锐角三角函数（第一课时）导学案-2025-2026学年人教版九年级数学下册

28.1.1锐角三角函数(第一课时：正弦)

导学案

学习目标

I.理解并掌握锐角正弦的定义，掌握正弦的表示方法；

2.能根据正弦概念正确进行计算；

3.经历探索直角三角形中的边与角的关系，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力，通过学

生自我发现培养学生的自我反思能力，通过提出困惑提升学生发现问题的能力.

核心知识

正弦的概念：

如图，在RtZiABC中，NC=90"，我们把锐角A的_______—叫做NA的正弦，记作:sinA.

即sinA=____________

J

对边

AbC

二、利用正弦值求直角三角形边长解题技巧：

A

B

(1)在Rl/\ABC中，zC=90°,sin4=a,sinB=b,AB=c>则BC=_________________,

AC=_______________.

(2)在RtAABC中，ZC=9O°,sinA=d,sinB=e,BC=f,则AB=_________________,

AC=_____________.

新知探究

为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬

水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡的仰角30。，为使出水口的高度为35m,需要准

备多长的水管？

【问题一】如上图所示，本题可看作是在三角形ABC中探求某些问题，你可以把已知条

件用数学语言描述出来吗？

【问题二】如图，在RtaABC中，ZC=90°,ZA=30a,BC=35m,求AB.

【问题三】如果出水口的高度为50m,其它条件不变，那么需要准备多长的水管?

【问题四】对于有，个锐用为30°的任意直角三角形，30°角的对边与斜边有怎样的数量

关系？可以用一个怎样的式子表示呢？

【问题五】在RtZXABC中，如果/C=90°,ZB=45°,那么AC与AB的比是一个定值

吗？

【猜想】一般地，当NA双其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固

定值？

【问题六】任意画RtAABC和,使得NC=/U=90。，4那么好与—

有什么关系？你能解释一下吗?

【典例分析】

例1如图，在RtZUAC中，zC=90°,求sinA和sin8的值.

B

【巩固练习】

1.把NA8C三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（）

A.不变B.缩小为原来的：C.扩大为原来的3倍D.不能确定

2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3,4）,那么sina的值是（）

V

3.如图，在平面直角坐标系内有一点P(3,4),连接OP,求OP与x轴正方向所夹锐角a的

正弦值.

例2如图，在Rt/AABC中，ZC=9O°,sin4=BC=3,求sin3及RtZUBC的面枳.

【巩固练习】

1.如图，在ZU3C中，zC=90°,如果siM=j48=9,那么3C=.

•J

2.在ZU8C中，NA8C=90。，若4c=100,sinA=则A8的长是（

A.30B.50C.60D.80

3.在ZUBC中，ZC=9O°,AC=24cm,sinA=^~,求这个三角形的周长.

【课堂检测】

1.在平面直角平面坐标系中，己知点A(3,0)和6(0,-4),贝iJsin/OA6=.

2.如图，点。(0,3),0(0,0),C(4,0),在GM上，BD是。4的一条弦，则

sinzOBD=.

3.用J”填空：sin15。sin20.

4.如图，在Rt/ABC中，CO是斜边4B上的高，以丹5。，则下列线段的比中不可能等于

sinA的是()

5.如图，。。是ZU8C的外接圆，4。是O。的直径，若。。的半径是4,sin8=；,求线段

4

AC的长.

O

D

6.如图，在R"ABC中，zC=90°,/ABC的周长为24,点D为BC的中点，sinB=.

⑴求8c的长；（2）求NR4D的正弦值.

【链接中考】

1.（2023・四川乐山・中考真题）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，

如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。如果大正

方形面积为25,小正方形面积为1,则sin9=（）

C.4Ds

2.（2024•吉林长春・中考真题）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号"卫星搭

乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射。当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测

得点R到点A的距离为〃千米，仰角为。，则此时火箭距海平面的高度AL为（）

A.asin0千米B.三；千米C.acos（千米»总千米

sin0

3.（2023・四川内江・中考真题）在A48C中，44、NB,NC的对边分别为〃、b、c,且满足

d2+|c-10|+VM=12^-36,则sinB的值为.

参考答案

核心知识

正弦的概念：

如图，在RtZXABC中，ZC=90",我们把锐角A的对边与斜边的比叫做NA

的正弦，记作:sinA.即sinA=.

(1)在RtZ\4£?C中，NC-90°,sin4-a,sinB-b,AH-c,则BC-ac,AC-bc^

⑵在RtA48c中，"=90。，sinA=d,sinB=e,BC=f,MAB=J,AC=1.

aa

新知探究

为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬

水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡的仰角30。，为使出水口的高度为35m,需要准

【问题一】如上图所示，本题可看作是在三角形ABC中探求某些问题，你可以把已知条

件用数学语言描述出来吗？

在RtAABC中，ZC=9O°,NA=30。，BC=35m,求AB.

【问题二】如图，在RtaABC中，ZC=90°,ZA=30°,BC=35m,求AB.

B

35m

AC

根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，

中斜边~AB~2"

可得AB=28C=70(m),

也就是说，需要准备70m长的水管.

［问撅三】如果出水口的高度为50m,其它条件不变，那么需要准备多长的水管？

根据“在宜角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”.可得AB=2BC=100(m).也就是

说，如果出水口的高度为50m,需要准备100m长的水管.

【问题四】对于有一个锐角为30°的任意直角三角形，30°角的对边与斜边有怎样的数量

关系?可以用一个怎样的式子表示呢？

在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的

对边与斜边的比都等于；.

【问题五】在RtAABC+«,如果NC=90°,ZB=45°,那么AC与AB的比是一个定值

吗？

因为4=45。，所以RtZUBC是等腰直角三角形，

由勾股定理得：AB2=AC2+BC2=2BC2.

AB=0BC,

因此景嬴=专=*

在直角三角形中，如果一个锐角等于45。，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的

对边与斜边的比都等于当.

【猜想】一般地，当NA我其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固

定值？

在直角二角形中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角二角形大小如何，ZA的对边与

斜边的比都是一个固定值.

【问题六】任意画Rt/ABC和,使得N-9°°,那么意与篙

有什么关系？你能解释一下吗?

因为NC=NC=90。，

所以RtWABC〜Rt』,

因此券=悬

priBCBfCf

即一=——

AB48,

【典例分析】

例1如图，在RtZU8c中，NG90。，求sinA和sin8的值.

解:在RtZMBC中，由勾股定理得

AB=y/AC2+BC2=V424-32=5.

因此

s.mA.=—BC=-3,s.in_«=A—C=4-.

AB5AB5

解：在RtZUBC中，由勾股定理得

AC=^AB2-BC2=J132-52=12.

因此

..BCS.„AC12

sinA=—=—,sin«=—=—.

AB13AB13

【巩固练习】

1.把/ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（A）

A.不变B.缩小为原来的［C.扩大为原来的3倍D.不能确定

【解析】因为/ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以

锐角A的大小没改变，所以锐角A的正弦函数值也不变。故选A。

2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3,4）,那么sina的值是（）

【详解】作ABlx轴交x轴于点8,

•M（3,4）,

.MB=4,BO=3,

'-AO=y/AB'Z+B02=yj4'z4-32=5,

.AB4

•'-Sina=--=

AO5

故选C.

3.如图，在平面直角坐标系内有一点P（3,4）,连接。P,求。。与x轴正方向所夹锐角。的

正弦值.

二人⑶（））

在ZL4P0中，由勾股定理得

0P=VOA2+AP2=<32+42=5,

因此sina=

【点睛】结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向x轴或），轴作垂线，构

造直角三角形，再结合勾股定理求解.

【典例解析】

例2如图，在RtWABC中，4>90。，sinA=$8c=3,求sinB及Rt/ABC的面积.

【提不】已知SIIL4及"的对边BC的长度，叫以求出斜边AB的长.然后再利用勾股定理,

求出6。的长度，进而求出sinb及RtAABC的面枳.

解:VsiM=,吟=g，

二A4=38C=3X3=9

AC=JAB2-BC2=^92-32=672,

°AC662>/2

•••smB=——=—=—

AB93

•*-S』8C=|ACBC=1X6V2X3=9\[2.

【巩固练习】

1.如图，在ZU8C中，NC=90。，如果siib4=L那么BC=3.

3

2.在ZU8C中，NA3C=90。，若AC=100,sinA=则A8的长是（）.

5

A.30B.50C.60D.80

解：•・•NA8O90。，sinzA=AC=100,

A8c=100X3+5=60,

•••AB=jAC2-BC2=80,故选D.

3.在ZUBC中，ZC=9O°,AC=24cm,sinA=^~,求这个三角形的周长.

解：设BC=7x,则A8=25x,在RtzlAAC中，由勾股定理得

AC=yjAB2-BC2=1252-8。2=24x.

即24.r=24cm»解得x=lcm.

故BC=7x=7cm,/l/?=25x=25cm.

所以W4BC的周长为AB+BC+AC=7+24+25=56(cm).

【课堂检测】

1.在平面直角平面坐标系中，已知点A(3,0)和8(0,-4),则sin/OAB二g.

2.如图，点。(0,3),0(0,0),C(4,0),在OA上，8。是。4的一条弦，则sinN08Q二

3.用“v"J”填空：sin150<sin20.

4.如图，在RtZUBC中，CO是斜边A3上的高，乙4刈5。，则下列线段的比中不可能等于

A.—B.—

ACBC

C.-D.-

ABCB

5.如图，是ZU3C的外接圆，40是00的直径，若00的半径是4,sin8=：,求线段

4

AC的长.

o

D

•••4。是。。的直径，，ZACD=9O°.

ND=NB,

•••sinD=sinB=-,

4

在Rt』ACQ中，*/sin£）=—=-,

AD4

AC=-AD=-X8=2.

44

6.如图，在RtAABC中，ZC=9O°,的周长为24,点。为BC的中点，sinB=.

⑴求8C的长；⑵求N8AD的正弦值.

解：（1）•・•sinB=|,

二A一C=-3,

AB5

设AH=5x,AC=3x,则BC=4x.

•••/ABC的周长为24,

•••3x+4x+5x=24,解得x=2.

••.A8=10,AC=6,BC=8.

解：（2）过点。作。E1AB,垂足为£,

：.BD=CD=/C=4.

•••Sw”=^BDAC=K\I3DE

•••10。£=24,解得。斤-,

5

在RtAACD中,VAD2=CD2+AC2=52,

-，-AD=2\/T3,•••sinN8AO=器=.

AD65

【链接中考】

1.（2023・四川乐山・中考真题）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，

如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。如果大正

方形面积为25,小正方形面积为1,则sin。=（）

7C.4D.i

【分析】根据题怠和题目中的数据，可以求出斜边各边H勺长，然后即可计算出।sin"的值。

【解答】解：设大正方形的边长为C,直角三角形的短直角边为外长直角边为江由题意可

得：，=25,b-a=F=l,足+挟=3,

解得a=3,b=4,c=5,

.八b4

•••sinfy=-=-♦

C5

故选：A.

【点评】本题考查勾股定理的证明、解直角三角形，