辽宁省沈阳市五校协作体2025-2026学年高一年级上册期中考试数学试题（解析版）

辽宁省沈阳市五校协作体2025-2026学年高一上学期

期中考试数学试题

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只

有一项是符合题目要求的.

1.全集U=R，集合A={x|f+2x-3>0},8=—4《0},则(4，可。8=()

A.|x|-l<x<2jB.{x|-3<x<-2^1<x<2}

C.1x|-2<x<l|D.|x|-2<x<3}

【答案】C

【解析】TX2+2X-3>0»解得戈<一3或R>1,•..集合4=卜|工<一3或r>l},

・・・U=R,.•.^,.A={x|-3<x<l},

VX2-4<0,解得一2WXW2,•..集合〃={X|-2MX<2},

.".(^,,A)nB={x|-3<A<l}n{x|-2<x<2}={x|-2<x<l}.

故选：C.

2.命题“Vl〈xK2,29一々之0”为真命题的一个必要不充分条件是()

A.a<\B.a=\C.a<2D.«<4

【答案】D

【解析】因为命题"VI<上<2,2/一〃二0”为真命题，

所以1KXW2恒成立，所以。<(2门=2.

因为<1”是W2”的充分不必要条件；

“。=1”是“。42”的充分不必要条件；

42”是2”的充要条件：

K4”是W2”的必要不充分条件.

故选：D.

3.若函数/(x)=Jar?-办+2的定义域为R,则实数。的取值范闱是()

A.[0,8]B.(0,8]C(0,+。)D.[0,4w)

【答案】A

【解析】由题意：ar?—at+220在R上恒成立.

若a=0,则不等式可化为220,在R上恒成立；

a>0

若。。0,由ax2-+220在R上恒成立,可得《•、o八=0<aW8.

△二。~-8。<()

综上可知：04a«8.

故选：A.

4.已知0<cvlv/?<4,则指数函数y=a"y=bx,y=c'分别对应图中的哪个函数

B.C1,C),C、

D.G，。3，C)

【答案】B

作直线x=l,得直线与指数函数的交点，根据交点的纵坐标，及0<c<l</?<〃,

可知），=〃'对应G，y="对应。2，>=。*对应。3,

故选：B.

5.已知x>l,y>i,E.xy-x=y+\,则冗+2），的最小值是（）

A.20+3B.5C.4及D.7

【答案】D

y+1，八

【解析】Qx>l,y>l,且D-工=>+1，二尤=---7，>>-1>0,

y-i

,»2,，=Al+2y=SzS+2y

y-iy一1

=3+六+2()，-1)23+22

--2(y-1)=3+4=7,

2

当且仅当一-=2（j-l）,即x=3,y=2等号成立,

丁一1

+的最小值为7.

故选：D.

3-r,x<0,

6.设/(x)=«若/（x）=x+a有且仅有两个解，则实数〃的取值范围是

/(x-l),x>0,

（）

A.[1,2）B.[2,3]C,[2,3）D.[2,+oo）

【答案】C

【解析】由题意可知，当x<0时，/（幻=（；）',则此时/"）在（­,0]上为单调递减,

且值域为[1,+8）,

当x>0时，由/（x）=/（x-l）可知，函数是以1为周期的周期函数，

且/(x)=(；)J(xe(()4]),

结合函数的图像，当满足2工。<3时，/（X）与y=x+4有且仅有两个交点,

即/（x）=x+。有且仅有两个解.

故选：C.

7.已知函数/（司的定义域为（0,+/）,且满足Vx,占«0,+8）,内工修，都有

(9)

>o,则称函数/（工）具有性质p.已知函数/（犬）具有性质产，则不等

式/（x-3）</（'.一9）的解集为（

)

I3

A.(-oo,-2)B.(3,+oo)C.(—2,+oo)D.(6,+oo)

【答案】B

【解析】不妨设%>々>°，令&(月二丛0,

则看“幻:"伍)>0nxJ(M)TjU)>0n2>©ng(xj>g(6)，

•XjX2工].，〉

则函数g(x)=在(0,+8)上单调递增，

上9)x-3>()

对于不等式/"一3)<由定义域可知〈,.nx>3,

x+3厂一9>0

中-%化为心-3)「『9)

所以不等式“x-3)<

x+3x—3x"-9

即g(x-3)<g(f-9),

因为g(x)在(0,+")上单调递增；所以x—3vf—9nx>3或工<一2(舍去),

所以不等式的解集为(3,+8).

故选：B.

8.已知函数/(力满足V.E,)，£R,3'/()，)-3y/(x)W(9'-9F)/(x)/()，)^/(l)=],

则的最大值是()

A.—B.—C.1D.2

126

【答案】A

【解析】Vx,yeR,3"(y)—3"(x)W(9'—9>')/(x)/(y)①.

则交换尤y可得，3V(A)-3"(y)<伊一9,)/(x)”)，)，

化为3"(y)—3"(力之伊一夕)/(x)〃y)②,

出①@可得3"()，)一3"⑴=(9'—9〉)/()，)③,

③中令y=i可得

3"(1)—3/(力二(9,—9)/(x)〃l)n：x3J3/3=，—9)〃x)x9

小)_工_巫

；-x

化简可得JI9+6-v.6-12，当X=log36时等号成立,

3r

故选：A.

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.下列指数塞运算中，正确的是（）

A.^/=/(>'<())B.X3=0)

C.0)D.yjay/a=茄(a>0)

【答案】BCD

【解析】对于A,V7=/=-/（y<o）,故A错误;

对于B,X3=丁=五。。°），故B正确；

X3

33

对于C，［y（一x）［4=卜）=/（工>0）,故C正确；

对于D,^a\［a=（6/>0）,故D正确.

故选：BCD.

10.已知两个实数/、）'满足f+），2-1^=2,则（）

44

肛>--<-

-5B.3

88

A.C2>22<

2+y--X+y-

X9-3

【答案】ABCD

【解析】因为两个实数x、y满足f+y2一;冷,=2,

I134

由重要不等式可得2=f+）,2一一冲之2用y--xy=-xy,故“4一，

2223

,1.时，即当％=），=型或x=y=—递时，等号成立，B对;

当且仅当《

x~+y---^=233

另一方面2=x?-—xy=（^x+y）2--xy>--xy^,可得—>,

2石2x/5

x+y=0x=----x=------

5广（时，等号成立，A对;

当且仅当《…一”时，即当，/-或彳

2V52V5

y=------

5

对于CD选项，由题意可得/+），2-2=]冷,

[22

由重要不等式可得x2+y2-2=-xy＜三士上，可得H+Vwg,

2.43

x=y厂

一亚时，等号成立，D对;

当且仅当|221■时，即当x=），=处或x=y=

/孙=2-33

，2

因为（x+y）2=d+）,2+2^y20,故一外工x+y

2

所以2=/+,2_g盯<x2+y2（…）.即x2+y2>|,

44

2&2后

x+y=0X=----x=------

5T2时，等号成立，

当且仅当《，21个时，即当《L或彳

厂+）'--^,=22V52V5

>，="—"=—

「88r

又一>—,C对.

59

故选：ABCD.

（3、（1A

11.已知函数/（力的定义域为何"（）｝,〃力二/二，且/-=2,则（）

1不

A."3）=1

B.函数/'（3'）的图象关于点（0,2）中心对称

函数/（3"）的图象关于直线x=；对称

C.

/（3°）4-/（3'）+/（32）+/（33）+..+/（32024）=2025

D.

【答案】ACD

【解析】对A：令4=1,由/（x）+/2n〃l）+〃l）=2n〃l）=l,

由/（x）=H=.f（3）=〃l）=l,故A正确.

对B：因为"3）=1即

所以函数/（3'）过点（1,1）,该点关于（0,2）的对称点为（一1,3）.

但/（3）+/（；）=2=>/（3一1）=2-/（3）=1,即函数/（3'）过点（一1,1）,

不经过（一1,3）,故B错误；

对C：由小）=/图目=/（3'）=/廿'）,

所以函数/（3"）的图象关于直线x对称，故C正确；

对D：由外力+/（1=2=/（3人）+/甲）=2：

由“x）=/（£|n/（3"）=/（3i）,用M代替人可得/（3一）=/（3”人），

所以/（3*）+/（3.）=2.

所以/俨）+/（32）=2,/（3。+/（34）=2,…，/（32023）+/（32024）=2,

又f（3°）=/（1）=l,

所以/（3。）+/（¥）+/（32）+/（33）+…+/（3皿）=2025,故D正确.

故选：ACD.

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

Y+4

12.已知—=,则/（1）=.

6-A

3

【答案】-

2

Y-L-A943

【解析】因为“3—”二^—，令x=2时，/（1）=-+-=-.

6—x6—22

3

故答案为：

2

13.若函数/（尤）=如2-2x+l有两个零点七，％,且x<1,x2>\,则实数川的取值范

围为.

【答案】（0,1）

【解析】因为函数/"）=〃优2-2X+1有两个零点七，x2,所以小。0.

m>0m<0

又因为g<1,x2>l,所以</（I）<0或</（1）>0,

A>0[A>0

w>0m>0

由./(l)<()=w-2+1<0=>0<7H<1；

A>04-4m>0

in<0m<0

/(l)>0=«2+1>0=>/7ZG0.

A>()[4-4/H>0

综上可知：（）</〃<1.

故答案为：（0,1）.

14.非物质文化遗产承载箸民族的历史和文化记忆，帮助人们理解和连接过去和现在，为弘

扬和传承非物质文化遗产，云南某校组织高一年级100名学生去社区参加非物质文化遗产

的学习活动,一共有傣族孔雀舞，傣族泼水节，傣族织锦技艺三项学习活动，每个同学至少参

加一项活动，其中有52人参加了傣族孔雀舞，43人参加了傣族泼水节，49人参加了傣族织

锦技艺，既参加了傣族孔雀舞乂参加了傣族泼水节的有24人，既参加了傣族孔雀舞乂参加

了傣族织锦技艺的有20人，既参加了傣族泼水节又参加了傣族织锦技艺的有17A,则三项

活动都参加的人数为.

【答案】17

【解析】设参加傣族孔雀舞的学生集合为A,参加傣族泼水节的学生集合为3,

参加傣族织锦技艺的学生集合为C.

由题意：card（ABC）=100,card（71）=52,card（B）=43,card（C）=49,

card（A03）=24,card（A「C）=20,card（3「C）=17,

又card（4BC）=card（A）+card（A?）+card（C）-card（>44）-card（AC）

Yard（BC）+card（ABC）,

所以card（ArBrC）=100—52-43-49+24+20+17=17.

即三项活动都参加的人数为17.

故答案为：17.

四、解答题（本大题共5小题，共77分,解答时应写出必要的文字说明或演算步骤）

15.函数/(x)满足对任意x,都有/(x+y)=/(x)+/(y),且〃4)=-2,当

x>0时，/(x)<0.

(1)判断并证明“X)在R上的单调性；

(2)求不等式/(丁一2工)>/(2-x)+l的解集.

解.：(1)外同在R上是单调递减的函数，

理由如下：任取X1V%2，则42一%>0，由己知得了(王一天)<0,

则/(9)一/(玉)=/((9-m)+司)一/(%)=/(&-%)+/(%)—/(%)=/(£

/(W).・•・/(同在R上是单调递减函数.

(2)令x=y=0,得/(O+O)=/(O)+/(O),所以/(o)=o.

令)'=一犬，得/(x-x)=/(x)+/(-x)=/(O)=0,

所以/(-x)=—/(x)，所以/(x)为奇函数；

由于/(4)=一2,则/(4)=2/(2)=—2,所以f(2)=—1,

又因为/(2)+/(—2)=〃0)=0,所以/(—2)=1.

因为-2x)>/(2-x)+l=/(2—工)+/(-2)

又因为/(-2)+/(2-x)=/(-%),所以/(x2-2x)>/(-x),

由于/")在R上是单调递减，X2-2X<-XF即Wr<o,即0<冗<1,

所以不等式/(丁一2工)>/(2-力+1的解集为(0,1).

16.已知函数〃x)=W(〃00且"?wl)的图象过点(3,27).

(1)求“力的解析式;

(2)设函数G(X)=/")+4(2X)(〃£R),求G(x)在(-oo,0]上的最大值.

解：(1)因为函数/(%)=">0且〃件1)的图象过点(3,27),

所以"r=27’所以m=场=3,所以/(工)=3、，

(2)G(A)=3r+6/-32A=a(3')2+3r,(x<0),

令，=3VG(0,1],则〃(/)=fzr2+r,/G(O,l],

当a〉0时，付)对称轴为，=一5<°，所以力⑺在(0』上单调递增，

所以/2(〃皿=h(\)=a+\,

当a=0时,〃(/)=/,所以〃(，)在(0,1］上单调递增,所以从。1rax=40)=1,

当avO时,力⑺对称轴为/=--^―

若-L1,即一;工。<0时，力(。在(0,1］上单调递漕，A(r)nm=/；(1)=,

2a

若即々<—J时，"(/)在(吟上单调递增,在上单调递减'

所以爪=〃$11

2a)2a4a

\-va,a>_1

所以G(力在(—,()］上的最大值为e(〃)=｛］2

1

——,a<——

4a2

17.大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销A8两种商品，据市场调查统计，当

投资额为，。>0)万元时，经销A8商品所获得的收益分别为/。)万元与g(1)万元，其中

吧,0人5

/(r)=r+l,g(/)='；1，小王计划投入io万元全部用于经销这两种商

-y+6z-9,5</<10

品.

(1)假设小王只经销其中一种商品，求他能获得的收益;

(2)如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并

求出最大收益.

解：(1)因为投入10万元，即，=10,

若只经销4商品，则所获得的收益为/(10)=11万元；

若只经销〃商品，则所获得的收益为g(10)=l万元.

(2)设8商品投入，万元，则A商品投入10-，万元，

可知总收益=+=+

若0W/W5,则/?(。=11一1+^^g<22-2^(r+l)-=16.

=22-(/+1)+——

'7r+1

9

当且仅当1+1=——,即1=2时，等号成立，

t+\

所以在［0,5］上的总收益最大值为16万元；

若贝以7（。=11—f—彳+6/—9=—］r+5f+2,

29

可知〃（1）的图象开I」向下，对称轴为f=5,则力⑺〈力（5）=—,

70

所以在（5,10］上的总收益最大值小于耳万元；

29

因为一<16,所以A商品投入8万元，3商品投入2万元，总收益最大值为16万元.

2

18.已知二次函数y=a/+bx+c,其中。，仇cwR且a。0.

（1）证明：二次函数y=a?+版+c与x轴正半轴和负半轴各有一个交点的充要条件是

ac<0；

（2）若凡b,ceZ,且当工=0和x=l时，y均为奇数，证明：方程ad+儿（-+6、=o无整

数根.

解：（1）必要性：若一元二次方程依2+法+c=O有一正根和一负根，

则由韦达定理得：x,.x=-<0,即acvO；

-2a

充分性：若。。<（）成立，比时方程一元二次方程d+尻+。=0的△=//一4ac、>0，

方程有两个不同的根，且玉二£<o,

a

即一元二次方程0X2+/^+。=。有一正根和一负根.

所以一元二次方程《1+法+c=0有一正根和一负根的充要条件是"<（）.

（2）当x=0时，y=c为奇数，

当戈=1时，y=a+人+c均为奇数，因为c为奇数，

所以。+〃=（。+〃+。）一。为偶数，所以。力同为奇数或同为偶数，

假设d+Ax+cuO有整数根/，则ar；+如）+c=0,

当均为偶数时，则ax；为偶数，b%为偶数，乂c为奇数，

所以+/?/+<?为奇数，所以奴：+/zro+cwO,与假设矛盾；

当4b均为奇数时，若小为偶数，则我为偶数，/以°为偶数，又c为奇数，

所以ax：+〃Xo+c为奇数，所以aq；+Z?Xo+cwO，与假设矛盾；

若与为奇数，则为奇数，Ar。为奇数，又c为奇数，

所以ar；+Z?%+c为奇数，所以ar；+6.%+cw0,与假设矛盾；

综上，假设不成立，所以方程以2+"+c=0无整数根.

19.我们知道，函数y=〃x)的图象关于V轴成轴对称图形的充要条件是函数丁=