莆田某中学2025届九年级上学期期末质量检测数学试卷（含答案）

莆田擢英中学2024.2025学年上学期九年级期末质量检测

数学试卷

（考试时间：120分钟满分：150分）

一、单选题：每小题4分，共40分。

1.桦卯是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，被誉为“中华民族千年非遗瑰宝如下图是

2.在一个不透明的口袋中装有红球和白球共6个.这些球除颜笆外都相同，将口袋中的球搅匀后，若从中

随机摸出一个白球的概率是:，则白球的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

3.如图，在△ABC中，DE//BC,黑=2.若AE=6,则EC的长为（)

HL）

A.1B.2C.3D.9

4.如图，将“8C绕点C顺时针旋转后得到△A7TC,且点8'恰好落在边48上，若N4=70。，则N/VC4=

()

A.35。B.70°C.20°D.40°

5.已知点4（-2,），）8（2,%）在反比例函数丁=-上12的图象上.则X和内的大小关系是（）

x

A.y,>y

2B.,2%c.y,<y2D.其《巴

6.2025年1月7日4时（）0分，长征三号乙运载火箭成功将实践二十五号卫星发射升空，也使2025年中国

航天发射任务取得“开门红”。如图当火箭上升到点A时，雷达在与发射点L相距akm的海平面R处测得其

仰角为0,则此时雷达测得火箭A上升的距离AL为（）

*

A.atanOkmB.akmC.6tsin〃kmD.&km

tan。sin。

7.将抛物线丁=-3/-1向左平移2个单位长度,再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）

A.y=-3（x+2『+lB.y=-3（x-2）2-3

C.y=-3（x+2）2-3D.y=-3（A-2）24-l

8.如图，PA,PB是。。的切线，A,B是切点,点C为。。上一点，若NP=40。，则NAC8的度数为（）

A.70°B.50°C.20°D.40°

9.如图，抛物线>=〃小+。经过正方形。43c的三个顶点A,3,。，点8在J轴上，贝的值为（）

A.-IB.-2C.-3D.-4

10.如图，“AC中，ZC=90°,BC=5,D为BC边上一点,CD=l,AC>BC,£为边AC上一动点，当

N8EO最大时CE的长为（）

A.2B.3C.75D.273-1

二、填空题：每小题4分，共40分。

11.若A（-3,2）,则点A关于原点的对称点的坐标为

12.若sin（x+150）=+，则锐角4

13.已知一个扇形的弧长为3兀，半径为2,则这个扇形的面积为.

14.如图，△A8C与。£尸位似，点。为位似中心，aABC与刀£尸的面积之比为1:4,若03=2,则OE的

长为.

15.已知小〃是方程/+3工-5=°的两个实数根，则/-3〃+2025的值是.

16.如图，已知在平面直角坐标系中，点A在亢轴负半轴上，点8在第二象限内，反比例函数），二七的图象

X

经过△。48的顶点8和边人8的中点C,如果△。人8的面积为6,那么女的值是.

三、解答题：共9题，共86分。

17.(8分)计算：------+2cos300-1-V3+(^--2025)°

<2)

18.（8分）一次函数y=依+〃与反比例函数为y,=2*>0）交于点41,3）,8（3,m）.

x

⑴求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）在x轴上找一点P,使得的面积为6,求出。点坐标.

19.（8分）央视一套《三餐四季》节目播出，主持人撒贝宁、王嘉宁和嘉宾刘玉林、方志忠、顾中一等组

成寻味团，探索莆田当地美食.其中有“莆田卤面”、“妈祖平安面”、“豆浆炒米粉”、“病豆腐”。

（1）小湄想从以上这4道美食中随机选择1道品尝，则她选中“妈祖平安面”的概率为；

⑵湖州某中学拟从这4道美食中选择2道作为美食节特色菜肴，若用AB,C,。分别表示“练市羊肉”，“吴

均汤包”，“鲜菱虾茸”，“南河定胜糕”，请用画树状图或列表的方法求出恰好选中“练市羊肉”，“吴均汤包”

的概率.

（2）新春来临，某商场举行美食节活动，拟从这4道美食中选择2道作为美食节经典菜肴，若用A、B、C、

D分别表示“莆田卤面”、“妈祖平安面”、“豆浆炒米粉”、“烟豆腐”，请用画树状图或列表的方法

求出恰好选中“莆田卤面”，“豆浆炒米粉”的概率.

20.（8分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品

牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售375个，5月份销售540个，且从3月份到5月份销

售量的月增长率相同.

⑴求该品牌头盔销但量的月增长率：

⑵若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上

售价每上涨1元/个，则月销售量将减少1（）个，要使销售该品牌头盔每月获得的利润最大，则该品牌头盔每

个的售价应为多少元？

21.（8分）如图，ZiABC内接于CO，AB=AC,AO是。。的宜径，交BC于一点、E.连接3D.

⑴尺规作图：过点。作。厂〃区C,交的延长线于点尸（用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，保留

作图痕迹，不必写作图过程）

（2）求证：DF是。的切线；

22.（10分）已知整数a,/〃，〃满足♦+〃=〃"?.

⑴求证：+2〃7泌为非负数；

⑵若〃为偶数，判断卬〃-4〃是否可以为奇数，说明你理由.

23.（10分）根据以下素材，探索完成任务

如何设计高架桥的限高及车道宽方案？

图1高架桥是一段圆弧拱形结构，图2是它的示意

图.经测量，拱形跨度24m,拱顶离地面6m.

图2

如图3,某道路规划部门计划将左侧公路分为非机动N

车道、机动车道一、机动车道二及绿化带四部分，

素

原计划设计非机动车道宽3m,每条机动车道宽均为

材

3.5m.为了保证车辆的行驶安全，高架下方需要设

2

置限高标志以警示车辆驾驶员（限高即图中小的高

度）

如图4,由于城市道路绿化需求，道路规划部门确定

素新方案为在非机动车道和机动车道一之间增加一条

材宽为Im的绿化带，中间绿化带宽度不变，每条机动

3车道道宽均不小于3.25m且相等，非机动车道最高

高度不小于2.5m.

问题解决

任

在图2中补好图形，标注字母、数据等信息，

务确定桥拱所在圆弧的半径.

求出桥拱所在圆弧的半径长.

1

任

在图3中画出图形，标注字母、数据等信息，

务探究原计划该高架桥下方机动车道一的限高要求.

计算确定机动车道一的限高高度.

2

任给巴一对符合新方案要求的非机动车道和机动

务拟定新方案下非机动车道和机动车车道宽度.车道的道宽值.

3（参考数值:）92.75=9.63,34.75=11.61）

24.（12分）如图1,已知抛物线C:y=ad+公-3与x轴交于点A（—3,0）和点8（1,0）,与），轴交于点C.

图2

（2）点尸在抛物线上，若4c了的内心恰好在y轴上，求出点P的坐标;

（3）如图2,将抛物线G向右平移三个单位长度得到抛物线G，点M，N都在抛物线g上，且分别在第四象

限和第二象限，连接分别交工轴、），轴于点及F,若/NOF=/MOE,求证：直线MN经过一定点.

25.（14分）（1）证明推断

如图1,在正方形A3。。中，点E是对•角线BO上一点，过点E作AE,8。的垂线，分别交直线3。于点尸,

G.推断：AE与所的数量关系为.；（直接写出答案）

（2）类比探究

AR

如图2,在矩形A8CZ）中，—=/n,点E是对角线8。上一点，过点E作AE,80的垂线分别交直线8C于

BC

点F,G.探究tanNEA厂的值（用含机的式子表示），并写出探究过程;

（3）拓展运用

在(2)

图1图2

《莆田擢英中学2024-2025学年上学期九年级期末质量检测数学试卷》

参考答案

题号12345678910

答案DBCDAACABC

11.(3,-2)

12.45°

13.34

14.4

15.2039

16.-4

/[丫2

17.-I--+2cos300-11-A/3|+(^--2025)O=6

18.(1)解：(I)将41,3),代以="(x>0),得〃=3,

"X

二反比例函数的解析式为％=巳3，将8(3,/〃)代入必=31,得〃?=1,

xx

/.gl),

3=k+b[k=-1

将A,8两点坐标代入X=M+〃，得।…,解得<人“，

\=3k+bb=4

，一次函数解析式为y=T+4,

・•・两个函数的解析式分别为X=-x+4,y,=±；

x

(2)解：当。在工轴上时，设口5,0),

Q4P的面积为6,

.'.5=±4,

••.P点坐标为(4,0)或(<0),

19.(1)解：选中“妈祖平安面”的概率为：］

4

(2)解:画出树状图如下:

开始

所有等可能结果有12种，其中恰好选中“莆田卤面''，"豆浆炒米粉”的可能结果有2种,

21

，恰好选中“莆田卤面”，“豆浆炒米粉”的概率为：—

12o

20.(1)解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x,

由题意得：375(1+x)2=540,

解得：％=0.2=20%,%=-2.2<0(不合题意，舍去).

答：该品牌头盔销售量的月增长率为2。％.

(2)解：设该品牌头盔的实际售价应定为了元/个，利润为W元

由题意得：(3^-30)[600-10(v-40)]=W,

整理得：W=-lOv2+13OOy-3OOOO,

这是一个关于y的二次函数，开口向下，其最大值出现在顶点处

b13001300~

..v-—=~==65

"2a2x(-10)20

答：所以当售价为65元/个时，利润最大.

21.(1)解：根据题意作图，如下图所示;

<2)证明：如下图，连接C。,

A'BF

•••AO是。的直径,

；・NACD=NABD=90°,

VAB=ACtAD=AD,

:.Rt4C0^RL.48D（HL）,

CD=BDt

・•・点。在线段BC的垂直平分线上，

又「AB=AC,

・•・点A在线段BC的垂直平分线上，

・•・A。垂直平分3C,

ZAEB=90°,

■:DF//BC,

・•・ZAO尸=ZA£B=90。，HPAD1DF,

•••4。是。的直径，

・・・。/是。的切线；

22.（1）证明：'：a+b=mn,

1222222

••a-lr+2mnb=ci-b+2（a+b）b=a-b+2ab+2Jr=a+lab+h=（a+b）~

•・•（6/+/?）2>0

a2b2I2〃?,法为非负数.

（2）不可以，理由如下：

•・Z,T加，〃为整数,〃为偶数，

・,.mn为偶数,

*.*a+b=mn,

***a+。为偶数，

・・・a,〃同为偶数或者同为奇数，

・・・4-、为偶数，

若WL。”为奇数,则（。一匕）〃［为奇数，

・•・〃一人为奇数,

・•・4-6为奇数与吁）为偶数矛盾，

/.〃/〃-切〃不可以为奇数.

23.任务一：解：过点。作交A5于点〃，交：。于点E,连接Q4,设半径为八贝的OH=r-6,

AH=-AB=\2,

2

由题意得：OA2=OH2+AH2

222

即：r=(r-6)+12,解得：r=15；

任务二：解：连接OF,过点尸作向G1OE于点G,则：四边形CHG厂为矩形,

.・.CF=GH,FG=CH,

VAC=3,AH=-AB=\2,

2

:.CH=FG=9,

在RtZXOPG中，

由题意得:OF2=FG、OG2,即：152=92+OG"

解得：OG=12,

:,GH=OG—OH=[2-9=3,

:.FC=3；

OG=OH+HG=l1.5,

'FG=doF2-OG2=J152—11.5?=J92.75=9.63,

・•・CH=FG=9.63,

由（2）得：绿化带2PH的宽度为：9-2x3.5=2m,

9.63-1-2

・•・机动车道宽:=3.31m,非机动车道宽:12-9.63=2.37m.

2

24.(1)解：把点4-3,0)和点8(1,0)分别代入解析式，得:

。+8一3二0

'9a-3b-3=()

a=\

解得：

b=2

故抛物线的解析式为3'=.r+2x-3:

(2)作点8关于》轴的对称点连接CA'并延长交抛物线于点P，点。为所求的点，如图1，

/.ZACO=^A:CO,

图1

「.△Ab的内心在y轴上，

在y=/+2x-3中，令x=0,贝iJy=-3,

故点C的坐标为(0,-3),

设直线C9的解析式为y=把点C、8'的坐标分别代入解析式，得:

一攵+/?=0

'b=-3

k=-3

解得:

b=-3'

「•直线CAf的解析式为)，=-3x-3,

联立得」…丁丁，

y=-3x-3

x=-5x=0

解得：尸12或

)'=一3'

.••点P的坐标为(-512)；

(3)证明：如图2：过点M作于点。，过点N作NPJ.y轴,

将抛物线G：)，=f+2x-3=(x+l)2-4向右平移3个单位长度得到抛物线G，

.•抛物线G的解析式为：y=(x-2)2-4=x2-4x,

点M,N都在抛物线G匕且分别在第四象限和第二象限，

二•设点M的坐标为(％,X-4.V,XM-4x_1<0),点N的坐标为(4,x；-4X2)(X2<0),

:.PN=-x,OP=x；-4X2,OQ=X),QM=-(x：—4$),

设直线MN的解析式为y=〃a+%代入得：

y=x2-4x

y=rfix+n'

得f-(4+m)x-〃=0,

则X1+x2=4+rn,x”?=一”，

•/NNOP=NMOQ,Z.OPN=NOQM=90°,

OPNsOQM,

PN_OP

,•丽一丽’

.—X)x；—

•一3；-4X])x,

得：xix2=(西修)2-4芭占(F+占)+16司占»

得：(一〃f—4x(一〃)x(4+"?)+15x(-〃)=0,

整理得：+〃+4/77/2=0»

得n(n+1+4/n)=0,

由图象可知〃工0,

「.〃+1+4〃z=0,

〃+1

/.tn=--------,

4

/?+1

y=--------x+n,

*4

当x=4时，y=-l,

.••直线MN经过一定点(4,-1).

25.解：(I)AE=EF

理由如下：

QAE±EF,EG1BD,

;.ZAEF=/BEG=90。,

ZAEB=/FEG,

四边形A3CO是正方形，

ZABE=NEBG=45。,

「.△BEG是等腰