平衡中的临界极值问题（解析版）-高考物理易错点解读和针对训练

高考易错点解读和针对训练

第二章相互作用

易错点2.8平衡中的临界极值问题

易错点解读

L临界问题

当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出

现”或“恰好不出现”，该类问题的描述中常用“刚好”“刚能"''恰好”等语言叙述。临

界常见的种类：

（1）由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。

（2）绳子由松弛到绷紧，拉力F=0。

（3）恰好离开接触面，支持力N=00

2.极值问题

平衡问题的极值，•般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。

3.解决极值问题和临界问题的方法

（1）物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利

用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。

（2）数学方法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系（或

画出函数图像），用数学方法求极值（如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值）。但利

用数学方法求出极值后，一定要依据物理原理对该值的合理性及物理意义进行讨论或说明。

【典例剖析】

典例1（2022•浙江I月卷・T5）如图所示，学校门口水平地面上有一质量为根的石墩，石墩

与水平地面间的动摩擦因数为〃，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻

绳与水平面间的夹角均为。，则下列说法正确的是（）

A.轻绳的合拉力大小为塔

COS，

B.轻绳的合拉力大小为

cos+〃sin0

C.减小夹角。，轻绳的合拉力一定减小

D.轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小

【答案】B

【解析】对石墩受力分析，由平衡条件可知

Tcos6>=f

f="N

N=mg

联立解得丁二

cos0+“sin0

故A错误，B止确：

拉力的大小为

丁二〃mg_6mg

cos夕+，sin。Jl+心皿夕+一）

其中tane=〃，可知当9+0=90。时，拉力有最小值，即减小夹角。，轻绳的合拉力不一

定减小，故C错误；

摩擦力大小为

f=TesO=/mg任一=上型

cos6+〃sin01+/ztan9

可知增大夹角。，摩擦力一直减小，当6趋近于9（）。时，摩擦力最小，故轻绳的合拉力最小

时，地面对石墩的摩擦力不是最小，故D错误；

【针对性训练】

1.（2025•山东潍坊模拟预测）小明同学喜欢体育运动，他拖拉重物时拉力最大为1000在N,

某次训练中，体育老师将不同质最的重物置于倾角为15。的斜面上，让他拉动重物沿斜面

向上运动，重物与斜面间的动摩擦因数为自，则他能拉动的重物质量最大为（）

5°

A.100kgB.100V3kg

C.200kgD.200V3kg

答案：C

解析：设拉力F与斜面夹角为9,则他恰好拉动重物时有Feos?=mgsin15:+

〃何9COS15。一Fsin。），整理可得F=时=45；=,故当

v7〃sin6+cosev1+M2sin（0+<p）s\n[0+<p）

sin（®+0）=l时，m最大,则他能拉动的重物质量最大为m=—三工=200kg,故选C,

2.如图所示，三根轻质细线结于。点，OA另一端固定在天花板上的4点（位于圆心。'的

正上方），08、0C另一端分别连接质量为m的小球PCC视为质点）、质量为4m的物体Q。

将物体Q放置于粗糙水平面上，小球P放置于半径为R的光滑半圆柱上，当40、。处于

45

同一竖直线上时，0C处于水平且物体Q恰好不滑动，此时08=7R，00'=二R,最大

33

静摩擦力等于滑动摩擦力，则物体Q与水平面间的动摩擦因数为（）

C.0.20D.0.25

【参考答案】A

【名师解析】

根据题意，对小球p受力分析，受重力mg，光滑半圆柱的支持力N和绳子的拉力尸，小

球P受力平衡，画出拉力厂等大反向的力尸'，即为和N的合力，如图所示

F_mg

~OB~'OO'

代入数据解得

F二餐"吆

由余弦定理有

OB2=Ob-十OB1-200OBcos0

代入数据解得

cos<9=—

5

则

sin6=A/1-cos20=-

对结点。受力分析，如图所示

5

//////1///////

FA

;

/zzzzzzz/zzzzz[\

由0点平衡条件有

="sin。

F2

且[与尸大小相等，对物体Q受力分析,如图所示

-P/////////，////

NA

夕正？——4K

由平衡条件有，竖直方向

FN=4〃吆

水平方向

f=F.

乂行与尸2大小相等，且

f=*

联立各式，代人数据解得

〃=0.12

故选A,

3.如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m和2m的物块4&通

过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，月、8间的接触面和轻绳均与木板平行.A与8间、8与木

板间的动摩擦因数均为〃，设最大静摩擦力等「滑动摩擦力.当木板与水平面的夹角为45。时,

物块4、B刚好要滑动，则〃的值为（C）

答案C

解析根据题述，物块A、B刚要滑动，可知A、8之间的摩擦力/fl8=〃mgcos45。，8与木板

之间的摩擦力/=〃・3mgcos45。.隔离A分析受力，由平衡条件可得轻绳中拉力F=/AS+

mgsin45°.对A8整体，由平衡条件有2F=3mgsin45°一力联立解得〃=热选项C正确.

4.[2024湖北武汉部分学校调研]某鼓名矢量发动机（其喷口可以偏转，以产生不同方向的推

力）的战斗机沿水平方向飞行.已知战斗机的质量为m,升阻比（升力与阻力之比，升力主

要由机翼上下表面空气流速不同产生，垂直机身向匕阻力平行机身向后）为匕重力加速

度取g.战斗机匀速巡航时，该发动机提供的最小推力为（D）

A.mgB.^

K

cVfc2+1cVfc2+1

C丁mgD.^7rng

答案D

解析由题意可知战斗机在匀速巡航时受到的重力、升力、阻力的示意图如图所示，

▼

由于y=k为一定值，所以升力和阻力的合力的方向是确定的，设此合力与阻力的夹角为色

则tan?=k,易知cos9=当亘，将重力向左上平移至如图所示，由图示的几何关系可知，当

推力F与升力和阻力的合力垂直时，推力最小，故最小推力Fmin=mgcosO=^Umg,D正

K11

确.

5.[2024湖南常德一中开学考]如图所示，质量均为m的铁球和木块通过轻绳。连接，轻绳b

一端拴接在铁球上，另一端连接在弹簧测力计的挂钩上，通过弹簧测力计牵引铁球和木块一

起沿水平方向做匀速直线运动.当轻绳b与水平方向成30。角时弹簧测力计示数最小.己知重

力加速度为g，则（D）

A.木块与地面间的动摩擦因数为0.5

B.弹簧测力计示数的最小值为

C.弹簧测力计示数最小时，轻绳a上的拉力大小为夕ng

D.弹簧测力计示数最小时，轻绳a与竖直方向的夹角为60。

答案D

解析由于弹簧测力计牵引铁球和木块一起沿水平方向做匀速直线运动，则对铁球和木块整

体受力分析如图甲所示，当轻绳b与水平方向成30。角酎，弹簧测力计示数最小，此时轻绳

b上的拉力八整体的重力2mg,地而给木块的支持力九与地而给木块的摩擦力/的合力F

令的关系如图乙所示，根据几何关系可知a=30°,且tana=2、7=2mgsina、/=〃FN,解得

FN

〃=苧、T=mg,故A、B借误；弹簧测力计示数最小时，轻绳a与竖直方向的夹角为。，则

对铁球受力分析有Tsin30'+%cos0=mg、Tcos3Q°=Tas'\rO,联立解得。=60°、To=T=mg,

故（：错误、D正确.

答案A

解析对光滑球体受力分析，如图1所示，则由平衡条件有/Vi=A/2sin^,mg=N2cos3,联

立解得M=^mg,对光滑俅体与斜面体组成的整体受力分析，如图2所示，则由平衡条件有

4

M=〃N3,3mg=N3,联立解得〃=},A正确.

图1图2

7.如图所示，质量为m的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下

滑。对物体施加一大小为F、方向水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行。设最大静

摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角比时，不论水平恒力F多大，

都不能使物体沿斜面向上滑行。求：

二

(1)物体与斜面间的动摩擦因数；

(2)这一临界角&的大小。

答案：(1)y(2)60°

解析：(1)如图甲所示，未施加力F时，对物体受力分疥

由平衡条件得mgsin30°=pmgcos30°

解得〃=tan30°=yo

(2)设斜面倾角为a时，物体无法向上滑行，受力情况如图乙所示，由平衡条件得

Feosa=mgsina+F/

,=

FNmgcosa+Fsina,RW^FN'

解得y6，时11。+卬ngcosa

cosa—“sina

当cosa-〃sina=0,即tana=\/5时

不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，此时，临界角诙=。=60°。

8.（2024年12月四川成都石室中学适应性测试）如图所示，轻绳。的一端与质量为犯的物

块A连接，另一端跨过定滑轮与轻绳〃拴接于。点。与水平方向成。角的力产作用在。点，

质量为加2的物块B恰好与地面间没有作用力。已知。二60。，定滑轮右侧的轻绳。与竖直

方向的夹角也为重力加速度为X。当尸从图中所示的状态开始顺时针缓慢转动90。的过

程中，结点0、町的位置始终保持不变。则下列说法正确的是（）

B.m2=

C.轻绳。对定滑轮的作用力变大

D.地面对物块B的支持力变小

【答案】A

【解析】物块B恰好与地面间没有作用力，根据受力分析可知叫g="Z2gcos。

可知见=3也乃错误;

受力如图

7/////////////////////////////////////7.

由图可知，F的最小值为Enin=,z/igsin夕=g,A正确；

F从图中所示的状态顺时针转动90。的过程中，轻绳a的拉力大小始终等于A的重力大小，

轻绳对定滑轮的作用力不变，C错误；

F从图中所示的状态顺时针转动900的过程中，轻绳bH勺拉力变小，故地面对物块B的支

持力变大，D错误。

9..（2024广东中山期末）如图所示，质量为仍的物体中通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结

点为。，轻绳。8水平且B端与放在水平面上的质量为g的人相连，轻绳。4与竖直

方向的夹角8=37。，物体甲、人均处于静止状态。已知sin370=0.6,cos37°=0.8。

g取10m/s2。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则：

（1）轻绳、OB受到的拉力分别是多大？

（2）人受到的摩擦力是多大？方向如何？

（3）若人的质量m2=60kg,人与水平面之间的动摩擦因数〃=0.3,欲使人在水平

面上不滑动，则物体甲的质量m最大不能超过多少？

33

泮g♦,⑵严方向水平向左；⑶24kg

（1）以结点O为研究对象,如图所示

沿水平方向和竖直方向建立直角坐标系，将FOA分解，由平衡条件有

F°B—F0人sin37。=0

J]COs37'一町g=0

联立解得

「5

f

FOA=-^g

厂3

F°B=}"hg

（2）人水平方向受到08绳的拉力和水平面的静摩擦力，受力如图所示

,厂3

f=FOB=~m^

方向水平向左；

（3）当甲的质量增大到人刚要滑动时，质量达到最大，此时人受到的静摩擦力达到最大值。

当人刚要滑动时，静摩擦力达到最大值

fm="hg

由平衡条件得

又

Wtan37：=

/=^m=lm^町mg

联立解得

〃%二24kg

即物体甲的质量町最大不能超过24kgo

10.（2024陕西宝鸡期末）如图所示，质量为mi=10kg的物体甲通过三段轻绳相连，三段轻