两条平行直线间的距离（教学设计）-2025-2026学年人教A版高二数学上册选择性必修第一册

2.3.4两平行直线间的距离教学设计

一、核心素养目标

1.直观想象与数学抽象：借图形感知平行直线距离的几何本质，抽象出

“转化为点到直线距星”的核心思想，建立几何直观与概念的联系。

2.逻辑推理与数学运算：推导距离公式时深化逻辑思维，熟练运用公式计

算，掌握“取点一代入”的关键步骤，提升运算准确性。

3.数学建模与应用意识：用公式解决实际问题，体会转化思想的价值，培

养用数学知识解决问题的意识与严谨态度。

二、教学重难点

1.教学重点：两平行直线间距离公式的推导过程与记忆，运用公式计算两

平行直线间的距离及解决相关综合问题。

2.教学难点：理解公式推导的“转化”本质，掌握“直线方程化为同系数

一般式”的前提条件，灵活运用公式解决含参数的平行直线距离问题。

三、教学过程

（一）复习旧知，情境导入

旧知回顾：

（1）提问：点到直线的距离公式是什么？已知点P（2,l）和直线1：3x-4y-

12=0,如何计算P到1的距离？（学生回答公式并计算，教师板书公式：d=

空:舞：工计算结果为d=她/=”

（2）提问：如何判断两条直线是否平行？（学生回答：一般式中?=自看

A282

台，或斜率存在时斜率相等且截距不等）

C2

情境导入：在平面直角坐标系中，两条平行的直线跑道匕：3x+4yT2=0和

12：3x+4y+8=0,求两条跑道之间的距离。这个距离在几何上指什么？如何用已

学知识计算？引发学生思考，引出本节课主题一一两平行直线间的距离。

（二）探究新知，推导公式

1.两平行直线间距离的几何定义

提问：两条平行直线没有交点，它们之间的跑离如何定义？引导学生结合

点到直线距离的定义，得出：两平行直线间的距离是指其中一条直线上任意一

点到另一条直线的距离，且这个距离处处相等（可通过几何直观或平移性质说

明）。

验证：在直线匕:3x+4yT2=0上取两点匕（0,3）和P2（4,0）,分别计算它

们到12：3x+4y+8=0的距离。计算得Pi到12的距离由=更普=4,P2到L的

距离d2=嘿理=4,验证距离处处相等。

2.两平行直线间距离公式推导

已知两条平行直线li：Aix+Biy+C/0和I2：A2x+B2y+C2=O,推导它们之间

的距离do

步躲1：统一直线方程形式

因为所以，=台=攵（kW0）,可将li和I2的方程化为x、y系

数相同的一般式。不妨设M=kA2,BFkBz，将li方程化为A2X+不y+（C/k）=0,

令CJ=C/k,则h：A2x+B2y+C/=0,12：A2x+B2y+C2=0,即两平行直线，表

示为IT：Ax+By+C广0,12：Ax+By+C2=0（A、B不同时为0,gWC?）。

步骤2：转化为点到直线距离

+

在11上取任意一点Po（xo,yo）»则Axo+Byo+Ci=0,即Ax0By0=-Cioli与衣

之间的距离d等于P0到12的距离，代入点到直线距离公式得：d=

/Xo+Byo+QI_LG+QI_心—+11

-力2”2_一勿2”2一

公式总结:两条平行直线1“Ax+By+g=。与I2：Ax+By+C2=0（JWC2）之

间的距离公式为d=等察。

VA2+B2

公式说明：①前提条件：两直线必须平行，且方程化为X、y系数完全相同

的一般式；②分子为两直线常数项差的绝对值，分母为x、y系数平方和的算术

平方根；③若两直线方程系数不同，需先化为相同系数才能代入公式。

3.即时应用：解决导入问题

导入问题中li：3x+4y-12=0,12：3x+4y+8=0,x、y系数相同,代入公式

得4=崔整=冬=4,即两条跑道之间的距离为4米，快速验证公式的便捷

V3Z+4Z5

性。

（三）例题讲解，巩固应用

例题1:直接运用公式计算距离（系数相同情况）

求下列两条平行直线间的距离:(1)li：2x-3y+l=0,12：2x-3y-5=0；

(2)li：x+y=5,12：x+y+3=00

解析：(l)x、y系数相同，直接代入公式得日=噫*=名=察；

V4+9V1313

(2)将li化为x+y-5=0,为x+y+3=0,代入得d=埠U=指=4五。

V1+1V2

小结：当直线方程为斜截式或其他形式时，需先化为X、y系数相同的一般

式，再代入公式。

例题2：先化同系数再计算距离(系数不同情况)

求两条平行直线li：4x-6y+3=0与12：2x-3厂1=0之间的距离。

解析：西直线平行但x、y系数不同，需将系数化为相同。将12两边同乘

2,得I?'：4x-6y-2=0,此时匕：4x-6y+3=0与系数相同，代入公式得

d_|3_(_2)|_5_5V13

一“16+36—博―26°

小结：系数不同时，找x或y系数的最小公培数，将其中一条直线方程变

形，使两直线x、y系数完全相同，注意常数项同步变化。

例题3：含参数的平行直线距离问题

已知直线h：ax+2y+6=0与I?：x+(aT)y+a2-l=0平行,求两直线间的距

离。

解析：①先求参数a的值：由平行条件？=工。受，解得a=7(a=2时

1a-ia—1

两直线重合，舍去)；②代入a=T,得li：-x+2y+6=0,12：x-2y=0；③化同

系数：将li两边乘T得：x-2y-6=0,12：x-2y=0；④代入公式得d=

|—6-0|_6_6^5

小结：含参数问题需先根据平行条件求参数，排除重合情况，再化同系数

计算距离。

例题4：综合应用一距离与直线方程的结合

求与直线1：3x-4y+7=0平行，且与1的距得为2的直线方程。

解析：①设所求直线方程为3x-4y+C=0(与1平行，系数相同)；②代入

距离公式得黑=2；③解得|C-7|=10,故017或€>-3；④所求直线方程为

V9+16

3x-4y+17=0或3x-4y-3=0o

小结：求与已知直线平行且距离为定值的直线，可设“同系数不同常数

项”的方程，利用距离公式求常数项。

（四）课堂练习，反馈提升

求两条平行直线li：3x+y-2=0与七：6x+2y-5=0之间的距离。

已知直线li：2x+my+l=0与L：4x+6y+n=0平行，且距离为誉，求m、n的

值。

求过点P（l,2）且与直线1：2x-yT=0平行，且与1的距离为通的直线方

程。

已知三角形ABC的三边所在直线方程为AB：2x-y+3=0,BC：2x-y-l=0,

AC：x+y-3=0,求三角形的面积。

（学生独立完成，小组内交流答案，教师针对“系数化同错误”“参数漏

解”“距离与面积转化失误”等问题集中讲解）

（五）课堂小结，布置作业

小结：师生共同梳理一一①两平行直线间距离的几何定义；②公式的推导

本质（转化为点到直线距离）与核心形式；③公式使用的关键步骤（化同系数

一般式一代公式计算）；强调转化思想和运算规范的重要性。

作业：（1）基础题：教材习题2.3第12、13题，巩固公式的直接应民；

（2）拓展题：已知两条平行直线11：Ax十By十J二0与12：Ax+By+C2=0,求证：

两直线间的距离4=笔条，并思考：若两直线斜率为k,能否用斜截式推导距

离公式？（3）实践题：测量校园内两条平行的道路（或围墙）之间的距离，用

本节课知识计算并验证。

四、重点知识归纳总结

核心概念：两平行直线间的距离一一其中一条直线上任意一点到另一条直

线的距离，其本质是点到直线距离的特殊应用，且距离处处相等。

核心公式：两条平行直线I/Ax+By+C/0与I2：Ax+By+Cz=O（Ci^C2,保

证不重合）之间的距离公式为d=粤察。

公式使用的关键步骤与注意事项：

（1）统一形式：这是使用公式的前提，必须将两平行直线方程化为X、y

的系数完全相同的一般式，若系数不同，需通过等式变形（两边同乘非零常

数）化为相同，变形时注意常数项同步变化；

（2）判断平行：使用公式前需确认两直线平行，避免与相交直线混淆，判

断方法为一般式中？=答。3

A2B2C2

（3）符号与化简：分子为常数项差的绝对修，确保距离为非负；分母为

V42+B2,不可遗漏根号或简化为A+B；结果需化为最简二次根式，如后需化

xr6713

为工T；

（4）特殊情况：若两平行直线垂直于x轴（如乂=@与*功），距离为|b-

a|；垂直于y轴（如尸a与y=b）,距离为|b-a|,可直接用绝对值计算，乜可

代入公式验证。

公式的核心应用场景：

（1）直接计算：三知两平行直线方程，化同系数后代入公式求距离；

（2）求参数值：三知两平行直线的距离及其中一条直线方程，求另一条直

线方程中的参数（需注意参数的多解情况）；

（3）求直线方程：已知一条直线及与它平行的直线的距离，设“同系数”

方程，利用距离公式求常数项；

（4）几何图形问题：计算平行四边形的高（一组对边间的距离）、三角形

的高（若一边与某直线平行）、梯形的高（两底间的距离）等，进而求图形面

积。

核心思想方法：

（1）转化与化归：将“两平行直线间的距星”这一未知问题，转化为三学

的“点到直线的距离”问题，体现“化未知为已知”的数学思想；

（2）数形结合：通过几何直观理解“平行直线间距离处处相等”的性质，

再通过代数运算推导公式，实现几何与代数的有机结合；

（3）分类讨论：在含参数的问题中，需根据平行条件分类排除重合情况，

确保参数取值的合理性；

（4）统一思想：将不同形式的直线方程统一为标准一般式，便于公式的应

用，体现数学的规范性。

常见易错点：

(1)系数未化同：直接将系数不同的直线方程代入公式，如将li：2x-

y+l=O与I2：4x-2y-3=0直接代入,误用的=1、C2=-3,忽略系数需化同；

(2)混淆平行与重合：未判断两直线是否重合，直接使用公式，如11：

2x-y+l=0与12：佃-2丫+2=0重合，距离为0,不可按平行直线计算；

(3)常数项处理错误：变形直线方程时，常数项未同步乘系数，如将

12：2x-3y-1=0化为4x-6y+C=0时，误将C设为T,实际应为-2；

(4)结果未化简：将得直接作为结果，未化为平；

V22

(5)参数漏解：三知距离求参数时，未考虑绝对值方程的双重解，如C-

21=5只解得07,忽略0-3。

五、练习及答案解析

(一)基础巩固练习

求下列两条平行直线间的距离：

(1)li：x-2y+3=0,12：x-2y-l=0；(2)h：3x+4y=10,12：3x+4y=。；

(3)lx：2x+3y-6=0,12：4x+6y+5=0o

已知直线h：2x+y-5=0与b：2x+y+C=0平行，且距离为遥，求C的值。

求过点A(0,l)且与直线1：3x+4y-12=0平行，且与1的距离为:的直线方

程。

(二)提升拓展练习

已知两条平行直线li：(m+l)x+(2inT)y+ni-5=0与12：(3m-l)x+(m+5)y-

3m+l=0,求两直线间的距离。

梯形ABCD的四个顶点坐标为A(0,0)、B(4,0)、C(3,2)、D(l,2),求梯形

的高及面积。

已知直线1：kx-y+2=0,若存在直线1'与1平行，且1'与1的距离为

企，求k的取值范围。

已知三角形ABC的三个顶点为A(l,l)、B(5,3)、C(4,6),求AB边上的高

及三角形的面积。

(三)答案及解析

解析：

(1)X、y系数相同，d=m箸=白=竽；

vl+4V55

(2)化为一般式li：3x+4y-10=0,12：3x+4y=0,d=噂兽=昔=2；

V9+165

(3)将I1化为4x+6yT2=0,12：4x+6y+5=0,d=曰3=名=受亘。

V16+36V5226

答案：(1)—；(2)2；(3)如更。

526

解析：代入公式得与|詈=有，即|C+5|=5,解得C+5=5或C+5=-5,故

00或0-10。

答案：00或070。

解析：设所求直线方程为3x+4y+C=0,过点A(0,l),代入得0+4+00-O-

4,此时直线为3x+4y-4=0。验证到1的距离：d=安曾=《H说明需重

新设方程(之前假设过A点，题目未说过A点，修正：设方程为3x+4y+C=0,

距离公式归^^二^一归+12|二3-<=-9或0-15,直线方程为3x+4y-9=0或

3x+4y~15=0)o

答案：3x+4y-9=0或3x+4yT5=0。

解析：①由平行条件胃=网?。等-，交叉相乘得(m+l)(m+5)=(2m-

3m-lm+5-3m+l

1)(3m-l),展开得m2+6m+5=6m2-5m+l-5n12Tlm一4二0,解得

m=(U±V(121+80))/10-(ll±14)/10,即m=5土或m~3/5；②验证重合：

"5/2时，三高=表=5/13,黑=7/13；5/13,不重合；m=-3/5时，

竟含=尊=一2,箸=2/(-14)=-1/7~2,不重合；③计算距离：

皿=5/2时,I1：7x+4y-5=0,12：7x+4y-13=0,d=|-5+131/V(49+16)=8/V65=8

V65/65；m=-3/5时，L：2x-lly-28=0,12：2x-lly-14=0,d=|-

28+14|/V(4+121)=14/7125=14/5/25。

答案：8V65/65或14V5/25o

解析：梯形ABCD中，CD〃AB(CD、AB纵坐标均为2和0,平行于x轴)，

高为两平行线间的距离，即|2-0|=2。上底CD=3T=2,下底AB=4-0=4,面积

S=1/2X(2+4)X2=6O

答案：高为2,面积为6。

解析：设1'：kx-y+OO(CW2),距离公式岸L=|C-

4k2+1

2|=V2XV(k2+1),因为C存在，所以J2XJ(k2+l)20,恒成立，故k的取

值范围为R。

答案：k£R。

解析：先求AB边的直线方程，斜率须8=(3—1)/(5—1)=1/2,方程为

y-l=l/2(x-1),整理为x-2y+l=0。AB的长度二J[(5-1)?+(3-1)=J(16+4)=J

20=2V5oAB边上的高为点C到AB的距离，d=14-2X6+