2025年吉林省高起专数学真题及答案

2025年吉林省高起专数学练习题及答案一、选择题（每题5分，共40分）

1.若函数f(x)=x²2x+1在区间[0,2]上的最大值为M，最小值为m，则M+m=（）

A.3

B.4

C.5

D.6

答案：B

解析：f(x)=(x1)²，当x=1时取得最小值0，当x=2时取得最大值1，所以M+m=1+0=1。

2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=21，则公差d=（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：B

解析：S3=3/2(a1+a3)=9，S6=3/2(a1+a6)=21，由此可得a3+a4=6，a4+a5=7，所以d=a5a3=1。

3.已知函数f(x)=2x+3在区间[1,1]上的反函数为g(x)，则g(2)=（）

A.1

B.0

C.1

D.2

答案：A

解析：因为f(x)=2x+3，所以f⁻¹(x)=(x3)/2。当g(2)=x时，有2=(x3)/2，解得x=1。

4.若函数f(x)=|x1|+|x+1|的最小值为a，则a的取值范围是（）

A.a≥2

B.a>2

C.a≤2

D.a<2

答案：A

解析：当x≤1时，f(x)=2x，当1<x<1时，f(x)=2，当x≥1时，f(x)=2x。所以f(x)的最小值为2，即a≥2。

5.已知三角形ABC的三个内角分别为A、B、C，且A+B+C=180°，若a=4，b=6，c=8，则三角形ABC的面积S=（）

A.4√3

B.8√3

C.12√3

D.16√3

答案：B

解析：由余弦定理得cosC=(a²+b²c²)/(2ab)=1/3，所以sinC=√(1cos²C)=2√2/3。由海伦公式得S=√p(pa)(pb)(pc)，其中p=(a+b+c)/2=9，所以S=√(9531)=8√3。

6.已知函数f(x)=x²+2x+1在区间[2,2]上的最大值为M，最小值为m，则Mm=（）

A.4

B.8

C.12

D.16

答案：B

解析：f(x)=(x+1)²，当x=1时取得最小值0，当x=2时取得最大值9，所以Mm=90=9。

7.若函数f(x)=ax²+bx+c在x=1处取得极值，且a>0，则b的取值范围是（）

A.b>0

B.b<0

C.b≥0

D.b≤0

答案：B

解析：f'(x)=2ax+b，f'(1)=0，所以b=2a。因为a>0，所以b<0。

8.若直线y=kx+2与抛物线y=x²4x+4相切，则k的取值范围是（）

A.k≥2

B.k≤2

C.k>2

D.k<2

答案：B

解析：联立方程得x²(4+k)x+6=0，判别式Δ=(4+k)²24≤0，解得k≤2。

二、填空题（每题5分，共40分）

9.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an=SnSn1（n≥2），若a1=1，则数列{an}的通项公式为______。

答案：an=2^(n1)

解析：an=SnSn1=a1+a2+...+an(a1+a2+...+an1)=an，所以an=2an1，又因为a1=1，所以an=2^(n1)。

10.已知函数f(x)=3x2在区间[0,3]上的反函数为g(x)，则g(5)=______。

答案：2

解析：g(5)=x，使得f(x)=5，所以3x2=5，解得x=2。

11.若函数f(x)=|x3|+|x+3|在区间[5,5]上的最大值为M，最小值为m，则Mm=______。

答案：12

解析：当x≤3时，f(x)=2x，当3<x<3时，f(x)=6，当x≥3时，f(x)=2x。所以f(x)的最大值为12，最小值为6，所以Mm=126=6。

12.若直线y=kx+1与圆(x1)²+(y2)²=4相切，则k的取值范围是______。

答案：k≤3/4或k≥5/4

解析：圆心到直线的距离等于半径，即|k112+1|/√(k²+1)=2，解得k≤3/4或k≥5/4。

13.已知函数f(x)=x²4x+3在区间[0,3]上的最大值为M，最小值为m，则M+m=______。

答案：6

解析：f(x)=(x2)²1，当x=2时取得最小值1，当x=0或3时取得最大值3，所以M+m=3+(1)=6。

14.若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an1（n≥1），则数列{an}的公差d=______。

答案：2

解析：当n=1时，S1=2a11，所以a1=1。当n=2时，S2=2a21，所以a2=3。所以d=a2a1=2。

三、解答题（共20分）

15.（10分）已知函数f(x)=x²2ax+a²+1（a为常数），求f(x)在区间[0,3]上的最大值M和最小值m，并求出M+m的值。

解：f(x)=(xa)²+1，对称轴为x=a。

当a<0时，f(x)在[0,3]上单调递增，所以M=f(3)=96a+a²+1，m=f(0)=a²+1，所以M+m=106a。

当0≤a≤3时，f(x)在[0,a]上单调递减，在[a,3]上单调递增，所以M=f(0)=a²+1，m=f(a)=1，所以M+m=a²+2。

当a>3时，f(x)在[0,3]上单调递减，所以M=f(0)=a²+1，m=f(3)=96a+a²+1，所以M+m=106a。

16.（10分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an1（n≥1），求数列{an