．234564671013三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．设数列满足，，，.s（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项；（2）求数列的通项，并求数列的前项和；（3）若，且是单调递增数列，求实数的取值范围.18．已知数列满足，，其中实数.（I）求证：数列是递增数列；（II）当时.（i）求证：；（ii）若，设数列的前项和为，求整数的值，使得最小．19．如图，圆锥中，是圆的直径，是底面圆上一点，且，点为半径的中点，连.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当是边长为4的正三角形时，求点到平面的距离.20．已知海岛在海岛北偏东，，相距海里，物体甲从海岛以海里/小时的速度沿直线向海岛移动，同时物体乙从海岛沿着海岛北偏西方向以海里/小时的速度移动．（1）问经过多长时间，物体甲在物体乙的正东方向；（2）求甲从海岛到达海岛的过程中，甲、乙两物体的最短距离．21．如图，在平面直角坐标系中，锐角、的终边分别与单位圆交于、两点.（1）如果，点的横坐标为，求的值；（2）已知点，函数，若，求.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

根据分层抽样的性质,直接列式求解即可.【详解】因为3个县人口数之比为,而人口最多的一个县抽出60人,则根据分层抽样的性质,有,故选:B.【点睛】本题考查分层抽样,解题关键是明确分层抽样是按比例进行抽样.2、B【解析】

由，然后由基本不等式可得最大值．【详解】，当且仅当，即时，等号成立．∴所求最大值为．故选：B.【点睛】本题考查用基本不等式求最值，注意基本不等式求最值的条件：一正二定三相等．3、D【解析】

由菱形可直接得出所求两向量的模长及夹角，直接利用向量数量积公式即可.【详解】由菱形的性质可以得出：所以选择D【点睛】直接考查向量数量积公式，属于简单题4、A【解析】

先分别求出集合，，由此能求出．【详解】集合，，1，，或，，，．故选：．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5、C【解析】

求三棱锥的外接球的表面积即求球的半径，则球心到底面的距离为，根据正切和MA的长求PA，再和MA的长即可通过勾股定理求出球半径R，则表面积.【详解】取BC的中点E，连接AE（图略）.因为，所以点M在AE上，因为，，所以，则的面积为，解得，所以.因为，所以.设的外接圆的半径为r，则，解得.因为平面ABC，所以三棱锥的外接球的半径为，故三棱锥P-ABC的外接球的表面积为.【点睛】此题关键点通过题干信息画出图像，平面ABC和底面的内切圆圆心确定球心的位置，根据几何关系求解即可，属于三棱锥求外接球半径基础题目．6、B【解析】

根据等差数列性质，结合条件可得，进而求得.再根据等差数列前n项和公式表示出，即可得解.【详解】等差数列中，，则，解得，因而，由等差数列前n项和公式可得，故选：B.【点睛】本题考查了等差数列性质的应用，等差数列前n项和公式的用法，属于基础题.7、B【解析】

P在底面的射影是斜边的中点，设AB中点为D过D作DE垂直AC，垂足为E，则∠PED即为二面角P﹣AC﹣B的平面角，在直角三角形PED中求出此角即可．【详解】因为AB＝10，BC＝8，CA＝6所以底面为直角三角形又因为PA＝PB＝PC所以P在底面的射影为直角三角形ABC的外心，为AB中点．设AB中点为D过D作DE垂直AC，垂足为E，所以DE平行BC，且DEBC＝4，所以∠PED即为二面角P﹣AC﹣B的平面角．因为PD为三角形PAB的中线，所以可算出PD＝4所以tan∠PED所以∠PED＝60°即二面角P﹣AC﹣B的大小为60°故答案为60°．【点睛】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，确定出二面角的平面角是解答本题的关键．8、B【解析】

设圆锥的底面半径为，母线长为，利用扇形面积公式和圆锥表面积公式，求出圆锥的底面圆半径和母线长．【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为它的侧面展开图是圆心角为的扇形又圆锥的表面积为，解得：母线长为：本题正确选项：【点睛】本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，关键是能够熟练应用扇形面积公式和圆锥表面积公式，是基础题．9、B【解析】分析：要求圆柱的轴截面的面积，需先知道圆柱的轴截面是什么图形，圆柱的轴截面是矩形，由题意知该矩形的长、宽分别为，根据矩形面积公式可得结果.详解：因为圆柱的轴截面是矩形，由题意知该矩形的长是母线长，宽为底面圆的直径，所以轴截面的面积为，故选B.点睛：本题主要考查圆柱的性质以及圆柱轴截面的面积，属于简单题.10、D【解析】

推导出是以6为周期的周期数列，从而是可取遍数列前6项值的数列．【详解】数列，，，，，，，，，是以6为周期的周期数列，是可取遍数列前6项值的数列．故选：D.【点睛】本题考查数列的周期性与三角函数知识的交会，考查基本运算求解能力，求解时注意函数与方程思想的应用．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】如图过点作，，则四边形是一个内角为45°的平行四边形且，中，，则对应可得四边形是矩形且，是直角三角形，．所以12、【解析】

设等比数列的公比为，由可求出的值.【详解】设等比数列的公比为，则，，因此，数列的公比为，故答案为：.【点睛】本题考查等比数列公比的计算，在等比数列的问题中，通常将数列中的项用首项和公比表示，建立方程组来求解，考查运算求解能力，属于基础题.13、【解析】

根据侧面积求出正四棱锥的棱长，画出组合体的截面图，根据三角形的相似求得四棱锥内切球的半径，于是可得内切球的表面积．【详解】设正四棱锥的棱长为，则，解得．于是该正四棱锥内切球的大圆是如图△PMN的内切圆，其中，．∴．设内切圆的半径为，由∽，得，即，解得，∴内切球的表面积为．【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．14、4【解析】由得；由是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，.由得.又，则，所以又，则，则，所以所以；则则的面积为15、2【解析】

由向量的模长公式，计算得到答案.【详解】因为向量，所以，所以答案为.【点睛】本题考查向量的模长公式，属于简单题.16、21.2【解析】

计算出，，可知回归方程经过样本中心点，从而求得，代入可得答案.【详解】由表中数据知，，，线性回归直线必过点，所以将，代入回归直线方程中，得，所以当时，.【点睛】本题主要考查回归方程的相关计算，难度很小.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析，；（2），；（3）.【解析】

（1）利用等差数列的定义可证明出数列是等差数列，并确定该数列的首项和公差，即可得出数列的通项；（2）利用累加法求出数列的通项，然后利用裂项法求出数列的前项和；（3）求出，然后分为正奇数和正偶数两种情况分类讨论，结合可得出实数的取值范围.【详解】（1），等式两边同时减去得，，且，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，因此，；（2），，，；（3）.当为正奇数时，，，由，得，可得，由于数列为单调递减数列，；当为正偶数时，，，由，得，可得，由于数列为单调递增数列，.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用等差数列的定义证明等差数列，同时也考查了累加法求通项、裂项求和法以及利用数列的单调性求参数，充分利用单调性的定义来求解，考查运算求解能力，属于中等题.18、（I）证明见解析；（II）（i）证明见解析；（ii）.【解析】

（I）通过计算，结合，证得数列是递增数列.（II）（i）将转化为，利用迭代法证得.(ii)由（i）得，从而，即.利用裂项求和法求得，结合（i）的结论求得，由此得到当时，取得最小值．【详解】（I）由所以，因为，所以，即，所以，所以数列是递增数列．（II）此时．（i）所以，有由（1）知是递增数列，所以所以（ii）因为所以有.由由（i）知，所以所以所以当时，取得最小值．【点睛】本小题主要考查数列单调性的证明方法，考查裂项求和法，考查迭代法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.19、（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）由平面，证得，再由为等边三角形，得到，利用线面垂直的判定定理，即可证得平面；（Ⅱ）利用等体积法，即可求得点到平面的距离.【详解】（Ⅰ）证明：在圆锥中，则平面，又因为平面，所以，因为，，所以，又，所以为等边三角形，因为为中点，所以，又，所以平面；（Ⅱ）依题意，，因为为直径，所以，又，所以，中，边上的高为，的面积为，又，，则面积为，所以，解得.【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定与证明，以及利用等体积法求解点面距，其中解答中熟练线面位置关系的判定定理，以及合理运用等体积法的运用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.20、（1）小时；（2）海里．【解析】

试题分析：（1）设经过小时，物体甲在物体乙的正东方向，因为小时，所以．则物体甲与海岛的距离为海里，物体乙与海岛距离为海里．在中由正弦定理可求得的值．（2）在中用余弦定理求，再根据二次函数求的最小值．试题解析：解：（1）设经过小时，物体甲在物体乙的正东方向．如图所示，物体甲与海岛的距离为海里