辽宁省朝阳市2025-2026学年高一年级上册期中考试数学试题（解析版）

辽宁省朝阳市2025-2026学年高一上学期期中考试

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

I.已知集合4={1,2},8={必以-1=0},若=则符合条件的实数机的值组成

的集合为（）

A.{1,：}B.{-1,；}C.{1,0,；}D.{0,-：}

乙乙1乙

【答案】c

【解析】当/〃=0时，B=0,AB=B-

当加工0时，B=由AriB=B,得BqA,则'■=1或_1=2,

mmin

解得m=1或〃?=L所以实数m的值组成的集合为{1,0」}.

2

故选：C.

2.命题“Vx>0,X2-2X+1>0，>>（）

A.假命题，否定为“玉>0,x2-2x+\<0,y

B.真命题，否定为“3x>0,X2-2X+1<OM

C.真命题，否定为“、<0,小一2八十ISO”

D.假命题，否定为“3x40,丁一2上+1<0”

【答案】A

【解析】—2X+1=（X-1）2,当X=1H寸，X2-2x4-1=0,

，原命题为假命题，命题“Vx>0,W—2x+l>0”的否定为“土>0,X2-2X+1<0?\

故选:A.

3.已知命题〃："Vxe[l,2],人一“之0"，命题夕:“arwR,炉+2。工+4=0”.若两个命题都

是真命题，则实数。的取值范围是（）

A.{a\-2<a<\]B.{a\6z<-2}

C.{。|或〃22}D.{司或。22}

【答案】B

【解析】由题意知命题〃：“心£[1,2],工-420”为全称量词命题，是真命题，

故,可得oWl；

结合题意知命题4：“BJVER,x2+2ca+4=0”为真命题,

即/+20¥+4=0有实数解，则△=4/一1620，解得。22或々W-2,

a>2^a<-2y可知实数〃的取值范围是{4〃<一2}.

综合上述，实数4需满足〈

故选：B.

4.已知2<a+/?W7,—24。一/7工2,则3〃一人的取值范围是（）

A.[4,11]B.[0,9]C.[Y,9]D.[—2,11]

【答案】D

【解析】设3〃-〃=戈(4+〃)+)<。-〃)=(1+)')4+(刀-)')〃，

所以3；解得x=],),=2,所以3。一/?=(•+力)+2(。一〃).

因为2Wa+〃<7,-2<a-〃K2,YK2(a-Z?)44,

所以-24(a+b)+2(a-〃)《ll,即3a—〃的取值范围是[-2,11].

故选：D.

11

5.若x〉2,x+2)，=0,则一-~~；的最小值为()

x-22y+4

A.2B.3C.6+1D.73-1

【答案】A

【解析】由题意有：x—2>0,2)，+4>0,又x+2y=0,

所以(x-2)+(2y+4)=x+2y+2=2,

11(11)(x-2)+(2y+4)

所以----+------=-----+------x-----U-------

x-22y+4\x-22y+4)2

1心2y+4x-2}1.[2)，+4~~x-21二

2；x-22y+42\x-22)，+4

2y+4_，-2x=3

当且仅当<x-2-2。+4即《3时，等号成立,

x-2+2y+4=2

11

所以----+----的--最小值为2.

x-22y+4

故选；A.

，x<2,

6.已知函数/(R)=«工一2若/（/（々）+2）=[/S）T，则实数。的取值范围

(x-2)2,x>2,

是)

A.[2,+。)B.{1}J[2,W

C.[1,2]D.[1,+8)

【答案】A

【解析】令/(。)+2=/,由/("〃)+2)=[/(〃)了，得/⑺=(—2)2.

当/22时，（/一2『=（，-2）2恒成立，此时/（a）20,

ci<2,>2,

所以《1八或，,八2八解得。22；

------>0,(4-2)-20,

a-2

当/<2时，/（/）=达'则为=（'-2）、解得z=3,不满足题意舍去,

所以〃的取值范围为[2,+。）.

故选：A.

7.已知关于工的方程~+1=%恰有两个不同的解，则实数攵的取值范围为（

Vn-Q

A.xB.

，2

C.D.,4

2

【答案】A

4,八4

【解析】当攵K0时，由亍厂y+10°,则7-,~~+1>0,此时]~~+]=上无解；

国一攵\x\-k

A44

当%>0时,正V』等价于产+1=小到或产+1-（攵一）,

4।,

对于丽+1可得|x|=%+~；——

k-\

4k2-Z：+44

令&+—>0,即——>0,解得攵>1,此时】二出有两个解;

k-lk-\\x\-k

4

对于可得I止

即守”3+"420/+04«()

令我即4或4

氏+1>0%+1<0

-1+x/nI+A:-4<0

解得kNI+W/,(由于左>o,<舍去),

2k+i<o

当&=士普’⑶…一言=0,当心¥,言有两解’

4,,

综合上述可知：时，厂广+=攵有两个解,

&>1\x\-k1

k=7+『时,|^*+1=一％有一个解,

T+而时,"1^+1=一％有两个解,

2W-k

则八七叵4

时,rnv+i=%有三个或四个解，不符题意;

+1=%恰有两个不同的解，故1<攵<土姮

由于关于x的方程

2

所以实数&的取值范围为牛」,

故选：A.

8.某保健厂研制了一种足浴气血养生的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心

x（0<x<18）厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该

臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的

干扰度与产成反比，比例系数为2,对右脚的干扰度与0350-V）成反比，比例系数为

k,且当x=10时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06.则臭氧发生孔对左脚和右脚的干

扰度之和）'的最小值为（）

1234

A.—B.—C.—D・—

75757575

【答案】D

2k

【解析】由题意，知》=-7+----------T，O<x<18,

x"1350-r

;当x=10时,y=0.06,

2

----1-----------=0.06,解得〃=50,

1(X)1350-KX)

250

1350—f，0cxe18.

v0<x<18,.\1350-X2>0»

50

H----------

1350-x2

50x22(13503)50小

2+504>--5-2-+2

13501350-x21350x1350-x2

142（135°-f）=,即工=15时取等号,

——(52+20)=—,当且仅当

1350V775

x1350-x2

4

••.当x=15时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和最小，最小值为一.

75

故选：D.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的四个选项中，有多项符

合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.下列命题中，真命题为（）

A.空集是任何一个非空集合的真子集

B.Vx£R,4/>2X-1+3/

C.不等式的解集是{疝）<x〈l}

x

D.Vtz^eR,方程以+〃=0恰有一解

【答案】AC

【解析】对于A,空集是任何一个非空集合的真子集，符合真子集定义，A选项正确；

对于B,化简得/一21+1>0,BP（x-l）2>0,当x=l时，不等式不成立，B选项错误;

对于C,解不等式工21,得解集为{NOvxWl},C选项正确；

x

对于D,当。=0时，方程可能无解或有无穷多解，D选项错误.

故选：AC.

10.已知。泊为正实数，且出?+3。+〃=9,则（）

A.4〃的最大值为3

B.3。十Z?的最小值为6

c.a+〃的最小值为46一4

D.(〃+1『+(/?+3)2的最小值为28

【答案】ABC

【解析】因为〃为正实数，由基本不等式得：9=ub+3a+bNab+213ab，

(而了+26・必-9<0，令［=^，且，>0,则产+2收一940，

解得：—3WfW,又，>0,所以即0vJabW,

3a=b

即0vabW3,当且仅当，「，八，即〃=1/=3时取等号，

ab+3a+b=9

所以出?的最大值为3,故A正确；

由，力W3,3a+b=9-ab>6,即a=l/=3时取等号，

所以3。+6的最小值为6,故B正确；

因为"+3。+8=9,所以12=(。+1)(〃+3),又4人为正实数，

a+b+4

所以〃+1>0/+3>0,由基本不等式得12=(a+l)伍+3)美

~T

。+1=b+3

所以〃+4后一4,当且仅当<

12=(a+l)(b+3)'

即。=26-1,〃=26一3时取等号，C正确:

(«+l)2+(Z7+3)2>2(6/+l)(Z?+3)=24,

当且仅当。=2退-1/=2石-3时取等号，D错误.

故选：ABC.

11.已知连续函数/(X)满足：①Wx,ywR,则有，(x+y)=/(x)+/(y)+l,②当x〉0

时，/(x)<-l,③/(1)=-2,则以下说法中正确的是()

A./(0)=-1

B./(4x)=4/(x)+4

C.“X)在［-3,3］上的最大值是2

D.不等式/(3/)-2/(x)>〃3x)+2的解集为-0<x<芥

【答案】ACD

【解析】因为Vx,)，wR,则有/(x+y)=/(x)+/(y)+l,

令x=y=。，则〃O)=/(O)+/(O)+1,则/(。)=-1,故A正确；

令…,则/(2x)=/(x)+/(x)+l=2/(x)+l,

令2x代替％,y=2xfB!|/(2X+2X)=/(2X)+f(2X)+1=2〃2X)+1,

HP/(4x)=2/(2x)+1=2[2f(x)+1]+1,即〃4x)=4〃x)+3,故B错误；

设Vxj,%wR且x</，则/一玉>o，由/(x+y)=/(%)+/(y)+i，

令汁不则〃0)=〃X)+/(T)+1，即〃X)+/(T)=_2,

令x=x?，y=F，则/(/一与)=/(%)+/(-％)+1=/(々)-2-/(x)+l,

即/(9-芭)+1=/(爸)一/(%),

因为无>0H寸，/(X)<-1,又工2-%>。，故/(%2—.8)<一1,

所以/(%)—/(%)=/(%—玉)+1<0,所以/(七)</(%)，即“X)在R上单调递减,

又〃1)=_2,所以〃2)=2/(1)+1=-3，〃3)=〃2)+/⑴+1=4

又“3)+〃—3)=-2,所以〃-3)=-2-〃3)=2,

故“X)在卜3,3]上的最大值为2,故C正确；

由/(3d)-2/(x)>/(3x)+2,即/(3d)>/(x)+/(x)+1+/(3x)+1,

即/(3d)>/(2x)+/(3x)+l,即/(3x2)>/(5x),

故3f<5x，即x(3x-5)vO,解得0<x<|,

即原不等式的解集为・x|0<x<|,,故D正确：

故选：ACD.

三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若4={凡』+2工=3},3={乂融=1},且3=4,则实数a的值为.

【答案】0或1或

3

【解析】由V+2x=3得R=1或工二一3,BpA={l,-3},又BqA,

当8=0,即。=0时，显然符合题意；

当8={1},即々=1时，也符合题意；

当3={-3},即时，也符合题意；

综上所述，实数〃的值为0或I或-2.

故答案为：0或1或-1.

3

13,已知正实数-），满足3x+y+孙—13=0,且2/--442），7），恒成立，则，的取

值可能是_____.

3'

【答案】1（答案不唯一，-I-）

【解析】由题意有：（x+l）y=13—3x,所以），=二？二-----3,

x+1x+1

所以X+），=1+-!^-3=（工+1）+号一422J（工+1）・专-4=4,

当且仅当工+1=—9时，即x=3时，等号成立，

x+1

所以2y-g，=3（x+＞）-1323x4-13=—1,

又由2/一，一4V2y-X）恒成立，所以2/一，一4K（2y—不）曲，

所以2产—4V—1,即2『一1—3W0,解得一1＜，＜：,

-3'

故答案为：1（答案不唯一，*-1,-）.

14.对于定义域为。的函数/（尤），若同时满足下列条件：①/（X）在。内是单调函数；

②存在区间［〃回G。，使/（“在区间［〃例上的值域也为［。,可，则称/（X）为。上的

“精彩函数”，可为函数/⑴的“精彩区间”.若函数g（x）=＞/7百+m是“精彩函数”,

则实数〃?的取值范围为.

【答案】（一日，一4

【解析】由题意知g（x）=JTW+m的定义域为-

且g（x）=Jx+4+m在定义域上单调递增，

又函数区（x）=77+4+m是“精彩函数”，故VTF4+m=x有两个不等实数根，

即X2-（26+1）工+>-4=0有两个不等实数根,

m

设两根为Xrx2,且々』N-4,々>X12，

令力（x）=f-（2〃Z+1）X+〃?2-4,

A=(2W+1)2-4(/H2-4)>0

4/H+17>0

/?(，〃)=m2-(2m+1jm+m2-4>0/z?+4<0

/z(-4)=16+4(2"7+l)+〃/-4>0(〃Z+4)220

2w+1.

则《----->-42m+1.

2----->-4

2

2/〃+l

----->tn2冽+1

2----->m

2

17

解得----<m<-4,

4

<17-

故实数〃?的取值范围为一二，-4,

I4」

故答案为：（一?，-4.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

15.已知集合A={xllv2刀一1<9},B={x\m-\<x<2m}.

(1)若/〃—3,求AB,

(2)若AB=A,求〃:的取值范围.

解：(1)由l<2x—1<9,得l<x<5,则A={xh</<5}.

因为〃2=3,所以8={d2<x<6},

则=2c<5},41)8={疝<x<6}.

(2)由A|JB=A，可得

若B=0,则"L122m，解得m<-\.

m-1<2m

若3*0,则由可得，m-\>\,解得

2m<5

综上所述，川的取值范围为（-8,7]U2,1

16.设小看是关于文的方程/-2（m+2b+m2-1=（）的两个实数根.

（1）若一+—=-4,求〃?的值；

（2）若司,々是两个不相等的正数，求实数〃，的取值范围.

（3）若有一个正根，一个负根，且正根的绝对值较大，求实数，"的取值范围.

解：（1）由题意可得△=4（m+2）2—4（机2—1）之0,解得团2一：，

由韦达定理可得玉+勺=2（〃2+2）,工仔2=加2—1，

（II11M+X,2（^+2）/日,

则一+—=----"=—弓——=-4»且〃广一1/0,

%x2玉/nr-1

解得m=一;或"?=0,

经检验，符合题意，所以加=-：或加=0.

2

（2）因为％是两个不相等的正数，

4（机+2『-4"-1）〉0

A>0

2|,??+2）>0,解得m>l或一2<机<一1,

所以•%+占＞°，即，

V2>0nr-1>0

所以实数川的取值范围为1或一2＜机＜一1.

4

（3）因为有一个正根，一个负根.日F根的绝对值较大.

22

A＞0［4（/n+2）-4（/n-1）＞（）

所以1百十々＞0,即（2（〃2+2）〉0,解得一1＜相＜1,

x{x2＜0＞-1＜0

所以实数切的取值范围-1＜/7Z＜1.

17.已知函数=且H=

（1）求a的值；

（2）用定义法证明函数〃x）在［—1,1］上的单调性；

（3）求函数/（x）在区间（0,+8）上的最大值.

2.2+a_]+a_1+Q_4(1+a)_4

解：（1）将/=一代入函数：f

2555,

加H4

得：1+。=1,解得：。:0.

2r

（2）由（1）知a=0,故/（幻=一；一，在区间［-1,1］上，任取内,修且王<方，

JT+1

考虑函数值差:

/⑷-"”含-含=2士工2

+1X；+1J

+1)-々(x；+1)—2XIX2+Xl~X2Xl~X2

""(x；+l)(¥+l)——(X；+l)(X；+l)'

(^-%2)(If/)

=2-

(<+l)(^+l)

分母：（x；+l）（¥+l）>0（恒正）：分子中：工|<%，故

且在区间［T［］上，当王<42时，有司工2<1，

故《）-〃》2.^^

<0

由单调性定义，函数在［-L1］上递增.

2x

（3）由（1）知/（x）=r—,定义域为（0,+8）.

<4-1

f（}_2x2

因为x>o,所以制一了寸—一r,

XH—

X

因为x>0,所以工+,22、%・'=2,当且仅当尤二,，即工=1时取等号，

xVxx

所以X+L的最小值为2,此时/“）,=2=1.

x2

18.关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式同题的逻辑基础.两个正数的大小关

系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一.通过运

算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题.例如此题：己知。涉为正实数，且

4+8=1,则一+?的最小值为.

ab

其解法如下：^+1=^+^=^+^4-1>2./--+1=3,当且仅当2=3，即

abababNab。b

。二。=_L时，等号成立，因此e+9的最小值为3.

2ab

根据上述材料解决以下问题.

(1)已知小b,c为正实数，且a+b+c=l,求证：-^—+->4；

a+bc

]4。

(2)已知。>0，b>0,且。+〃=1,则——+------的最小值是多少？

4。2a+b

(3)某同学在解决题目“m知x为正实数，y为非负实数，且x+2y=2,则

三巴十”的最小值是多少?”时，给出如下解法：

xy+l

令，=y+l(f21),则x+2)，=2化为x+2/=4.

历-x2+\2(r-l)2।J1八/c八1212

原式=-----+————=x+-+2r+--2=(x+2r-4)+-+-=-+-

XtXytJXtXt

=；(L+2](x+2f)=J(5+2+当且仅当且=生，即x=/=3,即x=±,

41xt)x741.tx)4xt33

),二」时，等号成立.

3

利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知x>—2,》〉()，且x+2y=3,

广।/+3x+52y2+2y+1一日…口…,

则----------+———--的最小值是多少？

x+2y

解：(1)已知a,b,c为正实数，<7+/?+c=1»

11a+b+ca+b+c-ca+b/ca+b/

则nil----+-=--------+--------=2+-------+------->2+2---------------=4,

a+bca+bca+bc\a+bc

当且仅当C="+,即C=4+Z?='时，等号成立，得证.

et+bc2

14。144a+\-a4a

已知〃>则丁+_=+=

(2)0,b>0,4。2a7+Tb~A4~。―47+7(_n7+Tb\)~^1a-a+77\

a+\4a1.17

4aa+}444

当且仅当S二网■，即。=！，方=金时，等号成立，则1-+*—的最小值是N.

4。a+1334a2a+b4

(3)已知x>—2,y>。，令E=X+2(，>0),则x+2y=3化为，+2y=5.

原式二七巫生怔+止2=伉£[+伉+雪2

iyVt){y

<H3I小7+/

=(/4-2>+l)+-+—=6+-^-+一(/+2y)=6+15+]

y)y)

当且仅当"=,，即f=155而，即)，=5«5，x=135行时等号成立.

fy2

19.已知函数/(x)=3x?+x+Z:,^(x)=2x2-\x-(^+bx.

(1)若关于x的不等式/(刈>0在XER上恒成立，求实数人的取值范围;

(2)若。=1,(=1时,求g(x)在1且一2,3)上的值域;

(3)若，=-1,>=1时,设。Cv)=/(K)-g(x),记e(x)的最小值为〃(。)，求凤a)

的最小值.

解：(1)要使X的不等式3f+x+R>()在XWR上恒成立，

只需二次函数开口向上，且满足A<0,

由此可得：△=/一4X3XA:<0，解得攵〉」

12

所以实数k的取值范围是(卷,+纥).

(2)已知〃=1,〃=1时，^(x)=2x2-|x-l|+x.

当不£卜2,1)时，g(x)=2f+2x-l,由于函数开口向上且关于对称，

易知当工=-：时，g(x)取得最小值，最小值为g--

当工=一2时，g(x)取得最大值，最大值为g(-2)=3：

由此可得：函数g(1)在工«-2,1)上的值域为一/3.

当工«1,3)时，g(x)=2f+i,由于函数开口向上且关于y轴对称，

易知当x=l时，g(”取得最小值，最小值为g(l)=3；

当x=3时，g(x)取得最大值，最大值为g⑶=1