吉林省舒兰一中蛟河一中等百校联盟2026届数学高一下期末质量跟踪监视试题含解析

吉林省舒兰一中，蛟河一中等百校联盟2026届数学高一下期末质量跟踪监视试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知角、是的内角，则“”是“”的（）A．充分条件 B．必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知向量，，若，则（）A． B． C． D．3．设，，在，，…，中，正数的个数是（）A．15 B．16 C．18 D．204．已知圆，设平面区域，若圆心,且圆与轴相切，则的最大值为（）A．5 B．29 C．37 D．495．已知在中，两直角边，，是内一点，且，设，则（）A． B． C．3 D．6．已知等差数列的前项和为，若，则（）A．18 B．13 C．9 D．77．同时掷两枚骰子，则向上的点数相等的概率为（）A． B． C． D．8．若实数，满足约束条件，则的最大值为（）A．－3 B．1 C．9 D．109．过点且与直线垂直的直线方程是（）A． B． C． D．10．在中，内角的对边分别为，且，，若，则（）A．2 B．3 C．4 D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．某银行一年期定期储蓄年利率为2.25%，如果存款到期不取出继续留存于银行，银行自动将本金及80%的利息（利息须交纳20%利息税，由银行代交）自动转存一年期定期储蓄，某人以一年期定期储蓄存入银行20万元，则5年后，这笔钱款交纳利息税后的本利和为________元.（精确到1元）12．已知不等式x2-x-a>0的解集为x|x>3或13．已知扇形的半径为6，圆心角为，则该扇形的面积为_______.14．在锐角△ABC中，BC＝2，sinB+sinC＝2sinA，则AB+AC＝_____15．已知，，那么的值是________．16．已知（），则________.（用表示）三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．记为等差数列的前项和，已知，.（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值.18．等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，，，，.（1）求数列和的通项公式；（2）令，求数列的前项和.19．如图所示，经过村庄有两条夹角为的公路，根据规划要在两条公路之间的区域内修建一工厂，分别在两条公路边上建两个仓库（异于村庄），要求（单位：千米），记.（1）将用含的关系式表示出来；（2）如何设计（即为多长时），使得工厂产生的噪声对居民影响最小（即工厂与村庄的距离最大）？20．已知数列的首项.（1）证明:数列是等比数列；（2）数列的前项和.21．已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断【详解】在三角形中，根据大边对大角原则，若，则，由正弦定理得，充分条件成立；若，由可得，根据大边对大角原则，则，必要条件成立；故在三角形中，“”是“”的充要条件故选：C【点睛】本题考查充分条件与必要条件的应用，利用正弦定理确定边角关系，三角形大边对大角原则应谨记，属于基础题2、B【解析】

∵，∴.∴，即，∴,，故选B.【考点定位】向量的坐标运算3、D【解析】

根据数列的通项公式可判断出数列的正负，然后分析的正负，再由的正负即可确定出，，…，中正数的个数.【详解】当时，，当时，，因为，所以，因为，，所以取等号时，所以均为正，又因为，所以均为正，所以正数的个数是：.故选：D.【点睛】本题考查数列与函数综合应用，着重考查了推理判断能力，难度较难.对于数列各项和的正负，可通过数列本身的单调性周期性进行判断，从而为判断各项和的正负做铺垫.4、C【解析】试题分析：作出可行域如图，圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝1的圆心为，半径的圆，因为圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，可得，所以所以要使a2＋b2取得的最大值，只需取得最大值，由图像可知当圆心C位于B点时，取得最大值，B点的坐标为，即时是最大值.考点：线性规划综合问题.5、A【解析】分析：建立平面直角坐标系，分别写出B、C点坐标，由于∠DAB=60°，设D点坐标为（m，），由平面向量坐标表示，可求出λ和μ．详解：如图以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点坐标为（1，0），C点坐标为（0，2），因为∠DAB=60°，设D点坐标为（m，），=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）⇒λ=m，μ=，则．故选A．点睛：本题主要考察平面向量的坐标表示，根据条件建立平面直角坐标系，分别写出各点坐标，属于中档题．6、B【解析】

利用等差数列通项公式、前项和列方程组，求出，．由此能求出．【详解】解：等差数列的前项和为，，，，解得，．．故选：．【点睛】本题考查等差数列第7项的值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7、D【解析】

利用古典概型的概率公式即可求解.【详解】同时掷两枚骰子共有种情况，其中向上点数相同的有种情况，其概率为.故选：D【点睛】本题考查了古典概型的概率计算公式，解题的关键是找出基本事件个数，属于基础题.8、C【解析】

画出可行域，向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，向上平移基准直线到的位置，此时目标函数取得最大值为.故选C.【点睛】本小题主要考查利用线性规划的知识求目标函数的最大值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.9、D【解析】

由已知直线方程求得直线的斜率，再根据两直线垂直，得到所求直线的斜率，最后用点斜式写出所求直线的方程.【详解】已知直线的斜率为：因为两直线垂直所以所求直线的斜率为又所求直线过点所以所求直线方程为：即：故选：D【点睛】本题主要考查了直线与直线的位置关系及直线方程的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.10、B【解析】

利用正弦定理化简，由此求得的值.利用三角形内角和定理和两角和与差的正弦公式化简，由此求得的值，进而求得的值.【详解】利用正弦定理化简得，所以为锐角，且.由于，所以由得，化简得.若，则，故.若，则，由余弦定理得，解得.综上所述，，故选B.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查三角形内角和定理，考查两角和与差的正弦公式，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、218660【解析】

20万存款满一年到期后利息有200000×2.25%×（1-20%)，本息和共200000×2.25%×（【详解】20万存款满一年到期后利息有200000×2.25%×（1-20%)，本息和共200000×2.25%×（200000×(1.018)故填218660.【点睛】本题主要考查了银行存款的复利问题，由固定公式可用，本息和=本金×（1+利率×(1-12、6【解析】

由题意可知-2，3为方程x2【详解】由题意可知-2，3为方程x2-x-a=0的两根，则-2×3=-a，即故答案为：6【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.13、【解析】

用弧度制表示出圆心角，然后根据扇形面积公式计算出扇形的面积.【详解】圆心角为对应的弧度为，所以扇形的面积为.故答案为：【点睛】本小题主要考查角度制和弧度制互化，考查扇形面积的计算，属于基础题.14、1【解析】

由正弦定理化已知等式为边的关系，可得结论．【详解】∵sinB+sinC＝2sinA，由正弦定理得，即．故答案为1．【点睛】本题考查正弦定理，解题时利用正弦定理进行边角关系的转化即可．15、【解析】

首先根据题中条件求出角，然后代入即可.【详解】由题知，，所以，故.故答案为：.【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题.16、【解析】

根据同角三角函数之间的关系，结合角所在的象限，即可求解.【详解】因为，所以，故，解得，又，，所以.故填.【点睛】本题主要考查了同角三角函数之间的关系，三角函数在各象限的符号，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2），.【解析】

（1）先求出公差和首项，可得通项公式；（2）由（1）可得前项和，由二次函数性质可得最小值（只要注意取正整数）．【详解】（1）设的公差为，由题意得，，解得，.所以的通项公式为.（2）由（1）得因为所以当或时，取得最小值，最小值为-30.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式，方法叫基本量法．18、（1），；（2）【解析】

（1）由是等差数列，，，可求出，由是等比数列，，，，可求出；（2）将和的通项公式代入，则，利用裂项相消求和法可求出.【详解】(1)，，，解得.又，，.（2）由（1），得【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式的求法，考查了用裂项相消求数列的前项和，属于中档题．19、（1），；（2）.【解析】

（1）根据正弦定理，得到，进而可求出结果；（2）由余弦定理，得到，结合题中数据，得到，取最大值时，噪声对居民影响最小，即可得出结果.【详解】（1）因为，在中，由正弦定理可得：，所以，；（2）由题意，由余弦定理可得：，又由（1）可得，所以，当且仅当，即时，取得最大值，工厂产生的噪声对居民影响最小，此时.【点睛】本题主要考查正弦定理与余弦定理的应用，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型.20、（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）对两边取倒数得，化简得，所以数列是等比数列；（2）由（1）是等比数列.，求得，利用错位相减法和分组求和法求得前项和.试题解析：（1），又，数列是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）知，，即，设，①则，②由①-②得，.又.数列的前项和.考点：配凑法求通项，错位相减法.21、（1）；（2）【解析】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.详解：解：（1）因为，，所以．因