七年级（下学期）数学平行线拐点难点：40道专项训练题集

七年级下数学重难点专题训练：平行线拐点问题模型汇总

模型一：“M”型(猪蹄模型)

类型一型

模型总结：已知Q〃儿

乙？+乙P?+…+乙匕.卢乙尸产乙2+乙。2+…+乙

即所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和

例：1.(I)如图1,己知AB〃C7),求证：NBED=Nl+N2.

(2)如图2,已知A8〃CO,写出Nl、NEGH与N2、N8EG之间数量关系，并加以证

明.

(3)如图3,已知CO,直接写出Nl、N3、N5、与N2、N4、N6之间的关系.

【分析】(1)过点七作£尸〃4从依据平行线的性质，即可得到N3+N4=N1+N2,进

而得出NBEO=N1+N2；

（2）分别过点E、G作E尸〃A8,GH//AB,依据平行线的性质，即可得到N1+N5+N6

=Z3+Z4+Z2,进而得到N1+NEGH=N2+NBEG；

（3）分别过平行线间的折点作48的平行线，依据平行线的性质，即可得到N1、/3、

N5与/2、N4、N6之间的关系.

【解答】解：（1）证明：如图，过点E作七尸〃人以

■:AB//CD,

：,AB//CD//EF,

AZ3=Z1,Z4=Z2,

/.Z3+Z4=Z1+Z2,

即N8EO=N1+N2：

（2）Nl+NEGH=N2+NBEG,

理由如下：如图，分别过点E、G作石尸〃A&GH//AB,

■:AB//CD,

J.AB//EF//GH//CD,

・・・N1=N3,N4=N5,Z6=Z2,

:.Zl+Z5+Z6=Z3+Z4+Z2,

即N1+N£G〃=N2+N4EG：

（3）由题可得，向左的角度数之和与向右的角度数之和相等，

工/1、N3、N5与N2、N4、N6之间的关系为：

N1+N3+N5=N2+N4+N6.

⑴⑵

通关训练：

2.如图，已知AB〃C。，NB=30°,ZD=I2O°.

(2)请探索N£与N尸之间满足何数量关系？并说明理由：

(3)如图2,己知E-平分N3ERFG平分/EFD,反向延长/G交£：尸于点尸，求

的度数.

3.如图，AB//CD,点A,E,B,。不在同一条直线上.

(2)如图2.直线柠tCP交于点、P,且N84r=2/8AE,ZDCP=^.ZDCE.

33

①试探究NE与NP的数量关系：

②如图3,延长CE交出于点。，若A石〃PC,ZBAQ=a(0°<a<22.5°),则NPQC

的度数为(用含a的式子表示)

4.如图，已知A8〃CZZ现将直角三角形尸MN放入图中，其中NP=90°,PM交AB于点、

E,PN交C。于点足

(1)当直角三角形PMN所放位置如图①所示时，NP/7)与/AEM存在怎样的数量关系？

请说明理由.

(2)当直角三角形PMN所放位置如图②所示时，请直接写出NPF。与NAEM之间存在

的数最关系.

(3)在(2)的条件下，若MN与CD交于点O,且N4EM=40°,NDON=20°,则

NN的度数为.

•:AB"CD,EF//AB,

J.EF//CD.

AZ2=ZC.

*/ZAEC=Z\+Z2,

:.ZAEC=ZA+ZC.

请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题.

(1)如图2,若AB〃CD,NE=60°,则NB+NONF=.

(2)如图3,AB//CD,BE平分NABG,C尸平分/OCG,ZG=Z/7+27°,E、B、H

共线，F、C、，共线，则N”=

7.如图1,已知AB〃CD,BP、QP分别平分NABD、

(2)如图2,将8。改为折线BED,BP、OP分别平分NA8E、NEDC,其余条件不变,

若N8EO=I40。，求N8/Y)的度数;

(3)如图3,若广=152°,N£77)=136°,BP、OP分别平分NABE、/CDF,其

余条件不变，那么N8PO=

8.已知A8〃CO,点E在A8与。。之间.

(1)图1中，试说明：ZBED=ZABE+ZCDE；

(2)图2中，NA3E的平分线与NCQ上的平分线相交于点R请利用(1)的结论说明：

ZBED=2ZBFD.

(3)图3中，/ABE的平分线与NC7)E的平分线相交于点F,请直接写出N8EO与/

8尸。之间的数量关系.

9.已知：点£、点G分别在直线A8、直线。。上，点”在两直线外，连接EF、FG

(1)如图1,AB//CD,求证：ZAEF+ZFGC=ZEFG；

(2)若直线A3与直线CO不平行，连接EG,HKG同时平分和N〃GQ如图2,

请探索/人EANFGC、NEFG之间的数量关系？并说明理由.

10.如图，已知AB〃CD.

(I)发现问题：若/AB产NCDF=±NCDE,则//与NE的等量关系

22

为•

(2)探究问题：若ZCDF=1ZCDE.猜想：N/与NE的等量关系,

33

并证明你的结论.

(3)归纳问题：若NCDF=Z/CDE.直接写出/尸与NE的等量关

nn

E-

CD

11.【引入】如图1,已知NABC+N£C8=180°,NP=NQ,求证：Z1=Z2.

【变式】如图2,AB//CD,Z1=Z2,求证：ZF=ZM

模型二：铅笔模型

类型二铅笔型

模型总结：已知。〃人

乙1+42+41+42+匕3+/P|+乙P?+…+4P”」

乙3=360。44=540。乙P“=(〃-1)-180。

例：12.模型与应用.

【模型】

（1）如图①，已知AB〃CO,求证/1+/“用7+/2=360°.

【应用】

（2）如图②，已知A8〃CD,则N1+N2+N3+N4+/5+N6的度数为.

如图③，已知A8〃CD则N1+N2+N3+N4+N5+/6+…+N〃的度数为.

（3）如图④，已知A8〃CQ,NAM1M2的角平分线MiO与的角平分线

交于点0,若NMiOM〃=w°.在（2）的基础上，求N2+N3+N4+N5+N6+……+/〃

-1的度数.（用含小、〃的代数式表示）

【分析】（1）过点E作样〃C。，根据平行线的判定得出破〃/W,根据平行线的性质得

出即可；

（2）过E作EQ〃CD过尸作尸卬〃CO,过G作GR〃CD,过，作”丫〃CO,根据平

行线的判定得出EQ〃产卬〃67？〃〃丫〃48〃。，根据平行线的性质得出即可；

（3）过点。作SR〃AB,根据平行线的性质得出即可；

【解答】（1）证明：过点石作“〃C。，

*：AB//CD,

：.EF//AB,

.*.Z1+ZMEF=18O°,

同理N2+NNE/=180°,

，Nl+/2+NM£N=360°；

过E作EQ〃C。，过尸作尸卬〃CD,过G作GR〃CD,过“作“Y〃C。，

,:CD〃AB,

/.EQ//FW//GR//HY//AB//CD,

/.Z1+ZA/E(2=18O°,ZQEF+ZEFW=1SO°,ZWFG+ZFGR=\SO°,ZRGH+Z

GHK=180°,Ny〃N+N6=180°,

・・・N1+N2+N3+N4+N5+N6=5X180°=900°,

同理N1+/2+N3+/4+N5+N6+…+N〃=180°(??-1),

故答案为:900°,180°(n-1)；

(3)解：过点。作SR〃A8,

•:AB"CD,

：.SR//CD,

：.N4M1O=NMOR

同理NCM〃O=NM〃OR

JZAM\O+ZCMnO=ZM]OR+ZM„OR,

<,

AZAM\O+ZCMllO=ZM\OMfl=m,

•.•MiO平分NAM1M2,

:.ZAM}M2=2ZAM\O,

同理/CMnMn-|=2ZCMnO,

:.ZAM\M2+ZCMnMn-l=2ZAMiO+2ZCMnO=2ZM\OMn=2mG,

又•.•/AMIM2+/2+N3+N4+N5+N6+...+N〃-1+NCM〃M“-1=180°(n-I),

N2+N3+N4+N5+N6+-+N〃-1=(180«-180-2,-n)°.

通关训练:

13.如图1,M4I〃N42,则/AI+NA2=度.

如图2,MA]//NA3,则/AI+NA2+NA3=度.

如图3,,则/4+/42+/小+/4=度.

如图4,MA\//NA5,则/AI+NA2+NA3+NAI+NA5=度.从上述结论中你发现

了什么规律？

如图5,MA\//NAn,则N4+NA2+NA3+…+乙4〃=度.

14.如图，AB//CD,点F在CE上,NEAF=TNBAF,若N4EC=105°,ZDCE=115°,

3

求NA/T的度数.

15.直线A8〃CD,E为直线AB、CO之间的一点，完成以下问题：

(1)如图I,若NB=15°,NBED=90°,则/0=；

(2)如图2,若N8=a,ZD=p,求出/BE。的度数(用。、S表示)；

(3)如图3,若NB=a,ZC=P，则八0与N8EC之间有什么等量关系？请猜想证明.

的思路是：如图2,过户作PE〃A8,通过平行线性质，可求得/APC的度数.

请写出具体求解过程.

问题迁移：

(1)如图3,AD//BC,点P在射线。用上运动，当点P在4、B两点之间运动时，Z

AOP=Na,ZfiCP=Zp.NCP。、Na、Np之间有何数量关系？请说明理由；

(2)在(1)的条件下，如果点P在4、B两点外侧运动时(点P与点A、B、。三点不

重合)，请你直接写出/CP。、Na、N0间的数量关系.

17.如图，BN//CD,点力是直线8N上一点，P是直线4B与直线C。之间一点，连接AP,

PC.

(1)求证：N8AP+NC=NP；

(2)过点C作CM平分NPCD,过点C作C从LCM交NNA尸的角平分线于点£,过点

。作。「〃AE交CM于点“，探索NCFP和N4PC的数量关系，并说明理由：

(3)在(2)的条件下，若2NAEC-NC尸产=240°,Q是直线CO上一点，请直接写

出NPFQ和N/。。的数量关系.

模型三：钩型(臭脚模型和骨折模型)

型型三钩型

模型总结：已知。〃人

⑦

乙1=43一乙241+乙2+乙1=42一乙3乙2+乙3一

43=180。乙1=180。

例：18.(1)如图1,AB//CD,平分/OCE,若NDCF=30°,NE=20°,求/ABE

的度数；

(2)如图2,已知A8〃CQ,NEBF=2NABF,C/平分NQCE,若N尸的2倍与NE的

补角的和为190。，求NABE的度数；

(3)如图3,若P是(2)中的射线BE上一点，G是。。上任一点，PQ平分NBPG,

PQ//GN,GM平分N0GR若NB=30°,求NMGN的度数.

DG

DO

【分析】根据平行线的判定与性质，三角形的内角杆定理，三角形的一个外角等于与它

不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义解答即可二

【解答】解：

(I)过F作石“〃

'：AB//CD

CD//EM//AB

・•・ZABE=ZBEM

ZDCE=ZCEM

YCF平分/DCE

:.ZDCE=2ZDCF

VZDCF=30°

，ZDC£=60°

・・・NCEM=60°

又•••NCEB=20°

，NBEM=ZCEM-ZCEB=40°

：.ZAB£=40°,

(2)过七作KM〃/IB,过户作FN〃AB

♦：ZEBF=2/ABF

,设NA"=JGZEBF=2x,则N4BE=3x

TCF平分NOCE

/.设NOCF=ZECF=y,则ZDCE=2y

*：AB//CD

：.EM//AB//CD

：.ZDCE=ZCEM=2v

ZBEM=ZABE=3x

，NCEB=4CEM-Z.BEM=2y-3x

同理NCF8=y-x

V2ZCra+(180°・/CEB)=190°

：.2(>--x)+180°-(2y-3x)=190°

：.x=\00

：,ZABE=3x=30°,

(3)过P作PL//AB

TGM平分NQGP

・••设NQGM=NPGM=»则NOGP=2y

；P。平分N3PG

，设NBPQ=NGPQ=x,则NAPG=2r

'：PQ//QN

：・4PGN=/GPQ=x

'：AB//CD

PL//AB//CD

:"GPL=/DGP=2〉

/BPL=/ABP=3。"

*：ZBPL=NGPL-/BPG

A30°=2y-2x

：.y-x=\5°

•/4MGN=4PGM-ZPGN=y-x

:・/MGN=\5°.

通关训练：

19.已知4M〃CM点8为平面内一点，A8_L8C于艮

(1)如图1，直接写出NA和/C之间的数量关系；

(2)如图2,过点6作于点。，求证：ZABD=ZC；

(3)如图3,在(2)间的条件下，点石、F在OM上，连接3E、BF、CF,BF平分N

DBC,8E平分N48O,若NFC8+NNCF=180°,/BFC=3/DBE,求NE8C的度数.

20.为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹.”引入

阳光特色大课间.如图是某同学“抖空竹.”时的一个瞬间，王聪把它抽象成如图的数学

问题：已知A8〃CQ,N£48=80°,ZEC£>=110°,求NE的度数.

21.如图，BE//CF,N4=30°,ZC=80°,求的度数.

22.(1)(问题)如图1,若A8〃CO,ZAEP=4Qa,ZPFD=130°.求NEP/的度数；

(2)(问题迁移)如佟2,AB//CD,点。在A8的上方，问NPEA,NPFC,NEPF之

间有何数量关系？请说明理由；

(3)(联想拓展)如图3所示，在(2)的条件下，已知/石夕尸=。，ZPEA的平分线和

NPFC的平分线交于点G,用含有a的式子表示NG的度数.

图102图3

23.已知AB〃CO,点七在A3上，点G在CQ上，点厂在直线A3、C。之间，分另!连接

EF、FG,ZBEF+ZDGF=2ZEFG.

(1)如图1,求NEFG的度数；

(2)如图2,若NBEF的角平分线与FG的延长线交于点M,求证：NAEF-2/FME

=60。；

(3)如图3,已知点P在/G的延长线上，点K在。。上，点N在NPGC内，分别连接

NG,NK.若NK//EF,/PGN=2/NGC,请直接写出/・2NGNK的

2

值.

24.同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.

(1)如图1,若A8〃C。，点尸在AB、CO内部，请写出/BP。、NB、NO之间的数

量关系(不必说明理由)；

(2)如图2,将直线A8绕点8逆时针方向转一定角度交直线C。于点Q,利用(1)中

的结论求N8P。、NB、/。、N8Q。之间有何数量关系？并证明你的结论；

(3)如图3,设打'交4c于点交。尸于点N.已知NAM8=140°,N4N/=105°,

利用(2)中的结论直接写出N8+NE+/产的度数和/A比N尸大多少度.

25.综合探究：

已知，AB〃CD,点M、N分别是A8、CD上两点，点G在A8、CD之间，连接MG、

NG.

(1)如图1,若GM1GN,求NAMG+NCNG的度数；

(2)如图2,若点。是CO下方一点，MG平分N8WP,ND平分NGNP,已知NBMG

=40°,求NMGN+NMPN的度数.

26.已知直线A3〃C£).

(1)如图I,请直接写出NBME、NE、NENO的数量关系为；

(2)如图2,NABM=T/MBE,NCDN=Z/NDE,直线M3、ND交于点、F,若NF

33

=10°,求NE的度数；

(3)如图3,的角平分线所在的直线与NCNE的角平分线相交于点P,试探窕N

P与NE之间的数量关系，并证明你的结论.

27.如图，已知直线4B/CQ.

(1)在图1中，点M在直线A8上，点N在直线CD上，/BME、/E、NEM)的数量

关系是;(不需证明)

(2)如图2,若GN平分/CNE,FE平分NAMG,且NG+』NE=60°,求NAMG的

2

度数；

(3)如图3,直线8M平分/ABE,直线DN平分NCQE相交于点R求NF：NE的值;

(4)若NCDN=L/NDE,则41=______.(用含有〃的代数式

nnNE

表示)

图1囱203

(1)求证：ZABE+ZC-Z£=I8O°.

(2)如图2,EG平分NBEC,过点B作RH〃GE,求/尸8,与NC之间的数量关系.

(3)如图3,CN平卷/ECD,若B/的反向延长线和CN的反向延长线交于点M,且/

E+NM=130°,请直接写出NE的度数.

29.如图，平面内的直线有相交和平行两种位置关系

(1)如图①，口知A8/7CO,求证：/BPD=/B+ND；(提示；可过点P作PO〃A6)

图①图②

30.如图，AB//CD,分别探讨下面四个图形中NAPC'与NA,NC的关系，请你从所得的

关系中任意选取一个加以说明.

图（1）结论：；图（2）结论：；

图（3）结论：；图（4）结论：.

你准备证明的是图，请在下面写出证明过程.

31.如图1,将两根笔直的细木条MM£尸用图钉固定井平行摆放，将一根橡皮筋拉直后用

图钉分别周定在MMEF上,橡皮筋的两端点分别记为点A,点艮

（1）图1中，点P在A8上，若Nl=110°,则N2=°；

（2）P为橡皮筋上一点，用皮筋的弹性拉动橡皮筋，使A,B,P三点不在同一直线，后

用图固定点P.

①如图2,若点户在两根细木条所在直线之间，且N1+N2=9（T,试判断线段AP与8P

所在直线的位置关系，并说明理由；

②如图3,若点。在两根细木条所在直线的同侧，且Nl+N2=9（）°,ZI=31°,试求

NAPB的度数；

（3）如图4,Pi,P2两点在两根细木条所在直线之间，拉动橡皮筋并固定，若N1+N2

=90°,则N4PIP2+NBPIP2=

32.阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1,AC//BD,点E为直线4c上方一点，连接CE、DE,

猜想NC、NO、NE的数量关系，并证明.

小叨发现，可以过点E作MN/7AC来解决问题，如图2,请你完成解答；

用学过的知识或参考小明的方法，解决卜面的问题：

如图3,AB//CD,P是平面内一点，连接AP、CP,使AP〃BD,ZAPC=100°,BM、

CM分别平分NAB。、NQCP交于点M,求NM的度数.

33.如图，已知直线A、C分别为MB、ND上的点，E为直线MB、NZ）外的一

点，连接4E、EC.

（1）£在直线MB的上方（如图1）,求证：NAEC+NECD=NEAB；

（2）若NM4E与NNC£两角的角平分线交于尸点，请在图2中将图形补充完整，并直

接写出NAEC与NAFC之间的数量关系；

（3）若NE4B的角平分线的反向延长线与NNCE的角平分线交于G点（如图3）,且N

AGC比NAEC的土倍多50°,求NAEC的度数.

34.已知直线AB〃CD,E为直线AB、C。外的一点，连接AE、EC.

（1）E在直线4B的上方（如图I）,求证：ZAEC+^EAB=ZECD；

（2）NBAF=2NEAF,NOC尸=2NEC尸（如图2）,求证：ZAEC=^.ZAFC；

2

（3）若石在直线48、CO之间，在（2）条件下（如图3）,且NA”•比NAEC的卫倍少

3

40。，则NAEC的度数为（不用写出解答过程）.

EE

DD

图1图2

35.如图：已知AB〃/）七,若NABC=60°，/。。E=140。，求NACO的度数.

36.如图，已知AB〃CO,点E在直线A8,C。之间.

(1)求证：NAEC=NBAE+NECD；

（2）若A"平分NZME,将线段CE沿CQ平移至〃G.

①如图2,若N4EC=9()°,HF平分NDFG,求/AW的度数;

②如图3,若HF平分NCFG,试判断NAH/与N4EC的数量关系并说明理由.

37.如图，平面内有两条直线同A3、CD,RAB//CD,尸为一动点.

（1）当点尸移动到如图（1）的位置时，这时N4尸C与NA,NC有怎样的关系？并说

明理由：

（2）当I点P移动到如图（2）的位置时，这时ZAPC与乙4,NC又有怎样的关系？说

明你的理由；

（3）当点P移动到如图（3）的位置时，直接写出N4PC与NA,NC的关系式；

（4）当点P移动到如图（4）的位置时，直接写出NAPC与N4,/C的关系式.

38.如图所示，已知A8〃C。，分别探讨下面四个图形中，ZAPC,与NPC。的关

39.已知48〃。。，点P为平面内一点，连接4P、CP.

（1）探究：

如图（1）ZPAB=\453,ZPCD=\35°,则NAPC的度数是；

如图（2）N%8=45°,NPCO=60",则NAPC的度数是.

（2）在图2中试探究/4PC,ZPAB,NPC。之间的数量关系，并说明理由.

（3）拓展探究：当点P在直线4B,C。外，如图（3）、（4）所示的位置时，请分别直接

40.探究:

（1）如图“，若AB〃CD,则N6+你能说明为什么吗？

（2）反之，若NB+ND=NE,直线A8与。。有什么位置关系？请证明；

（3）若将点石移至图力所示位置，此时N〃、N。、NE之间有什么关系？请证明;

（4）若将七点移至图c所示位置，情况乂如何？

（5）在图d中，AB//CD,NE+NG与又有何关系？

（6）在图。中，若A6〃CZ）,又得到什么结论？

七年级下数学重难点专题训练：平行线拐点问题模型汇总

1.(1)如图1,已知A8//C。，求证：NBED=Nl+/2.

(2)如图2,已知写出/I、NEGH与N2、N8EG之间数量关系，并加以证

明.

(3)如图3,已知A8〃CQ,直接写出Nl、N3、N5、与N2、N4、N6之间的关系.

【分析】(1)过点石作石尸〃人以依据平行线的性质，即可得到N3+N4=N1+N2,进

而得出/BEO=N1+N2；

(2)分别过点E、G作E”〃AB,GH//AB,依据平行线的性质，即可得到N1+N5+N6

=Z3+Z4+Z2,进而得到N1+/EGH=N2+N8EG；

(3)分别过平行线间的折点作A3的平行线，依据平行线的性质，即可得到Nl、N3、

N5与N2、N4、N6之间的关系.

【解答】解：(1)证明：如图，过点七作石产〃AB,

:,AB〃CD〃EF,

AZ3=Z1,N4=N2,

・・・N3+N4=/l+/2,

即N6£Z)=/1+Z2；

(2)Z1+ZEGH=Z2+ZBEG,

理由如下：如图，分别过点£、G作七/〃人8,GH//AB,

■:AB//CD,

：,AB//EF//GH//CD,

/.Z1=Z3,Z4=Z5,Z6=Z2,

:.Z1+N5+N6=N3+N4+N2,

即Nl+NEGH=N2+/8fG；

(3)由题可得，向左的角度数之和与向右的角度数之和相等,

，/1、N3、/5与N2、N4、N6之间的关系为：

Z1+Z3+Z5=Z2+Z4+Z6.

2.如图，已知48〃C。，ZB=30°,ZD=120°.

A

图1

(1)若NE=60°,则N0=90°.

(2)请探索NE与NF之间满足何数量关系？并说明理由；

(3)如图2,已知EP平分NBEEFG平分NEF。,反向延长产G交七夕于点P,求NP

的度数.

【分析】(1)分别过点E，尸作EM〃48,FN//AB,根据平行线的性质得到NB=NBEM

=30°,/MEF=/EFN,ZD+ZDF^=180°,代入数据即可得到结论；

(2)根据平行线的性质得到/8=N8EM=30°,ZMEF=ZEFN,由4B〃CD,AB〃

FN,得到CO〃产M根据平行线的性质得到ND+/D叩=180°,于是得到结论；

(3)过点尸作/；”〃七P,设N跳孑'=2x°,则NEFO=(2x+30)°,根据角平分线的定

义得到NPEF=L/3EF=x°,ZEFG=^ZEFD=(A+15)。，根据平行线的性质得

22

到,NP=NHFG,于是得到结论.

【解答】解：(1)如图I,分别过点£尸作EM〃人B,FN//AB,

J.EM//AB//FN,

••・NB=N8EM=30°./MEF=NEFN,

又,：ABHCD、AB//FN,

：.CD〃FN,

••・NO+NDHV=180°，

又•・•/£>=120°,

：・NDFN=60°,

/.ZBEF=ZMEF+300,ZEFD=ZEFN+60a,

/.ZEFD=ZMEF+60a

；・NEFD=NBEF+300=90°；

故答案为：90°；

(2)如图1,分别过点E,尸作FN//AB,

J.EM//AB//FN,

，NB=N8£M=30°.ZMEF=ZEFN,

又•：ABH3、AB//FN,

:.CD〃FN,

AZD+ZDF/V=I8O°,

又・・・ND=120°,

，NOFN=60°,

：・/BEF=/MEF+30°,ZEFD=ZEFN+600,

：,ZEFD=ZMEF+60<,,

；.NEFD=NBEF+3O0；

(3)如图2,过点尸作叫7〃“，

由(2)知，NEFD=/BEF+30°,

设NBE”=2x°,则NEFD=(2v+30)°,

TEP平分/BEF,GF平分/EFD,

:・/PEF=—BEF=x。,/EFG=L/EFD=(X+15)°,

22

,:FH〃EP,

：・/PEF=/EFH=x°,ZP=ZHFG,

•:NHFG=/EFG・4EFH=\50,

AZP=150.

3.如图，AB〃CD,点4,E,B,。不在同一条直线上.

(2)如图2.直线7，CP交于点、P,且NDCP=L/DCE.

33

①试探究NE与NP的数量关系：

②如图3,延长CE交附于点。，若AEHPC,ZBAQ=a(0°<a<22.5°),则NPQC

的度数为180°-8a(用含a的式子表示)

【分析】(1)如图1,过E作E尸〃A8,根据平行线的性质即可得到结论；

(2)①设N84/=x,N84E=3x,ZDCP=y,ZDCE=3y,由(1)知，NE=180°-

ZC+ZA=180°-3(y-x),如图2,过〃作夕G〃C。，根据平行线的性质即可得到结

论；

②如图3,过P作尸G〃CO,根据平行线的性质即可得到结论.

【解答】解：(1)如匡1,过七作E/〃4B,

\'AB//CD,

：.AB//EF//CD,

AZAEF=ZA,ZC+ZFEC=180°,

AZE=ZAEF+ZFEC=ZA+1800-ZC,

即NE+/C-NA=180°；

(2)①NDCP=L/DCE,

33

・••设/84/=工，ZBAE=3x,ZDCP=y,NDCE=3y,

由(1)知，NE=180°-ZC+ZA=1800-3(y-x),

如图2,过尸作PG〃CD,

•:AB"CD,

：.AB//PG,

：.ZGPA=ZBAF=x,ZGPC=ZPCD=yf

/.ZAPC=y-x,

即NE=I8O°-3NR

②如图3,过P作PG〃CO,

•••/84Q=a,

：.ZQAE=2a,

*：AE//PC,

：,ZQAE=ZAPC=2a,

由①知，ZAEC=180°-3Z/4PC=180°-6a,

，NPQC=ZAEC-NQAE=1800-6a-2a=180°-8a,

故答案为：180°-8a.

4.如图，已知A8〃CQ,现将直角三角形PMN放入图中，其中NP=90°,PM交AB于点

E,PN交CD于点、F.

⑴当直角三角形PMN所放位置如图①所示时，NP/7?与N4EM存在怎样的数量关系？

请说明理由.

(2)当直角三角形PMN所放位置如图②所示时，请直接写出NPFQ与NAEM之间存在

的数量关系.

(3)在(2)的条件下，若MN与C。交于点0,且NAEM=40°,NDON=20",则

NN的度数为30°.

图①图②

【分析】(1)作PH//AB,根据平行线的性质得到NPFD=NHPN,

根据/MPN=90°解答；

(2)根据平行线的性质得到NPFZ)+/8”N=180°,根据NP=90°解答；

(3)根据对顶角相等，直角三角形的性质，平行线的性质以及三角形外角的性质H算即

可求解.

【解答】解：(1)如图①，作PH//AB、

则NA£W=N〃QV/,

'：AB//CD,PH"AB,

：,PH//CD,

・•・ZPFD=/HPN,

•:/MPN=9U°,

・・・NPFO+NAEM=90°,

故答案为：ZPFD+ZAEM=90°；

(2)猜想：NPFD-NAEM=90°；

理由如下：-AB//CD,

；・NPFD+NBHN=180°,

•/4BHN=/PHE,

：.ZPFD+ZPHE=\^°,

VZP=90°,

：・/PHE+/PEB=90°,

•；NPEB=NAEM,

，NP”£+NAEM=90°,

ZPFD-NA£M=90°；

(3)VZP=90°,ZPEB=ZAEM=40,),

:・NPHE=900-NPEB=900-40°=50°,

•:AB"CD,

；・NHFO=/PHE=50°,

•:/DON=20°,

/.ZN=ZHFO-ZDON=30°.

故答案为：30。.

5.已知，AB//CD.点M在44上，点N在C£＞上.

(1)如图1中，NBME、NE、NENO的数量关系为：/BME=NMEN-NEND；

(不需要证明)

如图2中，NBMF、NF、NRV。的数量关系为：/BMF=/MFN+/FND；(不需

要证明)

(2)如图3中，NE平分/FND,MB平分NFME,且2/E+N尸=180°,求/FME的

度数；

(3)如图4中，N3ME=60°,EF平分/MEN,NP平分/END,fiEQ//NP,则N尸EQ

的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出NPEQ的度数.

【分析】（I）过七作EH〃A8,易舄EH"ABHCD,根据平行线的性质可求解；过厂作

FH//AB,易得FH〃AR〃CD,根据平行线的性质可求解；

（2）根据（I）的结论及角平分线的定义可得2（NBME+NEND）+NBMF-4FND=

180°,可求解NBM/=60°,进而可求解；

（3）根据培训心得性质及角平分线的定义可推知/FEQ=』NBME,进而可求解.

2

【解答】解：（1）过上作EH〃A8,如图1,

YAB//CD,

：,HE//CD,

:.NEND=NHEN，

/.ZMEN=NMEH+/HEN=ZBME+NEND,

即NBME=NMEN-ZEND.

如图2,过/作

；・N3MF=NMFK,

•:ABaCD,

：,FH//CD,

：・4FND=/KFN,

："MFN=/MFK-NKFN=4BMF-NFND,

即：ZBMF=ZMFN+ZFND.

图2

故咨案为NBME=/MEN-/END；/BMF=/MFN+4FND.

(2)由(1)得/BME=NMEN-/END；NBMF=NMFN+NFND.

•・・NE平分NFN£>,MB平分NFME,

ZFME=ZBME+ZBMF,/FND=ZFNE+ZEND,

,：2ZMEN+ZMFN=180°,

，2(NBMEtNEND)+NBMF-NFND=T8()”,

：・2NBME+2NEND+NBMF-NFND=180°,

SP2ZBMF+ZFND+ZBMF-ZF/VD=180°,

解得/8加/=60°,

/.ZFMF=2ZBMF=120°；

(3)/在。的大小没发生变化，ZFEQ=30°.

由(1)知：NMEN=/BME+NEND,

•：EF平分/MEN,NP平济/END,

:・NFEN=LNMEN=L(/BME+NEND),NENP=L/END,

222

YEQf/NP,

：,ZNEQ=NENP,

:.NFEQ=NFEN-NNEQ=LQBME+NEND)-工NEND=L/BME,

222

VZBME=60°,

.,.ZFE(2=-lx60o=30°.

6.请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题.

小明：老师说在解决有关平行线的问题时.，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅

助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型——“猪蹄模型即

已知：如图1,AB//CD,E为AB、CQ之间一点，连接A七,CE得到NAEC.

求证：^AEC=ZA+ZC.

小明笔记上写出的证明过程如下:

证明：过点E作£尸〃八8,

AZ1=ZA.

'：AB〃CD,EF〃AB,

：.EF//CD.

AZ2=ZC.

*/NAEC=N1+N2,

JZAEC=N4+NC.

请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题.

(1)如图2,若A8〃C£),ZE=60°,则N8+NC+NF=240°.

(2)如图3,AB//CD,8石平分NA4G,C尸平分NQCG,NG=N〃+27°,E、B、H

共线，F、C、〃共线，则NH=51°.

180°,由角的和差计算N3+NC+N〃的度数为240°；

(2)由角平分线得・・・/A8G=2Nl,ZDCG=2Z4,根据直线石尸〃EF//CD得2

Zl+Z7=180°,2Z4+Z8=I8O°,等式的性质得2(NI+N4)=ZBGC+180°；直

线MN〃4B,加双〃。。得/1=/5,N4=N6,等量代换2(N5+N6)=ZBGC+180°,

又因N8GC=N8”C+27°求得N8”C的度数为51°.

【解答】解：(1)过点E、尸分别作EM〃A8,FN//AB,如图2所示：

B

------------M

•v---F

图2

AZ1=ZB,

又•：FN"AB,

：.FN//EM,

AZ2=Z3,

又・../W〃C。,

:・FN〃CD,

AZ4+ZC=180°,

又•：/BEF=N1+N2,NEFC=N3+N4,N8EF=60°

:.ZB+ZEFC+ZC=Z1+Z3+Z4+ZC

=(Z1+Z2)+(Z44-ZC)

=60°+180°

=240°；

(2)过点G、〃作E尸〃4B,MN//AB,如图3所示：

〈BE平分NA8G,CF平分NQCG,

/.ZABG=2Z\,NOCG=2N4,

又•：EF"AB,

・・・2Nl+N7=180°,

又VAB〃CD,

：.EF//CD,

/.2Z4+Z8=180°,

/.Z7+Z8=360°-2(Z1+Z4),

又・・・N7+N8+N8GC=180°,

：・2(Z1+Z4)=ZBGC+180°,

又YMN//AB,

AZ1=Z5,

%：ABHCD,

:.MN〃CD,

JZ4=Z6,

，2(Z5+Z6)=ZBGC+180°,

又•••N5+N6+N8"C=180°,

••・N8GC+2N5〃C=180°,

又N8GC=NB，C+27°,

：・3/BHC旬。=180°,

/.ZBHC=51°；

故答案为：240。，51c.

(2)如图2,将BO改为折线BED,BP、DP分别平分NA8E、"DC,其余条件不变，

若/BED=140。,求N6P£>的度数；

(3)如图3,若NBEF=152°,NEFD=136°,BP、QP分别平分N48E、ZCDF,其

余条件不变，那么N8PQ=54°.

【分析】(I)先根据平行线的性质得出N4B/X/BQC=NI8O°,再根据角平分线的定

义得出/PBZMNPOB的度数，由三角形内角和定理即可得出结论；

(2)连接80,先求出NE8O+NEQ8的度数，再由立行线的性质得出NA8O+NCD8的

度数，由角平分线的性质得出NP出升NPOE的度数，根据N6"O=18(r-NPBE-PDE

-NEBD-NEDB即可得出结论.

(3)连接80,先求出NEBD+NFOB的度数，再求出NPBE+NP。/的度数，再礼用三

角形内角和定理即可解决.

【解答】解：(1).：AB〃CD,

：.ZABD+ZBDC=Z1800,

•:BP、OP分别平分NAB/)、NBDC,

：.ZPBD+^PDB=90°,

・・・NBPZ)=I8O°-90°=90°.

(2)连接B。，

VZBED=140°,

AZEBD+Z£DB=40°,

•:AB"CD、

・・・NA8O+NCO8=18(J°,

•:BP、OP分别平分NABE、/EDC,

：,ZPBE=^-ZABE,NPDE-/CDE,

22

：.ZPBE+ZPDE=1.X(180°-40°)=70°,

2

，ZBPD=I8O0-/PBE-PDE-NEBD-NEDB=7