辽宁省沈阳市五校2025-2026学年高二年级上册期中考试 数学试卷

辽宁省沈阳市五校协作体2025-2026学年高二上学期期中考试

数学试卷

一、单选题

1.圆F+),2-4)，=0的半径为()

A.1B.2C.3D.4

2.已知点*2,0)是椭圆5+[=|(〃>0)的一个焦点，贝lj〃=:)

A.0B.5C.>/7D.7

3.若直线、-)，-2=0与直线]一]，+。=()(〃>0)之间的距离为2乃，则。=()

A.1B.2C.3D.4

4.记点。(。⑼，点。在圆(工一以+()，-2)2=4上，则|0。|的取值范围是()

A.[x/5-2,^+2]B.[。,2+石]

C.[2-石,2+6]D.[0,2+6]

5.已知空间向量1=(1,3,4)石=(2,“间，若卜+可=3,则〃〃?=()

A.4B.8C.12D.16

6.已知点尸是椭圆C:^+J=1上的一个动点，£，月分别是C的左、右焦点，则cos/"居的最小值为()

A.-也B.--C.-D.立

4884

7.已知圆M:(x-〃)■_/=4与圆*：(x+2a『+_/=9交于4B两点，且直线AB经过线段MN上靠近M的

三等分点，则/=()

45

A.1R.-C.-D.2

33

8.已知半径为2的球。与平面。相切，球面上两点A3满足。4_LO8,且点A到平面。的距离为3,则点6

到平面。距离的最大值为()

A.2-6B.2-72C.2+应D.2+6

二、多选题

9.己知直线卜公―2），+1=0与4：3x+g-5）），-4=0平行，则。的值可以是（）

A.1B.2C.3D.4

10.已知椭圆C的两焦点分别为£（-1,0）,玛（3,0）,若点己（3,3）在C的内部，点8为6）在C的外部,则C的

离心率可能是（）

A屈B-C，D-

A.丁B.3°2D.3

11.已知高为2的斜三棱柱ABC-A4G中，G在底面ABC上的射影为点P,且四边形4cB尸是边长为2

的正方形.设M.N分别为44MA的中点，则（）

A.MN上BC

B.A8_L平面CGM

2

C.二棱锥A-〃CV的体积为§

D.直线8G与直线AN所成角的余弦值为亚

三、填空题

12.圆工2+）,2-2公="+1（其中aeR）的周长的取值范围为.

13.在平面直角坐标系工。），中，已知动点P,Q分别在r轴、y轴上，河是线段PQ上靠近。的三等分点，N

为M关于x轴的对称点.若地•。”=-3,则点M的轨迹方程为.

14.在平面直角坐标系短¥中，直线以-丁-4=。过定点M,点P在直线工=2上，则tan/OPM的最大值

为•

四、解答题

15.在VAEV中,A（2,0）,B（-l,0）,C（-l,6）.

⑴求“ABC的平分线所在直线的斜截式方程；

⑵求AC边上的高所在直线的一般式方程.

22

16.已知椭圆C:?+]=l的左、右焦点分别为耳,&直线Ly=A（x-4）（A，0）交C于忆。两点.

（1）若A是C上一动点，求人的周长;

⑵探究归图=1。段是否成立，若成立，求出/的方程：若不成立，请说明理由.

17.在平面直角坐标系屹y中，过点(-2,0)的直线/与圆加：(工-4+)，2=9/(〃>())交于43两点，

囱=4缶.

(1)若4=2,求/的斜率；

(2)若/的斜率为立，求面积.

4

18.如图，四边形A8CO是边长为2、中心为0的正方形，P为平面48co外一动点，满足平面P48_L平面

ABCD,且四棱锥尸-八3C。的体积为：.设线段PC的中点为M,Q为线段依上一动点(不包含端点P).

(l)i正明：OW//平面PA。；

(2)求直线BM与平面DPQ所成角的最大值.

22

19.已知椭圆。：3■+方=1(心力>0)的右焦点为尸，右顶点为A,且点A在圆厂：(x-3『+V=9上.

(1)求C的方程：

(2)设A为圆厂上三等分圆周的任意三点，设尸1,FP?、FP、的延长线与C分别交于点。|工，。3.

(i)设求|FQ|关于。的表达式；

-3/

3]

5)求瓦网的值•

参考答案

题号12345678910

答案BCBACBCDBCAB

题号11

答案BCD

1.B

【详解】方程/十),2-4、=0可化为丁十(),一2)2—4,所以圆的半径为2.

故选：B

2.C

【详解】由题意得c=2,则/=3+4=7,则”=

故选：C

3.B

|«-(—2)1

【详解】由题意知(］尸=2夜,

又a>0,:.a+2=4,

解得a=2,

故选：B.

4.A

【详解】圆“一1)2+(八2)2=4的圆心为。(1,2),半径「二2.

原点。(0.0)到圆心C的距离：\OC\=7(1-0)2+(2-0)2=V5>2.

因为点。在圆上，所以|。。|的最小值为6一2,最大值为|。。+厂=石+2.

故|。。|的取值范围是［«-2,石+2］.

故选：A.

5.C

【详解】由已知得不+屋（3,帆+3、”+4）,则卜+同二,9+（加+3）2+（〃+4）2=3,

即（阳+3）2+（〃+4）2=0,可得机二-3,〃=-4,因此〃"?=12.

故选：C.

6.B

【详解】当点尸是短轴的端点时，/「尸鸟取得最大值，cos/£P居取得最小值,

因为。:匕+上=1,

167

所以a=4,〃=",c=\/16-7=3,

42+42-62

所以cosN£P6二

2x4x48

故选：B.

7.C

【详解】圆M的圆心为M（«0）,半径4=2；圆N的圆心为N（-%,0）,半径与=3.

圆心距为电|,由于两圆相交，所以1＜3同＜5$＜同＜，

将两圆方程相减，得公共弦48的方程：（x-〃）2+y2-4-[卜+2〃）2+/-9]=0,

化简为-box-3a2+5=0»即6av+3a2-5=0.

线段MN的长度为3同,靠近M的三等分点P的坐标为（0,0）.

因为直线A8经过尸（0,0）,将其代入公共弦方程得3/—5=（）,解得/=：.

【详解】过点。得平面a的垂线为Z,在平面。内作两条互相垂直的直线为x，y轴,

建立如图所示的空间直角坐标系，

z.

则球。的方程为/+y2+（z—2）2=4,

因为点A到a的距离为3,所以设A的坐标为（毛,为，3），所以片+/=3,

设8的坐标为（N，y,zJ,则丽=a，y,Zi-2）,丽二&,为/），

因为。A_LOB,所以况10月，所以况.。月=0，

所以不x+）b），i+Z1-2=。，所以%玉=2-Z],

又由平面向量知识可得Wo%+%），]|<Jx：+y；•旧+），；，

所以|2-zJ«j£+y；4K+y；=6旧+n,

又因为画二2,所以片+弁=4-（2-4）2,

所以|2-.产西了，两边平方得（2—zj2<3[4-（2—zj],

所以4（2—zjZ12,所以（z「2）Z3,

解得M<Z]-2«G，所以2-6<442+6，

所以点3到平面a距离的最大值为2+G.

故选：D.

9.BC

【详解】由已知两条直线平行，则4（4-5）=-6,可得/-5a+6=（a-2）（〃—3）=0,

所以4=2或4=3,

I4

当a=2时，/|:x—y+—=0,1:J—y——=0,满足题设，

4»2J

当4=3时，/I:3x-2y+l=0,Z,:3x-2y-4=0,满足题设，

所以。可以是2或3.

故选：BC

10.AB

【详解】由椭圆焦点6(-1,o),5(3,0),得椭圆中心为(1.0),c=2.

设椭圆方程为02匚+4=1(。>5>0),其中从=/一4.

cro

因为点网1,6)在椭圆外部，所以居>1,

G—4

因故/之40，即〃<2碗.

因为点A(3,3)在椭圆内部，所以通分整理得/-17/+16>0,

因式分解得(/川(/-16)>0.

因〃>c=2,故a>>16,即a>4.

综上，4<”2瓶，★H

离心率e=*=2,则—_<<-L,

aa102

所以AB选项符合，CD选项不符合.

故选：AB

11.BCD

【详解】正方形AC8P的边长为2,则VA8C是以C为直角顶点的等腰直角三角形.

以点。为原点，以c反CA•的方向分别为工轴，V轴正方向，

过点C且垂直于底面A8C的直线为z轴，向上为z轴正方向建立空间直角坐标系，如图,

M

则C(0,0,0),4(020),5(2,0,0),由四边形AC5P是正方形,得P(Q2,0),

因为顶点G在底面ABC上的射影是点P,且棱柱的高为2,所以G(2,2,2).

故可=福=西=(2,2,2),则4(2,4,2)山(4,2,2),则M(3,3,2),N(1,3,1),

则丽=(-2,0,-1),丽=(2,0,0),丽•丽7/0,

故直线MN与不垂直，A错误.

由君二(2,—2,0),函=(3,3,2).设平面CCM的法向量为万=(.%)，,z).

由/bCC；=0,得x+y+z=0,

由心函=0，得3x+3y+2z=0,取y=l,得"=(—1,1,0).

由干而=-2・”，因此向量血与万共线，也即直线A3垂直于平面CGM,B正确.

三棱锥4一ACN的体积等价于三棱锥N—ABC的体积，S“sc=?A。＞BC=2,

三棱锥N-4?C的高即N(l,3,l)到平面ABC的距离，等于1.

12

故匕-8CM=V\T8C=3X2X1=3，c正确.

Bq=(o,2,2),^v=(-i,-i,-i),设直线8c与AN的夹角为夕，

8G•丽-4R

则cos。71_||―=2,故D正确.

8G.取V8XV33

故选：BCD.

12.[2TT,-HX)).

【详解】将圆的方程化为标准形式：(x-a)2+V=2/+l,则半径「=历力・

圆的周长C=271r=2Tty12a，+1-

因为awR,所以2/+121,即,2为+i21，故C22兀.

故答案为：[2九,+8).

【详解】设伏3),M是线段PQ上靠近P的三等分点，则。(0,3)，)，P仔0),N为M关于x轴的对称点.则

N(x,-y),

所以=15,3)，J,oM=(x,-y)

则点M的轨迹方程为：y+/=l;

故答案为：

14.立

4

【详解】直线可表示为4X-1）-），=0,可知其过定点M（1,O）.

设P（2"）,设A（2,0）,注意到NO尸M=POM,

则MnNOPM|=忖!1(NPMA-NPOM)|=tanZPMA-tanZPOM

1+tanNPMA-tanZPOM

而tanZ.PMA=—^—=IdjanZPOM

2-1112-02

iiM一5mIdklV5

故网"勒"T'

2

/9

于是tan/OPM引tan/OPM|K?,当且仅当/=±&H寸，等号成立,

15.(l)y=x+l

(2)x-2y+l=0.

【详解】⑴由A（2,0）,8（T,0）,C（T6）,易得直线48的斜率为0,故其方程为如：丁=。，

直线BC的斜率不存在，故其方程为4c：x=T,可得AB_L4C,

易知/A8C的平分线所在直线的帧斜角为:，又经过点8,则其方程为y=x+l,

4

故248C的平分线所在直线的斜截式方程为y=x+L

（2）由A（2,0）,8（T,0）,C（T6）可得直线4c的斜率心=:二2二-2,

-1一2

故AC边上的高所在直线的斜率-'；二:，

-22

又所求直线经过点以-1,0）,故其方程为）=o=《a+i）,

故AC边上的高所在直线的一般式方程为x-2），+1=0.

16.(1)6

（2）结论不成立，理由见解析

【详解】（1）由题意得，椭圆的长半轴长。=2,短半轴长〃=有，半焦距c=万=1，

所以△Af；鸟的周长为片+M国+忻国=为+2"4+2=6.

22

工+二=1

（2）假定|P6|=|。周成立，设尸（不,），。（孙％），由43-得（4/+3）/-324、+64-一12=0,

则A二（一32公）2-16（4犬+3）（16/一3）>0,解得-卜<0或0<A<g,

u32F64^-12

且=小7'

设p。的中点为M（9），o）,则.%=半=挡1%=刈为—4）=一4公，

而用（1,0）,由归玛|=|Qg|得M玛J_PQ,

12k

则犬；+3=_）,整理得4k2_1=4好，

2

x0-\16A：k

4一+3

此方程无解.，所以结论归用=|。目不成立.

⑵芈.

3

【详解】（1）若/的斜率为0，则|A4|=6〃>4夜。，不合题意.

故设/的方程为x=-2,点M到直线/的距离d=J9设一=a,

.|67+2|c4

又d=i、=a,〃=2,即/,=2,解得〃?=±&,

yJin~+1yjm~4-1

故/的斜率人=±正.

3

(2)由题知机=2拉,/“一2&)，-2=0.

,10+2|Li

此时点M到直线/的距离4=JF+(2夜)2=3("+="'解得4=1•

,10-0+212

而点C到/的距离力=+(2a产=5

又|人8|=4返，故△Q4B的面积S=L|AZqj?=」x4&x2=*i.

2233

18.(1)证明见解析:

呜

【洋解】(1)由题意，得。为AC的中点，旦点M是线段PC的中点,

故。"是△B4C的中位线，WOMI/PA.

又P4u平面?4£),而。MZ平面FAO,故OM〃平面尸AO.

(2)如图，以点4为坐标原点，A/X4月的方向分别为1,轴正方向，

垂直于平面A8CO向上的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，

由题意可知,A(0,0,0),5(0,2,0。0(2,0,0),2(2,2,0),。(1,1,0).

Q1

设四棱锥尸-/仍C。的高为"，由体积公式易有］=$22九解得力=2.

又平面Q48_L平面48cO,且平面B48c平面A8C£>=43,

故点P在宜川平面内的投影落在直线A3上.

设点P(0/2),reR,则加,・』>8M=(1,彳,1).

由睡，。为线段依上一点，因此点P,Q,8三点共线，

即等价于求直线BM与平面P8。所成角的最大值，

设平面PBD的法向量为"=("1").又加=(-2,2,0),DP=(-2,7,2).

n-DB=0l-2a+2b=0

则即《,

nLDP=0-2a+tb+2c=Q

令4=2,可得平面PBD的一个法向量方=(2,2,2-/).

设电线与平面尸“。所成的先为9.

4_4

则g〃—4f+i2/2—41+12产―41+12-(-2)2+8•

故当，=2时，（-2尸+8取得最小值8,此时sin。取得最大值9

又容0，g,由正弦函数单调性可知，此时0取得最大值g,

即直线BM与平面DP。所成角的最大值为g.

6

x2y2

19.⑴上+2_=1