河南省平顶山市汝州市实验中学2026届高一数学第二学期期末达标检测模拟试题含解析

河南省平顶山市汝州市实验中学2026届高一数学第二学期期末达标检测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数图象的一个对称中心和一条对称轴可以是（）A．， B．，C．， D．，2．如图，已知四面体为正四面体，分别是中点.若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（）.A． B． C． D．3．（）A． B． C． D．4．若函数和在区间D上都是增函数，则区间D可以是（）A． B． C． D．5．已知实数，满足，，且，，成等比数列，则有（）A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值6．过点A(3，3)且垂直于直线的直线方程为A． B． C． D．7．设，是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，给出下列四个命题，正确的是（）A．若，，则 B．若，，，则C．若，，，则 D．若，，，则8．已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是，，，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为（）A． B． C． D．9．如图，位于处的海面观测站获悉，在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救．在处南偏西且相距20海里的处有一救援船，其速度为海里小时，则该船到求助处的时间为（）分钟．A．24 B．36 C．48 D．6010．已知半圆C：（），A、B分别为半圆C与x轴的左、右交点，直线m过点B且与x轴垂直，点P在直线m上，纵坐标为t，若在半圆C上存在点Q使，则t的取值范围是（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知数列的前项和为，则其通项公式__________．12．如图，某人在高出海平面方米的山上P处，测得海平面上航标A在正东方向，俯角为，航标B在南偏东，俯角，且两个航标间的距离为200米，则__________米.13．已知实数满足条件，则的最大值是________.14．已知实数满足约束条件，若目标函数仅在点处取得最小值，则的取值范围是__________.15．已知，则的值为．16．设的内角、、的对边分别为、、，且满足.则______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列的前项和为.（1）求这个数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.18．已知函数.（1）求的值；（2）设，求的值.19．已知数列的前项和为，满足，数列满足.（1）求数列、的通项公式；（2），求数列的前项和；（3）对任意的正整数，是否存在正整数，使得？若存在，请求出的所有值；若不存在，请说明理由.20．已知函数，，且是R上的奇函数，（1）求实数a的值；（2）判断函数）的单调性（不必说明理由），并求不等式的解集；（3）若不等式对任意的恒成立，求实数b的取值范围.21．已知不共线的向量，，，.（1）求与的夹角的余弦值；（2）求.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

直接利用余弦型函数的性质求出函数的对称轴和对称中心，即可得到答案．【详解】由题意，函数的性质，令，解得，当时，，即函数的一条对称轴的方程为，令，解得，当时，，即函数的一个对称中心为，故选B．【点睛】本题主要考查了余弦型函数的性质对称轴和对称中心的应用，着重考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．2、A【解析】

通过补体，在正方体内利用截面为平行四边形,有，进而利用基本不等式可得解.【详解】补成正方体，如图.∴截面为平行四边形,可得，又且可得当且仅当时取等号，选A.【点睛】本题主要考查了线面的位置关系，截面问题，考查了空间想象力及基本不等式的应用，属于难题.3、B【解析】

根据诱导公式和两角和的余弦公式的逆用变形即可得解.【详解】由题：故选：B【点睛】此题考查两角和的余弦公式的逆用，关键在于熟记相关公式，准确化简求值.4、D【解析】

依次判断每个选项，排除错误选项得到答案.【详解】时，单调递减，A错误时，单调递减，B错误时，单调递减，C错误时，函数和都是增函数，D正确故答案选D【点睛】本题考查了三角函数的单调性，意在考查学生对于三角函数性质的理解应用，也可以通过图像得到答案.5、C【解析】试题分析：因为，，成等比数列，所以可得，有最小值，故选C.考点：1、等比数列的性质；2、对数的运算及基本不等式求最值.6、D【解析】过点A(3，3)且垂直于直线的直线斜率为，代入过的点得到.故答案为D.7、C【解析】

利用线面、面面之间的位置关系逐一判断即可.【详解】对于A，若，，则平行、相交、异面均有可能，故A不正确；对于B，若，，，则垂直、平行均有可能，故B不正确；对于C，若，，，根据线面垂直的定义可知内的两条相交线线与内的两条相交线平行，故，故C正确；对于D，由C可知，D不正确；故选：C【点睛】本题考查了由线面平行、线面垂直判断线面、线线、面面之间的位置关系，属于基础题.8、B【解析】

由题意，可先求得三个人都没有被录取的概率，接下来求至少有一人被录取的概率，利用对立事件的概率公式，求得结果.【详解】甲、乙、丙三人都没有被录取的概率为，所以三人中至少有一人被录取的概率为，故选B.【点睛】该题考查的是有关概率的求解问题，关键是掌握对立事件的概率加法公式，求得结果.9、A【解析】

利用余弦定理求出的长度，然后根据速度、时间、路程之间的关系求出时间即可.【详解】由题意可知：，运用余弦定理可知：该船到求助处的时间，故本题选A.【点睛】本题考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力.10、A【解析】

根据题意，设PQ与x轴交于点T，分析可得在Rt△PBT中，|BT||PB||t|，分p在x轴上方、下方和x轴上三种情况讨论，分析|BT|的最值，即可得t的范围，综合可得答案．【详解】根据题意，设PQ与x轴交于点T，则|PB|＝|t|，由于BP与x轴垂直，且∠BPQ，则在Rt△PBT中，|BT||PB||t|，当P在x轴上方时，PT与半圆有公共点Q，PT与半圆相切时，|BT|有最大值3，此时t有最大值，当P在x轴下方时，当Q与A重合时，|BT|有最大值2，|t|有最大值，则t取得最小值，t＝0时，P与B重合，不符合题意，则t的取值范围为[，0）]；故选A．【点睛】本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】分析：先根据和项与通项关系得当时，，再检验，时，不满足上述式子，所以结果用分段函数表示.详解：∵已知数列的前项和，∴当时，，当时，，经检验，时，不满足上述式子，故数列的通项公式．点睛：给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求.应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.12、1【解析】

根据题意利用方向坐标，根据三角形边角关系，利用余弦定理列方程求出的值．【详解】航标在正东方向，俯角为，由题意得，．航标在南偏东，俯角为，则有，．所以，；由余弦定理知，即，可求得（米．故答案为：1．【点睛】本题考查方向坐标以及三角形边角关系的应用问题，考查余弦定理应用问题，是中档题．13、8【解析】

画出满足约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义求解最大值即可.【详解】实数,满足条件的可行域如下图所示:将目标函数变形为:,则要求的最大值,即使直线的截距最大,由图可知,直线过点时截距最大,,故答案为:8.【点睛】本题考查线性规划的简单应用,解题关键是明确目标函数的几何意义.14、【解析】

利用数形结合，讨论的范围，比较斜率大小，可得结果.【详解】如图，当时，，则在点处取最小值，符合当时，令，要在点处取最小值，则当时，要在点处取最小值，则综上所述：故答案为：【点睛】本题考查目标函数中含参数的线性规划问题，难点在于寻找斜率之间的关系，属中档题.15、【解析】

利用商数关系式化简即可．【详解】，故填．【点睛】利用同角的三角函数的基本关系式可以化简一些代数式，常见的方法有：（1）弦切互化法：即把含有正弦和余弦的代数式化成关于正切的代数式，也可以把含有正切的代数式化为关于余弦和正弦的代数式；（2）“1”的代换法：有时可以把看成．16、4【解析】

解法1有题设及余弦定理得.故.解法2如图4，过点作，垂足为.则，.由题设得.又，联立解得，.故.解法3由射影定理得.又，与上式联立解得，.故.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】

（1）当且时，利用求得，经验证时也满足所求式子，从而可得通项公式；（2）由（1）求得，利用错位相减法求得结果.【详解】（1）当且时，…①当时，，也满足①式数列的通项公式为：（2）由（1）知：【点睛】本题考查利用求解数列通项公式、错位相减法求解数列的前项和的问题，关键是能够明确当数列通项为等差与等比乘积时，采用错位相减法求和，属于常考题型.18、（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）直接带入求值；（2）将和直接带入函数，会得到和的值，然后根据的值．试题解析：解：（1）（2）考点：三角函数求值19、（1），；（2）见解析；（3）存在，.【解析】

（1）利用可得，从而可得为等比数列，故可得其通项公式.用累加法可求的通项.（2）利用分组求和法可求，注意就的奇偶性分类讨论.（3）根据的通项可得，故考虑的解可得满足条件的的值.【详解】（1）在数列中，当时，.当时，由得，因为，故，所以数列是以为首项，为公比的等比数列即.在数列中，当时，有，由累加法得，，.当时，也符合上式，所以.(2).当为偶数时，=；当为奇数时，=.(3)对任意的正整数,有，假设存在正整数，使得，则，令，解得，又为正整数，所以满足题意.【点睛】给定数列的递推关系，求数列的通项时，我们常需要对递推关系做变形构建新数列（新数列的通项容易求得），常见的递推关系、变形方法及求法如下：（1），用累加法；（2），可变形为，利用等比数列的通项公式可求的通项公式，两种方法都可以得到的通项公式.（3）递推关系式中有与前项和，可利用实现与之间的相互转化.另外，数列不等式恒成立与有解问题，可转化为数列的最值（或项的范围）来处理.20、（1）0（2），（3）【解析】

（1）根据奇函数的性质可得．，由此求得值（2）函数在上单调递增，根据单调性不等式即可（3）不等式．．分离参数即可．【详解】（1），是上的奇函数．．即得：．即，得：．，．（2）由（1）