四川省某中学2025-2026学年高三年级上册高考模拟（四）数学试卷+答案

四川省绵阳南山中学2025-2026学年高三上学期高考模拟(四)

数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合4={Mlog2%<1},B={x\x<1},则力()

A.(-8,1)B.(0,1)C.(-8,2)D.(0,2)

2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-1,2),则复数日的虚部是()

A.-1B.1C.-2D.2

3.某班从5名同学中选3名同学分别参加数学、物理和化学知识竞答，已知甲同学不能参

加物理和化学知识竞答，其他同学都能参加这三科知识竞答，则不同的安排有()

A.42种B.36种C.6种D.12种

4.设aWR,则“a>1”是七2>a”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.定义在R上的偶函数/(%)满足：对任意的不，X2G[0,+CO)(X1*X2),有〃<0,

则().

A./(3)</(-2)</(I)B.f⑴V/(-2)</⑶

C./(-2)<f⑴<f(3)D./(3)<f⑴<f(一2)

6・已知嬴篝京=百,则tan(a+：)=()

A.2V3+1B.2V3-1C.YD.1-V3

7.足球是由12个正五边形和20个正六边形组成的.如图，将足球上的一个正六边形和它相

邻的正五边形展开放平，若正多边形边长为a，4、3、C分别为正多边形的顶点，则而•正=

()

试卷第1页，共4页

c

A.(3+V3cosl80)azB.(V3+cosl80)a2

C.(3+V2cosl80)a2D.(3V3*3cosl8°)a2

8.已知实数a满足ln(e2+1)-1v]n(2a)<1+ln2,则()

A.e«>aB.e«<aC.ea-1>ae-1D.ea-1<ae-1

二、多选题

9.下列说法正确的是（）

A.sin2cos3＜0

B.若圆心角为三的扇形的面积为:，则扇形的弧长为n

C.终边落在直线“+y=0上的角的集合是｛a|a=±：+kgkGZ）

D.函数y=tan（2A3的定义域为因%吟+与次wZ｝

10.已知公差不为。的等差数列｛aQ的前？i项和为Sn,旦53=9,的是与。4的等比中项，则

下列说法正确的是（）

A.。2=3

B.d=-1

C.数列｛手｝是递增数列

D.当%＞。时，九的最大值为8

11.设48是一个随机试验中的两个事件，PG4|B）+P（B|A）=1,尸（力UB）=丁则（）

A.事件4,B相互独立

B.若尸（48）二也则|PG4）—P⑻|=粤

C.P｛AB）＜P（AB）

试卷第2页，共4页

D.若P(*B)=P(Z|8),则必有P(4)=P(8)

三、填空题

12.(：一6)6的展开式中常数项为.

13.过点P(O,1)作直线/,使它被直线。：2»+)，-8=()和％：x—3y+10=()截得的线段被点

P平分,则直线/的方程为.

14.四楂锥P一48C。中，AB=AD=V10fCB=CD=S,Z.BAD=90°,PB=4,PC=3,

△PBC内部点Q满足四棱锥Q-力BCD与三棱锥Q-P4D的体积相等，则PQ长的最小值

为.

四、解答题

3

15.在△43。中，内角力，&C所对的边分别是Q,b,c.己知bsin力=3csinB,a=3,cosB=

(1)求b的值：

(2)求sin(28/)的值.

16.从某企业的某种产品中随机抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果

制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求这100件产品质量指标值的样本平均数十(同一组数据用该区间的中点值作代表)；

(2)已知某用户从该企业购买了3件该产品，用X表示这3件产品中质量指标值位于[35,45]

内的产品件数，用频率代替概率，求X的分布列.

17.如图，四棱锥尸一4BCD的底面是矩形，尸。，底面43CD,PD=DC=1,M为BC的中点,

且PBJ.4M.

试卷第3页，共4页

(2)求二面角A-PM-B的正弦值.

18.甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲决胜的概率为p(0VpV1),输的概

率为1-p，每局比赛的结果是独立的.

(1)当。=勺寸，求甲最终获胜的概率；

(2)为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案.方案•：最终获胜者得3分，失败者

得一2分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得

积分的数学期望更大.

19.设函数y=/(x)的定义域为D,其导函数为广。)，区间/是。的一个非空子集.若对区间

/内的任意实数-存在实数t,使得且使得f(x+£)?«+1)•/"(%)成立，则称函

数y=f(x)为区间/上的(。函数”.

(1)判断函数/(%)=cos%是否为［0m］上的"M©)函数”，并说明理由；

(2)若函数=是［0,2］上的“M(2)函数”.

(i)求Q的取值范围；

(ii)证明：V%G［1,2］,^(x+2)>6(lnx-l).

试卷第4页，共4页

《四川省绵阳南山中学2025-2026学年高三上学期高考模拟（四）数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案BABAABADABDABD

题号11

答案BCD

1.B

【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解.

【详解】集合A={刈脸工＜1]=41。＜%＜2},则B={x\x＜1},

所以ACB=（O,1）.

故选：B

2.A

【分析】根据复数的儿何意义得到复数z的代数式，再利用复数的除法运算即可.

【详解】由题意，z=-l+2i,则称=3=看繇%=¥=2T-

所以复数日的虚部是-1.

故选:A.

3.B

【分析】利用分类加法原理来求解即可.

【详解】第一类：三名同学中有甲同学，则不同的安排有：（4A；A：=12种：

第二类:三名同学中没有甲同学，则不同的安排有：A：=24种；

根据分类加法原理可得，共有12+24=36种，

故选：B.

4.A

【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即

可.

【详解】求解二次不等式标＞。可得：。＞1或。＜0,

据此可知：a＞1是a?＞。的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.

5.A

【详解】由对任意占，Me[0,+8）（必“2），有呼瞥＜0,得/⑸在[0,+8）上单独递

答案第1页，共14页

减,所以f(3)Vf(2)=f(-2)Vf(l),选A.

点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函

数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转

化在定义域内进行

6.B

【分析】先将W!袅弦化切求得tana,再根据两角和的正切公式即可求解.

cosa=西,

【详解】因为cosa-sina

所以』二百，"tana=l-泉

所以124。+9=制=26-1,

故选：B.

7.A

【分析】计算出48、8C以及乙力BC的大小，利用余弦定理可得出AC?,再利用平面向量数量

积的定义以及余弦定理、诱导公式、三角恒等变换可求得万

【详解】连接BC,由余弦定理可得48=Va2+a2-2a2cosl200=V3a,

易知正五边形的每个内角为二詈=108°,

所以，BC2=a2+a2-2a2cosl080=2a2(l-cosl080)=2a2[l-(l-2sin254°)]

=4a2sin254°,则8C=2asin540,

^ABC=120。.33+&3=126。，

22'

AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosl26°

=3a2+4a2sin254°—2•y/3a•2asin540cos(180°—54°)

=3a2+4a2sin2540+4V3a2sin540cos540,

AB2+AC2-BC2AB2+AC2-BC2

AB-AC=AB-AC-cosA=AB-AC-

2ABAC2

3a2+3a2+4a25^254°+4V3a2sin54°cos540—4a2sinz54°

2

=3a2+V3a2sinl08°=3a2+V3a2sin(900+18°)=3a2+疗a2cos18°

=a2(3+/3cosl8°)

答案第2页，共14页

故选：A.

8.D

【分析】根据ln(e2+1)-1vln(2a)V1+ln2得1Vg(e+：)<a<e,对AB,构造

9(%)=/一3根据零点存在性定理判断即可；对CD,构造函数函数/。)=晋(无>1),求

导分析函数单调性，结合所给不等式判断即可.

【详解】由ln(e2+1)-1<ln(2a)<1+In2得1<|(e+^)<u<e,

对于选项A与B,函数9(%)=好三在(0,+8)上单调递增，则存在%()€&,|),使得

g(%)=0,即与丁。=1,又<含且*£&，含)，所以£>生£<a均有可能，即

盛与。大小不确定.故A与B都不正确.

对于选项c与D,令函数/■(X)=詈。>1)得r(%)=宏程，

令。(%)=l—：Tnx(x>1)得"(幻=*一十=詈W0,所以g(x)在［1,+8)上单调递减

所以当x>l时，g(%)<g［l)=0,所以广。)=恶7<0,所以/(%)在(1,+8)上单调递减,

又1vgl+jvave,所以/'(a)>f(e),所以裳,号，即故D正确.

故选：D

9.ABD

【分析】利用三角函数符号法则判断A；利用扇形弧长、面积公式计算判断B；求出角的集

合表达式判断C；利用正切函数求出定义域判断D.

【详解】对于A,由］<2<3<%得sin2>0,cos3<0,则sin2cos3<0,A正确；

对于B,设扇形半径为r,由圆心角为g的扇形的面积为言得〜，2=等，

解得厂=3,因此扇形的弧长为方厂=凡B正确：

答案第3页，共14页

对于C,终边落在射线y=-x(x>0)上的角集合为S]=(a\a=一:+2kn,kGZ),

终边落在射线y=-x(x<0)上的角集合为

S2=｛ct\a=Y+2kir,k6Z｝=｛a\a=-^+(2k+l)n,/ceZ｝,

因此终边落在直线x+y=0上的角的集合是&US2=[a\a=一彳+kn,kGZ),C错误；

对于D,由2*一搭H尚+£Z,得x¥2+与,々£Z,

因此函数y=tan(2%q)的定义域为｛小W+€Z｝,D正确.

故选：ABD

1().ABD

【分析】根据已知条件求!1出2=3,d=-l可判断AB；写出数列的前〃项和公式，可判断

CD.

【详解】设等差数列｛斯｝的公差为d(dHO),

由S3=9，的是由与。4的等比中项，得｛/?£工，

即4。2+4)2=(02_4>(念+24)，解得d=.l,故AB正确；

贝1」即=。2+(九一2)4=一於+5,QI=4,S.=M,I+5)=笑211,

所以?=今々又?随九的增大而减小,所以数歹U｛学｝是递减数列.故C错误：

当S〃=XF>。时<n<9,所以n的最大值为8,故D正确.

故选：ABD

11.BCD

【分析】根据条件概率的计算公式以及并事件的概率公式，可得方程组，进而可得、=比,

则Z=t2%,所以x(l+t+£2)=*根据相互独立满足的公式即可判断A,结合基本不等式

即可求解C,根据条件概率即可求解D.

(详解】由P(4|B)+P(8|A)=1可得P(A8乂P(A)+P(8)]=P(A)•P⑻,

又PQ4UB)=P(A)+P(Bj-P(AB)=*

P(A)=PQ4B)+P(AB),P(B)=P(AB)+P(AB\

则PQ4B)+P(43)4-P(AB)=*

答案第4页，共14页

不妨设P(4B)=x,P(AB)=y,P(AB)=z,则P(A)=x+y,P(B)=y+z,

Mx+2y+z)=O+y)(y+z)

所以x+y+z=2,化简得y2=xz,

设、=比，则2=产》,所以%(1+£+产)=*

对于A,要使48相互独立，则需要PG48)=P(A)P(B),

即比=/(1+。«+产)，即式1+£)2=1,不恒成立，故A错误，

对于B,由PG4B)*,得P(A)+P(8)=*+P(A8)=X

P(4)•P(B)=P(4B乂P(4)+P(B)]=洛=奈

故|PQ)-P(B)|=，P(A)+P(8)]2—4P(A)P(B)=JG.)2-4X(^)=^,B正确,

3

对于C,P(AB)=y=tx=t--^—=J—.=<1

22

''''l+t+t4l+t+t4t+l+i4

t

当且仅当t一1时取到等号，而“(而)=1—P(4UZ?)=3^P(43)WP0"),C正确，

对于D,由P(力⑻=P@|B),得翳=磊，又P(而)=P(A)-尸(蚀)/(加)=户(8)-P(H8),

所以空就包=等萨，化简可得P(QP(B)—2P(0PG48)=P(B)-PG48)—P2(8),

由于P(/I|8)+P(B|4)=L则P(4B)=黑倦，将其代入上式得

尸(㈤―舞端=1—瓦篇而一P(B)，化简得P2(")+P2(B)=P(B)①,

结合尸(4U8)=P(4)+P(B)-P(AB)=P(4)+P(8)-辨悬=冷，

联立①②可得[2P(8)-1][8P2(B)-16P(8)+9]=O,故2P(B)-1=0,

解得P(8)=1则PG4)=：,故PG4)=P(8)=今故D正确.

故选：BCD

12.60

【分析】写出二项展开式的通项，令x的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解.

【详解】(：一正)6的展开式通项为

兀+1=或'(|)6".(-&：=窜•(-1)3-"./*=0,1,2,-,6),

令6-3k=0,可得k=4.

所以，展开式中的常数项为第♦(一1)4・22=60.

答案第5页，共14页

故答案为：60.

13.x+—-4=0

【解析】设//与/的交点为438—2〃)，求得4关于P的对称点坐标，利用对称点在直线%上

求得Q,即得力点坐标，从而得直线］方程.

【详解】设//与/的交点为/(。,8—2〃)，则由题意知，点力关于点P的对称点以一&2a-6)

在，2上,

代入h的方程得一。一3(2〃-6)+10=0,解得a=4,

即点”(4,0)在直线/上，所以直线I的方程为x+4y—4=0.

故答案为：x+4y—4=0.

【点睛】本题考查求直线方程，解题方法是根据点关于点的对称点求解，直线［与己知两直

线各有一个交点，P是这两个交点连线段中点，因此可设其中一点坐标，由对称性表示出另

一点坐标,代入第二条直•线方程可求得交点坐标，从而得直线方程.

【分析】延长PQ交BC于点R,令丽=4瓦，所=〃而，根据给定条件，利用等体积转化探

究可得〃=鲁，再结合直角一角形及向量运算建立PQ2为2的函数，进而求出最小值.

【详解】在四棱锥P-ABCD中，延长PQ交BC于点R,令丽=寂国=丽,

由48=AD=y/W,/.BAD=90°,得BD=2正，乂CB=CD=5,

则So。=加0•JB/一弓BO)2=1X2V5X2V5=10,S^ABD=xV10=5,

由PB=4,PC=3,得PB?+PC2=802,贝IJPB1PC,cos4CB。=F，sinNCB£)=等，

sinz/IF/?=sin(zCFD+^)=亨(等+g)二誓，

S&ABR=|xVwx51x^=芋,SACM=10(1-冷，设点P到底面距离为九，

依题意，^Q-ABCD=^Q-PAD=R-PAD=^P-ARDf由PQTBC。=(1〃"p-4BCD，

得(l-〃)15九=〃1口5-亨-1O(1T)］・h,则3(1-〃)=〃(1+办〃=急,

JJ乙4ATO

而而=(l-A)PB+APC,则丽2=16(1_4)2+9吐

PQ2=rpR2=36・25:二湍+叱令兀+&=£6(89),

25(t-8)2-32(t-8)+1625户―432£+1872133

PQ2=36-=36-=36[144(---)+25]

答案第6页，共14页

当"得,即£=导，4号时,附之加一居,所以PQ长的最小值为嚼.

【点睛】关键点点睛：利用等体积转化求出〃=盘是求解问题的关键.

15.⑴亨；

(21

【分析】(1)应用正弦边侑关系得a=3c,结合已知及余弦定理求b；

494

(2)由题设及平方关系得sin8屋，再应用倍角正余弦公式求得sin28=^,

cos28=一套最后应用差角正弦公式求sin(28-，

【详解】(1)由bsin/4=3csin8,则ab=3bc=>a=3c,又a=3,故c=l,

由匕=Va2+c2-2accosB=M4-1—6x4U.

755

74

(2)在三角形中cosB=(,则sinB=u

故sin28=2sin8cosB=费cos2B=l-2sin2F=-J

所以sin(2B-qTsin28-亨cos2B="萨.

16.(l)x=25

(2)分布列见解析

【分析】(1)根据平均数的求法，求得平均数.

(2)利用二项分布的知识求得X的分布列.

【详解】(1)由已知得：

x=10x0.015x10+20x0.040X104-30X0.025x104-40x0.020X10=25.

(2)因为购买一件产品，其质量指标值位于［35,45］内的概率为0.2,

答案第7页，共14页

所以X〜8(3,0.2)，所以X=o,l,2,3.

P(X=0)=(l-0.2)3=0.512,

P(X=l)=Cjx0.2x(1-0.2)2=0.384,

P(X=2)=C|x0.22x(1-0.2)=0.096,

P(X=3)=0.23=0.008,

所以X的分布列为

X0123

P0.5120.3840.0960.008

17.（1）V2；（2）粤

【分析】（1）以点。为坐标原点，DA.DC、DP所在直线分别为小y、z轴建立空间直免坐

标系，设8c=2%由已知条件得出丽•丽=0,求出a的值，即可得出BC的长；

（2）求出平面P4M、PBM的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得

结果.

【详解】（1）［方法一］:空间坐标系+空间向量法

•••PD1平面4BCD,四边形A8C0为矩形，不妨以点D为坐标原点，DA.DC、DP所在直线

分别为X、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系。-秒z,

设BC=2a,则。(0,0,0)、尸(0,0,1)、B(2a,l,0)、M(Q,1,0)、/I(2a,0,0),

则丽=(2a,l,-l),加=(-a,l,0),

答案第8页，共14页

-PBLAM,则丽•丽=-2。2+1=0,解得。=手故BC=2Q=&；

【方法二］【最优解】：几何法+相似三角形法

如图，连结8D.因为PDJ.底面48CD,且AMu底面48CD,所以PD1/1M.

又因为P81AM,PBCPD=P,所以力M_L平面P8D.

又30u平面P8。，所以4M18D.

从而“D8+/-DAM=90\

因为4M48+i/X4M=90。，所以4MAB=

所以△AZ)B〜△8AM,于是益=需.

所以;BC2=I所以"=亚

［方法三］:几何法+三角形面积法

如图，联结BD交4M于点N.

答案第9页，共14页

由［方法二］知力Ml08.

AMr)Ao

在矩形4BCC中，有&DAN〜&BMN,所以而=前=2,即4N=三4M.

令BC=2t(t>0),因为M为8c的中点，则8M=t,D8=V4t2+1,AM=Vt2+1.

由右。48=204.・4V,得£=，4产+1.|出+1,解得产=今所以

BC=2t=V2.

(2)［方法一］【最优解】：空间坐标系+空间向量法

设平面P4M的法向量为沅=%,yi，Zi),则前=(一多1,0),而=(一何M),

f-----V2

由?普=-浮:%=：,取可得沅=(&,2),

设平面P8M的法向量为n=。222途2),两=(一冬0,0),丽=(一旦一1,1),

(n-BM=——%=0

由％・日-&4；7+Z2=。，取及7可得"皿)，

cos(而㈤=iHi=^=唠,

所以，s\n(m,n)=y/l-cos2(m,n)=翟，

因此，二面角4-PM-8的正弦值为粤.

［方法二卜构造长方体法+等体积法

如图，构造长方体ABCD-ABICIDI,联结交点记为〃，由于ABil&BMBjBC,

所以4斤1平面&BCO］.过〃作D|M的垂线，垂足记为G.

答案第10页，共14页

联结力G,由三垂线定理可知AGlDiM,

故乙力GH为二面角力-PM-B的平面角.

易证四边形4道。外是边长为鱼的正方形，联结D2,HM.

SA£>I”M=,"G'SAD.HA/=5正方形48。。1一54£）141"-54〃8”-54”。。1，

由等积法解得HG=^.

在Rt/kAHG中，AH=¥，HG=嚅，由勾股定理求得力6=等.

4JLUJ

所以，sin乙4G”=^=翟，即二面角A—PM—B的正弦值为粤.

【整体点评】（1）方法一利用空坐标系和空间向量的坐标运算求解；方法二利用线面垂直的

判定定理，结合三角形相似进行计算求解，运算简洁，为最优解；方法三主要是在几何证明

的基础上，利用三角形等面积方法求得.

（2）方法一，利用空间坐标系和空间向量方法计算求解二面角问题是常用的方法，思路清

晰，运算简洁，为最优解；方法二采用构造长方体方法-等体积转化法，技巧性较强，需注

意进行严格的论证.

18.（唠

⑵答案见解析

【分析】（1）甲最终获胜有两种情况：前.2局赢、三场输一场赢两场，据此求解概率；

（2）由（1）可得甲最终获胜的概率，分别计算两种方案下甲获得积分的数学期望，通过作

差比较其大小即可.

【详解】（1）记“甲最终以2:1狭胜”为事件4记“甲最终以2:0获胜”为事件8,“甲最终狭胜”

答案第11页，共14页

为事件c,

于是C=AUB,A与B为互斥事件，

由于P(A)=©•p•p•(1-p)=P(8)=p2=/

则P(C)=P(A)+P(B)=3P2-2p3=第

20

即甲最终获胜的概率为行.

(2)由(1)可知，P(C)=P(A)+P(B)=3p2-2p3,

若选用方案一，记甲最终获得积分为X分，则X可取3,-2,

P(X=3)=P(C)=3P2-2p3,P(X=-2)=l-3p2+2P3,

则X的分布列为：

X3-2

l-3p2

P3p2-2p3

则E(X)=9p2-6p3-24-6p2-4p3=-10p3+15p2-2,

若选用方案二，记甲最终获得积分为丫分，则丫可取1,0,

P(Y=1)=P(C)=3P2-2p3P(丫=0)=l-3p2+2p3,

则y的分布列为：

Y10

l-3p2

P3p2-2p3

则E(r)=3p2-2p3,

所以E(X)-E(V)=-8p3+12P2-2=-4(p-l)(2p2-2p-l),

由于0VpV1,则2P2-2p-l=2p(p-l)-l<0,

于是P=f寸，两种方案都可以选，

当Ovpv东寸,E(X)VE(Y),应该选第二种方案，

当^vpvi时，E(x)>E(y),应该选第一种方案.

19.(l)/(；o=COSX是［0,n］上的“M(y函数”，理由见解析

(2)(i)-4<a<4；(ii)证明见解析

答案第12页，共14页

【分析】(1)求出r(x),结合题中定义验证即可;

(2)(I)分析可知，