全等三角形全章压轴突破（8个考点60题）（分类集训）解析版-2025-2026学年八年级数学上册（人教版）

全等三角形全章压轴必考点（8个专题60题）

压轴突破I遇中点作辅助线构全等................................................................1

压轴突破2遇角平分线作辅助线构全等..........................................................11

压轴突破3作垂线构全等.......................................................................19

压轴突破4截长补短构全等.....................................................................27

压轴突破5一线三等角模型....................................................................40

压轴突破6全等三角形动点问题................................................................48

压轴突破7利用全等三角形判断多结论问题......................................................58

压轴突破8平面直角坐标系与全等综合..........................................................71

压轴突破1遇中点作辅助线构全等

1.如图，在△?!水?中，为6c边上的中线，M为力。上一点，连接房必并延长交4c于N,乙

乙MAN,若8M=6,AN=3.7,则CN的长度是.

【分析】延长力。至点凡使得力。=。£,再连接4E,证明力E三△CD4,得到BE=AC,

结合44M乙AMN=^BME,可得乙E=4BME,推出BE=BM=AC=6,即可求解.

【解答】解：如图，延长力。至点七，使得力。=。回，再连接BE,

E

第I页共102页

•••力。为4c边上的中线，

:.BD=CD,

任ABDE和ACD4中，

(BD=CD

乙BDE=Z.ADC,

IDE=AD

:ABDEwACDA(SAS),

E=LMAN,BE=AC,

"MN=LMAN,

:•(E=LAMN,

.:乙1MN=LBME,

，乙E=LBME,

:・BE=BM=AC=6,

:CN=AC-AN=6-3.7=23,

故答案为：2.3.

2.如图，4。是“台。的中线，点£在8c的延长线上，CE=4B,乙BAC=cBCA,求证：AE=2AD.

【分析】延长力。至A/,使。M=4Q,先证明△/出。三进而得出MC=48,(B=LMCD,即可

得出乙4cM=乙4。£,再证明△,4CM三△月CE,即可得出答案.

【解答】证明：延长力。至〃，使0M=40,

以。是入出。的中线,

:*DB=CD,

第2页共102页

在和△MCO中,

(AD=MD

AADB=乙MDC,

IFD=CD

:AABDdMCD(SAS),

:.MC=AB,乙B=LMCD,

：AB=CE,

:CM=CE,

,•Z-BAC=Z-BCA>

:•乙B+乙BAC=UCB+乙MCD,

却々CM=ZJCE,

在41。/和△/[(?£中，

(AC=AC

Z.ACM=LACE

ICM=CE

:.&ACM三AACE(SAS).

■-AE=AM,

；4M=24D,

'.AE=2AD.

3.如图，在四边形4我?。中，AD//BC,BC=2AD,点尸在线段C。上，且。尸=3C凡点E为44的中点,

若△4。七的面积为3,则△£)£*的面积为.

【分析】延长OE、C8交于点G,由力。〃8。，得N4O£=/G,而AE=BE,/AED=NBEG,即可根

据“44S”证明得力O=8G,DE=GE,SMDE=S/、BGE=3,由8c=2/O=28G,得S八

3327

BCE=2S"GE=6,求得S^DCE=9,由。"=3。凡得。“=心。，所以59所=彳%。“=7，于是得到

问题的答案.

【解答】解：延长。瓜C4交于点G,

■:ADHBC,

第3页共102页

，N4DE=NG,

•・•点E为4?的中点，

:・AE=BE,

在△力和中，

LADE=乙G

Z-AED=Z.BEG,

VAE=BE

:AADE安ABGE(AAS),

:.AD=BG,DE=GE,S/xADE=^r.BGE=♦

:・BC=2AD=2BG,

S&BCE=2s△8G£=6»

S^DCE=SABCE=S.BGLS"CE=3+6=9,

,:DF=3CF,

：・DC=3CF+CF=4CF,

3

DF=二DC,

4

3327

'S&DEF=]S&DCE=7x9=7，

4.如图，△力8c中，。是4c边的中点，过。作直线交48于点E,交8c的延长线于点片且4E=CR若

【分析】，由“44S'可证ZVi。/后△COR可得4/=3=力£,可得乙〃=乙花〃=乙尸=乙”功，可得4£=

BF,即可求解.

【解答】解；如图，过点人作，〃I山厂交所的延K线于点凡

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:•乙H=LF,且力。=。。，UDH=《DF,

：&DH三ACDF(AAS),

:.AH=CF,

•:AE=CF,

：,AH=AE,

:.乙H=CAEH,

.••乙4EII=ZF=乙FEB,

:,BE=BF=BC+CF=7+CF,

.'.AB=AE+BE=CF+1+CF=\9,

•••6=6,

故答案为:6.

5.如图，在△ABC和△力■中，AB=AC,AD=AE,/A4C+/D4f=180°,连接AE,CD,若力M为

△/CO的中线，猜想力历与8E的数量关系并说明理由.

【分析】延长到N,使4M=MM连接CM则力N=24W,先证明和△NCM全等得力。=

CN,乙DAM=Z1N,则力。〃QV,进而得/EMC+/4CN=180°,再由/历1C十/D4£=18Q°得N'845十

/。/C=180°,则//CN=/A4E,由此可依据“S4r判定△4CN和全等，则4V由此

可得4历与8E的数最关系.

【解答】解：猜想：BE=2AM,理由如下：

延长4M到M使连接CN,如图②所示：

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E

则AN=2AM,

•・1M为△/CO的中线，

:.DM=CM,

在和△NCM中，

(DM=CM

A.AMD=乙NMC,

14M=MN

:.△ADMW4NCM(SAS),

:.AD=CN,/DAM=/N,

:.AD//CN,

，NO4C+N/CN=180°,

9：ZBAC+^DAE=\SO0,

：,ZBAE+ZDAC=\SO0,

：.ZACN=ZBAE,

•:AD=AE,AD=CN,

：.CN=AE,

在△力CN和中，

(AB=AC

乙ACN=4BAE,

ICN=AE

:•△ACNWABAECSAS),

:"N=BE,

•・【N=24",

：.BE=2AM.

6.如图，在四边形/18CQ中，414C+乙4QC=180。，E、〃分别在AC、CO上，且/1B=BE,AD=DF,

以为功的中点，求证：DM上BM.

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D

【分析】延长8W到，，使My连接G”,DH,BD,先依据“S4r判定和△EM8全等得

FH=BE,乙FHM=LEBM,进而得"7II8C,则NC/7/=4。，根据四边形内角和定理得zJ+/C=180。，及

LDFH+Z.CFH=180°f#ZJ=Z.DFH,由此依据“SW判定和力全等得BO=〃Q,然后根据等腰

三角形的性质即可得出结论.

【解答】解：证明：延长A”到H,使连接GH,DH,BD,如图2所示:

图2

•・•点M为斯的中点,

:.FM=EM,

在△厂MH和中,

(FM=EM

乙FMH=乙EMB,

VMH=MB

:ZMIIdEMB(SAS),

:.FH=BE,乙FHM-EBM,

'.FHWBC,

“CFH=5,

在四边形48CO中，乙出。+4。。=180。,

.-.ZJ+ZC=18O°,

■:乙DFH+乙CFH=180°,

：.U=LDFH,

•:AB=BE,BE=FH,

:.AB=FH,

任AABD和△FHD中，

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（AB=FH

Z.A=乙DFH,

VAD=DF

:41BD三MUD（SAS）,

：.BD=HD,

:HM=BM,

・•.DMXBM.

7.数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1,在△/BC中，AB=6,AC=\O,D是BC

的中点，求4C边上的中线力Q的取值范围.

【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1,延长力。到点，使DE

=AD,连接根据S/S可以判定△力。。且△EO8,得出＞1C=8£这样就能把线段力8、AC.2力。集

中在△/14E中.利用三角形三边的关系，即可得出中线4。的取值范围是.

【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2,在△/18C中，。是4C边上的

一点，月E是△48。的中线，CD=AB,ZBDA=ZBAD,试说明：AC=2AE；

【问题拓展】（3）如图3,力。是△48。的中线，过点/分别向外作力E_L/18、使得

AF=AC,判断线段E尸与力。的关系，并说明理由.

【分析】（1）由题意得：ZE在中，由三角形三边关系可得到4E的取值范围，AD=-AE,即可

求得力Z）的取值范围；

（2）由“SA5”可证也AEB4可得N4OC=N4DF,由“SAS”可证△"7注2\力。（SAS）,

可得力。=//=2月号

（3）延长力。到历，使得。连接由（1）可知，XBnM@ACDA（5/15）,得以W=4C,

再证（S/S）,得4W=ERNBAM=NE,则E产=24。，然后由三角形的外角性质证出

/APE=NBAE=90：即可得出结论.

【解答】解：（1）在中，49=6,BE=AC=\O,由三角形三边关系可得：-44=4＜/后＜/8+8£

=16,即/£到取值范围为4V4EV16,

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1

*：AD=-AE,

：.AD的取值范围为2V4QV8：

故答案为：2V40V8；

(2)如图2,延长IE至点尸，使得连接。凡则/尸二七尸打后二？4E,

W

图2

•・•£是3。中点，

:.DE=BE,

在.AEDF和4EBA中，

(DE=BE

乙DEF=Z.BEA,

VEF=EA

:•△ED%4EBA(SAS),

:,DF=AB=CD,NB=/EDF,NF=NEAB,

•:/CDA=/B+/BAD,^ADF=ZBDA+ZEDF,NBDA=NBAD,

：.NADC=NADF,

在△/FO和△/CO中，

(CD=DF

Z.ADC=Z.ADF,

VAD=AD

•••△AFD^ACD(SAS),

：,AC=AF.

：,AC=2AE；

(3)EF=2AD,EFLAD.

理由：如图3,延长。4交EF于点P,延长力。到M,使得。历=力。，连接4W,

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E

-

〜、/uc

\、//

、/

、/

J、/

'M

图3

由(1)可知，4BDMq2CDA(SAS),

：.BM=AC,NM=NCAD,

•:AC=AF,

：.BM=AF,

由(2)可知，AC//BM,

/.ZBJC+Z/i5M=180°,

■:AE1AB、AFLAC.

・・・NBAE=NF4C=9()0,

：.ZBAC+ZEAF=1SO0,

:.NABM=ZEAF,

在△月8"和△£•4厂中，

(AB=EA

Z.ABM=Z.EAF,

IFM=AF

工△ABM/4EAF(SAS),

:.AM=EF,4BAM=/E,

•；4D=DM,

：.AM=2AD,

：・EF=2AD,

*：NEAM=NBAM+NBAE=NE+N/iPE,

:./APE=NBAE=90°,

：.EFLAD.

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压轴突破2遇角平分线作辅助线构全等

8.如图，在&18C中，乙4=60。，乙16C和乙1C8的平分线4。、。上相交于点O,BD交AC于点、D,CE交

AB于点E,若已知△49C周长为20,BC=7,AE：AD=4：3,则4E长为()

A.—B.—C.—D.4

【分析】由“S4r可证△8。七三改?。“，可得乙£0〃=乙4。〃=6()。，由'NS/T可证△COO三△C。“，可得CO

=CH,即可求解.

【解答】解：如图，在8。上截取连接。〃，

•••4。平分乙48C,CE平分乙4CB,

:.乙4BD=“DB,ACE=LBCE,

•4=60°,

“BC"CB=120。,

••2Q8C+48CE=60。，

••2800=120。，

."OE=NCOQ=60。，

在ABOE和△4OH中，

(BE=BH

Z.ABD=Z.CBD,

(B0=BO

:△BOE^ABOH(SAS),

・•/BOE=LBOH=60°,

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:•乙COD=LCOH=60。,

在△CO。和△CO"中，

(/.ACE=乙BCE

OC=OC,

JCOD=Z.COH

・••△COO三△COH(ASA),

:.CD=CH,

：.BE+CD=BH+CH=BC=7,

・••△/AC周长为20,

：.AB+AC+BC=2U,

：.AE+AD=6,

:AE：AD=4：3,

624

■•AE=yx4=

故选：B.

9.如图在△/BC中，4。平分Z84C,乙B二2乙ADB,AB=3,CD=5,则4C的长为

【分析】在力C上取点E,使NE=/14=3,连接。E,则由角平分线的性质可证明△力4。三△4EQ,从而

有乙B=AED,41DB=4DE.则可得乙。。£=乙。£。，有CE=CD=5,再由力C=C6ME即可求解.

【解答】解：如图，在4c上取点E,使4E=CB=3,连接。I

:.乙BAD=LEAD；

又・；AD=AD,AE=AB,

:.△ABDwfED(SAS),

:/B=UED,£ADB=lADE\

-zB=2乙ADB,

第12页共102页

:.乙BDE=Z^ADB+"1DE=2ADB=LB,

：/BDE=UED,

-.180°-4BDE=180。-UED,

:•乙CDE=cCED,

-，CE=CD=5,

-.AC=CE+AE=5+3=S.

故答案为:8.

10.如图，在△4AC中，。为边,4C上一点，且4。平分乙48c过力作4及L8O于点石.若ZJBC+4NC=

180°,AB=5,8c=12,则彳E=.

1

【分析】延长力E交8c于点凡根据角平分线的定义可得48O=N。8c=5乙48凡再根据垂直定义可

得乙4EB=^BEF=90°,从而利用AS>1证明隆△必£再利用全等三角形的性质可得/£=EFAB=

BF=5,从而可得C"=7,然后根据垂直定义可得NEM+乙4F4=90。，从而可得g乙44C+乙〃％=90。，再

根据已知可得BC+2(C=90°,从而可得乙4FB=2乙C,最后利用三角形的外角性质可得乙/4FB=

LC+ACAF,从而可得iC=4C1F,进而可得力"=3=7,进行计算即可解答.

【解答】解：延长力E交BC于点、F,

1

:.乙ABD=£DBC=-/-ABF,

乙

:BE工AF,

:,41EB=CBEF=9O。,

■:BE=BE,

第13页共102页

:AABE三AFBECASA),

:.AE=EF,AB=BF=5,

：BC=12,

：.CF=BC・BF=12・5=7,

.2BEF=900,

.•ZEBF"FB=9。。,

1

.W"BC+UFB=90°,

-.•ZJ^C+4ZC=18O°,

1

・••5乙14C+24C=90。，

：.乙4FB=2乙C,

•:乙4FB是△4'C的一个外角，

・•,UFB=CC+乙CAF,

:,乙C=乙CAF,

：.AF=CF=1,

1

：,AE=Ef=-AF=3.5,

故答案为：3.5.

11.如图，在四边形力BC。中，AD=CD,BD平分乙4BC,DELBC,BE=7,CE=3,若△4C。的面积是

【分析】作OEL历1交84的延长线于点R则"=90。，由6E=7,CE=3,求得8C=10,由SAM。=

|x10DE=20,求得DE=4,由角平分线的性质得=。£=4,可根据证明RtZkfM/三口△COE,

1

得力户=CE=3,再根据“/〃”证明RtzV94/WRtaQ8E,得BF=BE=7,则力8=4,求得S&IBD=

=8,于是得到问题的答案.

【解答】解：作DF1.BA交BA的延长线于点F,则乙尸=90。，

-BE=7,CE=3,

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:.BC=BE+CE=7+3=10,

■:DEIBC,ABCD的面积是20,

1

.---x\0DE=20,UED=^DEC=90。,

■-DE=4,

•.♦8。平分DFLBA,DE工BC,

:.DF=DE=4,

在Rt△。/尸和RlZkCOE中，

\AD=CD

\DF=DE，

.-.RtADJF=RtAC£)£(HL),

:,AF=CE=3,

在RtADBF和RtADBE中，

\BD=BD

{DF=DEf

・•,RtADBFwRtADBE(HL),

:.BF=BE=1,

:.AB=BF-AF=7-3=4,

11

:S&tBD=-AB*DF=5x4x4=8,

故答案为:8.

以

12.如图，乙4c。是△/8C的外隹，CE是乙/CO的平分线，8E是乙48c的平分线，CE与BE交于点、E,连

【分析】延长4L作EML8O,EF1.BA,EMLAC,设“CQ=x。，则乙1CK=乙小⑦=丁，进而根据三角

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形的外角的性质得出乙。尸=1：0°,证明RtZi£E4三(HL),即可求解.

【解答】解：CE是乙4。。的平分线，4E是乙48C的平分线，如图，延长84,作EN工BD,EFLBA,

EM工AC,

设乙EC'Q=x°,

:&CE=LECD=£,EM=EN,ABE=CEBC,EF=EN,

:.EF=EM,

"EC=35。，

，乙ABE=^EBC=^ECD-乙BEC=(x-35)°,

：./.BAC=AACD-Z-ABC=2x°-(x°-35°)-(x°-35°)=70°,

.­.ZCJF=1IO°,

在Rt^EFA和RSEM力中，

\AE=AE

IEM=EF'

.-.RtAE/vl^RtAE^(//£),

：^FAE=Z.EAC=55°.

故答案为:55.

13.如图，D为A/IBC外一点,BD1AD,8。平分△48C的一个外角，若2NC+N历1。=180°,AB=5,

【分析】设4。、C8的延长线交于点£,先利用4s力证得△力8。和△£9。全等，即可得出AB

=EB=5,NBAD=/E,结合已知/历12NC=180°,得出NEi2NC=180°,再根据三角形内角和

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定理得出NE+NC+NE4c=180",从而得出NC=N£4C,于是有AE=CE,再求出CE的长即可求出

.4。的长.

【解答】解：设1。、的延长线交于点£,

由题意得N4BD=NEB。,

•:BDLAD,

:.NADB=NEDB=900,

在△44。和△E8Q中，

(£.ABD=4EBD

BD=BD,

,Z.ADB=Z.EDB

:.△ABgAEBD(ASA),

:・AD=ED,AB=EB=5,/BAD=/E,

•;BC=3,

,CE=BC+EB=3+5=8,

VZZ?JD+2ZC=180°,

AZ£+2ZC=180<,,

VZ£,+ZC+ZEJC=180°,

:./C=/EAC,

；.AE=CE=8,

1

：,AD=ED=-乙AE=4.

故答案为:4.

14.如图Rt△力C8中，N4C8=90°,4D平分NC4B交BC于D,点E在48的延长线上，满足N4OE+

ZCJ5=180°,若/。=6,BE=2,则线段48的长为.

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A

【分析】延长/。到〃，作于H.首先证明推出/。=力〃=6,再证明力〃=

HE=6,由8E=2,可得8"=4,推出力8=10.

【解答】解：延长力。到M,作48于〃.

•・1。平分/。氏

:・NDAC=NDAH,

VZC=ZAHD,AD=AD,

:•△ADg^ADH(AAS),

：.AC=A/I=6,

VZADE+ZCAB=\SOa,ZADE+ZEDM=\S0°,

:・/EDM=/CAB,

/EDM=/DAE+/DEA=NDAE+NCAD,NCAD=ND4B,

:・NDAB=NE,

**•DA=DE,

*：DHA.AE,

：.AH=IIE=6,

,:BE=2,

・・・BH=4,

：.AB=\0,

故答案为：10.

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压轴突破3作垂线构全等

15.如图，△/14C中，ZACB=6r，点。在44上，。。=14,ZBDC=60°,延长。至点£,使CE=

AC,过点£作后凡LC。于点儿交川？于点G,若5OG=34D,则。b=

【分析】由“44S”可证可得3=加7,由直角三角形的性质可得。"=：。。=7,DG

L

=2DF,由线段的数量关系可求解.

【解答】解：如图，过点。作C”_L48于”，

VZACB=60c=ZBDC,ZBDC=ZA+ZACD,ZACB=ZACD+ZBCD,

・•・ZA=ZBCD,

在△4〃C和△CEE中，

(Z.A=乙BCD

Z.AHC=乙EFC=90°,

VAC=CE

:.AAHCqACFECAAS),

：,CF=AH,

VZBDC=60°,EF工CD,CHUB,

AZDGF=ZDCH=30°,

1

：

,DH=-乙CD=7,DG=2DF,

第19页共102页

*：5DG=3AD,

10

：・4D=—DF,

o

•：AH=CF,

10

：.—DF+l=14-DF,

21

：,DF=—,

21

故答案为：—.

16.如图，在△//)£和△4AC中，NE=/C,DE=BC,EA=CA,过4作片/J_。凡垂足为尸，DE交CB

的延长线于点G,连接力G.四边形OGA4的面积为12,4尸=4,则尸G的长是.

【分析】过点力作于“，判定△力8。g△力E。，得出4/=47,再判定RIA4R7里RtA4"G,

判定RtZ\/。"gRtZ\/4，，得出S四边形QG8.4=S四边形4FGH=12,再根据RlZ\/尸GgRt△力HG,求得RtA

/尸G的面积=6,进而得到尸G的长.

【解答】解：过点力作/1〃_L8C于〃，如图所示：

在AABC与AAED中，

(BC=DE

乙C=",

lC/1=EA

:•△ABC/AADE(SAS),

•'•AD=A8,"ABC=S“ED，

又•・［凡LOE,

11

即5xDEXAF=-xBCXAH,

:,AF=AH,

又・：AFLDE,AHA.BC,

・•・在RtAAFG和RtAJ/7G中,

第20页共102页

\AG=AG

\AF=AH

Z.RtA/lFG^RtA/l//G(HL),

同理：RtA.ADF^Rt/\ABH(HL),

,S四边形DGBA=S四边形力"G〃=12,

VRtAJFG^RtA^HG,

/.RtAJ?G的面积=6,

1

A-xFGX4=6,

乙

解得：FG=3；

故答案为：3.

17.如图，把两块大小相同的含45°的三角板力3和三角板CM如图所示摆放，点。在边.4C上，点E

在边4c上，且NCPE=13°,ZCFD=32°,则NQEC的度数是（）

A.58°B.45°C.77°D.64°

【分析】作切J•用交力C用"，由题意可求得N/"=NCFE=13°,由4S力可证得

7

从而有尸”=依，再由S4S证得△。氏石父/^。/〃，有/DEF=NDHF,从而可求解.

【解答】解：作歹〃_L在交力C用〃，如图，

第21页共102页

VZAFC=ZEFH=90°,

:・/AFH=/CFE=13°,

•・・N/=NR7E=45°,FA=FC,

:.XFAH在XFCE,

:.FH=FE,

•:NDFE=NCFE+NDFC=\30+32°=45°,

：,ZDFH=ZDFE=45°,

YDF=DF,

・•・△DFE9XDFH,

:.NDEF=ZDHF=NA+NAFH=58°,

•：4FEB=/CFE"FCE=58°,

AZ7)EC=180o-58°-58°=64°,

故选：D.

18.如图，力。是△力BC的中线，AB=AE,AC=AF,乙B4E=^FAC=9()。,试探究线段力。与七”的数最关

系和位置关系，并加以说明.

【分析】过点C作于点出证明△CO"和△8D4全等得。〃=力。，CH=AB,则47=24。，证

明乙弘E,进而依据“S4S'判定△/(7〃和全等得力〃=后/=24。，4。/"=乙化?=90。，据

此即可得出线段］。与E厂的数量关系和位置关系.

1

【解答】解：线段/。与£尸的数量关系是：/。=月产，位置关系是：证明如下：

5乙EFLAD,

第22页共102页

过点C作CHLAE于点〃，如图3所示:

图⑶

.•"〃/=90。，

MB4E=900,

:.乙CHA=LBAE=9Q0,

•M。是△J6C的中线，

:・CD=BD,

在△”)〃和△8。力中，

(Z.CHA=Z.BAE=90°

乙CDH=LBDA,

LCD=BD

:ACDH必BDA(AAS),

:,DH=AD,CH=AB,

：.AH=DH+AD=2AD,

：AB=AE,

：CH=AB=AE,

••""4=90。，ZFJC=9O°,

“CH+乙CAH=90°,乙FAE+乙CAH=90。,

:.乙4cH=LFAE,

在和△E4E中，

(AC=AF

Z-ACH=^LFAE,

ICH=AE

:AACH三AFAE(SAS),

：.AH=EF,乙CHA=AEF=90

：2AD=EF,EFLAE,

第23页共102页

1

：.AD=-EF,EFLAD.

乙

19.在Rt△力8c中，ZJC4=9O。，AC=BC,点E为/C上一动点，过点力作力。_1_4七于。，连接CO.

（1）【观察发现】如图①乙gC与NQ8C的数量关系是

（2）【尝试探究】点E在运动过程中，“7）〃的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求QB

的度数.

【分析】（1）由三角形内角和可以得到一个“8字形”倒角，从而很容易就证出4£UC=乙D8C：

（2）过。作CALC。，证ZUCO三叔?6户即可证出△C"是等腰直角三角形，从而得出〃7）4=45。.

【解答】解：（1）•••々1C8=9O。，AD上BE于D,

山。8=乙4。8=90。，

.^DAC+^ED=90°,乙DBC+£BEC=9Q0,

•:乙4ED=LBEC,

，乙DAC=LDBC，

故答案为：Z-DAC=Z-DBC.

（2）乙CDB的大小不发生改变，乙CDB=45。.

如图，作CRLCO交8。于点凡则乙。。r=90。,

•••一tCD=LBCF=90。~Z.ACF,

由(1)得乙H4C=LFBC,

在△4CO和ABC尸中，

(Z.ACD=乙BCF

AC=BC,

V^DAC=Z-CBF

:.AACDdBCF(ASA)，

第24页共102页

:.CD=CF,

:.乙CDB=cCFD=450,

的大小不改变，乙CQ8的度数是45。.

20.如图，等腰中，N4c8=90°,AC=BC,£点为射线。8上一动点，连接力£,作4尸_L4£

^.AF=AE.

(1)如图1,过/点作/G_L4C交力C于G点，求证：△AGFWAECA；

AD

(2)如图2,连接4户交/C于。点，若加=3,求证：E点、为BC中点、;

BC4AD

(3)如图3,当£点在CB的延长线上时，连接与4C的廷长线交于D点,??—=-,则而=

BE3CD

【分析】(I)易证/C4石=/凡即可证明△/G/g/XECJ,即可解题；

(2)过尸点作尸G_L/C交4C于G点，根据(1)中结论可得"G=4C=8C,即可证明△尸GQ0A

ADAG1

SCD,可得。G=CQ,根据西=3可证=5,根据4G=C£,AC=BC,即可解题；

CLi/iC

i4c4

(3)过尸作尸G_LZQ的延长线交于点G,易证外=不由(1)(2)可知a/G/丝△EC4,/\DGF^

CE7

AC

△DCB,nJWCD=DG,AG=CE,即可求得L行Lx的值，即可解题.

【解答】证明：(1)ZFAG+ZCAE=90°,ZFAG+ZF=90°,

：・/CAE=NF,

在△力G/7和△£1&＜中,

(/-AGF=Z.ECA

ZF=Z.CAE

UF=AE

AAGF^AECA(AAS):

(2)过厂点作尸GL4c交4C于G点,

第25页共102页

,:△AGFmAECA,

:・FG=AC=BC,

在△户GO和△NC。中,

(/.FDG=Z.CDB

Z-FGD=Z.C=90°,

3G=BC

.△FGDW4BCD{AAS)，

.DG=CD,

AD

而二3,

AG

而=2,

AG1

~AC=2f

•4G=CE,AC=BC

CE1

~BC=2"

・E点为AC中点:

(3)过“作打;_1/1。的延长线交于点G,如图3,

BC4

族=『CE=CB+BE,

AC4

第26页共102页

由(1)(2)知：4AGF@4ECA,△DGFQXDCB,

:,CD=DG,AG=CE,

•-A--C------4-

''AG~7，

.AC4

•,芯=E，

■CAC8

'^AG-CD-2^

AD11

•------------

••CD~3.

故答案吟.

压轴突破4截长补短构全等

21.如图，在△/IS。中，ZZ?JC=30°,平分2历1。，点£在6。的延长线上,^CAE=15a,若CE=

3A+AC,则N8的度数为

【分析】延长。到O,使得力。=力氏连接0E,求出NH4E=NO4E=105,证明△JOE0

然后根据角度关系求得3/4+20°=180。求出NA的度数即可.

【解答】解：延长。到O,使得力。=力从连接

0

•・・/8/C=30°，NCAE="°，

：・/BAE=750+30°=105°,NCME=18()°-75°=105°,

:,NBAE=NO4E,

在△/1O£和△4弘;中,

(AO=AB

LBAE=Z.OAE,

U1E=AE

第27页共102页

:.AAOEq2BE(SAS),

：.ZB=ZO,

*：CE=BA+AC,

：,CE=AO+AC=OC,

：.ZO=ZCEO,

・・・NOCE+NO+NOEC=N8+/84C+N8+N8=180°,

故3/8+30°=180°,

••・NB=50°,

故答案为:50°

22.如图，在五边形49CQE中，ZF=ZE=90°,Z.CAD=^BAE,=4E且CO=5,AE=6,则五边

形48。。£的面积为.

【分析】可延长。月至b，使EF=BC,可得A4BF色&4ED,连力C,AD,AF,可将五边形力AC7)E的

面积转化为两个△力。尸的面积，进而求出结论.

【解答】解：延长CB到F,使BF=DE,连接AF,

在△力所与△力QE中，

(AB=AE

Z.ABF=Z.AEDy

VBF=DE

:•△AFB"AADE(SAS),

：,AF=AD,NFAB=/DAE,AB=AE=6,

111

NCAD=-ZBAE=~(NDAE+NBAD)=;NFAD,

NFAC=NDAC,

A^AFC^/XADC(ASA),

：.FC=CD=5,

第28页共102页

・二五边形ABCDE69W-fH—=2*JAJFC=2x~x6x5=30.

故答案为：30.

23.如图，△48C中两边彳4、4C上有两点M、N,力为△4BC外一点，且乙4=80°,NBDC=100°,

NMDN=5a°,BD=DC.

(1)猜想线段MMAM、NC之间的数量关系并证明；

(2)若｛8=6,AC=7,求△4MN的周长.

【分析】(1)延长力E,在48的延长线上截取〃E=NC,连接OE,根据乙4=80°,Z^/)C=100°得/

ABD+^ACD=\^,再根据/O4E+N/48O=18()°得NO8E=N/CO,由此可依据“S/S”判定△QBE

和△QCN全等，则。E=OMNEDB=NNDC,进而根据/B0C=100°,NMDN=5()°得NMDE=N

MDN=50",由此可依据“S/4S”判定和△MON全等，则.ZE=A/N,据此可得线段MN、BM、

NC之间的数量关系；

(2)由(1)的结论得MN=8M+NC,则的周长为4W+4N+MN=4W+4N+8W+NC=48+4C,由

此可得出答案.

【解答】解：(1)猜想：MN=8W+NC,证明如下：

延长力8,在48的延长线上械取BE=NC,连接DE,如图所示：

第29页共102页

在△力〃。中，ZJ=80°,

AZABC+ZACB=180°-80°=100°,

在△8CQ中，ZBDC=100°,

・・・NQ8C+NQC8=180°-100°=80°,

/.ZABC+ZACB+ZDBC+ZDCB=180°,

即/48O+N4CQ=180°,

ZDBE+^ABD=\S00,

・•・NDBE=NACD,

在aoA七和△ocw中，

(BE=NC

Z-DBE=Z.ACD,

VBD=DC

:ADBE9ADCN(SAS),

：・DE=DN,ZEDB=ZNDC,

VZ5Z)C=100°,N"ON=50°,

/./BDM+/NDC=NBDC-£MDN=50°,

・•・NMDE=/BDM+/EDB=2BDM+4NDC=50°,

:・NMDE=NMDN=50°,

在△〃£)七和中，

(DE=DN

(MDE=乙MDN,

WM=DM

:.△MDE/AMDN(SAS),

:・ME=MN,

•:ME=BM+BE=BM+NC,

:・MN=BM+NC；

(2)由(1)可知：MN=BM+NC,

:AAMN的周长为：AM+AN+MN=AM+AN+BM+NC=4B+AC,

•:AB=6,AC=7,

・"8+4C=13,

•••△4WN的周长为13.

第30页共102页

24.如图1,。中，/B=BC.点、D在边BC上,CD=CA,连接力。，ZCAE=ZBAD,/上交8c的延

长线于点E.

（2）如图2,在图1的基础上延长。到产，使4F=CE,连接交边/出于点G,探究线段4G,AC

之间的数量关系，并证明.

【分析】（1）根据等边对等隹得出/8XC=N8c4,进而利用等角对等边解答即可；

（2）在48上截取，AH=AC,连接。H,根据S4S＞证明△40”与△花。全等和利用44S1记明4/G/与

△HGD,进而利用全等三角形的性质解答即可.

【解答】（1）证明：・・18=BC,

:・/BAC=/BCA,

•：NBAC=NBAD+/D4C,NBCA=NCAE+/E,且NC/石=N8/Q,

:・/DAC=/E,

•:CA=CD,

：,ZCDA=ZCAD,

：.ZCDA=ZE,

：,AD=AE；

1

（2）解：AG=-AC,

乙

证明如下：在力B上截取，AH=AC,连接

第31页共102页

F,

B

DC

•；4D=AE,NHAD=/G4E,

在与△力EC中，

(AH=AC

Z.HAD=Z.CAE,

VAD=AE

：.^ADH^AAEC(SAS),

：・/DHA=/ACE,CE=DH,

•：AF=CE,

:・DH=AF,

•；NBAC=NBCA,ZG/lF=180o-NBAC.ZJCf=1800-NACB,

：.N4CE=NG/1F,

:.NDHA=NGAF,

柱44GF与/\HGD中，

(Z.DGH=Z.AGF

/.DHA=Z.GAF,

WH=AF

:AAGF^AHGDCAAS),

11

：.AG=GH=-AH=-AC.

乙乙

25.