球（内切球、外接球）的表面积与体积小题专练-2026届高三数学一轮复习

球（内切球、外接球）的表面积与体积且AB/AC,NSC4=30。，若AB=6,S4=2,

小题专练则三棱锥S-ABC的外接球的表面积为（）

一、单选题A.104兀B.647cC.52兀D.48兀

1.（2025・四川眉山.模拟预测）己知某圆锥的轴截

7.（25・26高三上•江西•月考）已知正三棱柱

面是边长为6的等边三角形，则该圆锥的内切球的

A8C-AMC所有的顶点都在球。的球面上，记

表面积为（）

球。的体积为耳，正三棱柱A8C-AAG的体积

A.9兀B.16兀C.12兀D.166兀

为匕，则高的最小值为（）

2.若三棱锥尸-ABC的四个面都为直角三角形,

且PA_L平面A5C,PA=AB=\,AC=2,则

其外接球的表面积为（）

A.64B.54C.4乃D.34

8.（25-26高三上•山东聊城•开学考试）瓷器是由

3.（25-26高二上.河北•期中）空间两定点A（0,0,0）,瓷石、高岭土、石英石、莫来石等烧制而成的，其

8。,2,2）,动点2aMz）满足国=2网,则外表施有玻璃质釉或彩绘.通过在窑内的高温烧制,

瓷器表面的釉色会因为温度的不同从而发生各种

点P围成的几何体体积为（）

化学变化.某瓷器可近似地看作由一个半球、一个

9兀32兀

A.—B.9兀C.-----D.16兀圆柱和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器

23

的体积为（）

4.（25-26高三上•广东深圳•月考）已知球。内切

于正四棱台（即球与该正四棱台的上、下底面以及

侧面均相切），且该正四棱台的上、下底面棱长之

比为1:2,则球。与该正四棱台的体积之比为（）

A.£B.叵C.巴D.叵

141477

5.（25-26高三上•山东青岛•期中）已知圆台的上

下底面半径之比为1:2,它的内切球（与圆台的

上下底面以及每条母线都相切的球）表面积为4兀；二、多选题

则该圆台的体积为（）9.（25-26高三上•广东广州・月考）已知正四棱台

ABC。-AMGA（上下底面都是正方形的四棱

台）.下底面4BCD边长为2,上底面边长为1,

6.已知三棱锥S—AAC中，平面"C_L平面ABC,

侧棱长为及，则正确的是（）C.正四棱台A8CO-AgGA的外接球的表

A.它的表面积为5+3近kg上225兀

面积为-----

7

B.侧棱与下底面所成的角为60。

D.正四棱台-存在内切球

C.它的外接球的表面积为感兀

3

D.它的体积比棱长为及的正方体的体积大三、填空题

12.（25-26高二上•广东惠州•期中）在空间直角坐

10.125-26高三上.广东揭阳.期中）如图，正三棱

标系。-冷z中，四面体SABC各顶点坐标分别为

柱4BC-44G的每条棱的长度均为2,D为棱

S（6,4,4）,A（4,4,1）,B（6,6,4）,C（4,6,4）,则该

人3的中点，。石1.底面ABC,点E在平面A4G

四面体外接球的表面积是_______.

的上方，且OE=3,则（）

13.（25・26高三上•重庆•月考）在正三棱柱

ABC-A/[C]中，AB=2\/6,A4,=6,则该三棱

柱的外接球表面积为.

14.（25-26高三上•江西南昌・期中）在RtVABC中，

C=：,AC=1,A8=2,。是48的中点，把

C2

△AC。沿co翻折到△4。。，使得二面角

A.平面CQ£：_L平面4880

A—C。-3的平面角为120',则三棱锥

B.四面体ACDE外接球的表面积为134

A-BCD外接球表面积是—.

C.直线CE与直线44相交

D.四面体ACOE与正三棱柱ABC—AgG

的公共部分的体积为M

27

11.（25・26高二上•浙江嘉兴•期中）在正四棱台

ABCD-A^QD^,。是正方形A3c。的中心,

AB=4,=3,4瓦=2,则（）

A.。耳〃平面CORG

B.壬四棱台ABCD-AgGR的体积为8s

-2-

径为R：贝I」2R“RL+|AC『=Vl2+22=^，

所以外接球的表面积为：471K=5兀.

故选：B

A

参考答案

3.C

1.C【详解】因为

【详解】如图，设该圆锥内切球的球心为P,半径AP=(x,y,z),BP=(x—1,y—2,z—2),

为球。切该圆锥的母线于点/，为该圆

r,ABC所以

锥底面圆的圆心，

AP\=y[x2+y2+z2,\BP\=^/(x-l)2+(y-2)24-(z-2)2

则P/J.AB，AC.LBC,因为424尸=30，

所以AP=2/VL又AC=6sin60=3&，

因为AP=2BP,所以

PC=PF=r,则，解得

AP+PC=3-=36正+»2=2"1)2+"2)2+(Z—2)2,

r-G，化简得：

故该圆锥的内切球的表面积为4兀产=12兀.3x2+36-8x+3y之-I6y+3z2-16z=0.

故选：C知十徂(4丫f8?(8?.

由已力得x——+y——+z——=4.

\3)\3)I3)

fAQ8、

这是球的标准方程，球心坐标为,半径

\3j3J

为2.

4,32

所以该几何体的体积为丫=—X71X23==71.

33

2.B故选：C.

【详解】构造如图所示的长方体，设其外接球的半4.C

【详解】如图为该几何体的轴截面，其中圆。是设圆台上底面半径为则下底面半径为入，

等腰梯形A8CD的内切圆，

圆台轴截面如下图：。为球心，a，o?为上下底面

圆圆心

设圆。与梯形的腰相切于点P,。，与上、下底面

分别切于点。I，。2，

根据切线长定理，圆台的母线长

不妨设正四棱台上、下底面的棱长为2。，4a,

l=BC=BA^-AC=OlB+O2C=r]+2rl=3{,

则CO】=CP-ci,B0=BP-2a,

2由母线长/与圆台上下底面半径小2弓、高度力关

BC=BP+PC=3a,

系可得：

故在直角梯形Q028c中，过点。作/2=/r+(2^-/J2,所以9d=4+Y，可得

垂足为匕所以EB=a,一旦

在中，CE=\l3?-fa=2y[ia，为棱台的f]~~T，

高，也是球的直径，则该圆台的体积为

所以半径为、万〃，所以球的体积为v=1/?(^+(2^)2+/；,2zi)7l=1x2x|7t=y-

乂=呆仍)，空，故选：A.

6.C

棱台体枳为

【详解】因为平面必平面且T

2CLA8C,W/AC,

V2=—x2\/2axF(2(7)+(4a)2+2a.\a=夜",

3-3平面SACPI平面ABC=AC,ABq面48。，所

故球与棱台的体积比为以84，平面SAC,

将三棱锥补成直三棱柱SAC-S*G,则直三棱柱

故选：C.

5.ASAC-S.BQ的外接球即为三棱锥S—A3C的外

【详解】由于圆台的内切球表面积为4兀，设其内接球.

切球半径为R，设外接球的球心为0,的外心为。|,则

所以4兀R2=4兀，解得R=1,

00—43=3,

12

所以圆台的高度〃=2,

QA3

22伫+叶

又由正弦定理---------=2r=2OtA,得到4(ah丫

sinZACSV=3134J16扃134,

…1s412KG2,~9方2

O,A=-----------=—x------=2,——ah

'2sinZACS2sin30°4

所以外接球的半径H==用，表令f二5。＞0）,则力=必，代入上式可得

面积S=4兀△2=52兀，

(1+匚y

VJ6G兀134,

K--9T

则

【详解】设正三棱柱的底面棱长为。，高为〃，则

/8=

(1VV(V

13-4--4只2,其中1＞0；

2

令广。）=。得/=迈,

当，£o,-^—时，r（/）＜。,

3

/⑺为减函数,

由正三棱柱的性质可知球心。位于上下底面中心

当小,+8时，/'0）＞0,N）为增函数,

连线的中点处，设半径为R,

“212GY㈤2/h2所以fit）的最小值为于吟）=半，所以3的

132J⑴34

3最小值为'6岛x走二色.

所以口424（a2

刖以M=—nR=—7i---1---，

13334943

故选：D

8.D

【详解】由题图可知，半球和圆柱的半径为6,圆

柱的高为8,圆台的上底面半径为2,下底面半径

为6,高为9,

所以该瓷器的体积为

—X—KX63+7ix62x8+—+22+x2?)x9

233\)

故选：D8。交于点。2，连接。。2，

9.ABD则。。?垂直底面A3CO,过A作AGJLAO?于

【详解】

G,则AG_L底面ABC。，则四边形AGO?。1为

矩形，

由题意得AG=J43：+B[C；=V2>所以

A0=乎，同理AC=2>/lAO2=e，

对于A,由题意得，上底面4片。0的面积

又4Q=Ga,所以AG=^，在RtA4GA中，

S,=1x1=1,下底面ABCO的面积S?=2x2=4,

2

侧面ABB.A.为等腰梯形，过4、片分别作AB的近

垂线，垂足为£、尸，cos/A]AG=-^^=-?=-=—，

Amg2

如图所示，所以石/二AM=1.则AE=8/

所以/AAG=60。，即侧棱与下底面所成的角力

所以BF=《BB；-8尸=弓，60°,故B正确:

对于C,4G=_AG?=与.连接C02，

所以梯形ABgA的面积为

在RtaG。]。?中，

s=L(i十3近=迈.

v7

224G。2=Jo0；+C0；=e，所以点。2到48、

所以正四棱台ABCD-4BQR的表面积

。、。、4、片、6、2的距离相等，均为血，

S二S1-S2+4xS3=5+3j7,故A正确：

所以点。2即为正四棱台ABC。—4与G。外接

球的球心，旦外接球半径/?=V2.

所以外接球的表面积5=4兀x(五)，=8兀，故C错

-6-

误；nIT(A/13

对于D,正四棱台的体积为VI2J2

匕十£+邑+同卜Jx(l+4+g)粤噂3外接球的表面积为

4nR2=13%.所以B正确.

对于因为侧棱，平面底面

棱长为V2的正方体的体积匕=(及y=20,所C,A5C,OE_L

7A/6ABC,所以AA平行于OE

因为。£平面ABBIA，AAu平面所

以EE平面A84A.

所以匕>匕，所以正四棱台ABCQ-ABCQI的

所以平面ABB、4c平面CDE=DE.

体积比棱长为a的正方体的体积大，故D正确.

故选：ABD.若直线CE与直线AA相交，记交点为M,则

10.ABMwDE,又CEcO£?=£：，直线CE与直线OE

【详解】对于A,正二45。中，因为。为棱A3的有两个公共点，

中点，所以CD_LA3,CD=A所以重合，显然不成立，所以直线CE与直线A4

因为正三棱柱ABC-中，侧棱平面不相交.所以C错误.

对于D,如图，记£>EcA8]=b,连接Gb，交

ABC,A3u平面ABC,所以4A_LCQ.

CE于点H.

441cA8=平面,所以

连接AE，交A/于点G,连接G”.

COJL平面ABBIA.

四面体ACDE与正三棱柱ABC-A片G的公共

因为CQu平面COE,所以平面COEJ•平面

部分为三棱台F、G"—D4c.

所以A正确.

EFDE-DF1

对于B,四面体ACDE中，06,底面ABC.因为

DEDE3

因为CCA3,所以cAOC是直角三角形，所以所以

其外接圆半径为〃=1AC=1.=

HGH药%%DAC=-X-X-XADXDCXDE=—

2sc273254

所以四面体ACDE的外接球半径

,2613>/3.•.04〃平面。。。£,A正确；

所以以

,GH-DACE-DAC0*7

乙/Z/

对于B,设。1为正方形44G。的中心，

四面体ACDE与正三棱柱ABC—A4G的公共

作出截面梯形ACGA,作A】E1AC,垂足为E，

部分的体积为M.故D错误.

27

cAC=46，：.AE=C，又M=3，

A^E=5/7，

故选：AB.

11.AC.•.正四棱台ABCD-ABCR的高

【详解】对于A,连接

OO\=AE=击,

.•.正四棱台A4CO-44G2的体积

V=1x(42+>/4r72r+22)xV7=^^，B错

•・•四边形A8c。,

误；

对于C,记正四棱台外接球的球心为G,外接球

半径为A，

A/C均为正方形,A8=4,A4=2,

若球心G在正四棱台内部，作出截面梯形4CGA,

.•.BQ=2五，OD=^BD=2V2,/.OD=

连结AG4G,如下图所示,

•••平面ABCD//平面4月G。，8。u平面

ABC。，.•.8D7平面A4G。，

Q80u平面平面8。。#。平面

A4G"二⑸。，:.BD//BQ、；

・•・四边形。用。。为平行四边形，/.O/V/OA，设OG=〃，则。。=近一〃,

QDD]J平面CDQG，OB]S平面CDDC,

-8-

2+(e一4=叱解得：〃=也，居=黑

8+h2=R21428

正四棱台ABC。—4月。I2外接球表面积

仁.2257r

S=4兀及-=-----

7MWu平面尸。。出，.•.MH_L4D,

r

若球心G在正四棱台外部，作出截面梯形ACQA1,又AD}PP^=PfARPRu平面

连结AG,AG,如下图所示,/.MH，平面4。24,

.••若正四棱台ABC。一存在内切球，则

内切球半径r=

•;MH=O、H,ZMP[H=ZO^H,

设OG=〃，则00=近十〃，P^=V7+T=2A/2,

«\2

2+(方+“=/?2/y

')，解得：/7=-2(舍):cosNHRM=——£4=

2x且x2拒44

8+力2=R214

2

综上所述：正四棱台外接球表

ABCQ-AQCQ。£二1二2后

cos/O』H=

而—后一23

面积S=名型，C正确；

72

,NMRHwNO^H,与假设矛盾,

对于D,若正四棱台4BC。一AQGA存在内切

球，球心为“，.•.正四棱台4BCD-45GR不存在内切球，D

则内切球半径/=！0«=立；错误.

212故选：AC.

分别取AD/。,3c中点P,%2,Q1,作12.17K

MH上P8,垂足为M,作出截面PQQ上,如下【详解】将该四面体SABC补成长方体，如图，建

图所示，立空间直角坐标系。-

则S(6,4,4),4(4,4,1),3(6,6,4),C(4,6,4),由。是A8的中点，得CD=BD=A'D=1,

易知四面体和该长方体同外接球，长方体的体对角9jr

△A'CD为正三角形，ZBDC=y

线的长,22+22+3:=yfll.

令ABCO/ACO的外接圆圆心分别为。2，。|，连

所以外接球半径为上二，所以该四面体外接球的