期末复习分类训练：等腰（边）三角形的性质与判定-2025-2026学年人教版八年级数学上册

等腰（边）三角形的性质与判定（人教版）

1.公力BC中，AB=BC=6,48=60°,则AC等于（）

A.4B.6C.8D.10

2.如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”，4E=45。，/B=30。,

AC//EF,CA=CF,连结AF,则匕84尸的度数是（）

A.127.5"

B.135°

C.120°

D.105°

3.等腰三角形的一个角是80°,则它的顶角是

4.已知等腰三角形的两边长分别为x和户且x和），满足氏-3|+（y-=0,则这个等腰三角形的周长

为

5.如图，△/18C中，AB=AC,OE是A8的垂直平分线，△BCE的周长为16,BC=

5,则48二

6.如图，△A8C中，AB=AC=DC,。在AC上，且AD=0B,则乙BAC=

BDC

7.如图所示，在四边形A8C。中，CD//AB,点七在AC上，且BE=40,々ABE=NC4D求证：AE=CD.

8.如图，在44BC中，48=AC,点。是AC的中点，点E在AO上.求证：Z-ABE=^ACE.

9.一个等腰三角形的周长为30cm.

(1)已知腰长是底边长的2倍，求各边的长；

(2)已知其中一边的长为7cm.求其它两边的长.

10.如图，在△ABC中，。点是AB的中点，OD_LAB于。，点0在AC的垂直平分线上,

(1)求证：△BOC是等腰三角形；

(2)若=80。，求4BC。的度数.

11.如图，是等边三角形，是AC边上的高,延长RC至£使。R=

⑴求4BDE的度数；

(2)求证：△(?£1/)为等腰三角形.

A

12.如图，在△4BC中，匕8AC=90。，AB=AC,点。是6C边上的动点(点。与点8,。不重合)，连接

AD,作△48。关于AD对称的△/E0,设N/108=a.

(1)当OE平分乙4。。时，

①求a的值：

②求证：BD=AD+CD,

(2)若点七与点。不重合，连接CE,当CE=40时，求a的值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：•••在△ABC中，AB=BC=6,NB=60。，

.•.△/8C是等边三角形，

•••AC=6.

故选:B.

由在△力BC中，AB=BC=6,4B=60。，可判定△/18C是等边三角形，继而可求得答案.

此题考查了等边三角形的判定与性质.此题比较简单，注意掌握有一个角是60。的等腰三角形是等边三角

形定理的应用是解此题的关键.

2.【答案】A

【解析】解：•••LD=LACB=90°,乙E=45°,48=30°,

ALDFE=45°,£.BAC=60°,

•••AC//EF,

:.Z.ACF=乙DFE=45°,

•••CA=CF,

:.Z.CAF=Z,CFA=|x(180°-Z.4CF)=67.5°,

A/.BAF=Z.BAC+Z-CAF=127.5°,

故选：A.

根据平行线的性质求出匕AC"=乙DFE=45。，根据等腰三角形的性质及角的和差求解即可.

此题考查了等腰三角形的性质，熟记”等边对等角”是解题的关键.

3.【答案】80°或20°

【蟀析】解：(1)当80。角为顶角，顶角度数即为80。；

(2)当80。为底角时，顶角=180。-2x80。=20°.

综上所述，它的顶角是80。或20。，

故答案为:80。或20。.

等腰三角形一内角为80。，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况.

本题考杳了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，属于基础题，若题目中没有明确顶角或底角的度数,

做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键.

4.【答案】7

【解析】解：•••代一3|+3—1)2=0,

•••X=3,y=1.

当腰长为3时，三边长为3、3、1,周长=3+3+1=7；

当腰长为1时，三边长为3、1、I,1+K3,不能组成三角形.

故答案为：7.

根据非负数的性质求得小)，的值，然后得到三角形的三边长，接下来，利用三角形的三边关系进行验证，

最后求得三角形的周长即可.

本题主要考查的是非负数的性质、等腰三角形的定义，三角形的三边关系，利用三角形的三边关系进行验

证是解题的关键.

5.【答案】11

【蟀析】解：由已知得，BC+BE+CE=16,

•••BC=5,

•••BE+CE=11,

•••0E垂直平分AB,

•••AE=BE,

AAE+CE=11,

即4C=11,

AB—AC,

：.AB=11.

故答案为：11.

根据已知能求出BE+CE的值，根据线段垂直平分线求出力E=BE,求出AC即可.

本题考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线性质等知识点的应用，关键是根据题意求出BE=4E和

求出AC的长，通过做此题培养了学生运用线段的垂直平分线定理进行推理的能力，题目较好，难度适

中.

6.【答案】108°

【解析】【分析】

先设由4B=AC可知，zC=x,由力D=DB可知=x,由三角形外角的性质可知

Z4DC=zfi+Z-DAB=2x,根据DC=可知NADC==2x,再在△ABC中，由三角形内角和定理

即可得出关于x的一元一次方程，求出x的值，从而求解.

本题考查的是等腰，角形的性质，解答此类题目时往往要用到二角形内角和定埋、二角形外隹的性质等隐

含条件.

【解答】

解：设,8=%,

因为AB=AC,

所以Z_C=乙B—x,

因为40=DB,

所以N8=Z.DAB=x,

所以+4DAB=2x,

因为DC=CA,

所以4AOC=乙CAD=2x,

在Zi/WC中，x+x+2x+x=180°,

解得工=36。.

所以484C=/-CAD+Z-DAB=2x+x=108°.

故答案为：108°.

7.【答案】证明：•:CD//AB,

•••Z.ACD=Z.BAE,

在A43E和△C4D中，

(^.BAE=^.ACD

l^ABE=ACAD,

\BE=AD

：.LABE^LCAD{AAS),

:.AE=CD.

【解析】根据CD//48,可得=根据A4S可证Zk/IBE四△C4D,根据全等三角形的性质即可

得证.

本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.

8.【答案】证明：•••/18=力。，。是BC的中点，

:.AD1BC

•••AD垂直平分BC,

•••EB=EC,

：•乙EBC=乙ECB.

•••AB=AC,

，/ABC=乙4cB,

•••/.ABC—Z.EBC=Z.ACB—乙ECB：

即LABE=LACE.

【解析】先由48=71C,点。是8c的中点，推导得出AQ垂直平分4C,则EB=EC,乙EBC=

乙ECB,再由48=4C,得至IJ乙ABC=乙4cB,最后通过等量代换乙ABC-乙EBC=^ACB-乙ECB,证

得LABE=/.ACE.

9.【答案】解：(1)设底边长为x0〃，则腰长为2xcm,由题意得：

x+2x+2x=30,

解得：x=6,

所以2%=2x6=12：

答：各i力长为6cm.12em,12cm：

(2)若底边长为7a〃，则腰长为：等=lL5(cm),

若腰长为7cm,则底边长为：30-7-7=16(cm)(舍去)，

答：底边长为7°〃，其它两边长为11.5cm.

【蟀析】(1)设底边长为xcm,则腰长为2xcm,代入求出即可;

(2)分类讨论，然后根据三角形三边关系定理判断求出的结果是否符合题意.

本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪

边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论.

10.【答案】(1)证明：:。点是A8的中点，。。_148于。，

:.00垂直平分48,

:.GA=0B,

•••0点在4c的垂直平分线上，

0A=OC,

•••GB=OC»

.•・△8。。是等腰三角形；

(2)解：vOA=OB,OA=OC,

Z.ABO=Z.BAO,Z.OAC=Z-OCA,

」ABO+AACO=Z-BAO+/-CAO=ABAC=80°,

Z.OBC+Z-OCB=180°-80°-B0°=20°,

Z.OBC=乙OCB,

:•乙BCO=10°.

【解析】(1)根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定定理即可得到结论；

(2)根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得到结论.

本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形

的判定和性质定理是解题的关键.

11.【答案】解：(1)VDB=DE,

•••zf=乙DBE,

••・△ABC是等边三角形，

Z.ACB=/.ABC=60°,

/18C是等i力三角形，8/)是局，

:•乙DBC=30°,

•••"=乙DBE=30°,

=120°；

(2)vLACB=60°,LE=30°,

Z.CDE=Z.ACB-Z.E=30°,

:.乙CDE=乙E,

CD=CE,

.•.△CE•。是等腰三角形.

【解析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等边

三角形的性质是解题的关键.

(1)根据等腰三角形的性质得到乙£=乙DBE,根据等边三角形的性质得到乙"8=^ABC=600,求得

“BC=30。，根据三角形的内角和即可得到结论；

(2)根据三角形的外角的性质得到乙CDE=AACB一乙E=30。，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论.

12.【答案】解：(1)①与关于AD对称,

:.Z.ADB=Z.ADE=a,

又•；E。平分N4DC,

•••Z.ADE=Z.EDC=a,

3a=180",

解得a=60°；

②如图，过点A作力F〃8C,

则/O/力=Z.FDC=60°,

Z.ADF=Z.AFD=60°,

・•.△AM为等边三角形，

•••AD=DF=AF,

Z.AFE=Z.ADC=120°,

-AB=AC.

:.乙B-Z.C,

乂△ADE^LADB关于AD对称，

:.乙E=,BD=DE,

在与△AOC中，

(^.ADC=Z.AFE

ZC=£E，

(AD=AF

.•.△/FE会△4OC(7L4S),

:.EF=CD,

AD+CD=DF+EF=DE=BD,

即BD=4D+CD；

(2)①当点E在BC上方时，如图所示，设DE与AC交丁点G,

\-----------------»F

'：AB=AC,

/.Z-BAC=90°,

Z.B=Z.ACB=45°,

Z.ADB=a,

:.£BAD=180°-45°-a=135c-a,

•••△ADE^AA8Z)关于AD对称，

•••Z.DAE=乙BAD=135°—a,Z.ADE=Z.ADB=a.

AZ.CAE=2Z.BAD-90°=180°-2a,

乙EDC=1800-2Z.ADB=180°-2a,

5L'：AE=AB=AC,

180°—皿E

•••Z.ACE=------