七年级数学专项提升：有理数的除法（原卷版）

专题09有理数的除法

素养目标

L掌握有理数除法法则，并能熟练进行有理数除法的运算；

2.在归纳、探索有理数法则的过程中体“转化”的思想；

3.能利用有理数的除法解决生活中的实际问题；

4.熟练掌握有理数混合（加减乘除）运算及相关运算律，培养运算能力及良好的习惯。

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题型探究

题型1、有理数除法法则的辨析....................................................................3

题型2、有理数的除法运算........................................................................3

题型3、有理数乘除法的混合运算..................................................................4

题型4、有理数除法的简算........................................................................5

题型5、有理数除法的应用........................................................................7

题型6、有理数除法的新定乂I可♦••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••(9

培优精练

A组（能力提升）...............................................................................11

B组（培优拓展）12

新课轻松学

【思考1】江苏南京2023年春节一周的最低气温的平均值是多少?

I8O

6江苏南京2023年春节一周的最低气温

4

2

O

-Y2

-6

-8

【思考2】能否根据除法的乘法逆运算，以及小学学习过的除法运算的经验，计算江苏南京2023年春节一

周的最低气温的平均值吗？

【除法的高光时刻】在占代，人们还没有像我们现在这样便捷的计算器和电脑，在进行除法运算时则显得

略有困难。于是，古代的智者们便开始钻研除法，发明了许多算法来简化除法运算。其中的代表算法之一，

就是辗转相除法，也称欧几里得算法，是数学中一个求解最大公约数的重要方法，也可以用来执行简单的

除法运算。首次被详细描述在欧几里得的《几何原本》第七卷，早在中国东汉时期的《九章算术》中也有

所体现。辗转相除法的历史悠久，起源于公元前300年左右的欧几里得时代，它不仅限于自然数，19世纪

后被推广至高斯整数和一元多项式等领域，推动了现代抽象代数的发展，如欧几里得整环。它在音乐节奏

生成、密码学（如RS4算法）中起着关键作用，还能解丢番图方程，寻找满足中国剩余定理的数，以及在

有限域的倒数计算和连分数构造等领域得到应用。

1\

■:知识梳理

1）有理数除法法则1:除以一个不等于。的数，等于乘这个数的倒数。即：a…二,（〃工0）。

b

有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值

的商。0除以任何一个不等于0的数，都得0。

2）有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。

有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。

注意：乘除混合运算要“从左到右”运算，有括号的先算括号里面的，分数可以理解为分子除以分母。

,Z

题型探究

题型1、有理数除法法则的辨析

【解题技巧】有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负,

并把绝对值相除”.如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分.乘除

混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右.

例I.（2023•山东•七年级期末）下列说法正确的是（）（多选题）

A.互为相反数的两数相除商必等于1B.非零的两数用除，同号得正，异号得负；

C.大于1的两数之积一定大于任何一个因数D.小于1的两数之商一定小于被除数

例2.（2023•江苏•七年级阶段练习）已知a,人为有理数，则下列说法正确的个数为（）

①若a+〃>0,:>0,则b>0.②若4+Z?>0,Y<0,则a>0,/?<（）且.

bb

③若力<0,Y>0,则av（）,b<0.④若。+人<0,则。>0,〃<0且1加>1〃1.

bb

A.1B.2C.3D.4

变式1.（2023•浙江•七年级校考阶段练习）如果两个数的和是正数，商是负数，那么这两个数的积是（）

A.正数B.负数C.零D.以上三种结论都有可能

变式2.（2023・广东•七年级校考期中）若两个数的商是正数，则下列选项中一定成立的是（）

A.这两数的和为正数B.这两数的差为正数

C.这两数的积为正数D.这两数的和、差、积的正负都不能确定

变式3.（2023・山西吕梁•模拟预测）若？<0,且“，方异号，则c的符号为（）

A.大于0B.小于0C.大于等于0D.小于等于0

题型2、有理数的除法运算

【解题技巧】有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果.

例I.(23-24七年级上•山东青岛•阶段练习)将(-7)+(-=)+(-2.5)转化为乘法运算正确的是()

4

344235

A.(-7)x(--)x(-2.5)B.(-7)x(--)x(-2.5)C.(-7)x(--)x(--)D.(-7)x(--)x(--)

例2.(2023秋•山东临沂•七年级统考期末)下列计算正确的是()

A.0^(-2)=0xB.l-r[|=lx(-8)=-8

2

C.(-3)-F(-3)=-3X3=-9D.(-32)4-(-8)=-324-8=-4

变式1.(23-24七年级•重庆•月考)填空：

(1)(-27)+9=；(2)1-(-9)=；

4

(3)0-(-8)=；(4)--(-!)=.

变式2.(23-24七年级上•浙江衢州•期末)下列运算，结果正确的是()

…gB.卜4C.-36+(-9)=4D.卜得卜卜|卜2

变式3.(23-24七年级上•江苏宿迁•期中)从-5,-3,7,2,4中任取2个数，所得积的最大值记为〃，所得商

的最小值记为4则/的值为______.

b

题型3、有理数乘除法的混合运算

【解题技巧】有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果.

注意：乘除混合运算要“从左到右''运算.分数可以理解为分子除以分母.

例I.(2023•辽宁沈阳•七年级统考期中)计算gx(-3)+卜;卜3的结果是_____________.

例2.(2023•吉林•七年级统考期中)阅读下面解题过程并解答问题：

计算：(-15)4-f-lx^Ul

(23J6

解：原式二(-15)+(-^25)x6(第一步)

6

=(-15)+(-25)(第二步)

3

=--(第三步)

(1)上面解题过程有两处错误:

第一处是第一步，错误原因是;

第二处是第一步，错误原因是一;

(2)请写出正确的结果.

例3.(2023•湖北•七年级专题练习)计算：

331

(1)-3-r(--)-r(--)；(2)(—12)-r(-4)-T(-1—)；

445

27(4)(-21)-r(-5)x(-31).

(3)(--)x(--)4-0.25；

3o

变式1.(2023・河北廊坊•七年级统考期末)老师设计了计算接力游戏，规则是每名同学只能利用前面一个

同学的式子进一步计算，将计算的结果传给下一个同学，最后解决问题.过程如下，自己负责的那一步错

误的是()

甲乙丙丁

(⑹)吟、A(的=⑻)+1+(■峋=(⑻)'”4)=8以小嗯

A.甲B.乙C.因D.T

变式2.(23-24七年级.广东•期中)下列计算正确的是()

7，3、155

A.-3.54--x—=-3B.-24-3x-=-2C.-6(-4)x—=—

8I4)364

变式3.(2023•山东•七年级专题练习)计算：

⑴13)+(_11卜。.75+(一,b(一6)；(2)f-1x(-O.l)+^x(-IO)

题型4、有理数除法的简算

【解题技巧】同有理数的乘法运算技巧类似。

例I.(2023・成都市七年级课时练习)计算:

4(2)(-72令+9；1339

(1)-12--4；(3)(-2—)4-(-x-)；

1648

IQ5（5）（一81）+2：x（一扣（一8）；（6）_l#+（_O.25）x（吗.

⑷3丁丁？

例2.（23-24七年级上•湖南湘西期末）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，兔习有

理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算141

(241)111:；张明开动脑筋,

刘聪、和他的小伙伴选择常规解法:—X—

6><366>I6J262

经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法：原式的倒数:

I、

—x(z—6)=—4+1=—3

6)

（1）请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？为什么？

（2）请选择你喜欢的解法计算:1

变式1.（23-24七年级上•浙江杭州•期末）下列算式中运用分配律带来简便的是（）

111111\__l_11

A.60+——+—3-4+12+60C.3-4+1260D,3-4+12x——

【3412；60

变式2.（2023•江苏南通•七年级校考阶段练习）计算（能用简便方法的要用简便方法）：

1(3)(-2.D--^x10

⑴6十-2—(-1.5)；(2)

2J

(4)一375)x(-8)+(-375)x(-9)+375x(-7)；⑸-91322)

(6)-41y-6.

61437P

变式3.(2023・江苏无锡•七年级校联考阶段练习)计算

(I)-20-(-18)+(-14)+13；(2)1.75x0.6-f-|jx(-8)；(3)|-().75|+卜3：)-(-0.125)+(一(-|-O.I25|；

(4)-2.7x564-7.9x(-56)4-6x5.6；(5)991^7x(-9)；(用简便方法计算)(6)(一白

-1-----3-+-5...-1-}I•

1o8V>41478J1

题型5、有理数除法的应用

【解题技巧】有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法

并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。

例I.（23-24七年级上•湖北恩施•期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是

天干和地支的总称干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支依次相配，每个组

合代表xx年，60年为一个循环.如表，我们把天干、地支按顺序排列，给它们编上序号.天干的计算方法

是：年份减3,除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3,除以12所得的余数以2022年为例：

天干为：（2022-3）-10=201……9；地支为：（2022-3）+12=168……3.对照天干地支表得出，2022年为

农历壬寅年，那么2053年为农历年.

123456789101112

天干甲乙丙T戊己庚辛壬癸

地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥

例2.（23-24七年级上•四川成都期中）小张第一次用480元购买了8套儿童服装，以一定价格出售.如果

以每套儿童服装80元的价格为标准，超出的记作正数，不足的记作负数，记录如下（单位：元）：

+12,-13,+15,+11,—17,—11,0,—13.

请通过计算说明：（1）小张卖完这八套儿童服装共卖了多少钱？（2）这八套儿童服装平均每套盈利了多少元？

变式I.（23-24七年级上•广东深圳.期末）数学学习小组准备利用一根弹簧制作一个简易弹簧秤（用于称物

体的质量），需在刻度盘上标注刻度.经过四次试验与测量，得到弹簧的长度（cm）与所挂物体的质量（kg）之

间的对应关系如下表:

物体的质量/kg1234

弹簧的长度/cm10121416

」知该弹簧在挂物体后，在弹性限度内能达到的最大长度为28cm,则学习小组在刻度盘上需标注的最大量

程是kg.

变式2.（23-24七年级上.福建宁德•期末）【问题情境】在数学活动课上，同学们玩“计算竟大，游戏：每场

游戏开始析的、乙两人手上各执四张数字牌和四张运算符号牌，四张数字牌上分别标有•个数字，四张运

算符号牌分别标有“+”“-"+”“+”四个运算符号，双方都能看到对方牌面的信息.游戏开始，两人依次轮流出

牌，每次只有一人出牌.游戏规则：①第一次，由先出牌者出一张数字牌，直接做为第一次结果.②从第

二次开始，每次由出牌者出一张符号牌和一张数字牌，与上一次结果进行相应运算，运算结果记为本次结

果.若本次结果的绝对值比上一次结果的绝对值大，则游戏继续；否则游戏结束，本次出牌者失利，对方

获得本场游戏胜利；③若游戏继续，则按上述规则玩到两人手上都没有数字牌为止.若最后一次结果们绝

对值大于上一次结果的绝对值，则最后一次出牌者获得本场游戏胜利，否则对方获胜.

（相应的运算示例：若上•次的结果为-3,本次出牌的符号为“+”，数字为“2”，则相应的运算为-3+2）

【问题解决】在某一场游戏前，甲、乙两人拿到的数字牌和符号牌如下;

0HHH□

1

-

3ZS:4

n日-nnQQ

X

⑴若第一次甲出“2”，第二次乙出“，和“3”，直接写出第二次的结果，并判断游戏是否继续;

（2）若第一次甲出“-3”，第二次乙出和“1”，第三次甲出"+和第四次乙出“X”和“3”，第五次甲出“x”

和“2”，请列出综合算式求第五次的结果；

（3）在（2）的基础上，第六次乙应如何出牌才能保证最后结果总是自己胜出？请写出保证乙能最终获胜的第

六次出牌方案，并说明该方案乙必胜的理由.

变式3.（23-24七年级上•江苏淮安•阶段练习）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完

成下列问题：

-5-40+2+6

（1）从中2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取，最大值是多少？

（2）从中抽取2张长片，使这两张尺片数相除的商最小，如何抽取，最小值是多少？

（3）从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24.写出运算式子.（写出一种运算式）.

题型6、有理数除法的新定义问题

【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求

学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三

种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”；（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新

定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义''的知识与己学知识联系起来，利用

已有的知识经验来解决问题.

例L⑵出七年级L山东滨州・期末）对于任意非零实数，，，b,定义运算“※”如下："※底黑’则

法2+2刈+3X4++2023X2024的值为（）

20232023

B.----

2024202420242024

例2.（22-23七年级上•广东广刑期中）羽］+［急卜…+［嗯1=

（其中同表示不超过〃的

最大整数，如［L4］=l,［-3.14］=7等等）.

变式1.（23-24七年级上.河北廊坊•期中）对于一个各数位上的数字均不为。的三位自然数N,若N能被它

的各数位上的数字之和〃?整除，则称N是,〃的“和倍数”.对下列三个人的说法判断正确的是（）

小嘉说:247是13的“和倍数”小淇说：441是9的“和倍数”

小华说：214、357均不是“和倍数”

A.三人说法都对B.只有一人说法不对C.小华说的不对D.只有一人说法对

变式2.(23-24七年级上•河南许昌・期中)我们规定帆※〃=卜此则，］※(_6弊5=()

22

A.-1B.1C.——D.-

55

变式3.(2024•北京•七年级校考阶段练习)对于任意的非零且不相等的两个有理数a",定义：〃

解决以下问题：⑴计算(-3)*4；⑵计算(-6)*2*(-3)；(3)请你举例验证一下交换律即"〃=4*a在这一运

算中是否成立。(举一个例子即可)。

,______________>

a▲培优精练

A组（能力提升）

（2023秋・河北石家庄•七年级统考期末）计算（-）+（-的结果是（)

B.—C.—1D.I

25

2.（2023秋•河北石家庄•七年级统考期末）在算式（-2）0（-3）的“口”中填上运算符号“+”“一'x”或"+”，要

使运算的结果最小，则添加的运算符号是（）

A.+B.—C.xD.4-

3.（2024.山东•七年级校考阶段练习）与2・3+4运算结果相同的是（）

A.4+2+3B.2+(3x4)C.2+(4+3)D.3+2+4

算式卜一

4.（23-24七年级上•山东聊城•期末）=-3中的横线内应填（)

6

A.BC.--D

-5-I6-i

5.（23-24七年级上•福建厦福期末）甲、乙两人完成一项工作.甲先做了3天,然后乙加入合作，完成剩

下的工作，设工作总量为1,工作进度如下表：则完成这项工作共需（）

天数第3天第5天

工作进度

42

A.6天B.8天C.9天D.10天

6.（23-24七年级上•河北邯郸•阶段练习）对于式子“2+（-3|卜的变形正确的是（）

31Q55

A.-2x3-B.2x—C.2x—D.-2x—

551818

7.（2023•广东•七年级校考阶段练习）两个数的商为正数，那么这两个数是（）

A.都是正数B.都是负数C.同号D.至少有一个为正数

14

8.（2022•成都市七年级校联考诛时练习）计算：（-81）+2黄十_______=-15.

49

9.（2023秋•浙江金华•七年级浙江省兰溪市第二中学校考阶段练习）某种药品的说明书上贴有如图的标签,

则一次服用这种药品的剂量范围是—mg到—mg.

用法用8L口服每天60-20mx.分k4次服用

10.（2023・海南•七年级校考期中）计算：（T）+1+0+8-（-5）X（-2）=

11.（2023.吉林长春.七年级校考阶段练习）计算.

12.（2023•贵州铜仁•七年级校考阶段练习）乘除计算:

14(2)1.25-(-0.5)-(-2^)x1

⑶！-2叱十wx4；

13.（2023•浙江温州•七年级校考阶段练习）有一个水库某天8:00的水位为-0.1米（以警戒线为基准，记高

于警戒线的水位为正），在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：米）：（）.5,-0.8,

0,-0.2,-0.3,0.4.

（1）经这6次水位升降后，水库的水位超过警戒线了吗？

（2）现在由于下暴雨，水库水位以0.1米/小时速度上升，指挥部要求水位降至警戒线1米以下（含1米），

现在水库匀速泄水，可使静态水位按0.2米/小时速度下降，为达到指挥部最低要求，求水库需放水的时间.

B组（培优拓展）

I.（2023•广东深圳•校联考模拟预测）网上一些推广“成功学”的主播，常引用下面这个被称为竹子定律的段

子：”竹子前4年都用在扎根，竹芽只能长女m,而且这女m还是深埋于土下.到了第五年，竹子终于能破

土而出，会以每天30cm的速度疯狂生长.此后，仅需要6周的时间，就能长到15米，惊艳所有人！这

段话的确很励志，须不知，要符合算理的话，需将上文“6周”中的整数“6”改为整数（）

A.5B.7C.8D.9

2.（2023•江苏•七年级）已知“!”是一种数学运算符号，并且l!=l,2!=2xl=2,3!=3x2xl=6,41=4x3x2x1=24,...,

若公式若"=““（〃>〃?），则C/25=（）

A.60B.792C.812D.5040

3.（2023•浙江温州•七年级校考阶段练习）若计算式子（2W7）V（.；）的结果为最大，则应分别在口，△中填

入下列选项中的（）

A.+,-B.x,-C.+,-D.-，+

4.（2023・重庆•模拟预测）式子1003©4@5中的@⑥，©,⑥是数字1,2,3,4,5中间的四个

位置，在这些位置上添加“+””一'"x，x-”符号后得到一个算式，若不添加符号，则相邻数字自然组合为一个

多位数.如：在®添加“X"，在@承加“+”，⑥，⑥不添加符号，得到的算式为：1x234+5,结果为239.下

列说法：

①添加“X”“”两个运算符号，得到的算式有10种不同的结果；

②存在一种添加“+””一'”以”"+，，四个符号的算式，其结果为］;

③只添加“+”“一三个符号，得到的算式中，结果最大为170.

其中正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

5.（23-24七年级上.江苏淮安•阶段练习）有理数4，力在数轴二对应的位置如图所示，那么代数式

抵加-纸的值是__________.

ab-\a+b

,a、b,»

-101

6.（2023春•重庆沙坪坝•九年级联考阶段练习）40名学生参加义务植树活动，任务是：挖树坑，运树苗.这

40名学生可分为甲、乙、丙三类，其中甲类学生15人，乙类15人，丙类1。人，每类学生的劳动效率为甲

类学生可以挖树坑2个或者运树苗20棵，乙类学生可以挖树坑1.2个或者运树苗10棵，丙类学生可以挖树

坑0.8个或者运树苗7棵.如果他们的任务是：挖树坑30个，运树苗不限，那么在完成挖坑任务的同时树

苗运得最多为棵.

7.（2023春•上海•七年级专题练习）24点游戏是一种扑克牌类的益智类游戏，游戏规则是：从一副扑克牌

（去掉大小王）中任意抽取4张牌，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用且只能用一次，可以加

括号），使得运算结果为24或-24.

例如：抽到的数字为“4,4,10,10”，则可列式并计算为：（10x10-4）4-4=24.

如果▼、♦表示正，M♦表