奇偶性（复习讲义）-高一年级数学上册（人教A版）

函数的奇偶性

知识点一：函数奇偶性的定义

偶函数：一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果VXGI,都有x£l,且f(x)=f(x),那么函

数f(x)就叫作偶函数

奇函数：一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果VxGl,都有x£l,且f(x)=f(x),那么函

数f(x)就叫作奇函数

知识点二：奇函数、偶函数的性质特点和图像特征

偶函数的性质：

(1)偶函数的定义域关于原点对称；

(2)偶函数的图像关于y轴对称；

(3)偶函数在y轴两侧的图像单调性相反

奇函数的性质：

(1)奇函数的定义域关于原点对称；

(2)奇函数的图像关于原点对称；

(3)奇函数定义域如果包括0,则f(0)=0；

(4)奇函数在y轴两侧的图像单调性一致。

知识点三:函数奇偶性的运算性质

f(x)偶函数偶函数奇函数奇函数

g(x)偶函数奇函数偶函数奇函数

f(x)+g(x)偶函数不能确定不能确定奇函数

f(x)g(x)偶函数不能确定不能确定奇函数

f(x)g(x)偶函数奇函数奇函数偶函数

f(g(x))偶函数偶函数偶函数奇函数

题型练习

题型一：判断函数的奇偶性

1.(2425高一上•天津红桥期中)下列函数中,既易偶函数又在区间9+a)上为增函数的杲()

2.(2425高一上•天津河东期中)已知函数y=/(幻的定义域为R.则”"0)=0"是"/(%)为奇函数”的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件D.充要条件

3.(2425高一上•天津河北期末)已知函数，(%)=划划一2%,则下列结论正确的是()

题型二：函数图像判断

ABCD

题型三：利用奇偶性求函数解析式

题型四：根据函数奇偶性求参数的值

1.(2425高三上天津南开期末)若函数f(x)=为奇函数,则。=()

•I#a八/X十

A.-；B.；C.|D.；

2234

2.(2526高一上•天津•阶段练习)已知函数/(%)=/-(。-1)1+1为/?上的偶函数.则实数。的值

是______.

3.(2425高二下•福建泉州期末)已知Q>0且QH1,若函数/(乃=77念为偶函数，则。-

ij

4.(2425高二下浙江金华期中)已知f(%)=ax2+bx+1是定义在［a-1,2a］上的偶函数，则a+

b=.

5.(2025高二下湖南郴州•学业考试)已知函数/■(幻=x2-4kx+4.

⑴若八幻为偶函数，求实数上的值；

⑵若函数/•(%)在区间口川上是单调函数，求实数k的取值范围；

⑶若/(%)>0对一切实数%都成立，求实数k的取值范围.

题型五：函数对称性、周期性

1.(2425高一上•天津西青期末)已知函数/(%)是定义在R上的奇函数，/(%)=/(¥+4),且八一1)二

-1,则/(2024)+f(2025)=()

A.-1B.0C.1D.2

2.(2526高三上•浙江温州,阶段练习)已知函数〃%)的定义域为R，/(%)+/(2-%)=0,f(%+2)为偶函

数，且*2)=1,则/'(2025)+/(2026)=()

A.47B.-1C.1D.2

3.(2425高一上•天津•期中)已知/'(X)在R上是周期为3的奇函数，当》£(0,|)时，/(%)=2^2,贝IJ

/(2024)=.

题型六：根据国数奇偶性解不等式

1.(2324高一下•山东淄博期中)定义在R上的奇函数/(幻，/(5)=0,且对任意不等的正实数无1,不都有

[/(M)-r(x2)](x1-x2)>0,则不等式“/(-%)>0的解集为()

A.(-8,5)U(0,5)B.(-8,—5)U(5,4-co)

C.(-5,0)U(0,5)D.(-5,0)U(5,+oo)

2.(2425高一上•天津北辰•阶段练习)已知/■(%)为R上的奇函数，/(2)=2,若对Wq,x26(0,+^),当

修>“2时，都有(右一不)[等一等]<0，则不等式(％+1)/以+1)>4的解集为()

A.(-3,1)B.(-3,-1)U(-1,1)C.(-co,-1)u(-1,1)D.(-8,-3)U(1,+8)

3.(2425高一上•江苏苏州期中)设奇函数/(x)的定义域为R对任意的勺,必£(0,+8),且阳。外，者B

有不等式"必)>0,且/X-2)=-1,则不等式/•(%-1)>之的解集是()

A.(—1,3)B.(—oo,-l)U(3,+8)

C.(-l,l)U(3,+8)D.(-8,-l)U(L3)

4.(2425高一上•天津滨海新•阶段练习)已知函数/(%)为定义在R上的奇函数，且在[0,1)为减函数，在

口+8)为增函数，"2)=0,则不等式(％+1)/(1-幻NO的解集为()

A.(-8,-1]u[1,3]B.[1,3]U{-1}

C.(-00,-1]u[1,+c»)D.[-1,3]

5.(2425高一上.天津北辰.阶段练习)设八切为奇函数，旦在(-8,0)内是严格减函数，/(2)=0,则

与V0的解集为.

6.(2425高一上•天津滨海新•期中)已知定义在[-2,2]上的函数/(%)是奇函数，且堂詈<0,贝IJ满

足不等式/(I-2a)+f(a-3)>0的实数a的取值范围为

7.(2425高一上•天津•期中)已知函数f(x)=誓是定义域在[-川上的奇函数，且/(3=提

(1)求以，〃的值;

⑵用定义法证明函数f(x)在[-1,1]上单调递增；

(3)解不等式f«2-1)+f(2t-2)<0.

参考答案

题型一答案

1.D

故选：D

2.B

【分析】根据函数奇偶性的定义及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

故选：B.

3.B

故选：B

4.D

5.奇偶

故答案为:⑴奇;(2)偶.

题型二答案

1.C

故选：C.

2.B

故选：B

3.D

4.D

与图象不符，故C错误；

5.D

故选：D.

6.D

所以D选项符合题意.

故选：D

题型三答案

⑶作图见解析，答案见解析.

(3)

题型四答案

1.B

【详解】f(X)=(…)g+i)=21(］一2a)…，

则/(一工)+/(%)=2/一(右“+2日(匕)“=°，

2

故21—(1—2a)无—a=2x+(1—2d)x—a=>2(1—2d)x=0,得Q=

当a=：时，八幻=占=名定义域为口卜。土口关于原点对称，且/(-%)=竟［=一人工)，满足题

意，故a=故选：B

2.1

【详解】/(—%)—/(%)=(―x)2-(a-1)(—x)+1—x2+(a—l)x-1=2(a—l)x=0,

故a=1.故答案为：L

3.2

【详解】定义域为定1%H0)

因为f(%)二元均为偶函数，

所以73"(r)n帛5，

化简得(4、-1)(。2"-於)=0,

因为工¥0,所以a2x=4"得Q2=4,

因为a>0,所以a=2故答案为：2

4.1

3

【详解】:函数f(x)=ax2+"+1是定义在［a-1,2a］上的偶函数，

•••定义域关于原点对称，得。-1二-24即a=g,

••./(X)=^x2+bx+l,又函数外外是偶函数，

.1./(-X)=/(x),gp|(-x)2-bx+1=^x2+4-1,即bx=0,可得b=0.

故a+b=故答案为：］.

5.(1)0

(2)k同或kN2

(3)-1<k<1

【详解】(1)由函数f(x)为偶函数，贝IJf(—x)=f(x),可得(一”)2一快.(一久)+4=/一4—+4,

解得&=0.

(2)由二次函数/•(%)=/-4匕+4,则其图象开口向上，且对称轴为直线％=2k,

由函数/(x)在［1,4］上单调，贝IJ2/C$1或2k24,解得女工；或々？2.

(3)由题意可得△=16好一16<0,解得一lvk<l.

题型五答案

1.C

【详解】因为函数f(%)是定义在R上的奇函数，

所以/1(0)=0./(D=-/(-i)=i.

又/G)=/(x+4),即函数/(%)是周期为4的周期函数，

/(2024)+/(2025)=f(506x4)+/(506x4+1)=/(0)+/(I)=1.

故选：C

2.C

【详解】因为函数f3)的定义域为R,且fa)+f(2-》)=0,所以/(一%+2)=-/(%),且f(l)+因为=

0,即/'(1)=0.

因为函数f(%+2)为偶函数,所以/'(%+2)=f(-x+2)=

所以/(无+4)=-/(%+2)=/-(Xi,所以函数/"(X)是周期为4的周期函数.

所以/(2025)=f(4X506+1)=/(I)=0/(2026)=/(4X5064-2)=f(2)=1.

故/(2025)+/(2026)=0+1=1

故选：C.

3.-2

【详解】因为/'(%)的周期为3,且为奇函数，

所以“2024)=/(675x3-1)=/(-I)=-/(I)=-2.

故答案为：-2

题型六答案

1.C

【详解】不妨令0V勺<X2，则与一刀2<。，

因为［/(右)―)(%2)］(%1—次)>0,所以/■(%)一“小)<0,即/(/)</(g)，

所以外外在(0,+8)上单调涕增.

又/(%)为定义在R上的奇函数，贝旷(-十)=-/(均，

则/(%)在(一8,0)上单调递增，又“5)=0,所以f(-5)=-/(5)=0,

①当%>0时,不等式%/(-%)>0等价于/(一%)>0,等价于一刈%)>0,

等价于/(x)〈0,等价于/(%)</(5),解得0cxV5,

②当“<o时，不等式灯(一切>o等价于/(-%)vo,等价于一ya)vo,

等价于/(幻>0,等价于/(%)>/(-5),解得一5VXV0,

综上可得，不等式灯(一切>。的解集为(-5,0)U(0,5).

故选：C

2.B

【详解】由已知V%1，X2G(0,+03),当％1>%2时，都有(“1一、2升今?-43]=(工1一

x\Xlf(x1')-x2f(x2)<0

2x62，

设函数。(外=xfM.

贝IJG1—X2)g吗，)<0且不逐2>0,

X\X2

所以(石一必)〔。(/)-。(无2)]<0,

即g(x)=x/a)在(0,+8)上单调递减，

又函数/(%)是R上奇函数，则。(幻="/•(%)是R上的偶函数，

所以9(%)=%/(%)在(0,+8)上单调递减，在(-8,0)上单调递增.

所以(x+l)/(x+1)>4=2/(2)即为g(%+1)>g(2),

所以0<|无+1|V|2|,解得一3V1且%,一1.

故选：B.

3.C

【详解】对任意的与,©£(。，+8),且与工不，都有不等式'"(川一"2"必)>o,

X\-x2

不妨设％1<X2l则巧/Oi)<X2/l；X2).

令g(x)=xfM,则g(xD<g(%2),即函数g(x)=xfO)在(0,+8)上为增函数,

因为函数/(幻的定义域R上是奇函数，即/'(一%)="/(X).

则g(-x)=-x/(-x)=%/,(%)=o(x),所以g(x)=x/0)偶函数，

所以函数g(x)=%/0)在(0,+8)上为增函数，在(-8,0)上为减函数，

因为f(-2)=-1,则g(2)=g(-2)=-2/(-2)=2,

当x-lV0时,即时.

由"%-1)>六可得g(x-1)=(x-l)/(x-1)<2=g(-2),

则一2<x-1<0,解得一1<%<1,

当>0时，即工>1时，

由/(%-1)>专可得9(%-1)=(x-1)/(%-1)>2=g(2),

则2<%—1,解得％>3,

综上：不等式/'(X-1)>言的解集是(-1,1)U(3,+m).

故选：C.

4.B

【详解】由题意可知f(0)=0,〃-2)=0,且/(%)在上单调递增，在(-1,0］上单调递减,如图：

当xw(-8,-1)时，x+1<0,l-x>2,故f(l一”)>0,此时(％+l)f(l-％)V0；

当天=一1时，满足(T+1)/(1—工)20；

当X6C-L+8)时，x+1>0,l-x<2,

此时(％+1)/(1-x)>0,贝妙(1-x)>0,所以-2<l-x<0=>l<x<3,

综上,不等式(％+D/(l-x)>。的解集为［1,3］U{-1}.

故选：B.

5.(-oo,-2)U(2,+00)

【详解】根据奇函数的性质可知，f(-2)=-f(2)=0,且在区,司(0,+8)单调递减，

所以/(外>0,得刀<一2或0<%V2,/(x)<。得一2<x<。或x>2,

^<0<=>x/(x)<0,得％<-2,或x>2,

所以不等式的解集为(-8,-2)U(2,+oo).

故答案为：(―8,-2)U(2,+8)

6［词

【详解】由函数八外的定义域为12,2］,得:解得lWQW?

由/(I-2d)+f(a-3)>0,得/(I-2d)>-f(a—3),

又函数外幻是奇函数，则/•(1-2Q)>/(3-Q),

因为函数/(%)满足"4)一’出)<0,所以函数/(外为减函数，

%1142

所以1—2a<3—a,解得Q>—2,

综上，IWaW看

故答案为：[i，3

7.⑴Q=l,b=0；

⑵证明见解析；

⑶16质1).

【详解】(1)由题设f(O)=b=Q/(以=华=?,则。=1,